Đang tải... (xem toàn văn)
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS LÊ LỢI ĐỀ THI HSG LỚP
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Câu (6 điểm): Thực phép tính a) 136 28 62 21
15 10 24
− +
b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 c) 65 11 91 : 81
6 20
+ −
Câu (4 điểm): Cho A = - + - + - 6+ + 19 - 20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng?
b) Tìm tất ước A Câu (4 điểm):
a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) Tìm x biết: + + + 13 + 16 + + x = 501501
Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = 3cm
a) Tính độ dài BM
b) Cho biết BAM= 800, BAC=600 Tính CAM
c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK = 1cm Tính độ dài BK ĐÁP ÁN
Câu (6 điểm): Thực phép tính a) (2 điểm):
= 272 168 186 21 29 21 203 811
30 30 30 24 24 24 24
− + = = =
b) (2 điểm):
= (528 : 4) + 42 171 - 7314 = 132 + 7182 - 7314 = c) (2 điểm):
= 41 111 91 :25 41.2
6 4 6 25
+ − = +
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) (2 điểm):
A = (1-2) + (3-4) + (5-6) + + (19-20) (có 10 nhóm) = (-1) + (-1) + (-1) + + (-1) (có 10 số hạng) = 10 (-1) = -10
Vậy A 2, A 3, A b) (2 điểm):
Các ước A là: 1, 2, 5, 10 (nêu ước cho 0,25đ) Câu (4 điểm):
a) (2 điểm):
Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + 2n + (n N) Gọi d ước số chung chúng Ta có: 2n + d 3n + d
nên (2n + 3) - (2n + 1) d hay d
nhưng d khơng thể d ước chung số lẻ
Vậy d = tức hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) (2 điểm)
Ta có: = + 3; = + 5; 13 = + 7; 16 =7 +
Do x = a + (a+1) (a N)
Nên + + + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501
Hay (a+1)(a+1+1): = 501501
(a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 1002 Suy ra: a = 1000
Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001 Câu (6 điểm):
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | + Nếu K thuộc tia CM C nằm B K (ứng với điểm K1 hình vẽ)
Khi BK = BC + CK = + = (cm) + Nếu K thuộc tia CB K nằm B C (ứng với điểm K2 hình vẽ Khi BK = BC - CK = - = (cm)
Đề số
Bài 1( điểm )
1 Tìm chữ số tận số sau: a) 571999
b) 931999
2 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho Cho phân số
b a
( a<b) thêm m đơn vị vào tử mẫu phân số lớn hay bé b a
? Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ số ln chia hết cho 396
5 Chứng minh rằng: a)
3 64
1 32
1 16
1
1 − + − + −
b)
16 3
100
99
4
3
2
100 99
3
2 + − + + −
−
Bài 2( điểm )
Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a
b) Xác định điểm M tia Ox cho OM =
(a+b) ĐÁP ÁN Bài 1:
1) Tìm chữ số tận số sau: ( điểm )
Để tìm chữ số tận số cần xét chữ số tận số : a) 571999 ta xét 71999
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy chữ số tận (0,25đ) Vậy số 571999 có chữ số tận :
b) 931999 ta xét 31999
Ta có: 31999 = (34)499 33 = 81499.27
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Để chứng minh A chia hết cho , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận (0,25đ) Vậy A có chữ số tận 0, A chia hết cho (0,25đ) 3) (1điểm) Theo toán cho a < b nên am < bm ( nhân hai vế với m) (0,25đ) ab + am < ab + bm ( cộng hai vế với ab) (0,25đ) a(b + m) < b( a+m)
m b m a b a + +
4.(1 điểm )
Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng chúng 1+2+3=6
Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đơi ngun tố nên ta cần chứng minh A = 155*710*4*16 chia hết cho ; 11
Thật :
+A số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho (0,25đ) + A tổng chữ số chia hết cho :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*) = 30+ = 36 chia hết cho (0,25đ)
+ A 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1) – (5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – = (0,25đ)
Vậy A 396 5(4 điểm )
a) (2 điểm ) Đặt A= 2 3 4 5 6
2 2 2 64 32 16 − + − + − = − + − +
− (0,25đ)
2A= 2 3 4 5
2 2 2
1− + − + − (0,5đ)
2A+A =3A = 1-
2 2 6 −
= (0,75đ) 3A < A <
3
(0,5đ)
b) Đặt A= 2 3 4 99 100
3 100 99 3 3
1− + − + + − 3A=
1-99 98 3 100 99 3 3
2− + − + + −
(0,5đ)
4A = 1- 2 3 98 99 100
3 100 3 3 − − + + −
+ 4A< 1- 2 3 98 99
3 3 − + + −
+ (1) 0,5đ)
Đặt B= 1- 2 3 98 99
3 3
1+ − + + − 3B= 2+
98 97 3 3
1− + + −
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4B = B+3B= 3- 99
3
1 < B <
(2) Từ (1)và (2) 4A < B <
4
3 A < 16
3
(0,5đ) Bài ( điểm )
a) (1 điểm )Vì OB < OA ( b<a) nên tia Ox điểm B nằm điểm O điểm A Do đó: OB + OA = OA
Từ suy ra: AB = a – b
b)(1 điểm )Vì M nằm tia Ox
OM = 1(a b) a b 2b a b b a b
2 2
+ + − −
+ = = = + = OB + OA OB OB AB
2
2 = +
−
M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AM = BM Đề số
Bài (3điểm)
a, Cho A = 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho b, Chứng tỏ rằng:
41
+ 42
1 +
43
+ …+ 79
1 +
80
> 12
7
Bài (2,5điểm)
Tổng số trang loại ; loại loại 1980 trang Số trang loại
3
số trang loại Số trang loại số trang loại Tính số trang loại
Bài 3: (2điểm)
Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Bài (2,5 điểm)
a, Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì
b, Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ ĐÁP ÁN
Bài 1:
a) (1,5đ) Để chứng minh A 5, ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Ta có: 31999 = ( 34)499 33 = 81499 27
Suy ra: 31999 có tận
71997 = ( 74)499 = 2041499 1997 Có tận Vậy A có tận A
b) (1,5điểm) Ta thấy: 41
1 đến
80
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vậy : 80 79 78 43 42 41
1 + + + + + +
= ( 60 59 42 41
1 + + + +
) + ( + + 62 61 …….+ 80 79 +
) (1)
Vì 42 41 … > 60 61 > 62 >…> 80 (2)
Ta có : ( + + 60 60 ….+ 60 60 + ) + ( 80 + 80 +….+ 80 80 + ) = 12 12 4 80 20 60 20 = + = + =
+ (3)
Từ (1) , (2), (3) Suy ra:
80 79 78 43 42 41 + + + + +
+ >
12
Bài 2: Vì số trang vỡ loại
số trang loại Nên số trang loại số trang loại
Mà số trang loại loại
Nên số trang loại số trang loại Do số trang loại bằng: : = 16 ( loại 3) Số trang loại : : = 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 số trang 16 + 12+ = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang loại 1980 : 33 = 60 ( trang) Số trang loại 80
3 60
= (trang) Số trang loại1 là; 120
2 80 = ( trang) Bài 3:
Từ 1; 2; ………; n có n số hạng Suy +2 +…+ n =
2 ) (n+ n
Mà theo ta có +2 +3+… +n = aaa Suy
2 ) (n+ n
= aaa = a 111 = a 3.37 Suy ra: n(n + 1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n + Chia hết cho 37 Vì số
2 ) (n+ n
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | +) Với n = 37 703
2 38
37 =
( loại)
+) Với n + = 37 666
37
36 =
( thoả mãn) Vậy n =36 a = Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666 Bài :
a) (1,5điểm)
Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất 15
2
5 =
góc b) (1điểm) Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n(
2
−
n
) (góc)
Đề số
Câu ( 2,0 điểm)
Cho A = + 22 + 23 + 24 + + 220 Tìm chữ số tận A Câu ( 1,0 điểm)
Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27 Câu ( 1,5 điểm)
Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n Câu ( 1,0 điểm)
Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố Câu ( 1,5 điểm)
a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*) Tìm điều kiện n để hai số nguyên tố b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 440
Câu ( 2,0 điểm)
Cho xAy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm, C điểm tia Ay
a Tính BD
b Biết BCD 850, BCA 500 TínhACD c Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK
ĐÁP ÁN Câu
A = (2 + 22 + 23 + 24 + + 220.) = 22 + 23 + 24 + 25 + + 221 Nên A.2 - A = 221 -2
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 = 165
165 có tận Nên 165 có tận có tận Vậy A có tận
Câu : Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27 Câu
Với số tự nhiên n ta có trường hợp sau: TH1: n chia hết cho tích chia hết cho TH 2: n chia cho dư n = 5k +1
4n +1= 20k + chia hết cho tích chia hết cho TH3: n chia cho dư n = 5k +2
2n +1= 10k + chia hết cho tích chia hết cho TH4: n chia cho dư n = 5k +3
3n +1= 15k + 10 chia hết cho tích chia hết cho TH 5: n chia cho dư n = 5k +4
n +1= 5k + chia hết cho tích chia hết cho
Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n Câu
Nếu pq + 11 số ngun tố phải số nguyên tố lẻ ( pq + 11 > 2) pq số chẵn số phải chẵn, tức
+ Giả sử p = Khi 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11 Thử q = 2( loại)
q = 3( t/m)
q > có số hợp số p = q =
+ Giả sử q = Giải TT ta p = Vậy p = 2; q = p = 3; q =
Câu
a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 d, 8n - d
8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) d 31 d d = 31 Để hai số nguyên tố d ≠ 31
Mà 7n + 31 7n + - 31 31 7(n - 4) 31 n – 31( 31 nguyên tố nhau) n = 31k + 4( với k số tự nhiên)
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vậy hai số 7n +3, 8n – nguyên tố n ≠ 31k + 4( với k số tự nhiên)
b) Gọi hai số phải tìm a b ( a, b N* , a > b)
Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k b = 28q Trong k, qN*và k, q nguyên tố Ta có : a - b = 84
k - q =
Theo ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 10 < q < k <16
Chọn hai số có hiệu khoảng từ 11 đến 15 11 14; 12 15 Chỉ có 11 14 hai số nguyên tố
nên q = 11và k = 14
Ta có : a = 28 11 = 308 ; b = 28 14 = 392 Vậy hai số phải tìm 308 392
Câu a) Tính BD
Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax
A nằm D B
BD = BA + AD = + = (cm)
b) Biết BCD = 850, BCA = 500 Tính ACD
Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD => ACD + ACB = BCD
=> ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350
c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax
- Lập luận K nằm A B
- Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = – = (cm)
* Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B
- Suy ra: KB = KA + AB KB = + = (cm)
* Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm
Đề số
Bài 1: (1,0điểm) Thực phép tính (tính hợp lý có thể) a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Bài 2: (1,0điểm) M có số phương khơng nếu:
M = + + +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng:
a/ (3100+19990)
b / Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài 4: (1,0điểm) So sánh A B biết:
A =
1 17
1 17
19 18
+ +
, B =
1 17
1 17
18 17
+ +
Bài 5: (2,0điểm) Tím tất số nguyên n để: a) Phân số
1 n n
+
− có giá trị số nguyên b) Phân số 3012 +12
+
n n
phân số tối giản Bài 6: (2,5điểm)
Cho góc xBy = 550.Trên tia Bx, By lấy điểm A, C (A B, CB) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300
a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC
c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz
Bài 7: (1,0điểm) Tìm cặp số tự nhiên x , y cho: (2x + 1)(y – 5) = 12 ĐÁP ÁN
Câu
a) 16(123+ 321 - 44):16 = 400
b) 8.125-3.{400-[673-8.50]} = 1000-3.{400-273}
=619 Câu
M = + + +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Tính số số hạng = (2n-1-1): + = n
Tính tổng = (2n-1+1) n: = 2n2: = n 2
KL: M số phương Câu
a) Ta có:
3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 19990 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19)
= (192)495 = 361495 (có chữ số tận
Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho b)
Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (aN) Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a +
Vì 4a 4; khơng chia hết nên 4a+ không chia hết Câu
Vì A =
1 17
1 17
19 18
+ +
< A=
1 17
1 17
19 18
+ +
<
16 17
16 17
19 18
+ +
+ +
=
)
(
)
(17 17
1 17 17
18 17
+ +
=
1 17
1 17
18 17
+ +
= B Vậy A < B
Câu a)
1 n n
+
− số nguyên (n+1) (n-2) Ta có (n+1) = (n− +2) 3
Vậy (n+1) (n-2) 3(n-2) (n-2) Ư(3) = − −3; 1;1;3
=> n −1;1;3;5
b) Gọi d ƯC 12n+1 30n+2 (dN*) 12n+1d,30n+2d
5(12n+1)−2(30n+2) d (60n+5-60n-4) d 1 d mà dN* d = Vậy phân số cho tối giản
Câu
Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C: AC= AD + CD = 4+3 = cm
Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC
Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD =550 – 300 = 250
z
D
C A
y x
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD
Tính ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600
- Trường hợp 2:Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA
Tính ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200 Câu
(2x+ 1); (y - 5) ước 12
Ư(12) = 1;2;3;4;6;12 Vì 2x + lẻ nên:
2x + 1= x=0 , y =17 2x + 1= x=1 , y=9
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -