Đang tải... (xem toàn văn)
a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) [r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS KIÊN THÀNH ĐỀ THI HSG LỚP
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Đề số Câu
a) Rút gọn biểu thức: A = (a− +b c) (2− b c− )2+2ab 2ac−
b) Rút gọn:
2
3
x x
x 4x 18x
+ −
− − +
c) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
( ) (2 )2 ( )( ) ( ) (2 )
3 x 1− − −1 x +2 x x− + −3 2x+3 − −5 16x
Câu
a) Giải phương trình 148 169 186 199 10
25 23 21 19
x x x x
− + − + − + − =
b) Chứng minh rằng A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn Câu
a) Tìm giá trị x để biểu thức:
( 1)( 2)( 3)( 6)
P= x− x+ x+ x+ có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
b) Chứng minh rằng tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho
Câu 4: Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF ⊥ AD a) Chứng minh DE=CF
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A=(x−2019)2 +(x+2020)2
b) ( )
2
x y
B x, y
y x
= +
− −
ĐÁP ÁN Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x5 +x4+1 =x5 −x2 +x4 +2x2+ −1 x2
( ) ( )2
2 2
x x x x
= − + − −
( )( )
x x x x
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) (x – 82 )2 + 36=x4−16x2+100
=x4+20x2+100 16x− 2 =(x2 −4x 10 x+ ) ( 2+4x 10+ )
c)(x – x – 5x x – x 4x2 + )2 ( + ) + =(x2− +x 5x) ( 2−6x 1+ )
Câu
a) Giải phương trình: 148 169 186 199 10
25 23 21 19
x x x x
− + − + − + − =
Hướng dẫn
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
− + − + − + − =
148 169 186 199
25 23 21 19
x x x x
− − − −
− + − + − + − =
( ) 1 1
123
25 23 21 19
x
− + + + =
Vì 1 1
25 23 21 19
+ + +
nên 123 – x = 0, suy x = 123 b) Chứng minh rằng: A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn
Hướng dẫn
3
6
n + n + n chia hết cho 48 với n chẵn Ta có:
3
6
A=n + n + n
( )
6
A=n n + n+
( 2)( 4)
A=n n+ n+
Vì n là số chẵn nên đặt n=2k k( ), đó:
( )( )
2 2
A= k k+ k+
( )( )
8
A= k k+ k+
( )( )
3
2
A= k k+ k+
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
M F
E
D C
B A
Vậy A chia hết cho 3, 16 mà (3,16)= nên A 3.16=48 Câu (2 điểm)
a) Tìm giá trị x để biểu thức:
( 1)( 2)( 3)( 6)
P= −x x+ x+ x+ có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
b) Chứng minh rằng tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho
Hướng dẫn
( 1)( 2)( 3)( 6)
P= −x x+ x+ x+
( )( )
( )
2
2
5 6
5 36
P x x x x
P x x
= + − + +
= + −
Vì ( )2
5
x + x nên ( )2
5 36 36
P= x + x − −
Do Min P = -36 ( )2
5
x + x =
Từ ta tìm x = hoặc x = -5 P = -36
b) Gọi hai số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho Ta có:
( )( )
3 2
a +b = a+b a −ab b+
( ) ( )
3 2
2
a +b = a b+ a + ab b+ − ab
( ) ( )2
3
3
a +b = a b+ a b+ − ab
Vì a b+ chia hết (a+b)2−3ab chia hết cho 3; Do (a b+ ) ( a b+ )2−3ab chia hết cho
Câu (3 điểm)
Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD a) Chứng minh: DE=CF
b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Hướng dẫn
a) Chứng minh: AE=FM=DF
AED= DFC đpcm
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
ME MF a
+ = không đổi
AEMF
S ME.MF
= lớn ME=MF (AEMF hình vng)
M
là trung điểm BD
Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A=(x−2019) (2 x+2020)2
2
2
2x 2x 8156761 x 8156760,5 8156760,5
2
= = + + = + +
Dấu “=” xảy x = −
b) ( )
2
x y
B x; y
y x
= +
− −
Đặt a x 1(a;b 0)
b y
= −
= −
( ) (2 )2
a b 4a 4b a b
B 4.2
b a b a b a
+ +
= + + = + =
Dấu “=” xảy = = = =a b x y
Đề số Câu
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ + 7) 15 b) Cho (a b− ) (2+ −b c) (2+ −c a)2 =4(a2+ + −b2 c2 ab ac bc− − )
Chứng minh rằng a= = b c
Câu (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = (a− +b c) (2− b c− )2+2ab 2ac−
b) Rút gọn:
2
3
x x
x 4x 18x
+ −
− − +
c) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
( ) (2 )2 ( )( ) ( ) (2 )
3 x 1− − −1 x +2 x x− + −3 2x+3 − −5 16x
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) 2 2x 13
x
x x x
−
= +
+
− + +
2) Một người xe đạp, người xe máy, người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 ngày với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h, 50km/h Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy?
Câu Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD= AE Xác định vị trí điểm D, E cho:
a) DE có độ dài nhỏ
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Câu
a) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
b) Chứng minh rằng a, b, c số đo ba cạnh tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì số x=9a+4b+ ; 8c y=4a+ +b 4c; z=8a+4b+ là số đo ba cạnh tam giác 7c
vuông khác Câu
a) Tìm số x, y nguyên dương biết 6x+5y+18=2xy b) Tìm số nguyên x, y biết 5x−3y=2xy−11
ĐÁP ÁN Câu
a) A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ + 7) 15
( )( )( )( )
( )( )
1 15
8 15 15
A a a a a
A a a a a
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
8
a + a+ =t, ta có:
( )
( )( )
2
8 15 15
3
A t t
A t t
A t t
= + +
= + +
= + +
Do
( )( )
( )( )
2
2
8
8 10 12
A a a a a
A a a a a
= + + + + + +
= + + + +
( )( )( )
8 10
A= a + a+ a+ a+ b) Ta có:
( ) (2 ) (2 )2 ( 2 2 2 )
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | bc
ac ab c
b a ac a
c bc c
b ab b
a2 + −2 + + −2 + + +2 =4 +4 +4 −4 −4 −4
) (
) (
)
(a2 +b2 − ac + b2 +c2 − bc + a2 +c2 − ac =
) ( ) ( )
(a−b + b−c + a−c =
Vì (a− b)2 0;(b− c)2 0;(a− c)2 0; với a, b, c
nên (*) xảy (a− b)2 =0;(b− c)2 =0 (a− c)2 =0 Vậy a= = b c
Câu
a) Rút gọn biểu thức: A = (a− +b c) (2− b c− )2+2ab 2ac− = = a2 b) Rút gọn:
2
3
x x
x 4x 18x
+ −
− − +
( ) ( )
( ) ( )
x x x 2
x 7x
x x 7x
+ − −
= =
− +
+ − +
c) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
( ) (2 )2 ( )( ) ( ) (2 )
3 x 1− − −1 x +2 x x− + −3 2x+3 − −5 16x = = − 30
Câu
1) Giải phương trình: a) x3 +5x2−4x−20=0
( ) ( )
2
x x x
+ − + =
( ) ( )
x x
+ − =
x 5; x
= − =
Vậy pt có tập nghiệm S= − 5; 2 b) 2 2x 13
x
x x x
−
= +
+
− + + (ĐK: x −1)
( )
2 x x x 2x
+ = − + + −
2
x x
− − =
x 2
= (tm) hoặc x= −1 (loại) Vậy pt có tập nghiệm S= 2
2) Gọi thời gian từ ô tô xuất phát đến cách xe đạp xe máy là: x (giờ; x0) Thì thời gian xe đạp là: x + (giờ)
Thời gian xe máy là: x + (giờ) Quãng đường ô tô là: 50x (km);
Xe máy là: 30.(x+1) (km); Xe đạp là: 10.(x+2) (km)
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 50x 10 x− ( +2)=30 x( + −2) 50x
x
3 = (tm)
Vậy đến 10h 4h 11h20'
3
+ = tơ cách xe đạp xe máy Câu (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho:
a) DE có độ dài nhỏ
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Hướng dẫn
a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x ( x a ) Ta có:
( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
AD AE DE
a x x DE
DE a ax x x
DE a ax x
+ =
− + =
= − + +
= − +
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
a a a
DE x x
a a
DE x
a DE
= − + +
= − +
Vậy DE nhỏ bằng
2
a a
x =
Khi D, E là trung điểm AB, AC b) Diện tích tam giác ABC là:
2a E
D
C B
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Diện tích tam giác ADE là: 1( )
2 a−x x Khi diện tích tứ giác BDEC là:
( )
2
2
1
2
1 1
2 2
a a x x
a ax x
− −
= − +
2
2
2 2 2
1
2
2 4
1 3
2 8
a a a
x x
a a a
x
= − + +
= − +
Vậy diện tích tứ giác BDEC nhỏ bằng
8
a a
x = Khi D, E là trung điểm AB, AC
Câu
a) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Hướng dẫn
a) Gọi cạnh tam giác vuông là x, y, z cạnh huyền z Theo đề ta có:
( )
2
xy= x+ + (1) y z 2 x +y =z
Từ x2+y2 =z2 z2 =(x+y)2−2xy thay vào (1) ta có:
( )2 ( )
2
4
z = x+y − x+ +y z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
4
4 4
2
z z x y x y
z z x y x y
z x y
+ = + − +
+ + = + − + +
+ = + −
2
z x y
+ = + − z x y
= + − thay vào (1) ta được:
( )
( ) ( )
2
4
4
4 4 16
xy x y x y
xy x y
xy x y
x y y
= + + + −
= + −
− − = −
− − − − = −
(x−4)(y− = 4)
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Từ tìm giá trị x, y, z là:
(x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13) (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10) b) Theo đề ta có 2
a =b +c
Ta có: x=9a+4b+8cx2 =81a2+16b2+64c2+72ab+144ac+64bc mà a2 =b2+c2
( )
2 2 2
81 16 64 72 144 64
x b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
97 145 72 144 64
x b c ab ac bc
= + + + + (1)
2 2
4 16 16 32
y= a b+ + cy = a +b + c + ab+ ac+ bc mà a2 =b2+c2
( )
2 2 2
16 16 32
y b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
17 32 32
y b c ab ac bc
= + + + + (2)
2 2
8 64 16 49 64 112 56
z= a+ b+ cz = a + b + c + ab+ ac+ bc mà 2 a =b +c
( )
2 2 2
64 16 49 64 112 56
z b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
80 113 64 112 56
z b c ab ac bc
= + + + + (3) Từ (2) (3) ta có 2 2
97 145 72 144 64
y +z = b + c + ab+ ac+ bc (4) Từ (1) (4) suy 2
x = y +z
Vậy x, y, z là độ dài ba cạnh tam giác vuông Đề số
Câu
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ + 7) 15 b) Cho (a b− ) (2+ −b c) (2+ −c a)2 =4(a2+ + −b2 c2 ab ac bc− − )
Chứng minh rằng a= = b c
Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=a4−2a3+3a2−4a+5
Câu Tìm số dư phép chia biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức
10 21 x + x+
Câu Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD= AE Xác định vị trí điểm D, E cho:
a) DE có độ dài nhỏ
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Câu
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 b) Chứng minh rằng a, b, c số đo ba cạnh tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền
thì số x=9a+4b+ ; 8c y=4a+ +b 4c; z=8a+4b+ là số đo ba cạnh tam giác 7c
vuông khác Câu
a) Tìm số x, y nguyên dương biết 6x+5y+18=2xy b) Tìm số nguyên x, y biết 5x−3y=2xy−11
ĐÁP ÁN Câu
a) A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ + 7) 15
( )( )( )( )
( )( )
1 15
8 15 15
A a a a a
A a a a a
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
8
a + a+ =t, ta có:
( )
( )( )
2
8 15 15
3
A t t
A t t
A t t
= + +
= + +
= + +
Do
( )( )
( )( )
2
2
8
8 10 12
A a a a a
A a a a a
= + + + + + +
= + + + +
( )( )( )
8 10
A= a + a+ a+ a+ b) Ta có:
( ) (2 ) (2 )2 ( 2 2 2 )
a b− + −b c + −c a = a + + −b c ab ac bc− −
bc ac ab c
b a ac a
c bc c
b ab b
a2 + −2 + + −2 + + +2 =4 +4 +4 −4 −4 −4
) (
) (
)
(a2 +b2 − ac + b2 +c2 − bc + a2 +c2 − ac =
) ( ) ( )
(a−b + b−c + a−c =
Vì (a− b)2 0;(b− c)2 0;(a− c)2 0; với a, b, c
nên (*) xảy (a− b)2 =0;(b− c)2 =0 (a− c)2 =0 Vậy a= = b c
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
4
4
2 2
2
2
2 3 4 5
2 2 4 2 3
2 2 2 2 3
2 2 1 3
2 1 3
A a a a a
A a a a a a
A a a a a a
A a a a
A a a
= − + − +
= + − − + + +
= + − + + + +
= + − + +
= + − +
Vì (a2+2)(a−1)2 với a nên A 3
Vậy giá trị nhỏ A= − = = a a Câu (2 điểm)
Tìm số dư phép chia biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức
10 21 x + x+ Hướng dẫn
( )( )( )( ) ( )( )
( ) 2016 10 16 10 24 2016
P x = x+ x+ x+ x+ + = x + x+ x + x+ + Đặt
10 21 ( 3; 7)
t=x + x+ t − t − , biểu thức P(x) viết lại:
( )( )
( ) 2016 2001
P x = −t t+ + = − +t t
Do
2 2001
t − +t cho ta số dư là 2001 Câu (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho:
a) DE có độ dài nhỏ
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Hướng dẫn
a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x ( x a ) Ta có:
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
AD AE DE
a x x DE
DE a ax x x
DE a ax x
+ =
− + =
= − + +
= − +
E D
C B
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
a a a
DE x x
a a
DE x
a DE
= − + +
= − +
Vậy DE nhỏ bằng
2
a a
x =
Khi D, E là trung điểm AB, AC b) Diện tích tam giác ABC là:
2a Diện tích tam giác ADE là: 1( )
2 a−x x Khi diện tích tứ giác BDEC là:
( )
2
2
1
2
1 1
2 2
a a x x
a ax x
− −
= − +
2
2
2 2 2
1
2
2 4
1 3
2 8
a a a
x x
a a a
x
= − + +
= − +
Vậy diện tích tứ giác BDEC nhỏ bằng
8
a a
x = Khi D, E là trung điểm AB, AC
Câu
a) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Hướng dẫn
a) Gọi cạnh tam giác vng là x, y, z cạnh huyền z Theo đề ta có:
( )
2
xy= x+ + (1) y z 2 x +y =z Từ x2+y2 =z2 ( )2
2
z x y xy
= + − thay vào (1) ta có:
( )2 ( )
2
4
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
4
4 4
2
z z x y x y
z z x y x y
z x y
+ = + − +
+ + = + − + +
+ = + −
2
z x y
+ = + − z x y
= + − thay vào (1) ta được:
( )
( ) ( )
2
4
4
4 4 16
xy x y x y
xy x y
xy x y
x y y
= + + + −
= + −
− − = −
− − − − = −
(x−4)(y− = 4)
(x−4)(y− =4) 1.8=2.4
Từ tìm giá trị x, y, z là: (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13) (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10) b) Theo đề ta có 2
a =b +c
Ta có: 2 2
9 81 16 64 72 144 64
x= a+ b+ cx = a + b + c + ab+ ac+ bc mà 2 a =b +c
( )
2 2 2
81 16 64 72 144 64
x b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
97 145 72 144 64
x b c ab ac bc
= + + + + (1)
2 2
4 16 16 32
y= a b+ + cy = a +b + c + ab+ ac+ bc mà 2 a =b +c
( )
2 2 2
16 16 32
y b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
17 32 32
y b c ab ac bc
= + + + + (2)
2 2
8 64 16 49 64 112 56
z= a+ b+ cz = a + b + c + ab+ ac+ bc mà a2 =b2+c2
( )
2 2 2
64 16 49 64 112 56
z b c b c ab ac bc
= + + + + + +
2 2
80 113 64 112 56
z b c ab ac bc
= + + + + (3) Từ (2) (3) ta có y2+z2 =97b2+145c2+72ab+144ac+64bc (4) Từ (1) (4) suy x2 = y2+z2
Vậy x, y, z là độ dài ba cạnh tam giác vuông Đề số
Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) ( )3 3
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 b) x4+2014x2+2013x+2014
Câu
a) Tìm x, biết: ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2013 2013 2014 2014 19
49
2013 2013 2014 2014
x x x x
x x x x
− + − − + −
=
− − − − + −
b) Chứng minh rằng với số nguyên n ta có
B=a −a chia hết cho 30 Câu
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Câu
Tìm tất số phương gồm chữ số biết rằng ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương
Câu
Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014 Tính a2015+b2015 ĐÁP ÁN
Câu (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
b) x4+2014x2+2013x+2014 Hướng dẫn
a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3 3
2 2 2 2
2
x y z x y z
y z x y z x y z x x y z y yz z
= + + − − −
= + + + − + + + − + − +
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2
3 3
3
y z x xy yz xz
y z x x y z x y
y z x y x z
= + + + +
= + + + +
= + + +
b) x4+2014x2+2013x+2014
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
4
3
2
2
2014 2014 2014
1 2014
1 2014
1 2014
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
= − + + +
= − + + +
= − + + + + +
= + + − +
(15)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15 a) ĐKXĐ: x2013;x2014
Đặt x−2014=a a( 0) Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 19
49
1
a a a a
a a a a
+ − + +
=
+ + + +
2
2
2
1 19
3 49
49 49 49 57 57 19
a a
a a
a a a a
+ +
=
+ +
+ + = + +
( )( )
2
8 30
2
3
a a
a a
a a
+ − =
− + =
=
− =
4031 x
= hoặc 4023 x = b) Ta có:
5 B=a −a
( )
1 B=a a −
( )( )
1
B=a a − a +
( )( )
1
B=a a − a − +
( )( ) ( )
1
B=a a − a − + a a −
( )( ) ( )( ) ( )
2 1
B= a− a− a a+ a+ + a a −
Vì (a−2)(a−1) (a a+1)(a+ là tích số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại số là bội 5, 2)
(a−2)(a−1) (a a+1)(a+2 5) (1)
( )
5a a −1 5(2)
(16)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E= = =A F 90o)
Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF
Suy 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ nhất, AD nhỏ D hình chiếu A BC Câu (2 điểm)
Tìm tất số phương gồm chữ số biết rằng ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Hướng dẫn
Gọi số phải tìm abcd với a b c d, , , , 0a b c d, , , 9,a0 Theo đề ta có:
( )( )( )( )
2
2
1
abcd k
a b c d m
=
+ + + + =
Suy ra:
2
2 1353 abcd k
abcd m
=
+ =
với k m, , 31 k m 100 Do 2
1353 m −k =
(m k− )(m k+ )=123.11 41.33= Vì k m , nên m k+ − m k
Do đó:
123 67
11 56
m k m
m k k
+ = =
− = =
hoặc
41 37
33
m k m
m k k
+ = =
− = =
Kết luận abcd = 3136 Câu (2 điểm)
E F
A B
C
(17)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17 Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014
Tính 2015 2015 a +b Hướng dẫn Ta có:
2012 2012 2013 2013 2014 2014 a +b =a +b =a +b
( )( 2012 2012) ( 2011 2011) 2014 2014
a+b a +b − a +b ab=a +b
a b ab
+ − = (vì 2012 2012 2013 2013 2014 2014 a +b =a +b =a +b )
( 1)( 1)
1
a b
a b
− − =
= =
Với a = b2012 =b2013 =b hoặc b = (loại) 0 Với b = a2012 =a2013 =a hoặc a = (loại) 0 Vậy a = 1, b =
Do 2015 2015 a +b = Đề số
Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
b)
2014 2013 2014
x + x + x+
Câu
a) Tìm x, biết: ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2013 2013 2014 2014 19
49
2013 2013 2014 2014
x x x x
x x x x
− + − − + −
=
− − − − + −
b) Chứng minh rằng với số nguyên n ta có B=a5−a chia hết cho 30 Câu
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Câu
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Câu
Cho a, b dương 2012 2012 2013 2013 2014 2014
(18)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 18 Câu (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
b)
2014 2013 2014
x + x + x+
Hướng dẫn
a) (x+ +y z)3−x3−y3−z3
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3 3
2 2 2 2
2
x y z x y z
y z x y z x y z x x y z y yz z
= + + − − −
= + + + − + + + − + − +
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2
3 3
3
y z x xy yz xz
y z x x y z x y
y z x y x z
= + + + +
= + + + +
= + + +
b) x4+2014x2+2013x+2014
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
4
3
2
2
2014 2014 2014
1 2014
1 2014
1 2014
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
= − + + +
= − + + +
= − + + + + +
= + + − +
Câu (2 điểm)
a) Tìm x, biết: ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2013 2013 2014 2014 19
49
2013 2013 2014 2014
x x x x
x x x x
− + − − + −
=
− − − − + −
b) Chứng minh rằng với số nguyên n ta có: B=a5−a chia hết cho 30 Hướng dẫn
a) ĐKXĐ: x2013;x2014 Đặt x−2014=a a( 0) Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 19
49
1
a a a a
a a a a
+ − + +
=
+ + + +
2
2
2
1 19
3 49
49 49 49 57 57 19
a a
a a
a a a a
+ +
=
+ +
(19)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 19
( )( )
2
8 30
2
3
a a
a a
a a
+ − =
− + =
=
− =
4031 x
= hoặc 4023 x = b) Ta có:
5 B=a −a
( )
1 B=a a −
( )( )
1
B=a a − a +
( )( )
1
B=a a − a − +
( )( ) ( )
1
B=a a − a − + a a −
( )( ) ( )( ) ( )
2 1
B= a− a− a a+ a+ + a a −
Vì (a−2)(a−1) (a a+1)(a+ là tích số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại số là bội 5, 2)
(a−2)(a−1) (a a+1)(a+2 5) (1)
( )
5a a −1 5(2)
Từ (1) và (2) suy B Câu
a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E= = =A F 90o)
Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF
Suy 3AD + 4EF = 7AD
E F
A B
C
(20)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 20 3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ nhất, AD nhỏ D hình chiếu A BC
Câu Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm 11
+ x
x
(x số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số 15
7 +
− x
x (x khác -15)
Theo bài ta có phương trình 11 + x
x =
7 15 − + x x
Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) Từ tìm phân số
6 − Câu (2 điểm)
Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014 Tính a2015+b2015
Hướng dẫn Ta có:
2012 2012 2013 2013 2014 2014 a +b =a +b =a +b
( )( 2012 2012) ( 2011 2011) 2014 2014
a+b a +b − a +b ab=a +b
a b ab
+ − = (vì 2012 2012 2013 2013 2014 2014 a +b =a +b =a +b )
( 1)( 1)
1
a b
a b
− − =
= =
Với a = 2012 2013
1
b =b =b hoặc b = (loại) 0 Với b = a2012 =a2013 =a hoặc a = (loại) 0 Vậy a = 1, b =
(21)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 21 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học và trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: