Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.. Tìm chữ số tận cùng của A. Tìm số tự nhiên có [r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS BÌNH SƠN ĐỀ THI HSG LỚP
MƠN: TỐN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Câu I: (4.0 điểm) Thực phép tính 1) A =
2 14 28 18 29 18
5.(2 ) (2 )
2.(2 3) 3
5.2 3
7.2 3
−
−
2) B = 81
12 12 12 5
12
158158158 289 85: 13 169 91 .
4 4 6 711711711
4
7 289 85 13 169 91
− − − + + +
− − − + + +
Câu II: (4.0 điểm) 1) So sánh P Q
Biết P = 2010 2011 2012
2011+2012+2013 Q =
2010 2011 2012 2011 2012 2013
+ +
+ +
2) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 a + 21 = b Câu III: (4.0 điểm)
1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y 37 13x +18y 37 2) Cho A = ( )3 ( )3 ( )3 ( )3 2012
2+ +2 + + + + B =
2013
3 ( ) :
2 Tính B – A
Câu IV (6.0 điểm)
Cho xÂy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm
1) Tính BD
2) Lấy C điểm tia Ay Biết BĈD = 800, BĈA = 450 Tính AĈD
3) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK ĐÁP ÁN Câu I
a) Ta có:
2 14 28 18 29 18
5.(2 ) (2 )
2.(2 3) 3
A
5.2 3
7.2 3
−
=
−
18 18 12 28 14 28 18 29 18
5.2 2
2.2 3
5.2 3
7.2 3
−
=
−
30 18 29 18 28 18
5.2 3
2 3
2 (5 7.2)
−
=
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
29 18 28 18
2 (5.2 1)
2.9
2
2 (5 14)
9
−
=
=
= −
−
−
KL:…
b) Ta có:
12 12 12 5
12
158158158 289 85 13 169 91
81 :
4 4 6 711711711
4
7 289 85 13 169 91 B
− − − + + +
=
− − − + + +
1 1 1
12
158.1001001 289 85 13 169 91
81 :
1 1 1 711.1001001
4
7 289 85 13 169 91
− − − + + +
=
− − − + + +
12 158 81 :
4 711
=
18 324
81 64,8
5
= = =
KL:…… Câu II a) Ta có:
Q = 2010 2011 2012 2011 2012 2013
+ +
+ + =
2010
2011 2012+ +2013+
2011
2011 2012+ +2013+ + 2012
2011 2012+ +2013
Lần lượt so sánh phân số P Q với tử là: 2010; 2011; 2012 thấy phân thức P lớn phân thức Q
Kết luận: P > Q
b) Từ liệu đề cho, ta có:
+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 21m; b = 21n (1)
và ƯCLN(m, n) = (2)
+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:
(
)
(
)
BCNN 21m; 21n
420
21.20
BCNN m; n
20 (3)
=
=
=
+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:
21m
21 21n
+
=
21 m 1
(
+ =
)
21n
+ =
m n (4)
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu III
a) Ta có: 5(13x+18 ) 4(7y − x+4 )y =65x+90y−28x−16y 37x 74y 37(x ) 37y
= + = +
Hay 5(13x+18 ) 4(7y − x+4 ) 37y (*)
Vì 7x+4y 37, mà (4; 37) = nên 4(7x+4 ) 37y
Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x+18 ) 37y , mà (5; 37) = nên 13x+18y 37 b) Ta có:
2 2012
2 2013
1 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
2 2 2
3 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) (2)
2 2 2
A A
= + + + + + +
= = + + + + +
Lấy (2) – (1), ta được:
2013
3 3
( )
2A− =A + − −4 2
2013 2013
2012
1 3
( )
2A= + = =4 A +2 Vậy
2013 2013 2014 2012
3
2 2
B− =A − + Câu IV
a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax A nằm D B
BD = BA + AD = + = 10 (cm) KL:…
b) Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD => ACD + ACB = BCD
=> ACD = BCD – ACB = 800 – 450 = 350 KL:…
c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax
- Lập luận K nằm A B y
C
A B
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | - Suy ra: AK + KB = AB
KB = AB – AK = – = (cm) * Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B - Suy ra: KB = KA + AB
KB = + = (cm)
* Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm Câu V
a) Từ
18
1
y
3
9
x
=
−
9 18
x
y
− =
18
x
y −
=
(2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 Vì x số tự nhiên nên 2x – ước số lẻ 54 Ta có bảng sau:
2x – 1 27
x 14
y 54 18
Vầy (x; y) = (1; 54); (2; 18); (5; 6); (14; 2) b)
10
n
4
3
n
10
B
−
−
=
= 2,5 + 22 4n−10 Vì nN nên B = 2,5 + 224n−10 đạt GTLN 22
4n−10 đạt GTLN Mà 22
4n−10 đạt GTLN 4n – 10 số nguyên dương nhỏ - Nếu 4n – 10 = n = 11
4 N (loại) - Nếu 4n – 10 = n =
Vậy GTLN B = 13,5 n =
Đề số
Câu (4 điểm).
a Tính giá trị biểu thức 31 17 1 1
31 2 12 930
A= − − + + + + + +
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 2.(4 điểm)
a Tìm số tự nhiên x,y biết: (2x+1)(y-3)= 12
b Tìm số tự nhiên x biết: 2x + 2x+1 +2x+2 + + 2x+2015 = 22019 -
c So sánh: 3625 2536 Câu (3 điểm)
Cho phân số: 5( )
3
n
p n N
n +
=
+
a Chứng minh phân số p phân số tối giản
b Với giá trị n phân số p có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn Câu 4 ( điểm)
Cho điểm M N nằm phía A, năm phía B Điểm M nằm A B Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm Chứng tỏ rằng:
a Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng
b Điểm N trung điểm đoạn thẳng MB
c Vẽ đường tròn tâm N qua B đường tròng tâm A qua N, chúng cắt C, tính chu vi ΔCAN
ĐÁP ÁN Câu
a
b B2= c(a-b)-b(a-c) = ca-cb-ba+bc=ca-ba=a(c-b)
thay a=-50, b-c=2 vào ta B2=-50.(-2)=100 nên B=10
Câu a (1,5 điểm) (2x+1)(y-3)= 12
Với 2x+1 số lẻ Ta có: 12 =1.12=3.4
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2x+1=1 2x=0 x=0; y-3=12 y=15
2x+1=3 2x=2 x=1; y-3=1 y=4 Vậy x=0 y=1 x=1 y=4 b (1,25 điểm)
Ta có :
c (1 điểm)
3625 = (18.2)25 =1825 225 =1825 26 219 2536 =2525.2511= 2525.522= 2525.53.519 ta có: 53=125, 26=64, 53>26
2525>1825; 519>219
Vậy 2525.53.519 >1825 .26 219 hay 3625 <2536 Câu
a Gọi d UC 6n+5 3n+2 ta có:
Vậy phân số phân số tối giản b Ta có
p đạt giá trị lớn đạt giá trị lớn nhất, 3n+2 đạt giá trị nhỏ nên 3n+2 nhỏ 3n=0 hay n=0
Vậy với n=0 p đạt giá trị lớn 2+1/2=3/2 Câu
Vẽ hình xác (0,5 điểm)
a Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN (0,5 điểm)
(
)
2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 : 2 2 2 2 2016 3 2019 2019 2016 2016 2016 2016 2015 2019 2015 2019 1015 = = − = − = − = − − = − = − + + + + = + + + + = − = + + + + − = + + + + + + + x C C C C C Xet x x x x x x x d6n+ 3n+2d
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b (1 điểm)
BM = AB – AM = (cm) (0,25đ) M,N tia AB mà BM > BN ( > 1) => N năm B M ( 0,25đ) MN = BM – BN = cm = BN.=> N đường trung điểm BM (0,5đ) c Đường tròn tâm N qua B nên CN = NB = cm (0,25đ) Đường tròn tâm A qua N nên AC = AN = AM + MN = cm (0.25đ) Chu vi ΔCAN = AC + CN = NA = + 4+1= (cm) (0,5đ)
Đề số
Bài 1( điểm): a)Tìm x biết:
1 x
2
= −
− b) Tìm x, y
N biết 2x + 624 = 5y Bài 2( điểm):a) So sánh: 45
22
−
103 51
−
b) So sánh:
1 2009
1 2009
A 2010
2009
+ +
=
2 2009
2 2009
B 2011
2010
− − =
Bài 3( điểm):
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 25 ; 28 ; 35 số dư ; ; 15
Bài (7,5 điểm)
Cho hai góc kề bù góc xOy góc yOt, xOy =400 Gọi Om tia phân giác góc yOt
a Tính góc mOx ?
b Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy có bờ đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On cho góc xOn=700 Chứng tỏ tia Om tia On hai tia đối
Bài (1,5 điểm)
Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn : 2x+3y= 14 ĐÁP ÁN Bài 1( điểm):
a)- Từ giả thiết ta có:
4
1
3
1
x
2
=
−
(1) (0,25đ)2
1
3
1
x
−
=
2
1
3
1
x
−
=
−
(0,25đ)- Từ tìm kết x =
6
5
;
6
1
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài 2( điểm):
Bài a)
101 51 45
22 101
51 45 22 101
51 102
51 44 22 45
22 = = − −
(1đ)
b)
2010
2011
2009
2
B
1
2009
2
−
=
−
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009
2
2009
2 2011
2009
2009
B
2009
2
2009
2 2011
2009
2009
−
− +
+
=
=
−
− +
+
2009 2009
2010 2010
2009(2009
1)
2009
1
A
2009(2009
1)
2009
1
+
+
=
=
=
+
+
Vậy: A > B (1đ) Bài 3( điểm):Gọi số tự nhiên phải tìm x
- Từ giả thiết suy
(x 20) 25
+
(x 20) 28
+
(x 20) 35
+
x+ 20 bội chung 25; 28và 35 (0,5đ)
- Tìm BCNN (25; 28; 35) = 700 suy (x + 20) = k.700
(
kN)
(0,5đ) - Vì x số tự nhiên có ba chữ số suyx 999
+
x 20 1019
k = (0,5đ) x + 20 = 700 x = 680 (0,5đ) Bài
a Ta có xOy + yOt=1800 (Vì góc kề bù)
Thay xOy = 400 ta có: 400+yOt= 1800
suy yOt=1400
Ta có: Om tia phân giác tOy nên
Vì góc xOy yOt kề bù nên Ox Ot hai tia đối suy tOm mOx hai góc kề bù
tOm + mOx = 1800
700 + mOx = 1800
mOx = 1800-700= 1100
b Ta có mOx+ xOn = 1100+ 700=1800
mOx xOn hai góc bù (1)
- Do Om Oy thuộc nửa mp có bờ đường thẳng chứa tia Ox; - Lại có On Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox
nên: Om On nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox
0
70 140 2
1
= =
=
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
mOx xOn hai góc kề (2)
Từ (1) (2) suy mOx xOn hai góc kề bù Bài
Xét 2x+5y= 14 Ta có:
Do (5,2)=1 nên
Ta có 3y<14 y<14 :5
Mà y số nguyên dương nên y = ta có 2x+5.2=14 2x=4 x=2
vậy x=2, y=2 Đề số Câu 1:
a Tìm số tự nhiên x, y cho (2x + 1)(y – 5) = 12 b.Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1
c Tìm tất số B =62xy427, biết số B chia hết cho 99 Câu 2
a chứng tỏ
2 30
1 12
+ + n n
phân số tối giản
b Chứng minh : 2
1 + 2
3
+ 2
1
+ + 2 100
1 <1 Câu 3:
Một bác nông dân mang cam bán Lần thứ bán 1/2số cam 1/2 quả; Lần thứ bán 1/3 số cam lạivà 1/3 ; Lần thứ bán 1/4số cam lại 3/4 Cuối cung lại 24 Hỏi số cam bác nông dân mang bán
Câu 4:
Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, ba đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng
ĐÁP ÁN Câu 1:
a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước 12
12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 2x+1=3 (0,25đ) 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ)
2 2 ;
14 x → y
2
y
2 y
2
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ)
b.(1đ)
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)
để 4n-5 chia hết cho 2n - => chia hết cho 2n - (0,25đ) =>* 2n - 1=1 => n =1
*2n – = => n = (0,25đ) n = ; (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9
B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho
(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15
B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ)
y-x=2 x + y = => y = 4; x = (0,25đ) y-x = x + y = 15 (loại) B = 6224427 (0,25đ)
Câu 2: a Gọi d ước chung 12n + 1và 30n + ta có 5(12n + 1) - 2(30n+2) = chia hết cho d (0,5đ) d = nên 12n + 30n + nguyên tố
2 30
1 12
+ + n n
là phân số tối giản (0,5đ)
b Ta có 2
1 <
1
1 =
1
-2
2
1 <
3
1 =
2
-3
2
100
<
100 99
1 =
99
-100
1
(0,5đ)
Vậy 2
1 + 2
3
+ + 2 100
1 <
1
-2
+
-3
+ + 99
1
-100
2
2
+ 2
1
+ + 2 100
1
<1-100
= 100
99
<1 (0,5đ) Câu 3.Số cam lại sau lần bán thứ :
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Số cam bác nông dân mang bán
(50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ)
Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng lại tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm giao điểm tính hai lần nên có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) Đề số
Bài (3,0 điểm)
Cho tổng A = + 32 + 34 + 36 +…+ 32008
Tính giá trị biểu thức: B = 8A - 32010 Bài 2 (4,0 điểm)
Cho A = 1.4.7.10 …58 + 3.12.21.30… 174 a Tìm chữ số tận A
b Chứng tỏ A chia hết cho 377 Bài 3 (4,0 điểm)
Tìm số tự nhiên x biết:
a x + (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 99) = 5450 b 3.(5x - 1) - = 70
c 2x + 2x + + 2x + = 960 - 2x + Bài 4 (4,0 điểm)
a Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác Biết rằng: hai chữ số số số ngun tố Tích số với chữ số số có chữ số giống tạo thành từ chữ số hàng đơn vị số b Cho p số nguyên tố (p > 3) 2p + số nguyên tố Hỏi 4p + số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Bài 5 (5,0 điểm)
Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm
a Biết số giao điểm đường thẳng 1128 Tính n
b Số giao điểm đường thẳng 2017 khơng? Vì sao? ĐÁP ÁN
Bài
A = + 32 + 34 + 36 +…+ 32008
9A = 32 + 34 + 36 + 38 +… + 32010 Tính 8A = 32010 -
B = 8A - 32010 = 32010 - - 32010 = -1 Bài
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 - Tìm chữ số tận tích B = 1.4.7.10…58
- Tìm chữ số tận tích C = 3.12.21.30…174 - Tìm kết luận chữ số tận A
b) Chứng tỏ A chia hết cho 377 - Nhận xét 377 = 13.29
- Tìm quy luật thừa số tích B số tự nhiên chia dư 1, nên B chứa thừa số 13 Do B = 1.4.7.10.13…58
B = 1.4.7.10.13…29.2 Suy B chia hết cho 377
- Tìm quy luật thừa số tích C số tự nhiên chia dư 3, nên C chứa thừa số 39 Do C = 3.12.21.30.39…174
C = 3.12.21.30.(3.13)…(6.29) Suy C chia hết cho 377 - Kết luận A chia hết cho 377 Bài
a) x + (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 99) = 5450 100x + (1 + 2+ 3+ …+ 99) = 5450
Lí luận tính tổng: + 2+ 3+ …+ 99 = 4950 100x + 4950 = 5450
100x = 500 x =
b) 3.(5x - 1) - = 70
3.(5x - 1) = 70 + 3.(5x - 1) = 72 5x - = 72 :
5x - = 24 5x = 25 5x = 52 x =
c) 2x + 2x + + 2x + = 960 - 2x + 2x (1 + + 22 + 23) = 960 2x 15 = 960
2x = 960: 15 2x = 64 2x = 26
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Câu
a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau… - Gọi số cần tìm ab, (điều kiện a, b…) - Theo đề ta có ab.a.b = bbb
Suy ab.a.b = 111.b Hay ab.a = 111 Mà 111 = 3.37
Trong đó: số nguyên tố; số nguyên tố; 3 thỏa mãn đề nên ab = 37
Kết luận số cần tìm 37
b) Cho p số nguyên tố (p > 3) 2p + số nguyên tố Hỏi 4p + số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (với kN, k 1) Nếu p = 3k +1 2p + = 2(3k + 1) + = 3(2k + 1)
lí luận 2p + hợp số, trái với đề
Do p = 3k + 4p + = 4(3k + 2) + = 3(4k + 3) lí luận 4p + hợp số
Kl… Câu
a) Với n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, ba đường thẳng qua điểm Số giao điểm xác định sau: Chọn đường thẳng, đường thẳng cắt n - đường thẳng lại tạo n - giao điểm, làm với n đường thẳng ta n.(n - 1) giao điểm Nhưng giao điểm tính lần, nên số giao điểm n.(n - 1):2 giao điểm
- Khi số giao điểm 1128 ta có: n(n - 1):2= 1128 - Lý luận tìm n = 48
b) Giả sử số giao điểm 2017
- Áp dụng kết câu a ta có n(n - 1):2 = 2017 - Lý luận tìm điều vơ lý
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
V
ữ
ng vàng n
ề
n t
ảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -