Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS TÂN LẬP ĐỀ THI HSG LỚP 6 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Bài 1( 4 điểm) a, Chứng tỏ 4x + 3y chia hết cho 7 khi 2x + 5y chia hết cho 7[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS TÂN LẬP ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số Bài 1( điểm) a, Chứng tỏ 4x + 3y chia hết cho 2x + 5y chia hết cho b, Tìm số tự nhiên có bốn chữ số cho chia cho 130 , cho 150 số dư 88 108 Bài ( 5,0 điểm) : a) Tính A = b, Tìm phân số lớn nhất, chia phân số cho ta thương số nguyên Bài (2,0 điểm) : a, Cho biết S = Chứng minh < S < Bài (4,0 điểm): Tổng bình phương số tự nhiên 2596 Biết tỉ số số thứ số thứ hai , số thứ hai số thứ ba Tìm ba số Bài ( 5,0 điểm) : Cho tia Oz nằm góc vng xOy Vẽ tia Ot cho Ox tia phân giác góc tOz Vẽ tia Om cho tia Oy phân giác góc zOm a, Chứng minh tia Om tia Ot hai tia đối b, Gọi Ox’ tia đối tia Ox, biết góc x’Om 300 Tính góc tOz c, Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ Ot ) Hỏi hình vẽ có tất góc ? ĐÁP ÁN Bài a) Ta có 4x + 3y 4( 4x + y) 16x + 12 y 14x + 7y + 2x + 5y Mà 14x + 7y = 7(2x + y) Nên 2x + 5y Vậy 4x + 3y 2x + 5y b) Gọi số phải tìm a W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ta có a + 42 chia hết cho 130 150 nên a + 42 BC(130,150) Tìm a = 1908; 3858 ;5808; 7758; 9708 ( giá trị 0,25 đ) Bài Câu a ( 2,0 điểm) Ta có A= Vậy A = ( + 0) = Câu b(3,0 điểm) x 3 x x−1 − = = − = Từ y 18 ta có: y 18 18 (x,y ∈ N) Suy ra: y(2x-1) = 54 y∈ Ư(54) = { 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54 } , 54 số chẵn mà 2x-1 số lẻ nên y ước chẵn 54 Vậy y ∈ { 2; 6; 18 ; 54 } y 18 54 2x-1 27 x 14 Vậy (x;y) ∈ { (14 ;2);(5 ;6 );(2 ;18);(1;54 )} Bài * Chứng minh S < S= S< S< S< W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai S< < hay S < * Chứng minh (1) S > S > S > > Hay S > Từ (1) (2) ta có < S < Bài Gọi a, b, c số tự nhiên phải tìm Theo đề ta có: ( 1) Từ ( 1) suy (2) , thay vào (2) ta có: Tính b = 30, Vậy số tự nhiên cần tìm là: 30; 20; 36 Bài y m z O x t W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Câu a : 2,0 điểm * Chứng minh góc tOz + góc zOm = 1800 Tia Oz nằm góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 900 Theo giả thiết có tia phân giác nên góc xOz = góc tOz góc zOy = Từ suy góc tOz + góc zOm góc zOm = 900 Hay góc tOz + góc zOm = 1800 * Chứng minh góc tOz góc zOm hai góc kề nhau: * Kết luận : Cho 0,5 điểm Câu b : 1,5 điểm Chứng minh góc tOx = mOx’ = 300 ( Cùng kề bù với góc mOx) Góc tOx = góc xOz = 300 Góc tOz = 600 Câu c : 1,0 điểm Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox,Oy,Oz,Ot,Om,Ox’ Tất hình vẽ có n+6 tia phân biệt Cứ tia n+6 tia tạo với n+5 tia cịn lại thành n+5 góc Có n+6 tia nên tạo thành (n+5)(n+6) góc , góc tính lần Vậy có tất góc Thay = 2014 ta số góc có (2014+6)(2014+5) : = 039 190 góc Đề số Câu 1: (5 điểm) a) Tìm x biết (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750 b) Tìm x; y ∈ Z biết 2x + 124 = 5y c) Tìm kết phép nhân A = 666 ⏟ 999 ⏟ 100 c / s 100 c / s Câu : (4 điểm) 10 a) Chứng minh : 72 b) Cho abc 2014 +8 số tự nhiên ⋮ Chứng tỏ 2a + 3b + c ⋮ W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai c) Cho số tự nhiên từ 11 đến 21 viết theo thứ tự tùy ý, sau đem cộng số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 5 5 + + + + + 49 Chứng minh < S < Câu : (2 điểm) Cho S = 20 21 22 23 Câu : (4 điểm) Tìm số có tổng 420, biết số thứ 11 số thứ hai số thứ ba Câu : (5 điểm) a) Cho góc xOy 800, góc xOz 300 Tính số đo góc yOz ? b) Cho điểm A; B; C; D không nằm đường thẳng a Chứng minh đường thẳng a không cắt, cắt ba, cắt bốn đoạn thẳng số đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD ĐÁP ÁN Câu a) Ta có (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750 => 100x + 101.50 = 5750 => 100x = 700 = > x = b) +) x = => 20 + 124 = 5y => 125 = 5y => 53 = 5y => y = +) x¿ => 2x + 124 số chẵn => 2x + 124 = 5y vô lý Vậy x = y = thỏa mãn đề c) A = = = 666 ⏟ 999 ⏟ 100 c / s 100c / s 666 000 ⏟ ⏟ 100 c / s 100c /s - 666 ⏟ 333 ⏟ 99 c / s 99 c / s =A= 666 00 ⏟ ⏟ 100 c / s (1 100 c /s - 1) 666 ⏟ 100 c / s Câu a) Chứng minh : 102014 + ⋮ 102014 + ⋮ Mà (8; 9) = => 102014 + ⋮ 72 102014 +8 => 72 số tự nhiên b) abc ⋮7 => 100a + 10b + c ⋮7 => 98a + 7b + ( 2a + 3b + c) ⋮7 => 7(14a + b) + ( 2a + 3b + c) ⋮7 Mà 7(14a + b) ⋮7 => ( 2a + 3b + c) ⋮7 c) Khi xét số tự nhiên chia cho 10 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai => Có thể xảy 10 trường hợp số dư ∈ { 0;1;2; ;9 } (1) Mà số tự nhiên từ 11 > 21 gồm (21 - ) + = 11 số Biết số cộng với số thứ tự tổng => Có 11 tổng , tổng có giá trị số tự nhiên (2) Từ (1) (2) => Trong 11 tổng chắn có 2tổng có số dư chia cho 11 => Ln ∃ hai tổng có hiệu chia hết cho 10 Câu 5 5 + + + + + 49 có 30 số hạng Xét tổng S = 20 21 22 23 5 5 5 5 > ; > ; > ; ; > 49 50 Mà 20 50 21 50 22 50 => S>30 => S>3 50 (1) 5 5 5 5 = ; < ; < ; ; < 49 20 Lại có : 20 20 21 20 22 20 => S < 30 150 = 20 20 => S < (2) Từ (1) (2) => < S < Câu 21 Lập luận => Số thứ nhât 22 số thứ hai 27 Số thứ ba 22 số thứ hai 22+21+27 70 = 22 số thứ hai => Tổng ba số 22 70 => Số thứ hai : 420 : 22 = 132 21 132=126 => Số thứ : 22 27 132=162 => Số thứ : 22 Câu a) +) TH1: Hai tia Oy Oz nằm hai nửa mp đối bờ chứa tia Ox : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Lập luận => Tia Ox nằm hai tia Oy Oz y x O z => góc yOz = 800 + 300 = 1100 +) TH2: Hai tia Oy Oz nằm nửa mp bờ chứa tia Ox y z O x Lập luận => Tia Oz nằm hai tia Ox Oy => góc yOz = 800 - 300 = 500 b) +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D thuộc nửa mp bờ a => Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD +) TH2: Trong hai nửa mp đói bờ a, nửa mp chứa bốn điểm A; B; C; D => Đường thẳng a cắt đoạn thẳng số đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD +) TH2: Trong hai nửa mp đối bờ a, nửa mp chứa điểm, nửa mp lại chứa số bốn điểm A; B; C; D => Đường thẳng a cắt đoạn thẳng số đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD Suy điều phải chứng minh Đề số Câu 1: ( điểm) 1) Chứng minh số A = 10n + 18n - chia hết cho 27 ( n số tự nhiên) 2) Chứng tỏ với số tự nhiên n phân số sau tối giản: Câu 2: (5 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y cho: (x - 1)(3 - y) = 2) Tìm tập hợp số nguyên x , biết : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ( 3) Tìm số tự nhiên x biết: Câu3:(2điểm) Chứng minh : + Câu 4: (4 điểm) Sau buổi biểu diễn văn nghệ, nhà trường tặng cam cho tiết mục Lần đầu tiết mục đồng ca hết cam quả; lần tặng tiết mục tốp ca hết số cam lại số quả; lần tặng tiết mục đơn ca hết số cam lại lần vừa hết Tính số cam trường tặng số cam riêng cho tiết mục đồng ca, tốp ca đơn ca Câu 5: ( điểm) Cho tia Ox Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz 1200 Chứng minh rằng: a b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại ĐÁP ÁN Câu 1) Ta viết số A dạng sau : A = 10n + 18n - = 10n - - 9n + 27n = n) + 27n n tổng chữ số Từ nên ( - - n) A 27 2) Gọi ƯCLN tử mẫu d (d 12n + d - 9n + 27n = 9( N, d 1) 16n + d 3(16n + 3) d 4(12n + 2) d Do 3(16n + 3) - 4(12n + 2) d 48n + - 48n - d d Vậy d = Phân số phân số tối giản Câu 1) Ta có: (x - 1)(3 - y) = Vì có ước - 2; -1; 1; W: www.hoc247.net nên (x - 4), (3 - y) F: www.facebook.com/hoc247.net Do ta có: Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai + + + + Vậy cặp số nguyên x; y thỏa mãn là: (x; y) = 2) ( mà x Nhân nên x vào hai vế ta : Câu 1+ +( >1+ )+( )+( = 1+ ) + …+( ) 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM) Câu - Nhận xét : từ lên cuối W: www.hoc247.net số cam cịn lại sau lần Vậy phải tính ngược F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Tiết mục đơn ca tặng = (quả) Tương tự trên, tiết mục đơn ca tốp ca tặng : ( ): = (quả) Tương tự số cam trường tặng : (8 + ): = 49 (quả) Số cam tặng tiết mục tốp ca : - = (quả) Số cam tặng tiết mục đồng ca : 49 - = 41 (quả) Câu a) Kẻ tia Ox, tia đối tia Ox Ta có: + = 1800 (kề bù) = 1800 - 1200 = 600 Tương tự: Ta có : tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên b) Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz Oy, Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia -Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy Đề số Bài 1( điểm) a) Cho A = - 52 + 53 - 54 + …- 598 + 599 Tính tổng A b) Chứng tỏ ( + 1).( + 2) chia hết cho với n số tự nhiên Bài ( điểm) a) Tìm số nguyên x, y biết : (x - 2)2.(y - 3) = - b) Tìm n ∈ Z để (4n - 3) (3n – 2) Bài ( điểm) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chứng minh Bài ( điểm) Trong buổi tham quan, số nữ đăng kí tham gia nghỉ, bạn nam xin thêm nên số nữ tham quan tham quan số nam Nhưng sau có bạn nữ xin số nam Tính số học sinh nữ nam Bài 5: (5 điểm) Cho tia chung gốc theo thứ tự Ox, Oy, Oz, Ot cho đo góc zOt 600 ; , biết số a) Tính số đo góc xOy; yOz; tOx? b) Vẽ tia Om cho số đo góc mOt 200 Tính số đo góc zOm? Vẽ thêm 10 tia phân biệt chung gốc với tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om Hỏi có góc tạo thành từ tất tia trên? ĐÁP ÁN Câu Câu a( điểm) A = – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599 5A = 52 – 53 + 54 - …+ 598 – 599 + 5100 Tính rút gọn 6A = + 5100 Câu b ( điểm) Ta có: Mà nên ( ( +1).( + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho không chia hết cho + 1).( + 2) n N Câu Câu a( điểm) Ta có : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nên ta có trường hợp sau: TH1: ( x - 2)2 = 12 y - = -4 x - = ; y = -1 x - = -1; y = -1 x = 3; y = -1 x = 1; y = -1 TH2: ( x - 2)2 = 22 y - = -1 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x - = ; y = x - = -2; y = x = 4; y = x = 0; y = KL: Vậy ta có cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là: (3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2) Câu b( điểm) Ta có: 4n – 3n – Mà 3n + 3n + → 3(4n – 3) – 4(3n – 2) 3n – → ( 12n - - 12n + ) 3n – → 3n – → -1 3n – Ư(-1) +) 3n – = suy n = +) 3n – = -1 suy n = 1/3 Kết hợp điều kiện n nguyên ta n = Câu Giữ nguyên Ta có: Chứng minh A’ = Do Câu Tổng số học sinh nam nữ dự định tham quan tham quan nhau, ta lấy làm đơn vị Số nữ dự định tham quan Số nữ tham quan W: www.hoc247.net số nam nên số nam nên tổng số nam nữ tổng số nam nữ F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Số nữ dự định nhiều số nữ là: ứng với học sinh Tổng số học sinh là: 1: ( tổng số học sinh) hay tổng số học sinh tương = 30 ( học sinh) Số học sinh nữ tham quan là: 30 = (học sinh) Số học sinh nam tham quan là: 30 – = 25 ( học sinh) Vậy có học sinh nữ 25 học sinh nam tham quan Câu y x z 600 O t Câu a ( điểm) 1 xOy zOt ; yOz xOy 2 Vì 1 0 xOy 60 30 ; yOz xOy 300 150 2 Mà zOt 60 nên 0 Tính xOt xOy zOy zOt 30 15 60 105 0 0 0 Tính zOm zOt tOm 60 20 40 Câu b ( 2,5 điểm) Ta có trường hợp: TH1: Tia Om nằm tia Oz tia Ot Tính zOm mOt tOz 20 60 80 TH2: Tia Ot nằm tia Om Oz Câu c ( điểm) Từ hai tia chung gốc ta vẽ góc W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om Tất hình vẽ có 15 tia phân biệt Cứ tia 15 tia tạo với 14 tia cịn lại thành 14 góc Có 15 tia nên tạo thành 15.14 ( góc) góc tính lần Đề số Bài 1: (4,0 điểm ) , Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Cho C = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40 Tìm nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 (y-3) = - Bài :(5,0đ) Tìm x, biết: a) 32x = 81 ; 15 Tính b) 52x-3 – 2.52 = 52.3 20 9 −4.3 5.29 619−7.229 27 2 2 + + + + 97 100 Tính tổng: B = 4 7 10 Tìm số tự nhiên n để phân số A= n+ 193 n+3 Có giá trị số tự nhiên 1 1 + + +⋯+ 32x = 34 => 2x = => x = b) 52x-3 – 2.52 = 52.352x: 53 = 52.3 + 2.5252x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = => x = 1 1 2 1 = ( − )⇒ = ( − ) 4 Ta có 4 2 1 2 1 2 1 = ( − ); = ( − ); = ( − ) ⇒ 7 10 10 ; 97 100 99 100 1 1 1 1 ( − + − + − + + − ) 99 100 ⇒ B= 4 7 10 1 99 33 ( − )= = 100 50 ⇒ B= 100 A= n+193 2( n+3 )+187 187 = =2+ n+3 n+3 n+ Để A∈ N 187 ⋮ 4n + => 4n +3 ∈ { 17;11;187 } + 4n + = 11 -> n = + 4n +3 = 187 > n = 46 + 4n + = 17 -> 4n = 14 -> khơng có n∈ N Vậy n = 2; 46 Bài 3: Ta có: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 1 1 < = − ; 2 2 1 1 < = − ; 2.3 3 1 1 1 100; ¿ < = − ; ; < = −1¿ ¿ 3.4 99.100 99 ¿ 100 1 1 1 1 + + +⋯+ BM = BC + CM = (cm) b C nằm B,M -> Tia AC nằm tia AB, AM -> ∠ CAM =∠ BAM - ∠ BAC = 200 1 c Có ∠ xAy = ∠ x AC + ∠ CAy = ∠ BAC + ∠ CAM 1 = (∠ BAC + ∠ CAM) = ∠ BAM = 80 = 400 d +) Nếu K ∈ tia CM -> C nằm B K1 -> BK1 = BC + CK1 = (cm) +)Nếu K∈ tia CB -> K2 nằm B C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17