Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Ngọc Sơn

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân.. Hay A là một số nguyên.. c) Ch[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS NGỌC SƠN ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số

Câu

a) Tìm x;yZthoả mãn 5x2−4xy+ y2 =169

b) Chứng minh với số nguyên n biểu thức:

2

3

n n n

A= + + có giá trị số nguyên Câu

a) Cho hai số a b So sánh hai số 2

a x

a a

+ =

+ +

1

b y

b b

+ =

+ +

b) Tìm x, biết 6

1000 999 998 997 996 995

x+ +x+ +x+ +x+ +x+ + x+ + =

Câu

Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC hình vng ABCD Các đường thẳng DN CM cắt I Chứng minh tam giác AID tam giác cân

Câu

Tìm cặp số nguyên (x y z; ; ) thỏa mãn phương trình:

( )

2 2

4064497 15 2014

x +y + +z = x+ y+ z

Câu Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24

ĐÁP ÁN

Câu (2 điểm)

a) Tìm x;yZthoả mãn: 5x2 −4xy+ y2 =169 b) Chứng minh với số nguyên n biểu thức:

2

3

n n n

A= + + có giá trị số nguyên Hướng dẫn

a) Ta có:

169

5x2− xy+ y2 =

( )

2 2

4 169

2 169

x xy y x x y x

 − + + =

 − + =

( ) ( )

2 2

2 144 25

2 169

x y x I

x y x II

 − + = +

  

− + = +



(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | ( ) ( ) 2 2 2 2 5 12 ; 22 12 12 ; 19 29 12 x x x y y y x x x x y y y x  − =  =   =      =  =   =   − =  =   =      =  =   = 

Từ (II) ta có: ( ) ( ) 2 2 2 13 13 13 26 13 x x y y x x x y y x  − =  =     =   =   − =  =      =   = 

Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5; ; 5; 22 ; 5; ; 5; 22 ; 12; 19 ; 12; 29 ,

12;19 ; 12; 29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13; 26 ; 13; 26

x y   − − − − − − 

− − − − −

 

 

b) Ta có:

2

3

n n n

A= + +

( )( )

2 1 2

2

6

n n n

n n n

A= + + = + +

Vì n n( +1)(n+2) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên n n( +1)(n+2) n n( +1)(n+2) mà

( )2,3 =1 Do n n( +1)(n+2) Hay A số nguyên

Câu (2 điểm)

a) Cho hai số a b So sánh hai số 2 a x a a + =

+ +

1 b y b b + = + +

b) Tìm x, biết: 6

1000 999 998 997 996 995

x+ +x+ +x+ +x+ +x+ + x+ + =

Hướng dẫn Vì x y, 0, ta có:

2

2 2

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1

1 1 1

1

x y

a a a

a

a a

a a a b b

= = = =  =

+ + + + + +

+

+ + + +

Vì a b nên 12 12

a b

1

ab

(3)

1

1 1 1

1000 999 998 997 996 995

x+ + +x+ + +x+ + +x+ + +x+ + + x+ + =

1001 1001 1001 1001 1001 1001

0

1000 999 998 997 996 995

x+ + x+ + x+ +x+ +x+ +x+ =

( ) 1 1 1

1001

1000 999 998 997 996 995

x+  + + + + + =

 

Vì 1 1 1

1000+999+998+997+996+995 nên x= −1001 Câu

Câu

0

à 90 90

90

DCN CBM NDC CBN

M MCB MCD NDC MCD

DIC DN MC

 =   =

+ =  + =

 =  ⊥

goi K trung điểm DC nên AM=KC, AM KC

Nên AMCK hình bình hành

à DN MC AK DN

AK MC M



⊥  ⊥

Hay AK⊥DI (1)

Goi L giao điiểm DN AK K trung điểm DC AK MC

suy AK qua trung điểm DI nên L trung điểm DI (2) Từ (1) (2) suy tam giác AID cân A

Câu

Đặt x− =  = +1 y x y Ta có: ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

3

1 1

y y y y

A

y

y y

+ − + + − +

= =

+ − + +

I L

K

N M

C

A B

(4)

2

3

A

y y

= − +

Đặt z y =

2

3

A z z

 = − +

2

A=z − z+ +

( )2

1 2

A= z− + 

Vậy A=  =  =  =2 z y x

Đề số

Câu

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2

2 4

x − xy+y + x− y−

b) Chứng minh * n N

 

2

n + +n hợp số

c) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ

Câu

a) Giải phương trình 2016 2016

2016 2015 2014

x− x− x− x−

+ + + + =

b) Cho 2 3

1

a +b +c =a +b +c = Tính 2014 2015 S=a +b +c

Câu

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=2x2+3y2+4xy−8x−2y+18 b) Cho a; b; c ba cạnh tam giác

Chứng minh ab bc ac a b c a+ −b c+− + +a b c+a b− +c  + +

Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F; G; H trung điểm cạnh AB, BC; CD; DA M giao điểm CE DF

a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng b) Chứng minh DF⊥CE MAD cân c) Tính diện tích MDC theo a

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) (x - y)2 +4(x - y) - = (x - y)2 + 4(x - y)2 + -9 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)

b) Ta có: n3 + n + = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) =(n+1)( n2 - n + 2)

(5)

c) Gọi hai số a2 (a+1)2

Theo ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) +

= ( a2 + a + 1)2 số phương lẻ a2 + a = a(a + 1) số chẵn  a2 + a + số lẻ

Câu 2.

a) Phương trình cho tương đương với:

1 2012

1 1 2012 2012

2012 2011 2010

x− − + x− − + x− − + +x− − + = 

2013 2013 2013 2013

2012 2011 2010

x− +x− +x− + + x− =  1 1

( 2013)( )

2012 2011 2010

x− + + + + = x =

2013

b) a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1a; b; c  − 1;1

a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0

 a3 + b3 + c3  1 a;b;c nhận hai giá trị

b2012 = b2; c2013 = c2;  S = a2 + b 2012 + c 2013 =

Câu

a) Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 

Vậy minA = x = 5; y = -3

b) a; b; c ba cạnh tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0

ta có: x + y + z = a + b + c; ; ;

2 2

y z x z x y

a= + b= + c= +

( )( ) ( )( ) ( )( )

4 4

ab bc ac y z x z x z x y x y y z

a b c a b c a b c z x y

+ + + + + +

+ + = + +

+ − − + + − +

 

1 1

( 3 ) 3( ) (2 2 )

4

1

3( ) ( ) ( ) ( )

4 2

1

3( )

xy yz xz xy yz xz

x y z x y z

z x y z x y

y x z x y z z x y x y z

z x z y y x

x y z x y z x y z

 

+ + + + + =  + + + + + 

 

 

=  + + + + + + + + 

 

 + + + + + = + +

Mà x + y + z = a + b + c nên suy điều phải chứng minh

(6)

a) Chứng minh: EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng

Kết luận Tứ giác EFGH Hình vng

b) BEC= CFD c g c( )ECB=FDC mà CDF vuông C

0

90 90

CDF DFC DFC ECB CMF

 + =  + =  vuông M Hay CE ⊥ DF

Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF GN//CM mà G trung điểm DC nên  N trung điểm DM Trong MAD có AN vừa đường cao vừa trung tuyến  MAD cân A

c) CMD FCD g g( ) CD CM

FD FC

 =

Do :

2

CMD

CMD FCD FCD

S CD CD

S S

S FD FD

   

=   = 

   

Mà :

2

FCD

S = CF CD= CD

Vậy :

2

1

4

CMD CD

S CD

FD

=

Trong DCF theo Pitago ta có :

2 2 2 2

2 4

DF =CD +CF =CD + BC =CD + CD = CD

 

Do :

2

2 2

2

1 1

5 5

4

MCD

CD

S CD CD a

CD

= = =

Đề số

N

M

G

F E

C B

H A

(7)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 1: (4.0 điểm)

Cho biểu thức M =

4 2

6 4

2

1

x x x

x x x x x

+ + − − +

+ − + + +

1 Rút gọn M Tìm x để M ≥

3 Tìm giá trị lớn biểu thức M

Câu 2: (4.0 điểm)

1 Cho số nguyên tố p > số nguyên dương a, b cho: p2 + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12

2 Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn: 2

1

x y

− + − =

− −

Chứng minh M =x +y -xy2 là bình phương số hữu tỷ Câu 3: (4.0 điểm)

1 Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y)+ = 40x+1 Giải phương trình: (3x−2)(x+1) (2 3x+ = −8) 16

Câu 4: (6.0 điểm)

Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M (0<MB<MA) cạnh BC lấy N cho

MON=90 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE

1 Chứng minh ΔMON vuông cân Chứng minh: MN // BE CK⊥BE

3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh: KC+KN+CN=1

KB KH BH

Câu 5: (2.0 điểm)

Cho hai số không âm avà b thoả mãn a +b2 a+b Tìm giá trị lớn biểu thức: 2020

2019

1 1

a b

S

a b

 

= + + 

+ +

 

ĐÁP ÁN Câu

a) M =

( ) ( )( )

4 2

4

2 2

2

1

( 1) 1

x x x

x x

x x x x x

+ − +

+ −

− +

+ − + + +

=

( )

4

4 2

2

2 1

1

( 1)

x x

x x x

+ −

− + +

(8)

= ( )( ) ( )

( ) ( )

4 2 4 4 4 2

2 2

2 1 2 1 1

( 1) ( 1)

x x x x x x x x x

x x x x x x

+ + − + − − + + + − − + −

=

+ − + + − +

=

( ) ( )

4 2 2

4

2 2

( 1)

1

( 1) ( 1)

x x x x x

x x

x x x x x x

+ + = = − + + − + + − + Vậy M= x

x −x + với x

b) Để M ≥

2

4

2

1

x x x



− +

  − +

( )2

1

x

 − 

Do (x2−1)2  0, x

Suy ra: x2 -1 = Vậy x = ±

c) Ta có M=

2

4

1

x

x −x + với x

- Nếu x=0 ta có M=0

- Nếu x0, chia tử mẫu M cho x2 ta có M=

2 1 x x + − Ta có 2 2

1 1

x x x x

   

+ − = − + + = −  + 

    với x0 Nên ta có 2 1 1 M x x =  + −

với x0, dấu “=” xảy x

x

− = x = ±1

Vậy Mmax = x = ±1

Câu

a) Ta có: p2 + a2 = b2  p2 = (b + a)(b - a) Mà ước p2 1; p p2

Do b + a > b – a với a, b nguyên dương p nguyên tố lớn Nên không xảy trường hợp b + a = b – a = p

Do

2

2 (p 1)(p 1)

b a p

a p b a  + =  = − = + −  − =  (1)

(9)

Từ (1) (2) suy (p + 1)(p -1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho (3)

Lại có p nguyên tố p > Nên p không chia hết cho p2 số phương lẻ Do p2 chia dư Suy p2 – chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho

Suy a chia hết cho ( (2, 3) = 1) (4)

Tư (3) (4) suy a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm)

b) Ta có 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

1

x y

x y y x x y

x y

− −

+ =  − − + − − = − −

− −

1− −y 2x+2xy+ − −1 x 2y+2xy= − − +1 x y xy

2

xy

x y +

 + =

Khi đó: M= ( )

2

2 3

3

2

xy xy

x +y −xy= x+y − xy= +  − xy= = − 

   

Vì x, yQ nên

xy−

số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ

Câu

a) Ta có: (x+y)4 =40x+1(1)

Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + < 40x + 40y

Suy 41 +(x y)4  40x+40y

Nên 16 < (x + y)4 (x + y)3 < 40 Suy < x + y < Mà x, y nguyên dương; nên x + y = (2)

Thay (2) vào (1) ta có: 40x + = 34 x = 2, thay vào (2) tìm y = Vậy (x; y) = (2; 1)

b) Ta có (3x−2)(x+1) (2 3x+ = − 8) 16 (3x−2 3)( x+3) (2 3x+ = −8) 144 Đặt 3x+ = 3 t 3x− = −2 t 5;3x+ = +8 t Ta có PT (t−5) (t2 t+ = −5) 144

( )( )

4 2

2

9

25 144 16

4 16

t t

t t t t

t t

 =  = 

 − + =  − − =   = 

=

 



-Xét trường hợp t ta tìm x=0 ; x=−2; x=1 ; x=

7

−

-KL

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

a) -Ta có 0

90 90

BOC= CON+BON= ;

vì MON=900 BOM +BON =900 BOM =CON

-Ta có BD phân giác góc ABC 450

ABC MBO=CBO= =

Tương tự ta có

45

BCD

NCO=DCO= = Vậy ta có MBO=NCO

-Xét OBM OCN có OB=OC ; BOM =CON;MBO=NCO OBM= OCNOM =ON

*Xét MON có

90 ;

MON= OM =ON MON vuông cân O

b) + OBM = OCNMB=NC; mà AB=BC AB MB BC NC AM BN AM BN

MB NC

 − = −  =  =

Ta có AB//CD AB/ /CE AN BN

NE NC

  =

/ /

AM AN

MN BE

MB NE

 =  ( theo định ký Ta- lét đảo )

+ Vì MN//BE BKN =MNO=450 ( góc đồng vị có tam giác MON vng cân)

BNK ONC

   ( có

; 45

BNK=ONC BKN=OCN= ) NB NO

NK NC

 =

Xét BNO;KNCcó BNO=CNK; NB NO

NK = NC  BNO KNC 

0

45

NKC=NBO=

Vậy ta có BKC=BKN+CKN=450+450 =900 CK ⊥BE

c) -Vì KH//OM mà

90

ON ⊥OM OK ⊥KH NKH = , mà NKC=450 CKH =450BKN =NKC=CKH=450

H

E O

N M

K

D C

(11)

Xét BKC có BKN =NKCKN phân giác củaBKC, mà KH ⊥KN KH phân giác BKC KC HC

KB HB

 =

Chứng minh tương tự ta có KN BN

KH BH

 =

-Vậy ta có KC KN NC HC BN CN BH

KB +KH +BH = HB +BH +BH = = BH = Câu

+ Ta có 2 2

1 ; 2 2

a +  a b +  ba +b +  a+ b + a b (do a2+b2  +a b)

+ Chứng minh với hai số dương x y, 1

x+ y x+y

+ Do

2020 2020

1

2019 2019 2020

1 1

S

a b a b

    

= + − +   + −  

+ + + + +

   

 

+ Kết luận: GTLN S 2020, đạt a= =b

Đề số

Câu Giải phương trình:

18 42 13 30 11 20 2

2 + + + + + + + + =

x x x x x x

Câu Cho x y z

a+ + =b c

a b c

x+ + =y z Chứng minh :

2 2

x y z

a +b +c =

Câu Cho a, b, c khác đôi 1

a+ + =b c Rút gọn biểu thức:

2 2

1 1

2 c 2ac 2ab

M

a b b c

= + +

+ + +

Câu Cho a, b, c số khác thoả mãn a + b + c = 2014 1 1 2014

a+ + =b c

Chứng minh số a, b, c tồn hai số đối

Câu Tìm GTNN

2

3

2 x x A x x − + = − + ĐÁP ÁN

Câu Giải phương trình:

18 42 13 30 11 20 2

2 + + + + + + + + =

x x x x x x ( )( )

9 20

x + x+ = x+ x+

( )( )

2

11 30

x + x+ = +x x+

( )( )

2

13 42

(12)

ĐKXĐ: x−4;x−5;x−6;x−7 Giải phương trình:

1 1

(x+4)(x+5)+(x+5)(x+6)+(x+6)(x+7) =18 18

1 6 5

= + − + + + − + + + −

+ x x x x x

x

18

1 =

+ −

+ x

x

( ) ( ) ( )( )

18 x+ −7 18 x+ = +4 x x+4

(x+13)(x− =2) 13

x x

= − 

  =



Câu Cho x y z

a+ + =b c

a b c

x+ + =y z Chứng minh :

2 2

x y z

a +b +c =

Hướng dẫn

Từ a b c ayz bxz cxy

x y z xyz

+ +

+ + =  =

0

ayz bxz cxy

 + + =

Ta có:

2

1 ( )

x y z x y z

a+ + = b c a+ +b c =

2 2

2 2 2( )

x y z xy xz yz

a b c ab ac bc

 + + + + + =

2 2

x y z cxy bxz ayz

a b c abc

+ +

 + + + =

2 2

x y z

a b c

 + + =

Câu Cho a, b, c khác đôi 1

a+ + =b c Rút gọn biểu thức:

2 2

1 1

2 c 2ac 2ab

M

a b b c

= + +

+ + +

Hướng dẫn Theo đề ta có:

1 1

0

(13)

0

bc ac ab abc

+ +

 =

0

ab ac bc

 + + =

bc ab ac

 = − −

Ta có:

2

a + bc=a +bc+bc

( ) ( ) ( )( )

2

a bc ac ab a a c b a c

a c a b

= + − −

= − − −

= − −

Tương tự ta có:

( )( )

2

2 =

b + ac b a b c− −

( )( )

2

2 =

c + ab c a c b− −

Vậy 2 2 2

2 c 2ac 2ab

M

a b b c

= + +

+ + +

( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 )

M

a c a b b a b c c a c b

= + +

− − − − − −

( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 )

M

a c a b a b b c a c b c

= − +

− − − − − −

(b c a c a b)( )( )

M

a b a c b c − − + + − =

− − −

( )( )( )

M

a b a c b c

= =

− − −

Câu Cho a, b, c số khác thoả mãn a + b + c = 2014 1+ + =1 1 1

a b c 2014

Chứng minh số a, b, c tồn hai số đối Hướng dẫn

Theo đề ta có: + + =

1 1 1 1

a b c 2014

1 2014

bc ac ab abc

+ +

 =

1

bc ac ab

abc a b c

+ +

 =

+ + (vì a + b + c = 2014 ) (ab ac bc a b c)( ) abc

(14)

2 2 2

0

a b ab abc a c abc ac abc b c bc abc a b ab abc a c abc ac b c bc

 + + + + + + + + =

 + + + + + + + =

( ) ( ) ( ) ( )

2 0

a b c ab b c ac b c bc b c

 + + + + + + + =

( )( )

( ) ( ) ( )

2

0

b c a ab ac bc b c a a c b a c

 + + + + =

 +  + + + =

(b c)(a c)(a b)

a b

b c

c a

+ + + =

= −  

 = −

 = − 

Vậy số a, b, c tồn hai số đối

Câu Tìm GTNN

2

3

2

x x

A

x x

− +

=

− +

Hướng dẫn

Đặt x− =  = +1 y x y Ta có: ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

3

1 1

y y y y

A

y

y y

+ − + + − +

= =

+ − + +

2

3

A

y y

= − +

Đặt z y =

2

3

A z z

 = − +

2

A=z − z+ +

( )2

1 2

A= z− + 

Vậy A=  =  =  =2 z y x

Đề số

Câu (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

( x+ x )( + x )( + x )( + ) − 120

b) Rút gọn biểu thức:

2

x 10 x

A : x

x x x x

 − 

 

= + +   − + 

− − + +

    tìm x cho A = −A

Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x + x+1 + x+2 + x+3 =x +2016

(15)

b) (3x + x )( + 6x )( + 7)2 6=

Câu (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = b) Chứng minh với số nguyên x, y

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương

Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H

a) Chứng minh:

AE AB

AF = AC ; AEF CED=

b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM

c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng

Câu (1,0 điểm)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn biểu thức: P =

( 1) ( 1) ( 1)

a b c

bc a+ +ca b+ +ab c+

ĐÁP ÁN Câu 1

a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120

= (x2 + 7x + 11)2 - 112 = (x2 + 7x)( x2 + 7x + 22) = x(x + 7)( x2 + 7x + 22)

b)

2

x 2 1 10 x

A : x 2

x 4 2 x x 2 x 2

 − 

 

= + +   − + 

− − + +

   

− + + − − + + −

=

− + +

2

x 2(x 2) x (x 2)(x 2) 10 x

A :

(x 2)(x 2) x 2

− − + − − + −

=

− + +

2

x 2x 4 x x 4 10 x

A :

(x 2)(x 2) x 2

− + −

=  =

− + −

6 x 2 1

A

(x 2)(x 2) 6 x 2

Vậy A 1

x 2

− =

(16)

−

= −      −   

−

1

A A A 0 0 x 2 0 x 2

x 2

Câu 2

x x+1 x+2 x+3

+ + + =x +2016

2020 2019 2018 2017

x x+1 x+2 x+3

+1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4

2020 2019 2018 2017

x+2020 x+2020 x+2020 x+2020

+ + + =x +2020

2020 2019 2018 2017

1 1 1 1

( 2020)( + + + 1) 0

2020 2019 2018 2017 x

 + − =

x + 2020 =

1 1 1 1

+ + + 1 0

2020 2019 2018 2017 −  x = -2020

Vậy nghiệm phương trình cho là: x=- 2020

b) (3x+4)(x+1)(6x+7)2 =6



(6x+8)(6x+6)(6x+7) =72 (*)

Đặt 6x + = t, ta có:

(*)  (t 1)(t 1)t+ − =72 − −t4 t2 72=  = 0 t 3

- Với t = 3, ta có 6x 7 3 x 2 3

−

+ =  =

- Với t = -3, ta có 6x 7 3 x 5 3

−

+ = −  =

Vậy nghiệm phương trình cho là:

2 5

x ; x

3 3

− −

= =

Bài

) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 =

(x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – =

(x+1)2 - (y + 2)2 =

(x – y - 1)(x + y + 3) =

Vì x, y nguyên dương nên x + y + > x – y – >

 x + y + = x – y – =

x = ; y =

 

(17)

Vậy phương trình có nghiệm dương (x,y) =(3;1) b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z

 x2 + 5xy + 5y2  Z Vậy B số phương

Câu

a) Xét AEB AFC có :

EAB chung AEB=AFC( 90 )=

Do AEB đồng dạng AFC( g.g) AE AB

AF AC

 =

Xét AEF ABC có : BAC chung AE AF

AB= AC(vì

AE AB

AF = AC)

Do AEF đồng dạng ABC (c.g.c)  AEF=ABC

Chứng minh tương tự ta : CED=CBA Do : AEF=CED

b) Vì BEF+AEF=BED+CED 90= nên BEF=BED  EB tia phân giác góc DEF

N

M

K

I

H F

E

D C

B

(18)

Tam giác NED có EH tia phân giác DEN nên: HN EN HD = ED (1) Vì EA⊥ EH nên EA tia phân giác đỉnh E DEN

AN EN AD ED

 = (2)

Từ ( 1) (2) suy : HN AN

HD =AD , mà HD=DM ( Do M điểm đối xứng H qua D) Nên HN AN HN.AD AN.DM

DM = AD =

c) HN AN AN HN AH AN AH

DM AD AD DM AM AD AM

+

= = =  =

+

AMI có HF//MI( ⊥AB) AF AH AI AM

 = (định lí Ta lét), Mà AN AH

AD = AM nên

AF AN

AI = AD FN / /ID(định lí Ta lét đảo (3))

AMK có HE//MK (cùng ⊥AC) AE AH

AK AM

 = (định lí Ta lét), AIK có AF AH AE IK / /FE

AI = AM = AK  ( Định lí Ta lét đảo) (4) Từ (3) (4) suy I, K, D thẳng hàng

Câu

Áp dụng ta có:

( 1) 1

a a a a

bc a abc bc ab bc ca bc ab bc ca bc

 

= =   + 

+ + + + +  + + ;

dấu xảy b = c

Tương tự:

( 1) 1

b b

ca b ab ca bc ca

 

  + 

+  + +  dấu xảy c = a

( 1) 1

c c

ab c ab bc ca ab

 

  + 

+  + +  dấu xảy a = b

(19)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

4 4

1 1

1 1 1

4 4

1 1

1

a b c

bc a ca b ab c

a b c

ab bc ca bc ab ca bc ca ab bc ca ab

a b c

a c a b b c

ab bc bc ca ca ab

a b c

bc a ca b ab c a b c

a b c

+ +

+ + +

     

  + +  + +  + 

+ + + + + +

     

+ +

+ + +

 + + + + +

+ + +

 

+ +   + + 

+ + +  

+ +

+ + ( )

1 

+

Dấu xảy a = b = c =

Vậy GTLN P=

(20)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia