Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó.. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trìn[r]
(1)UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 – 2012
MƠN THI: TỐN – LỚP – THCS
Thời gian làm bài: 150 phút( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 20 tháng năm 2012 ================ Câu 1.(4,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
2 3
2 2
2 Cho hai số dương a b, thỏa mãn a b 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1 P
a b
Câu 2.(5,0 điểm)
1 Giải phương trình: x 20 x 4 Giải hệ phương trình:
¿
(x −4)√y −3+(y −1)√x+2=7√6 12x√y −4+4√2y√x −2=5 xy
¿{
¿ Câu 3.(3,0 điểm)
Tìm tất số nguyên n cho A(n 2010)(n 2011)(n 2012) số phương
Câu 4.(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ABC60 ;0 BC a AB c ; (a c, hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M nằm cạnh AB, N nằm cạnh AC, P Q nằm cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC
1 Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn
2 Dựng hình vng EFGH (E nằm cạnh AB, F nằm cạnh AC, G H
nằm cạnh BC ) nội tiếp tam giác ABC thước kẻ com-pa Tính diện tích hình vng
Câu 5.(2,0 điểm)
Chứng minh tồn số nguyên dương tận 2012 chia hết cho 2011
(2)(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN THI : TOÁN – LỚP – THCS Ngày thi 20 tháng năm 2012
==============
Câu Lời giải sơ lược Thangđiểm
1.1
Rút gọn biểu thức:
2 3
2 2
2,0
2+√3 √2+
√
2+√3+2−√3
√2−
√
2−√3 =√2(2+√3) 2+
√
4+2√3+√2(2−√3)
2−
√
4−2√3 0,5=
√3+1¿2 ¿
√3−1¿2 ¿ ¿
2−√¿ ¿
2+√¿
√2(2+√3)
¿
0,5
= √2
(
2+√3 3+√3+2−√3 3−√3
)
=√2(2+√3)(3−√3)+(2−√3)(3+√3)
9−3 =√2
1.2
Cho hai số dương a b, a b 5 Tìm giá trị nhỏ tổng
1 P
a b
2,0
Ta có
5 20
( )
a b P
ab ab a b
.
Đẳng thức xảy a = b = 52
Vậy giá trị nhỏ P 45 đạt a = b = 52
2.1 Giải phương trình: x 4 20 x 4 3,0
Xét phương trình x 20 x 4 (1), ĐK: 0 x 20 Đặt t 4 20 x
t0
, suy x20 t4Phương trình (1) có dạng
4
4
4
20
20 16
t
t t
t t t
1
2 t4 t2 8t 4 0
t 2
t3 2t2 5t 2
0
(3)Do t0 nên t3 2t25t 2 0 Nên (2) có nghiệm t2 0,5
Từ suy ra, 20 x 2 x4 0,5
2.2 Giải hệ phương trình:
¿
(x −4)√y −3+(y −1)√x+2=7√6 12x√y −4+4√2y√x −2=5 xy
¿{
¿
2,0 Điều kiện: x ≥2, y ≥4
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm
Ta có: y 4 y 4 y 4y ⇒12x√y −4≤3 xy (1)
1
Tương tự: 2√2√x −2≤2+x −2 ⇒4√2 y √x −2≤2 xy (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta có:
12x√y −4+4√2 y √x −2≤5 xy
0,5
Dấu “=” xảy
⇔
y −4=4
x −2=2
⇔
¿y=8
x=4
¿{
Thử lại: (x; y) = (4; 8) nghiệm hệ phương trình
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y)= (4; 8)
0,5
3 Tìm tất số nguyên n cho A(n 2010)(n 2011)(n 2012)
một số phương 3,0
Đặt m n 2011 toán trở thành tìm nghiệm nguyên phương trình
2
( 1)
m m a .
Nếu m0 n2011 (thỏa mãn).
1 Nếu m0thì rõ ràng (m m2; 21) 1 ( ;m m2 1) 1 từ dẫn đến:
2 2
; : ;
u v m u m v
0,5
Ta thấy (| |m v m)(| |v) 1 mà | |m v , bắt buộc |m|v | |m v
là ước nguyên dương 0,5
Do | |m v| |m v 1 để có | | 1m nghĩa |n 2011| 1 , từ có n2010 n2012.
Tóm lại số n cần tìm n{2010;2011;2012}
1 4.1
Cho tam giác ABC có ABC60 ;0 BC a AB c ; (a c, hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC,
P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác
(4)ABC
1 Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện
tích lớn Tính diện tích lớn Đặt AM x (0 x c).
Ta có:
MN AM ax
MN
BC AB c ,
0
sin 60
2
c x
MQ BM
1
Suy diện tích MNPQ là:
3
2
ax c x a
S x c x
c c
1
Ta có bất đẳng thức:
2
* ( 0, 0)
2
a b a b
ab ab a b
Áp dụng (*) ta có:
2 ( )
2
x c x c
x c x
Dấu đẳng thức xảy
c x c x x
0,5
Suy ra:
2
3
2
a c ac
S c
Vậy: max
3
ac
S
c
x
hay M trung điểm cạnh AC
0,5
4.2 Dựng hình vng com-pa Tính diện tích hình vng đó.EFGH nội tiếp tam giác ABC thước kẻ 3,0 Giả sử dựng hình vng
EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F' Dựng hình chữ nhật:
E'F'G'H' ( 'E AB G H; ', 'BC).
Ta có: E'F'//EF F'G'//FG, nên: ' ' ' ' ' '
E F BE BF F G
EF BE BF FG
' ' ' '
E F F G
.Do E'F'G'H' hình vng.
0,5
Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình
(5)hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vng
Ta có:
0
'
cot 60
' '
BH
g
E H ;
' ' ' ' '
cot ' 1
' ' ' ' ' '
BG BH H G BH
g F BC
F G F G E H
Suy ra, Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F
0,5
Trường hợp hình vng E'F'G'H' có đỉnh F' cạnh AC; G' H' cạnh BC, lý luận tương tự ta có tia CE' cố định, cắt AB E
Vậy tốn có nghiệm hình
0,5
Đặt AE x Ta có
EF AE ax
EF
BC AB c ;
( ) sin
2
c x
HE c x B
EFGH hình vng, nên
2
( ) 3
2
ax c x c
EF EH x
c a c
Suy diện tích hình vuông EFGH là:
22
2
a c
S EF
a c
1
5 Chứng minh tồn số nguyên dương tận 2012 chia hếtcho 2011. 2,0 Xét 2011 số có dạng sau: a1=2012; a2 = 20122012; a3=201220122012, …
2011
2011 sô 2012
20122012 201 a
0,5
Nếu 2011 số chia hết cho 2011 số phải tìm 0,5 Nếu khơng có số 2011 số chia hết cho 2011 phải có số
ai, ak (ai<ak) chia cho 2011 có số dư (nguyên tắc Đi-rich-lê) 0,5 Khi đó, ak-ai chia hết cho 2011 tức tồn số
sô 2012
20122012 201 2.10
k
i
k i
i
b a a
chia hết cho 2011 mà (10i, 2011) = nên Suy ra, sô 2012
20122012 20 12
k i
chia hết cho 2011 Điều vơ lí với giả thiết khơng có số 2011 số chia hết cho 2011
Vậy 2011 số có số chia hết cho 2011
(6)1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa
2 Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ