Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chứng minh rằng nếu tổng [r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS LƯƠNG PHONG ĐỀ THI HSG LỚP
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phút) Đề số
Câu
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau 9x2+y2+2z2−18x+4z−6y+20=0 b) Giải phương trình x4−30x2+31x−30=0
Câu
a) Giải phương trình 148 169 186 199 10
25 23 21 19
x x x x
− − − −
+ + + =
b) Chứng minh rằng A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn Câu
a) Tìm giá trị x để biểu thức:
( 1)( 2)( 3)( 6)
P= x− x+ x+ x+ có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
b) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho
Câu
Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF ⊥ AD
a) Chứng minh DE=CF
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu
a) Chứng minh rằng 12 12 14 12
2 100
P= + + + +
b) Cho a, b, c ba số khác thoả mãn a b c+ + =2016 1 1
2016
a+ + =b c
Chứng minh rằng ba số a, b, c tồn hai số đối
ĐÁP ÁN
Câu (2 điểm)
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2+y2+2z2−18x+4z−6y+20=0 Ta có:
2 2
9x +y +2z −18x+4z−6y+20=0
( )2 2 2 2 ( 2 )
3x −2.3 3x + +y −2 .3 3y + +2 z +2z+ =1
( ) (2 )2 ( )2
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Vì (3x−3)2 0;(y−3)20; 2(z+1)2 0 với x, y, z nên:
3
x y z
= = = −
b) Giải phương trình: x4−30x2+31x−30=0
Hướng dẫn
4
30 31 30
x − x + x− =
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
4
4
2
2
30 30 30
30
1 30
1 30
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
− − + + =
+ − − + =
+ − + − − + =
− + + − =
Ta có:
2
2
1
2
x − + =x x− +
với x nên suy ra:
( )( )
2
30
5
5
x x
x x
x x
+ − =
− + =
= = −
Câu
a) Giải phương trình: 148 169 186 199 10
25 23 21 19
x x x x
− + − + − + − =
Hướng dẫn
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
− + − + − + − =
148 169 186 199
25 23 21 19
x x x x
− − − −
− + − + − + − =
( ) 1 1
123
25 23 21 19
x
− + + + =
Vì 1 1
25 23 21 19
+ + +
nên 123 – x = 0, suy x = 123
b) Chứng minh rằng: A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn Hướng dẫn
3
6
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
3
6
A=n + n + n
( )
6
A=n n + n+
( 2)( 4)
A=n n+ n+
Vì n là số chẵn nên đặt n=2k k( ), đó:
( )( )
2 2
A= k k+ k+
( )( )
8
A= k k+ k+
( )( )
3
2
A= k k+ k+
Vì k k( +1)(k+2) là tích số tự nhiên liên tiếp nên: - Tồn số là bội nên k k( +1)(k+2 2) nên A16
- Tồn số là bội nên k k( +1)(k+2 3)
Vậy A chia hết cho 3, 16 mà (3,16)=1 nên A 3.16=48 Câu (2 điểm)
a) Tìm giá trị x để biểu thức: ( 1)( 2)( 3)( 6)
P= −x x+ x+ x+ có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
b) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho
Hướng dẫn
( 1)( 2)( 3)( 6)
P= −x x+ x+ x+
( )( )
( )
2
2
5 6
5 36
P x x x x
P x x
= + − + +
= + −
Vì (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2 −36 −36 Do Min P
= -36 (x2+5x)2 =0
Từ ta tìm x = hoặc x = -5 P = -36
b) Gọi hai số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho
Ta có:
( )( )
3 2
a +b = a+b a −ab b+
( ) ( )
3 2
2
a +b = a b+ a + ab b+ − ab
( ) ( )2
3
3
a +b = a b+ a b+ − ab
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
M F
E
D C
B A
Do (a b+ ) ( a b+ )2−3ab chia hết cho Câu (3 điểm)
Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD
a) Chứng minh: DE=CF
b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Hướng dẫn
a) Chứng minh: AE=FM=DF
AED= DFC đpcm
b) DE, BF, CM là ba đường cao EFC đpcm c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi
ME MF a
+ = không đổi
AEMF
S ME.MF
= lớn ME=MF (AEMF hình vng)
M
là trung điểm BD
Câu Chứng minh rằng: 12 12 14 12
2 100
P= + + + +
Hướng dẫn
2
1 1
2 100
P= + + + +
1 1
2.2 3.3 4.4 100.100
= + + + +
1 1
1.2 2.3 3.4 99.100
+ + + +
1 1 1
1
2 99 100
= − + − + + − 1 99
100 100
= − =
Đề số
Câu
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ +7) 15 b) Cho (a b− ) (2+ −b c) (2+ −c a)2 =4(a2+ + −b2 c2 ab ac bc− − )
Chứng minh rằng a= =b c
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Câu Tìm số dư phép chia biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức
2
10 21
x + x+
Câu Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho
BD= AE Xác định vị trí điểm D, E cho:
a) DE có độ dài nhỏ
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Câu
a) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c số đo ba cạnh tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì số x=9a+4b+8c; y=4a+ +b 4c; z=8a+4b+7c số đo ba cạnh tam giác vuông khác
Câu
a) Tìm số x, y nguyên dương biết 6x+5y+18=2xy
b) Tìm số nguyên x, y biết 5x−3y=2xy−11
ĐÁP ÁN
Câu
a) A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ +7) 15
( )( )( )( )
( )( )
1 15
8 15 15
A a a a a
A a a a a
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
8
a + a+ =t, ta có:
( )
( )( )
2
8 15
8 15
3
A t t A t t
A t t
= + +
= + +
= + +
Do
( )( )
( )( )
2
2
8
8 10 12
A a a a a
A a a a a
= + + + + + +
= + + + +
( )( )( )
8 10
A= a + a+ a+ a+
b) Ta có:
( ) (2 ) (2 )2 ( 2 2 2 )
4
a b− + −b c + −c a = a + + −b c ab ac bc− −
bc ac ab c
b a ac a
c bc c
b ab b
a2 + −2 + + −2 + + +2 =4 +4 +4 −4 −4 −4
) (
) (
)
(a2 +b2 − ac + b2 +c2 − bc + a2 +c2 − ac =
0 ) ( ) ( )
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Vì (a−b)2 0;(b−c)2 0;(a−c)2 0; với a, b, c
nên (*) xảy (a−b)2 =0;(b−c)2 =0 (a−c)2 =0
Vậy a= =b c Câu
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
4
4
2 2
2
2
2 3 4 5
2 2 4 2 3
2 2 2 2 3
2 2 1 3 2 1 3
A a a a a
A a a a a a
A a a a a a
A a a a
A a a
= − + − +
= + − − + + +
= + − + + + +
= + − + +
= + − +
Vì (a2+2)(a−1)2 0 với a nên A3
Vậy giá trị nhỏ A= − = =3 a a Câu (2 điểm)
Tìm số dư phép chia biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức
10 21
x + x+
Hướng dẫn
( )( )( )( ) ( )( )
( ) 2016 10 16 10 24 2016
P x = x+ x+ x+ x+ + = x + x+ x + x+ +
Đặt
10 21 ( 3; 7)
t=x + x+ t − t − , biểu thức P(x) viết lại:
( )( )
( ) 2016 2001
P x = −t t+ + = − +t t
Do
2 2001
t − +t cho ta số dư là 2001
Câu (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho:
a) DE có độ dài nhỏ
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Hướng dẫn
a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x ( 0 x a)
E D
C B
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Ta có:
( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
AD AE DE
a x x DE
DE a ax x x
DE a ax x
+ =
− + =
= − + +
= − +
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
a a a
DE x x
a a
DE x
a DE
= − + +
= − +
Vậy DE nhỏ bằng
2
2
a a
x =
Khi D, E là trung điểm AB, AC b) Diện tích tam giác ABC là:
2a
Diện tích tam giác ADE là: 1( ) a−x x
Khi diện tích tứ giác BDEC là:
( )
2
2
1
2
1 1
2 2
a a x x
a ax x
− −
= − +
2
2
2 2 2
1
2
2 4
1 3
2 8
a a a
x x
a a a
x
= − + +
= − +
Vậy diện tích tứ giác BDEC nhỏ bằng
2
3
8
a a
x =
Khi D, E là trung điểm AB, AC Câu
a) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích bằng số đo chu vi
Hướng dẫn
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
( )
2
xy= x+ +y z (1) x2+y2 =z2
Từ 2
x +y =z ( )2
2
z x y xy
= + − thay vào (1) ta có:
( )2 ( )
2
4
z = x+y − x+ +y z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
4
4 4
2
z z x y x y
z z x y x y
z x y
+ = + − +
+ + = + − + +
+ = + −
2
z x y
+ = + −
4
z x y
= + − thay vào (1) ta được:
( )
( ) ( )
2
4
4
4 4 16
xy x y x y
xy x y
xy x y
x y y
= + + + −
= + −
− − = −
− − − − = −
(x−4)(y− =4)
(x−4)(y− =4) 1.8=2.4
Từ tìm giá trị x, y, z là: (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13) (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10)
b) Theo đề ta có 2
a =b +c
Ta có: x=9a+4b+8cx2 =81a2+16b2+64c2+72ab+144ac+64bc mà a2 =b2+c2
( )
2 2 2
81 16 64 72 144 64
x b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
97 145 72 144 64
x b c ab ac bc
= + + + + (1)
2 2
4 16 16 32
y= a b+ + cy = a +b + c + ab+ ac+ bc mà a2 =b2+c2
( )
2 2 2
16 16 32
y b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
17 32 32
y b c ab ac bc
= + + + + (2)
2 2
8 64 16 49 64 112 56
z= a+ b+ cz = a + b + c + ab+ ac+ bc mà 2
a =b +c
( )
2 2 2
64 16 49 64 112 56
z b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
80 113 64 112 56
z b c ab ac bc
= + + + + (3)
Từ (2) (3) ta có y2+z2 =97b2+145c2+72ab+144ac+64bc (4) Từ (1) (4) suy x2 = y2+z2
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Đề số
Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = 23 3
1 1
x x x
x x x x
− +
− +
+ − + +
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị A dương với x ≠ -
Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình: a) x2−3x+ + − =2 x
b) ( )
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
+ + + − + + = +
Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ và x + y =
Chứng minh rằng: 3 3 2(2 2 2)
1
xy
x y
y x x y
−
+ −
− − + =
Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với x Q giá trị đa thức : M = (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 16 là bình phương số hữu tỉ
Câu (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m=AB
2 Gọi M là trung điểm đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính
số đo góc AHM
Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD
BC = AH +HC ĐÁP ÁN Câu
a) Rút gọn: A = 23 3
1 1
x x x
x x x x
− +
− +
+ − + + =
( ) ( )( )
( )( )
2
2
1 3
1
x x x x x x
x x x
− + − + − + +
+ − +
=
( )( )
( )( )
( )( )
2
3 2
2
2
1
2 1
1
1 1
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x
+ + +
+ + + = = + +
− +
+ − + + − +
b) Với x ≠ - A =
2
1
x x
x x
+ + − + =
2
1
2
1
2
x x
+ +
− +
Vì
2
1 3
0; 0, 0,
2 4
x x x A x
+ + − + − −
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Câu
a) * Với x (*) x - x− = −1 x ta có phương trình
x2 -3x + + x-1 = x2−2x+ = 1 (x−1)2 = =0 x 1( Thoả mãn điều kiện *) * Với x< (**) x - x− = −1 x ta có phương trình
x2 -3x + + - x = x2−4x+ = 3 (x−1)(x− =3) + x - = =x 1( Không thỏa mãn điều kiện **)
+ x - = =x ( Không thoả mãn điều kiện **) Vậy nghiệm phương trình là : x =
b) * Điều kiện x ≠ (1)
* pt ( )
2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
+ + + + − + = +
( )
2
2
2 2
2 2
1 1
8 x x x x x
x x x x
+ + + + + − + = +
( )2 ( )
16= x+4 x x+8 = =0 x 0hoặc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy nghiệm phương trình x = -
Câu
Ta có y3− =1 (y−1)(y2+ + = −y 1) x y( 2+ +y 1)vì xy x, y x, y y-1 x-1
( )( ) ( )
3
3 2
3
1
1
1
1 1
1
x
y y y
y
x x x x y x x
x x x
−
=
− + +
−
− = − − + = − − + =
− + +
3 2
1
1 1
x y
y x y y x x
− −
+ = +
− − + + + +
( )( ) ( () ) ( ( ) ) ( )
( )
2
2
2
2 2
2 3 2
2
1
1
2
4
0
3 1
x y xy x y
x x y y
x x y y x y x y xy xy x y xy x y
xy
xy x y
x y y x x y
+ + + + + + − + + +
= − = −
+ + + + + + − + + + + + +
− −
= − + − =
+ − − +
Câu
Ta có: M = (x2−10x+16)(x2−10x+24)+16
Đặt a = x2 - 10x + 16 suy M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
M = x2 - 10x + 20 )2 ( đpcm)
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11
a) + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung
CD CA
CE =CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC= ADC=1350(vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên AEB=450 tam giác ABE vng cân A Suy ra: BE=AB 2=m
b) Ta có: 1
2
BM BE AD
BC = BC = AC (do BEC ADC)
mà AD= AH (tam giác AHD vuông vân H)
nên 1
2 2
BM AD AH BH BH
BC = AC = AC = AB = BE (do ABH CBA)
Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM =BEC=1350 AHM =450
c) Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
GC = AC , mà ( ) ( // )
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC = DC = HC = HC
Do đó: GB HD GB HD GB HD
GC = HC GB GC+ = HD+HC BC = AH +HC
Đề số Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A =
2
1 1 :
1 1
x x x
x x
x x
+ − −
−
− − −
với x khác -1
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x
3
−
=
c, Tìm giá trị x để A <
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12
Cho (a−b) (+ b−c) (+ c−a) = (a2 +b2 +c2 −ab−ac−bc)
2
2
.
4
Chứng minh rằng a =b =c
Bài (3 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4 −2a3 +3a2 −4a+5
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm BD, BC, CD
a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh rằng OM = ON
b, Chứng minh rằng
MN CD AB 1 = +
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD
ĐÁP ÁN Câu 1:
a) Với x khác -1 :
A= ) ( ) )( ( ) )( ( : 1 2 x x x x x x x x x x x + − + − + + − − + − − = ) )( ( ) )( ( : ) )( ( 2 x x x x x x x x x x + − + + − − − + + − = ) ( : ) ( x x − +
= (1+x2)(1−x) b) Tại x =
3 − =
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13
27 10 27 272
34 = =
=
c) Với x khác -1 A<0 (1+x2)(1−x)0 (1) Vì 1+x2 0 với x nên (1) xảy 1−x0x1 KL
Câu 2:
Biến đổi đẳng thức để
bc ac ab c
b a ac a
c bc c
b ab b
a2 + −2 + + −2 + + +2 =4 +4 +4 −4 −4 −4
Biến đổi để có (a2 +b2 −2ac)+(b2 +c2 −2bc)+(a2 +c2 −2ac)=0 Biến đổi để có (a−b)2 +(b−c)2 +(a−c)2 =0 (*)
Vì (a−b)2 0;(b−c)2 0;(a−c)2 0; với a, b, c
nên (*) xảy (a−b)2 =0;(b−c)2 =0 (a−c)2 =0; Từ suy a = b = c
Câu 3:
Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm
11
+ x
x
(x
số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số
15
+ − x
x
(x khác -15)
Theo bài ta có phương trình
11
+ x
x
=
7 15
− + x x
Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn)
Từ tìm phân số
6
− Câu
Biến đổi để có A=a2(a2 +2)−2a(a2 +2)+(a2 +2)+3 =(a2 +2)(a2 −2a+1)+3=(a2 +2)(a−1)2 +3
Vì +20
a a (a−1)2 0a nên (a2 +2)(a−1)2 0a (a2 +2)(a−1)2 +33a
Dấu = xảy a−1=0 a=1
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14
a) Chứng minh tứ giác AMNI hình thang
Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân
b) Tính AD = cm
3
; BD = 2AD = cm
3
AM = BD =
2
cm
3
Tính NI = AM = cm
3
DC = BC = cm
3
, MN = DC =
2
cm
3
Tính AI = cm
3
Câu
a) Lập luận để có
BD OD AB OM
= ,
AC OC AB ON
=
Lập luận để có
AC OC DB OD =
AB ON AB OM
= OM = ON
b) Xét ABDđể có
AD DM AB
OM =
(1), xét ADCđể có
AD AM DC
OM =
(2)
Từ (1) (2) OM.(
CD AB
1
+ )= + = =1
AD AD AD
DM AM
N
I M
D C
A B
O N
M
D C
(15)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15
Chứng minh tương tự ON.( + )=1
CD
AB
từ có (OM + ON).( + )=2
CD
AB AB CD MN
2 1
= +
c)
OD OB S
S AOD
AOB = ,
OD OB S
S DOC
BOC = =
AOD AOB S S
DOC BOC S S
SAOB.SDOC =SBOC.SAOD
Chứng minh SAOD =SBOC
) ( DOC AOD AOB S S
S =
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
Đề số
Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
b) x4+2014x2+2013x+2014
Câu
a) Tìm x, biết: ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2013 2013 2014 2014 19
49
2013 2013 2014 2014
x x x x
x x x x
− + − − + −
=
− − − − + −
b) Chứng minh rằng với số nguyên n ta có
B=a −a chia hết cho 30 Câu
Cho tam giác ABC vuông A, D là điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Câu
Tìm tất số phương gồm chữ số biết rằng ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số chính phương
Câu
Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014 Tính a2015+b2015 ĐÁP ÁN
Câu (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
b)
2014 2013 2014
(16)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16
Hướng dẫn
a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3 3
2 2 2 2
2
x y z x y z
y z x y z x y z x x y z y yz z
= + + − − −
= + + + − + + + − + − +
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2
3 3
3
y z x xy yz xz y z x x y z x y y z x y x z
= + + + +
= + + + +
= + + +
b) x4+2014x2+2013x+2014
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
4
3
2
2
2014 2014 2014
1 2014
1 2014
1 2014
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
= − + + +
= − + + +
= − + + + + +
= + + − +
Câu (2 điểm)
a) Tìm x, biết: ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2013 2013 2014 2014 19
49
2013 2013 2014 2014
x x x x
x x x x
− + − − + −
=
− − − − + −
b) Chứng minh rằng với số nguyên n ta có: B=a5−a chia hết cho 30 Hướng dẫn
a) ĐKXĐ: x2013;x2014
Đặt x−2014=a a( 0) Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 19
49
1
a a a a
a a a a
+ − + +
=
+ + + +
2
2
1 19
3 49
49 49 49 57 57 19
a a
a a
a a a a
+ +
=
+ +
+ + = + +
( )( )
2
8 30
2
3
a a
a a
a a
+ − =
− + =
=
(17)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17
4031
x
= hoặc 4023
2
x=
b) Ta có:
5 B=a −a
( )
1
B=a a −
( )( )
1
B=a a − a +
( )( )
1
B=a a − a − +
( )( ) ( )
1
B=a a − a − + a a −
( )( ) ( )( ) ( )
2 1
B= a− a− a a+ a+ + a a −
Vì (a−2)(a−1) (a a+1)(a+2) là tích số tự nhiên liên tiếp nên tồn số là bội 5, (a−2)(a−1) (a a+1)(a+2 5) (1)
( )
5a a −1 5(2)
Từ (1) và (2) suy B
Câu (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, D là điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn
a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E= = =A F 90o)
Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC
E F
A B
C
(18)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 18
b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ nhất, AD nhỏ D hình chiếu A BC Câu (2 điểm)
Tìm tất số chính phương gồm chữ số biết rằng ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương
Hướng dẫn
Gọi số phải tìm abcd với a b c d, , , , 0a b c d, , , 9,a0
Theo đề ta có:
( )( )( )( )
2
2
1
abcd k
a b c d m
=
+ + + + =
Suy ra:
2
2
1353
abcd k
abcd m
=
+ =
với k m, , 31 k m 100
Do 2
1353
m −k =
(m k− )(m k+ )=123.11 41.33= Vì k m, nên m k+ −m k Do đó:
123 67
11 56
m k m
m k k
+ = =
− = =
hoặc
41 37
33
m k m
m k k
+ = =
− = =
Kết luận abcd = 3136 Câu (2 điểm)
Cho a, b dương và 2012 2012 2013 2013 2014 2014
a +b =a +b =a +b
Tính a2015+b2015 Hướng dẫn Ta có:
2012 2012 2013 2013 2014 2014
a +b =a +b =a +b
( )( 2012 2012) ( 2011 2011) 2014 2014
a+b a +b − a +b ab=a +b
1
a b ab
+ − = (vì a2012+b2012 =a2013+b2013 =a2014+b2014)
( 1)( 1)
1
a b
a b
− − =
= =
(19)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 19
Với a = b2012 =b2013 =b hoặc b=0 (loại) Với b = 2012 2013
1
a =a =a hoặc a=0 (loại)
Vậy a = 1, b =
Do 2015 2015
2
(20)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 20
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học và trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường và đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -