Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nam Dương

a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông.. Gọi N là giao điểm của AG và DF.. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chi[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS NAM DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 150 phút) Đề số

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2x2+5x−3

b) x4+2009x2+2008x+2009

c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 16

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: (x− +y z) (2+ z−y) (2+ x− +y z)(2y−2z)

b) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

2

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

+

 + + + + 

 + + + + + + + + + 

 

Câu

Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC hình vng ABCD Các đường thẳng DN CM cắt I Chứng minh tam giác AID tam giác cân

Câu

Tìm cặp số nguyên (x y z; ; ) thỏa mãn phương trình:

( )

2 2

4064497 15 2014

x +y + +z = x+ y+ z

Câu Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24

ĐÁP ÁN Câu

a) 2x2+5x− =3 2x2+6x− −x

( ) ( ) ( )( )

2x x x x 2x

= + − + = + −

b) x4+2009x2+2008x+2009=x4+x2+ +1 2008x2+2008x+2008

2 2

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 2008) ( 1)( 2009)

x x x x x x

x x x x x x x x

= + + − + + + +

= + + − + + = + + − +

c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+ + = +8) 16 (x 2)(x+8)(x+4)(x+ +6) 16

( )( )

10 16 10 24 16

x x x x

= + + + + +

Đặt x2+10x+20=t

( )( ) 2

4 16 16 16

t t t t

(2)

( 2 )2

10 20

x x

= + +

Câu

a) (x− +y z) (2+ z−y) (2+ x− +y z)(2y−2z)

( ) ( )( ) ( )

( )

2

x y z x y z y z y z

x y z y z

x

= − + + − + − + −

= − + + −

=

b)

2

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

+

 + + + + 

 + + + + + + + + + 

 

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

5

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x

  +

= + + + + 

+ + + + + + + + +

 

+

 

= − + − + − + − + − 

+ + + + + + + + +

 

+

 

= − 

+

 

+

= =

+

Câu

0

à 90 90

90

DCN CBM NDC CBN

M MCB MCD NDC MCD

DIC DN MC

 =   =

+ =  + =

 =  ⊥

goi K trung điểm DC nên AM=KC, AM KC

Nên AMCK hình bình hành

à DN MC AK DN

AK MC M



⊥  ⊥

Hay AK⊥DI (1)

I L

K

N M

C

A B

(3)

Goi L giao điiểm DN AK K trung điểm DC AK MC

suy AK qua trung điểm DI nên L trung điểm DI (2) Từ (1) (2) suy tam giác AID cân A

Câu

Đặt x− =  = +1 y x y Ta có:

( ) ( )

2 2

2

3

1 1

y y y y

A

y

y y

+ − + + − +

= =

+ − + +

2

3

A

y y

= − +

Đặt z

y =

2

3

A z z

 = − +

2

A=z − z+ +

( )2

1 2

A= z− + 

Vậy A=  =  =  =2 z y x

Đề số

Câu

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2

2 4

x − xy+y + x− y−

b) Chứng minh *

n N

 

2

n + +n hợp số

c) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ

Câu 2. Cho phân thức:

2

3 2

3 1

1 1 5

x x x

P

x x x x x x

 + −  −

= − − 

− + + − − +

 

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn P

Câu 3.

1) Giải phương trình:

a) 968

99 97 95 98 96 975 94

x− +x− + x− = x− + x− +x− +x−

b)

5 40 13

3 15

8

5

2

2 − + + − + + − + =−

x x x

x x

x

Câu 4. Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F; G; H trung điểm cạnh AB, BC; CD; DA M giao điểm CE DF

(4)

c) Tính diện tích MDC theo a

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) (x - y)2 +4(x - y) - = (x - y)2 + 4(x - y)2 + -9

= (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)

b) Ta có: n3 + n + = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) =(n+1)( n2 - n + 2)

Do  n N* nên n + > n2 - n + >1 Vậy n3 + n + hợp số c) Gọi hai số a2 (a+1)2

Theo ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a +

= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) +

= ( a2 + a + 1)2 số phương lẻ a2 + a = a(a + 1) số chẵn  a2 + a + số lẻ

Câu 2.

a) (x− +y z) (2+ z−y) (2+ x− +y z)(2y−2z)

( ) ( )( ) ( )

( )

2

x y z x y z y z y z

x y z y z

x

= − + + − + − + −

= − + + −

=

b)

2

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

+

 + + + + 

 + + + + + + + + + 

 

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

5

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x

  +

= + + + + 

+ + + + + + + + +

 

+

 

= − + − + − + − + − 

+ + + + + + + + +

 

+

 

= − 

+

 

+

= =

+ Câu

(5)

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2

3

3 2

2

2 3

x x

x x x

x x

 − + − =

 − + + − =

 

 −  + + =

 − + + =

2

3

2

3

x x x x

 − =

 

+ + =

  = 

 − −

 = 

Vậy tập nghiệm phương trình 2;

3

S=  − − 

 

 

b) 2 23

1 1

x

x x x x

−

= +

− + + +

ĐKXĐ: x −1

( )

( )( )

 

2 2

2 1

2

1

1( ) 2( )

x x x x

x x x

x x

x l

x n

S

+ = − + + −

 + = +

 − − =

 + − =

= −    =

 = Câu

N

M

G

F E

C B

H A

(6)

a) Chứng minh: EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng

Kết luận Tứ giác EFGH Hình vng

b) BEC= CFD c g c( )ECB=FDC mà CDF vuông C

0

90 90

CDF DFC DFC ECB CMF

 + =  + =  vuông M

Hay CE ⊥ DF

Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF GN//CM mà G trung điểm DC

nên  N trung điểm DM Trong MAD có AN vừa đường cao vừa trung tuyến  MAD cân A

c) CMD FCD g g( ) CD CM

FD FC

 =

Do :

2

CMD

CMD FCD

FCD

S CD CD

S S

S FD FD

   

=   = 

   

Mà :

2

FCD

S = CF CD= CD

Vậy :

2

1

4 CMD

CD

S CD

FD

=

Trong DCF theo Pitago ta có :

2 2 2 2

2 4

DF =CD +CF =CD + BC =CD + CD = CD

 

Do :

2

2 2

2

1 1

5 4 5 5

4 MCD

CD

S CD CD a

CD

= = =

Đề số

Câu (2 điểm) Cho

2

3 +2 1

2 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   

= −   + 

+ − −  + − 

 

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn M

b) Tìm a cho 1

8

a M

+ −

− 

Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình 2x(8x−1) (2 4x− =1)

(7)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cắt BC F

a) Chứng minh SAOD=SBOC b) Chứng minh:

EF CD AB 1 = +

c) Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đôi diện tích tam giác DEF

Câu (2 điểm) Cho 2 4 1 x y x y

a b a b

 + =   + =  + 

Chứng minh

( ) 2014 2014 1007 1007 1007 x y

a +b = a b+

Câu (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức B (x 4)(x 9) x

+ +

= với (x0)

ĐÁP ÁN

Câu (2 điểm) Cho

2

3 +2 1

2 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   

= −   + 

+ − −  + − 

 

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn M

b) Tìm a cho 1

8 a M + − −  Hướng dẫn a) ĐKXĐ 2 1 a a a a  + −   −    +   1 a a      −  Ta có 2

3 +2 1

2 1

a a a a

M

a a a a a

 + +    = −   +  + − −  + −    ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1

a a a a a a

M

a a a a a

 + + +   − + +  = −    − + − + −     ( )( ) 2

1 1

a a a a

M

a a a

+ − − =

− + −

( )( )

1

1 1

a a a

M

a a a

− + −

=

(8)

2

1

a a

M

a a

−

= =

− −

b) Ta có 1

8

a M

+ −

−  a0

1 1

2 8 4

1

a a

a

+ −

 − 

−

1 1

2

a a

a

− + −

 − 

2

4

8

a a a

a

− − − −

 

2

5

8

a a

a

− − + −

 

2

4a 20a 16 8a

 − − +  −

2

4a 12a 16

 − − + 

( )

4 a 3a

 − + − 

2

3

a a

 + − 

(a 1)(a 4)

 − + 

4 a

 −   a1,a0 nên −  4 a 0, 0 a

Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình 2x(8x−1) (2 4x− =1)

b) Với n

n n ln có chữ số tận cùng giống Hướng dân

a) 2x(8x−1) (2 4x− =1)

( ) ( )

( )( )

2 2

2

8

16 16 64 16 72

x x x

x x x x

 − − =

 − + − =

Đặt

64x −16x=t, ta có:

( )1 72

t t+ = ,

9

t t

=   = − 

Từ tìm giá trị x b) Xét hiệu:

(9)

( )

1

n n

= −

( )( )

1

n n n

= − +

( ) ( )( )

1

n n n n

= − + − +

Vậy ( ) ( )( )

1

n− n n+ n − + (1)

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1

n n n n n n n

= − + − − − +

(n 2)(n 1) (n n 1)(n 2) (5 n 1) (n n 1)

= − − + + − − +

Vì (n−2)(n−1) (n n+1)(n+2) chia hết cho 5, 5(n−1) (n n+1) chia hết cho Vậy (n−2)(n−1) (n n+1)(n+ −2) (5 n−1) (n n+1 5) (2)

Từ (1) (2) suy

n −n chia hết cho 2, mà ( )2,5 = 1

10

n −n

Vậy n5 n ln có chữ số tận cùng giống Câu (3 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cắt BC F

a) Chứng minh SAOD=SBOC b) Chứng minh:

EF CD AB

2 1

= +

c) Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF

Hướng dẫn

a) Ta có SADB =SABC có chiều cao hạ từ D C xuống AB (do AB // CD) cạnh đáy AB

ABD AOB ABC AOB

S −S =S −S hay SAOD=SBOC

b) V× EO DC// 

AC AO DC EO

= Mặt khác AB CD// AB AO

DC OC

 =

AB AO AB AO EO AB

AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC

 =  =  =

+ + + +

I N

M K

O

F E

D C

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 

EF AB DC EF

DC AB

DC AB DC

AB AB DC

EF 1

2 =  + =

+  +

=

c) Dụng trung tuyến EM M( DF) Dựng EN//MK N( DF), nối K với N KN đường thẳng phải dựng

Chứng minh

Ta có SEDM =SEMF (1)

Gọi giao điểm EM KN I SIKE =SIMN (chứng minh phần a) Từ (1) (2) suy SEDNI +SIMN =SKIMF+SIKE SEDNI +SIKE =SKIMF +SIMN

Vậy SEDNK =SKNF Câu (2 điểm) Cho

2 4

1

x y

a b a b

 + =

 

+ =

 +



Chứng minh

( )

2014 2014

1007 1007 1007

2

x y

a +b = a b+

Hướng dẫn Ta có:

( 2 2)2

4 4

1 x y

x y x y

a b a b a b a b

+

+ =  + =

+ + (vì

2

1

x +y = )

( )( 4) ( 2 4)

2

a b bx ay ab x x y y

 + + = + +

4 4 4 2

2

abx a y b x aby abx abx y aby

 + + + = + +

2 2

2

a y abx y b x

 − + =

( 2 2)2

0

ay bx

 − =

2

2 x y

ay bx

a b

 =  =

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

2 2

1

x y x y

a b a b a b

+

= = =

+ +

2

1

,

x y

a a b b a b

 = =

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11

Vậy

( )

1007 1007 1007 1007

2014 2014 2

1007 1007 1007

1

x y x y

a b a b a b a b a b

       

+ =  +  =  +  =

+ +

    +

   

Câu (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức B (x 4)(x 9) x

+ +

= với (x0)

Hướng dẫn Ta có:

( 16)( 9)

25 144 144

25

x x x x

C x

x x x

+ + + +

= = = + +

Vì x 144

x số dương có tích khơng đổi nên có tổng nhỏ

144

12

x x

x

 =  =

Vậy C=49 =x 12

Đề số

Câu Giải phương trình:

18 42 13

1 30

11 20

9

2

2 + + + + + + + + =

x x

x x x

x

Câu

a Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với n chẵn

b Tìm giá trị lớn biểu thức B =

2

x x

+

− với x số nguyên

Câu Cho a, b, c khác đôi 1

a+ + =b c Rút gọn biểu thức:

2 2

1 1

2 c 2ac 2ab

M

a b b c

= + +

+ + +

Câu Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M BD cho MB  MD Đường thẳng qua M song

song với AB cắt AD BC E F Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB CD K H

a Chứng minh: KF // EH

b Chứng minh: đường thẳng EK, HF, BD đồng quy c Chứng minh: SMKAE = SMHCF

Câu Tìm GTNN

2

3

2

x x

A

x x

− +

=

− +

ĐÁP ÁN

Câu Giải phương trình:

18 42 13

1 30

11 20

9

2

2 + + + + + + + + =

x x

x x x

x

( )( )

2

9 20

(12)

( )( )

2 11 30 5 6

x + x+ = +x x+

( )( )

2

13 42

x + x+ = x+ x+

ĐKXĐ: x−4;x−5;x−6;x−7

Giải phương trình:

1 1

(x+4)(x+5)+(x+5)(x+6)+(x+6)(x+7) =18 18

1 6 5

= + − + + + − + + + −

+ x x x x x

x

18

= + −

+ x

x

( ) ( ) ( )( )

18 x+ −7 18 x+ = +4 x x+4

(x+13)(x− =2)

13

x x

= −    =



Câu a) Vì n chẵn nên n = 2k (k  Z) Do n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k

= 8k3 + 4024k = 8k3 - 8k + 4032k

= 8k(k2 - 1) + 4032k = 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k lập luận suy điều phải chứng minh

b) Nhận xét : B =

2

x x

+

− với x2 mà x−2 > với x2 nên:

Nếu x + < x < -1 B < Nếu x + = x = -1 B = Nếu x + > x > -1 B > Suy B đạt giá trị lớn x > -1 Do x số nguyên, x2, x > -1

Nên ta xét trường hợp sau

x = B =

2 (1)

x = B = (2)

x > B =

2

x x

(13)

Với x > ta có B =

2

x x

+ − =

3

2

x +

−

B lớn

2

x− lớn

mà > x >  x - > nên:

2

x− lớn x - nhỏ x - nguyên  x - = 

x = B = (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn x = Câu

Theo đề ta có:

1 1

0

a+ + =b c

0

bc ac ab

abc

+ +

 =

0

ab ac bc

 + + =

bc ab ac

 = − −

Ta có:

2

a + bc=a +bc+bc

( ) ( )

( )( )

2

a bc ac ab a a c b a c

a c a b

= + − −

= − − −

= − −

Tương tự ta có:

( )( )

2

2 =

b + ac b a b c− −

( )( )

2

2 =

c + ab c a c b− −

Vậy 2 2 2

2 c 2ac 2ab

M

a b b c

= + +

+ + +

( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 )

M

a c a b b a b c c a c b

= + +

− − − − − −

( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 )

M

a c a b a b b c a c b c

= − +

− − − − − −

(b c a c a b)( )( )

M

a b a c b c − − + + − =

− − −

( )( )( )

M

a b a c b c

= =

(14)

Câu

a) Chứng minh: KF // EH

Chứng minh được: BK MF

AK = ME

Chứng minh được: MF BF BF

ME = DE = FC (hệ định lý Ta - lét)

Suy BK BF

AK = FC  KF // AC (Định lý Ta - lét đảo)

Chứng minh tương tự ta có EH // AC Kết luận KF // EH

b) Chứng minh: đường thẳng EK, HF, BD đồng quy

Gọi giao điểm BD với KF HE O Q N giao điểm AC BD

Chứng minh OK QE

OF =QH =

Gọi giao điểm đường thẳng EK HF P, giao điểm đường thẳng EK DB P’ Chứng minh P P’ trùng

Kết luận đường thẳng EK, HF, BD đồng quy c) Chứng minh: SMKAE = SMHCF

Kẻ EG FI vng góc với HK, I G thuộc HK Chỉ : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI

Chứng minh được: MK KB

MH = HD

Suy MK MF

MH = ME

Chứng minh được: MF FI

ME = EG

Suy raMK FI

MH = EG, suy MK.EG = MH.FI

Suy điều phải chứng minh

I

G M

P

O

Q

N

H

K

F E

D C

(15)

Câu

Đặt x− =  = +1 y x y Ta có:

( ) ( )

2 2

2

3

1 1

y y y y

A

y

y y

+ − + + − +

= =

+ − + +

2

3

A

y y

= − +

Đặt z

y =

2

3

A z z

 = − +

2

A=z − z+ +

( )2

1 2

A= z− + 

Vậy A=  =  =  =2 z y x

Đề số

Câu 1.(2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2013 2012 2013

x + x + x+

b) Rút gọn biểu thức sau

2

2 2

1

2 8

x x x

A

x x x x x x

 −  

= −  − − 

+ − + −  

 

a) Giải phương trình sau:

2 2 2

(2x + −x 2013) +4(x −5x−2012) =4(2x + −x 2013)(x −5x−2012)

b) Chứng minh với m, n, p, q ta cóm2+n2+p2+q2+ 1 m n( + + +p q 1) Câu 3.(2,0 điểm)

Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x+2 dư 10, f(x) chia cho x−2dư 24, f(x) chia cho x2−4 thương 5− x dư

Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N

a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật

b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC=2EF

d) Chứng minh 12 2 2

AD = AM + AN

Câu Cho a b c, , ba số dương thoả mãn abc=1 Chứng minh :

3 3

1 1

( ) ( ) ( )

a b c+ +b c+a +c a b+ 

(16)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 Câu 1

a) Ta có x4+2013x2+2012x+2013

=(x4−x)+2013x2+2013x+2013 = x x( −1)(x2+ + +x 1) 2013(x2+ +x 1) =(x2+ +x 1)(x2− +x 2013)

Kết luận x4 +2013x2+2012x+2013=(x2+ +x 1)(x2− +x 2013)

b) ĐK:

2

x x

    

Ta có

2

2 2

A

2 8

x x x

x x x x x x

 −  

= −  − − 

+ − + −  

 

2 2

2( 4) 4(2 ) (2 )

x x x x x

 −  − − 

= −  

+ − + −

  

2 2

2 2 2

2 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2) 2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4)

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

 −  + −   − +  + − 

= −  =  

+ + −   − +  

   

3 2

2 2

4 4 ( 4)( 1)

2( 4) ( 4)

x x x x x x x x x

x x x x x

− + + + + + +

= = =

+ +

Vậy A

2

x x +

= với

2

x x

     Câu 2

a) Đặt:

2

2 2013

5 2012

a x x

b x x

 = + −

 

= − −



Phương trình cho trở thành:

a2+4b2 =4ab(a−2 )b =  −0 a 2b=  =0 a 2b

Khi đó, ta có: 2 2

2x + −x 2013=2(x −5x−2012)2x + −x 2013=2x −10x−4024 2011

11 2011

11

x x −

 = −  =

Vậy phương trình có nghiệm 2011

11

x=−

b) Ta có

2

3 3

y x 2x 3x 2 x x y

4

 

− = + + =  +  +   

  (1)

2

3 15

(x 2) y 4x 9x 2x y x

4 16

 

+ − = + + = +  +    +

(17)

Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0)

Câu

a) Giả sử f(x) chia cho x2−4 thương −5x dư ax b+

Khi đó:

f ( )x =(x −4).( ) ax+b− x +

Theo đề bài, ta có:

7

(2) 24 24

2

( 2) 10 10

17

f a b a

f a b

b 

= + = =

  

 − = − + = 

   =

Do đó:

f ( ) ( 4).( ) x+17

x = x − − x +

Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( ) 47 17

2

x = − x + x+

b) Ta có: a b c b c a( − )( + − )2+c a b a b c( − )( + − )2−b a c a c b( − )( + − )2 =0 (1)

Đặt:

2

x z a

a b c x

x y

b c a y b

a c b z

y z c

+  =  + − =

 

+  + − = = =

 

 + − = 

  = +



Khi đó, ta có:

VT(1) 1( )( )

2 2 2

x z x y y z y z x z x y

y x x y x y z

+  + +  +  + + 

=  −  +  −  − + −

   

1( 2)

2 2

x z x z y z z y

y x x y z

+ − + −

= + − −

1( 2) 1( 2) 1( 2)

4 x z y z y x x y z

= − + − − −

2 2 2 (1)

1

( ) ( ) VP

4 x y z x y z

= − − − = = (đpcm)

(18)

a) Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH )

AB = AD ( gt)

BAF = ADM = 900 (ABCD hình vng) ΔADM = ΔBAF(g.c.g)

=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM

Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành

Mặt khác.DAE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật

b) Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)

AB BH

=

AF AH

= hay BC= BH

AE AH ( AB=BC, AE=AF)

Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) ΔCBH ΔEAH

 (c.g.c)

2 ΔCBH

ΔEAH

S BC

=

S AE

 

  

  , mà

ΔCBH ΔEAH

S

=

S (gt)

2

BC = AE

 

   nên BC2 = (2AE)2

 BC = 2AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

c) Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có:

 AD= AM

CN MN

AD CN

=

AM MN

 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có:

N M H

F

E

D C

(19)

MN = MC AB = MC

AN AB AN MN

  hay AD= MC

AN MN



2 2 2 2 2

2

AD AD CN CM CN + CM MN

+ = + = = =

AM AN MN MN MN MN

       

       

       

(Pytago)



2

AD AD

+ =

AM AN

   

   

    2

1 1

AM AN AD

= + = (đpcm)

Câu

Ta có:

2 2

3 3

1 1

( ) ( ) ( )

a b c

a b c+ +b c a+ +c a b+ =ab ac+ +bc ab+ +ac bc+

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

2

2 2

1 1 1

1 1

2( )

2

a b c a b c

a b c

ab ac bc ab ac bc ab bc ac

a b c

 + +   + + 

   

   

+ +  =

+ + + + +  + + 

 

 

(Vì abc=1)

Hay

2 2

1 1

2

a b c

ab ac bc ab ac bc a b c

 

+ +   + + 

+ + +  

Mà 1

a+ + b c nên

2 2

1 1

3

a b c

ab+ac+bc+ab+ac bc+ 

Vậy 3 3 3

( ) ( ) ( )

(20)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	718,04 KB