Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS HUYỀN SƠN ĐỀ THI HSG LỚP 6 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Bài 1 (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý a) b) c) d) 1152[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS HUYỀN SƠN ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : a) b) c) d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : Một người đem 6000000đ gửi tiền tiết kiệm " Không kỳ hạn" với lãi xuất 0,8% tháng Hỏi sau tháng người thu tiền lãi ( sau tháng rút hết vốn lẫn lãi) Bài 3: Một xí nghiệp làm số dụng cụ, giao cho phân xưởng thực Số dụng cụ phân xưởng I làm 28% tổng số Số dụng cụ phân xưởng II làm gấp rưỡi số dụng cụ phân xưởng I Phân xưởng III làm phân xưởng II 72 Tính số dụng cụ phân xưởng làm Bài 4: (6 điểm) Cho đoạn thẳngAB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) ĐÁP ÁN Bài d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài 2: Số tiền người có sau tháng là: 6000000 100,8% = 6048000 (đồng) Số tiền người có sau tháng là: 6048000 100,8% = 6096384 (đồng) Số tiền người có sau tháng là: 6096384 100,8% = 6145155 (đồng) Bài 3: So với tổng số, số dụng cụ phân xưởng làm chiếm số phần là: So với tổng số, số dụng cụ phân xưởng làm chiếm số phần là: 100% - (42 %+ 28%)= 30%_ So với tổng số, 72 chiếm số phần là: 42% - 30 % = 12% Tống số sản phẩm ba phân xưởng làm là: 72 : 12% = 600 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xưởng làm là: 600 28% = 168 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xưởng làm là: 600 42% = 252 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xưởng làm là: 600 30% = 180 (dụng cụ) Bài o m a n b a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy : OA < OB b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên : Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N c) Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có : Suy : Hay : Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Đề số Bài 1(2 điểm) Một dãy số cộng có 45 số hạng Biết số hạng 50 Hãy xác định dãy số cộng Bài 2:(2 điểm) Cho S = + 52 + 53 + ………+ 52006 a Tính S W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b Chứng minh S 126 1 1 + + +⋯+ Tia AC nằm tia AB, AM -> ∠ CAM =∠ BAM - ∠ BAC = 200 1 c Có ∠ xAy = ∠ x AC + ∠ CAy = ∠ BAC + ∠ CAM 1 = (∠ BAC + ∠ CAM) = ∠ BAM = 80 = 400 d +) Nếu K ∈ tia CM -> C nằm B K1 -> BK1 = BC + CK1 = (cm) +)Nếu K∈ tia CB -> K2 nằm B C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) Đề số Bài Tính giá trị biểu thức W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a A = + + + + + 100 3 4 4(3+ − − ) 4+ + + 53 17 19 2003 : 3 5 3+ − − 5+ + + 37 53 17 19 2003 b B = -1 1 1 + + + + + 99 100 c C = 2 3 4 Bài So sánh biểu thức: a 3200 2300 121212 404 10 + − b A = 171717 17 1717 với B = 17 Bài Cho 1số có chữ số: Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho tất 4số : 2; ; ; Bài Tìm số tự nhiên n cho : 1! +2! +3! + +n! số phương? Bài Hai xe ơtơ khởi hành từ hai địa điểm A,B ngược chiều Xe thứ khởi hành từ A lúc Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 10 phút Biết để quãng đường AB Xe thứ cần , xe thứ hai cần Hỏi sau xe gặp lúc giờ? Bài Cho góc xOy có số đo 120 Điểm A nằm góc xOy cho: ngồi góc xOy mà : Điểm B nằm Hỏi điểm A,O,B có thẳng hàng khơng? Vì sao? ĐÁP ÁN Câu : Tính giá trị biểu thức : a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp = 50 10 = 5050 3 4 4 (3+ − − ) 4+ + + 37 53 17 19 2003 −1 : 3 5 (3+ − − ) 5+ + + 37 53 17 19 2003 b) A = 1 + + ) 17 19 2003 : 1 1 5(1+ + + ) 17 19 2003 = Ta có : A = 4(1+ 1 c) B = + + 1 + + + 99 100 1 1 1 1 99 Ta có : B = - + - + - + + 99 -100 = - 100 = 100 2) Câu So sánh a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 ; 2300 =(23)100 = 8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 121212 404 121212:10101 404 :101 12 12+2−4 + − + + − ⇒ A= + − = 17 17 17 17 b) A = 171717 17 1717 171717:10101 17 1717 :101 10 10 Vậy A = 17 hay A =B = 17 3) Bài Để số có chử số , 4chữ số khác mà chữ số Ta cần thoả mản : Số đảm bảo chia hết số số chẳn chia hết cho số 2; 5; 3; Số chia hết số phải có chữ số tận số 5.Số vừa chia hết cho 9.Nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy : Chữ số tận số ⇒ Chữ số đầu số Do số cho 1260 Bài Tìm số tự nhiên n Mà 1! +2!+3! + +n! bình phương số tự nhiên Xét : n = 1! = 12 n = ⇒ 1! +2! = n=3 ⇒ 1! + 2! + 3! = =32 n = ⇒ 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 n! = 1.2.3 .n mội số chẳn Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với số chẳn số có chữ số tận tổng chữ số Nên khơng phải số phương Vậy có hai giá trị n=1 n=3 1! +2! + 3! +4! + .+n!là số phương Bài Giải 1 xe thứ đươc quảng đường AB 1 xe thứ quảng đường AB 1 xe + = quảng đương AB 1 1 Sau 10 phút = : Xe thứ = 12 quảng đường AB Quảng đường lại là: 11 = 12 - 12 (của AB) Thời gian hai xe quảng đường lại là: 11 11 12 : = 10 = phút Hai xe gặp lúc 10 phút + phút = 16 phút Đáp án : 16 phút Bài Hình học (tự vẽ hình) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net (0,25đ) (2đ) Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vì : = 1200 , = 750, điểm A nằm góc xOy nên tia OA nằm hai tia Ox Oy Ta có : Điểm B hai vị trí : B B’ (0,75đ) +, Tại B tia OB nằm ngồi hai tia Ox, OA nên Do Nên điểm A,O,B thẳng hàng +, Cịn B’ : không thẳng hàng = 1350 < 1800, (0,75đ) Nên điểm A,O, B’ (0,5đ) Đề số Bài 1: (6 điểm) Tính: a) b) + – – + + – – + + 10 – … + 2006 – 2007 – 2008 + 2009 Cho: A = B= Tính ? Bài 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 25 ; 28 ; 35 số dư ; ; 15 Tìm x biết: Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: (a – 1).( b – 1) 192 Bài 4: (4 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số biết thoả mãn điều kiện sau: 1) c chữ số tận số M = + 52 + 53 + … + 5101 2) 25 3) Bài 5: (2 điểm) Có hay khơng số ngun tố mà chia cho 12 dư 9? Giải thích? Chứng minh rằng: Trong số nguyên tố lớn 3, tồn số nguyên tố mà tổng hiệu chúng chia hết cho 12 ĐÁP ÁN Bài 1: (6 điểm) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Kết : = - 25,5 (2 điểm) b) Kết quả: (2 điểm) (2 điểm) B= B= (0,75đ) B= (0,5đ) B = 309 B = 309.A (0,5đ) (0,25đ) Bài 2: (5đ) a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm x - Từ giả thiết suy và x+ 20 bội chung 25; 28 35 (1 đ) - Tìm BCNN (25; 28; 35) = 700 suy (x + 20) = k.700 - Vì x số tự nhiên có ba chữ số suy (1 đ) suy k = suy x + 20 = 700 suy x = 680 (0,75 đ) b) (2,25 đ) - Từ giả thiết ta có: - Vì (1) (0,25 đ) nên (1) xảy - Từ tìm kết x = (1 đ) x = (1 đ) Bài 3: (3đ) - Chỉ dạng a,b là: a = b = (Với k ) - Suy a – = (2k – 1)(2k – 1) – = = 4k2– 4k + – = 4k.(k – 1) b – = (2k + 1)(2k + 1) – = = 4k + 4k + – = 4k(k + 1) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (a – 1)(b – 1) = 16k(k – 1)k(k + 1) Từ lập luận k(k – 1)k(k + 1) k(k – 1)(k + 1) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai mà (4; ) = k (k – 1)k(k + 1) suy (a – 1)(b – 1) 16.4.3 (a – 1)(b – 1) 192 (đpcm) Bài 4: (4đ) - Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d N; - Lý luận dẫn đến M có chữ số tận - Từ điều kiện: a 9; c=5 25, lý luận dẫn đến (10c + d) 25, từ tìm d = - Từ điều kiện: = a + b2 10a + b = a + b2 9a = b2 – b 9a = b(b – 1) Lý luận dấn đến b(b – 1) b(b – 1) Mà b b -1 hai số nguyên tố nhau; < b – 1< b(b – 1) b a=8 Kết luận: Số cần tìm 8950 Bài 5: (2 điểm): - Khơng thể có số ngun tố mà chia cho 12 dư Vì: có số tự nhiên a mà chia cho 12 dư a = 12.k + ; a hợp số, số nguyên tố (1,25 đ) - Một số tự nhiên chia cho 12 có số dư 12 số sau: 0; 1; 2; ; 11 - Ta có: số nguyên tố lớn (bất kỳ) chia cho 12 khơng thể có số dư 2; 3; 4; 6; 8; 10 - Suy số nguyên tố lớn đem chia cho 12 số dư giá trị : 1; 5; 7; 11 - Chia số nguyên tố lớn thành hai nhóm : + Nhóm 1: Gồm số nguyên tố chia cho 12 dư 11 + Nhóm 2: Gồm số nguyên tố chia cho 12 dư - Giả sử p1; p2; p3 ba số nguyên tố lớn Có ba số nguyên tố, nằm hai nhóm, theo nguyên lý Dirichle ba số nguyên tố trên, tồn hai số nguyên tố thuộc nhóm , chẳng hạn p1 p2 thuộc nhóm: + Nếu p1 p2 chia cho 12 có số dư khác (tức dư 11; 7) p1 + p2 = 12 k1 + + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12 ; p1 + p2 = 12 n1 + + 12 n2 + = 12(n1+ n2) + 12 ; suy p1 + p2 suy p1 + p2 + Nếu p1 p2 chia cho 12 có số dư hiệu p1 – p (0,5 đ) Đề số W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài 1: (1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2: (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: Bài 3: (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a Nếu a dương số liền sau a dương b Nếu a âm số liền trước a âm c Có thể kết luận số liền trước số dương số liền sau số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số số dương Bài 5: (2đ) Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tuỳ ý sau đem cộng số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: a b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia lại ĐÁP ÁN Bài (1,5đ) a) 5x = 125 5x = 53 => x = b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì => số tự nhiên với a Z nên từ < ta = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5