Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 7 Trường THCS Trung Hưng

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG.. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS[r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS TRUNG HƯNG ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số

Câu 1. Tìm x biết:

a) 3x−1 +5.3x−1 =162 b) 3x +x2 = c) (x-1)(x-3) <

Câu 2.

a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:

5

z y x = =

2x2 +2y2 −3z2 =−100 b) Cho

a d d c c b b a

2 2

2 = = = (a, b, c, d > 0) Tính A =

c b

a d

b a

d c

d a

c b

d c

b a

+ − +

+ − +

+ − +

+

−2010 2011 2010 2011 2010 2011 2010

2011

Câu 3.

a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q =

x x

− − 12

2 27

(với x nguyên) Câu 4.

a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c Chứng minh f(x) nhận -1 nghiệm a c số đối

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (x− +3 2)2+ + +y 2007

Câu 5. Cho ABC vuông A M trung điểm BC, tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Gọi I K chân đường vuông góc hạ từ B C xuống AD, N chân đường vng góc hạ từ M xuống AC

a) Chứng minh BK = CI BK//CI b) Chứng minh KN < MC

c) ABC thỏa mãn thêm điều kiện để AI = IM = MK = KD

d) Gọi H chân đường vng góc hạ từ D xuống BC Chứng minh đường thẳng BI, DH, MN đồng quy

ĐÁP ÁN Câu

a) 3x−1(1+5) = 162 3x−1 = 27 => x-1= => x =

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | x=0 x= -3

c) (x-1)(x-3) < x-1 > x-3 nên (x-1)(x-3) < 

0        −  − x x x Câu a) Từ z y x =

= ta có:

25 100 25 2 75 32 18 25 16 2 2 2 2 = − − = − − + = = = = =

= y z x y z x y z

x                − = − = − =      = = =       = = = 10 10 100 64 36 2 z y x x y x z y x

( Vì x, y, z dấu)

b) Ta có

2 2 2 2 2

a b c d a b c d

b c d a b c d a

+ + +

= = = = =

+ + + (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) suy a = b = c= d

Thay vào tính P = Câu

a) Ta có x + y + xy =2  x + + y(x + 1) =

 (x+1)(y+1)=3

Do x, y nguyên nên x + y + phải ước Lập bảng ta có:

Vậy cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) Q =

x x − − 12 27 = 2+ x − 12

A lớn x

− 12

3

lớn * Xét x > 12

x

− 12

3 < * Xét x < 12

x

− 12

3

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vậy để

x

− 12

3

lớn

12-x x Z 12-x

      

 x = 11

A có giá trị lớn x =11 Câu

a) Ta có:

1 nghiệm f(x) => f(1) = hay a + b + c = (1) -1 nghiệm f(x) => f(-1) = hay a - b + c = (2) Từ (1) (2) suy 2a + 2c = => a + c = => a = -c Vậy a c hai số đối

b) Ta có (x− +3 2)2 ,x => (x− +3 2)2 4 Dấu "=" xảy  x = 3

y+  , y Dấu "=" xảy  y = -3

Vậy P = (x− +3 2)2+ + +y 2007 4 + 2007 = 2011 Dấu "=" xảy  x = y = -3

Vậy giá trị nhỏ P = 2011  x = y = -3 Câu

a)

- Chứng minh IBM = KCM => IM= MK - Chứng minh IMC = KMB

=> CI = BK góc MKB = góc MIC => BK//CI b) Chỉ AM = MC => AMC cân M

=> đường cao MN đồng thời đường trung tuyến AMC => N trung điểm AC

AKC vng K có KN trung tuyến => KN =

AC Mặt khác MC =

2

BC

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Lại có ABC vng A => BC > AC =>

2

BC >

AC hay MC > KN Vậy MC > KN (ĐPCM)

c) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD

Vậy để AI = IM = MK = KD cần AI = IM

Mặt khác BI⊥AM => BI vừa trung tuyến, vừa đường cao ABM => ABM cân B (1)

Mà ABC vuông A, trung tuyến AM nên ta cóABM cân M (2) Từ (1) (2) ruy ABM => góc ABM = 600

Vậy vng ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 Đề số

Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn:

a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3

Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x

Câu 4: Biết :12+22+33+ +102= 385 Tính tổng : S= 22+ 42+ +202

Câu : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D

a Chứng minh AC=3 AD b Chứng minh ID =1/4BD

ĐÁP ÁN Câu 1: Nhân vế bất đẳng thức ta : (abc)2=36abc + Nếu số a,b,c số lại + Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta abc=36 + Từ abc =36 ab=c ta c2=36 nên c=6;c=-6

+ Từ abc =36 bc=4a ta 4a2=36 nên a=3; a=-3 + Từ abc =36 ab=9b ta 9b2=36 nên b=2; b=-2 - Nếu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 - Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thỗ mãn tốn

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a)5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)

…  1/5<x<1 (0,5đ)

b)3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ) *Nếu 3x+1>4=> x>1

*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3

Vậy x>1 x<-5/3 (0,5đ) c )4-x+2x=3 (1)

* 4-x0 => x4 (0,25đ)

(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ) *4-x<0 => x>4 (0,25đ)

(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu Áp dụng a+b a+bTa có A=x+8-xx+8-x=8

MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25đ) *

  

 −



0 x x

=>0x8 (0,25đ)

*   

 −



0 x x

=>   

 

8 x x

khơng thỗ mãn(0,25đ) Vậy minA=8 0x8(0,25đ)

Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ)

Câu5

a) Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đường trung bình => ME//BD(0,25đ) Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)

Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ)

A

B M

C D

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) Trong tam giác MAE ,ID đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ)

Trong tam giác BCD; ME Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)

Đề số Câu 1. Cho:

d c c b b a =

= Chứng minh:

d a d c b c b a =       + + + + Câu 2. Tìm A biết rằng: A =

a c b b a c c b a + = + = +

Câu 3. Tìm xZ để A Z tìm giá trị a) A =

2 − + x x b) A =

3 + − x x Câu 4. Tìm x, biết: a) x−3 = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650

Câu 5. Cho  ABC vuông cân A, trung tuyến AM E  BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K  AE) Chứng minh  MHK vuông cân

ĐÁP ÁN Câu 1. Ta có

d a d c c b b a

= (1) Ta lại có

a c b c b a d c c b b a + + + + = =

= (2)

Từ (1) và(2) =>

d a d c b c b a =       + + + + Câu 2. A =

a c b b a c c b a + = + =

+ = (a b c)

c b a + + + +

Nếu a+b+c  => A =

Nếu a+b+c = => A = -1 Câu 3. a) A = +

2 −

x để A  Z x- ước => x – = ( 1; 5)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | * x = => A =

* x = => A = - * x = -3 => A =

b) A = +

x - để A  Z x+ ước => x + = ( 1; 7)

* x = -2 => A = * x = => A = -1

* x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3

Câu

a) x = - b) x = - 11 c) x =

Câu

 MHK  cân M

Thật vậy:  ACK =  BAH (gcg) => AK = BH

 AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH Vậy:  MHK cân M

Đề số Bài 1: Tính

3

2

x x 03y A

x y

− +

=

− biết

1 x

2

= ; y số nguyên âm lớn

Bài 2: Cho x 16 y 25 z 9

9 16 25

+ = − = +

9 x 11 x 2

7 9

− + − =

.Tìm x+y+z Bài 3: Tìm x, yZ biết 2xy+3x = ; 16 - 72 + 90

Bài 4: Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 =

Bài 5: Cho tam giác ABC có vng A(AB<AC) cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực CE F

a/ Chứng minh tam giác BFC

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | + Tìm được: x = ; y = -1

+ Với x = - ; y = -1  A = - + Với x = ; y = -1  A= -

Bài 2: (2 điểm)

+ Từ + =  (2 – x)( + ) =  x =

+ Thay x =  = = = = = (1đ) +  x + y + z = 100

Bài 3: (2 điểm)

+ Biến đổi được: x(2y + 3) =

+ Chỉ x, y Z  x Ư(4) 2y + lẻ + Lập bảng

x -4 -2 -1

2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm)

a) Chỉ được; a + b + c + d =  đpcm (hoặc tính P(1) =  đpcm) b) + Rút được: + x = (1) (0,25đ)

+ Biến đổi P = (3 + ) + ( + x) – 9x + = 3x( + x) + ( + x) – 9x + + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ)

(Học sinh giải cách khác cho điểm) Bài 5:

+ Hình vẽ (phục vụ câu 1):

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |  F trung trực BC  BFC cân

(học sinh chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm)

b) + Tính EBC = 15 + Hạ FK AB  FKB = FHC (ch + cgv)

BFC vuông cân  FBC = 45

+ Kết luận BFE Đề số

Bài 1: Tìm số biết: = = , x – y + z =

Bài 2: Biết + ab + = 25 ; + = ; + ac + = 16 a 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: =

Bài 3:

a/ Tìm giá trị m để đa thức sau đa thức bậc theo biến x: f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + -

b/ Tìm giá trị nhỏ đa thức g(x) = 16 - 72 + 90

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia số dư biết số bị chia 112 thương

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O BC; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI = AH Gọi K giao điểm FH AI a/ Chứng minh tam giác FCH cân AK = KI b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng

ĐÁP ÁN Bài 1:

= = x, y, z N, x ≠  = =

 = = = = =

x = 2; y = 3; z = Vậy = 235 Bài 2:

Ta có: + + + ac + = + ab + (vì + 16 = 25) Suy ra: = a(b – c)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

 = = = (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)

Bài 3:

a/ (1 điểm) f(x) = ( - 25) + (20 + 4m) + - đa thức bậc biến x khi: - 25 = 20 + 4m ≠

 m = m ≠ -5

Vậy m = f(x) đa thức bậc biến x

b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 - 72 + 90 = - 2.4 + + g(x) = +

Với giá trị x ta có: ≥  g(x) = + ≥ Giá trị nhỏ g(x)

Khi =

 - =  =  =  x = Bài 4:

Gọi số chia a số dư r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r

 5a < 112  a 22 (1) *a > r  5a + r < 5a + a 112 < 6a

a > 112 : a ≥ 19 (2)

Từ (1) (2)  a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số:

Bài 5:

a 19 20 21 22

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 a/

- Chứng minh CHO =  CFO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: CH = CF Kết luận  FCH cân C

-Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh  FIG cân I - Suy ra: AH = IG, IGK = AHK

- Chứng minh  AHK =  IGK (g-c-g) - Suy AK = KI

b/

Vẽ OE ⊥ AB E Tương tự câu a ta có:  AEH,  BEF thứ tự cân A, B Suy ra: BE = BF AE = AH

BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra:  ABI cân B

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội

dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: