Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Đan Hội

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS ĐAN HỘI ĐỀ THI HSG LỚP

MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số

Câu ( 2,0 điểm)

Cho A = + 22 + 23 + 24 + + 220 Tìm chữ số tận A

Câu ( 1,0 điểm)

Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27

Câu ( 1,5 điểm)

Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n

Câu ( 1,0 điểm)

Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố

Câu 5: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME

= MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE

b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH⊥BC (HBC) Biết HBE=50 ;0 MEB=250 Tính HEM BME

Câu 6: ( điểm ) Chứng minh : 21995 < 5863

ĐÁP ÁN Câu

A = (2 + 22 + 23 + 24 + + 220.) = 22 + 23 + 24 + 25 + + 221 Nên A.2 - A = 221 -2

 A = 221 -

Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 = 165

165 có tận Nên 165 có tận có tận Vậy A có tận

Câu : Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27

Câu

Với số tự nhiên n ta có trường hợp sau: TH1: n chia hết cho tích chia hết cho TH 2: n chia cho dư n = 5k +1

 4n +1= 20k + chia hết cho  tích chia hết cho TH3: n chia cho dư n = 5k +2

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

 3n +1= 15k + 10 chia hết cho  tích chia hết cho TH 5: n chia cho dư n = 5k +4

 n +1= 5k + chia hết cho  tích chia hết cho

Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n

Câu

Nếu pq + 11 số ngun tố phải số nguyên tố lẻ ( pq + 11 > 2)  pq số chẵn  số phải chẵn, tức

+ Giả sử p = Khi 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11 Thử q = 2( loại)

q = 3( t/m)

q > có số hợp số  p = q =

+ Giả sử q = Giải TT ta p = Vậy p = 2; q = p = 3; q =

Câu 5:

a/ (1điểm) Xét AMC EMB có :

AM = EM (gt ) AMC=EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB

Vì AMC= EMB  MAC MEB= (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE

b/ (1 điểm ) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )

MAI =MEK ( AMC= EMB ) K

H

E M

B

A

(3)

AI = EK (gt )

Nên AMI = EMK ( c.g.c ) Suy ra: AMI =EMK

Mà AMI+IME=1800 ( tính chất hai góc kề bù )



180

EMK+IME=

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1 điểm ) Trong tam giác vng BHE ( H =900 có HBE =500

 0 0

90 90 50 40

HEB= −HBE= − =

 0

40 25 15

HEM =HEB MEB− = − =

BME BME góc ngồi đỉnh M HEM Nên BME=HEM +MHE=150+900 =1050 ( định lý góc ngồi tam giác )

Câu 6: Cminh 21995 < 863

Có : 210 =1024, 55 =3025  210 <55  21720 3172 <5860

Có 37 =2187 ; 210 =1024  37 >211 3172 = (37)24 34 > (211)24 > (211) 26 = 2270  21720.2270 < 21720 3172 < 5860

Vậy 21990 <5860

25 < 53  21995 <5863

Đề số

Bài 1: ( điểm )

Tìm chữ số a,b cho số12a4b1996 chia hết cho 63

Bài 2: ( điểm )

Một người xe đạp từ A B với vận tốc 12 km/h Lát sau người thứ hai từ A B với vận tốc 21 km/h Tính hai người gặp B Sau nửa quãng đường người thứ hai tăng vận tốc lên 24 km/h hai người gặp cịn cách B km Tính chiều dài quãng đường AB

Bài 3: ( điểm )

Tìm số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:

29 23 17

11  

b a

8b - 9a = 31

Bài ( 1,5 điểm)

(4)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài ( 2,0 điểm)

Cho xAy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm, C điểm tia Ay

a Tính BD

b Biết BCD 850, BCA 500 TínhACD c Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK

ĐÁP ÁN Bài 1: Đặt 12a4b1996= N

N  63  N  N 

N   (1+2+a+4+b+1+9+9+6 )   (a+b+5)   (a+b) {4,13}

N = 120401996 + 1000000a + 10000b   (a+4b+1) 

+ Nếu a+b =  (4+3b+1)   (3b + 5)   3b : dư  b =  a =

+ Nếu a+b = 13  (13+3b+1)   3b 7  b   b  {0; 7}  b = ; a =

a

B

12a4b1996 121431996 126471996

Bài 2:

Hiệu vận tốc nửa quãng đường đầu 21 - 12 = (km/h)

sau : 24 - 12 = 12(km/h)

Do nửa quãng đường sau hiệu vận tốc

hiệu vận tốc nửa quãng đường đầu(theo

dự định) Nên thời gian xe thứ từ quãng đường đến chỗ gặp

thời gian xe nửa quãng đường đầu

Thời gian xe nửa quãng đường là:

3 12

7

= (h) Quãng đường AB dài là: 2.21 98( )

3

km =

Bài 3: Tìm a,b  N cho

29 23

11  

b a

8b - 9a = 31

8b - 9a = 31  b =

8 32

9

31 a − + a+a =

+

(5)

b =

29 23

1 17 11

9

) ( 31

 + +   +

= + +

q q q

q

11(9q+5) < 17(8q+1)  37q > 38  q >

29(8q+1) < 23(9q+5)  25q < 86  q <  q  {2; 3}

q = 

17 23 = b a

q = 

25 32 = b a

Bài

a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 d, 8n - d

 8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) d  31 d  d = 31 Để hai số nguyên tố d ≠ 31

Mà 7n + 31  7n + - 31 31 7(n - 4) 31  n – 31( 31 nguyên tố nhau)  n = 31k + 4( với k số tự nhiên)

Do d ≠ 31 n ≠ 31k +

Vậy hai số 7n +3, 8n – nguyên tố n ≠ 31k + 4( với k số tự nhiên) b) Gọi hai số phải tìm a b ( a, b  N* , a > b)

Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k b = 28q Trong k, qN*và k, q nguyên tố Ta có : a - b = 84

 k - q =

Theo ra: 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k <16

Chọn hai số có hiệu khoảng từ 11 đến 15 11 14; 12 15 Chỉ có 11 14 hai số nguyên tố

nên q = 11và k = 14

Ta có : a = 28 11 = 308 ; b = 28 14 = 392 Vậy hai số phải tìm 308 392

Bài

a) Tính BD

Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax A nằm D B

 BD = BA + AD = + = (cm)

b) Biết BCD = 850, BCA = 500 Tính ACD

Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD => ACD + ACB = BCD

=> ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350

(6)

* Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

- Lập luận K nằm A B

- Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = – = (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B

- Suy ra: KB = KA + AB KB = + = (cm)

* Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm

Đề số

Bài 1: (1,0điểm) Thực phép tính (tính hợp lý có thể)

a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16

b/ 23 53 - {400 -[ 673 - 23 (78: 76 +70)]}

Bài 2: (1,0điểm) M có số phương khơng nếu:

M = + + +…+ (2n-1) (Với n  N , n  0)

Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng:

a/ (3100+19990)

b / Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho

Bài 4: (6 điểm) Cho

Bài 5: (2,5điểm)

Cho góc xBy = 550.Trên tia Bx, By lấy điểm A, C (A B, CB) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300

a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC

c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz

ĐÁP ÁN

Bài

B A sè tû Ýnh 57

23

11 43 23

3 43 19

5 31 19

7

57 10

7 41 10

9 41

6 31

4

T B

A

+ +

+ =

+ +

(7)

a) 16(123+ 321 - 44):16 = 400

b) 8.125-3.{400-[673-8.50]} = 1000-3.{400-273}

=619

Bài

M = + + +…+ (2n-1) (Với n  N , n  0) Tính số số hạng = (2n-1-1): + = n

Tính tổng = (2n-1+1) n: = 2n2: = n 2

KL: M số phương

Bài

a) Ta có:

3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)

= (34)25 = 8125 có chữ số tận

19990 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19) = (192)495 = 361495 (có chữ số tận

Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho b)

Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a ) N Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a +

Vì 4a 4; khơng chia hết nên 4a+ không chia hết

Bài 4: A =

57 31 130 57 41 80 41 31 50 57 41 10 41 31 57 10 41 10 41 7 31 = + =       + +       + = + + + B= 57 31 52 57 43 28 43 31 24 57 11 43 23 43 31 19 57 23 11 43 23 43 19 31 19 = + =       + +       + = + + + 52 130 = B A Bài

Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C:

(8)

AC= AD + CD = 4+3 = cm

Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC

Ta có đẳng thức:  ABC =  ABD +  DBC  DBC = ABC - ABD =550 – 300 = 250

Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD

Tính  ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600

- Trường hợp 2:Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA

Tính  ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

Đề số

Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý :

a) (102 +112 +122) (: 132 +142) b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− −

c) ( )

2 16

13 11 3.4.2

11.2 4 −16

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)

e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + -

Bài : (4 điểm) Tìm x, biết:

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240 c) 11 - (-53 + x) = 97

d) -(x + 84) + 213 = -16

Bài : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b Bài : (3 điểm)

a) Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y =

b) So sánh M N biết :

102 103

101 1

M

101 1

+ =

+

103 104

101 1

N

101 1

+ =

+

Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm

OA, OB

a) Chứng tỏ OA < OB

(9)

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

ĐÁP ÁN Bài

( 2 2) ( 2) ( ) ( )

a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196

365 : 365 1

+ + + = + + +

= =

( )

2

b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− − =1.2.3 7.8 8− − =1.2.3 7.8 0=0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

16 16 18

11

13 11 13 2 4 13 22 36

2 36 36 36

13 22 36 35 36 35

3.4.2 3.2 2 3 2

c)

11.2 4 16 11.2 2 2 11.2 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2

2

11.2 2 2 11.2 2 2 11 2 9

= =

− − −

= = = = =

− − −

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374

= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - =

= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13

Bài

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

( )

 2 2

x 14 13 8 4 2.5 :19

x 4

 

 =  − − −

 =

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

( )

 2 2

x 14 13 8 4 2.5 :19

x 4

 

 =  − − −

 =

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240 c) 11 - (-53 + x) = 97

x 11 97 ( 53) 33

 = − − − = −

d) -(x + 84) + 213 = -16

(x 84) 16 213

(x 84) 229

x 84 229

x 229 84 145

 − + = − −

 − + = −

 + =

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Bài

Từ liệu đề cho, ta có :

+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1)

và ƯCLN(m, n) = (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :

( )

BCNN 15m; 15n 300 15.20

BCNN m; n 20 (3)

 = =

 =

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :

15m 15 15n+ = 15 m 1( + =) 15n  + =m n (4)

Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4)

Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75

Bài

a) Biến đổi vế phải đẳng thức, ta :

VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c

= b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - So sánh, ta thấy : VT = VP = a -

Vậy đẳng thức chứng minh

b) Với a > b S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

( ) ( ) ( )

S a b c c b a a b

S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b

 = − − − − + − + + − +

 = − − − + − + + − +  = − − − = +

Tính S : theo ta suy :  = +S a b

* Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy :

+ a b dương, hay a > b > 0, a + b > :  = + = +S a b a b

+ a b âm, hay > a > b, a + b <  − +(a b)0, nên suy :

( ) ( )

S a b a b a b

 = + = − + = − + −

* Xét với a b khác dấu :

Vì a > b, nên suy : a > b <  − b 0, ta cần xét trường hợp sau xảy : + a  b,hay a > -b > 0, a+ = − − b a ( b) 0, suy ra: = + = +S a b a b

+ a  b, hay -b > a > 0, a+ = − − b a ( b) 0, hay − +(a b)0 suy :

S a b (a b) a ( b)

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11

Vậy, với : +S = +a b (nếu b < a < 0)

+ S = − + −a ( )b (nếu b < a < 0, b < < a  b )

Bài

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy :  OA < OB

Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :

OA OB

OM ; ON

2 2

 = =

Vì OA < OB, nên OM < ON

Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có :

OM MN ON

 + =

suy : MN=ON−OM

hay : MN OB OA AB

2 2

−

 = =

Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

Đề số

Câu (6 điểm): Thực phép tính

a) 136 28 62 21 15 10 24

 − + 

 

 

b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314

c) 65 11 91 : 81

6 20

 

+  − 

 

Câu (4 điểm): Cho A = - + - + - 6+ + 19 - 20

a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng? b) Tìm tất ước A

Câu : (4 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số mà ta đem số nhân với cộng thêm ta

kết số có chữ số viết chữ số số ban đầu viết theo thứ tự ngược lại

Câu 4: Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A B, Oy lấy hai điểm C D cho OA = OC, AB =

CD Chứng minh: ABC = ACD

Câu : (3 điểm) Cho số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh ta chọn số mà

(12)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 ĐÁP ÁN

Bài (6 điểm): Thực phép tính a) (2 điểm):

= 272 168 186 21 29 21 203 811

30 30 30 24 24 24 24

 − +  = = =

 

 

b) (2 điểm):

= (528 : 4) + 42 171 - 7314

= 132 + 7182 - 7314 =

c) (2 điểm):

= 41 111 91 :25 41.2

6 4 6 25

 

+  −  = +

 

= 41 125 246 371 71 6+25 =150+150 =150 = 150

Bài (4 điểm):

a) (2 điểm):

A = (1-2) + (3-4) + (5-6) + + (19-20) (có 10 nhóm) = (-1) + (-1) + (-1) + + (-1) (có 10 số hạng) = 10 (-1) = -10

Vậy A 2, A 3, A b) (2 điểm):

Các ước A là: 1, 2, 5, 10 (nêu ước cho 0,25đ)

Bài 3: Gọi số abcd

abcd + = abcd  a <  a =  d  bcd

1 +6 = dcb  d số lẻ  d {5,7,9} 1 d =  1bc5.5+6=5cb1

 5000 + 500b + 50c + 31 = 5000 + 100c + 10b +  c = b− = b+ b− N

5 196

9

196 49

  4,9

5 196

4 −  → = + →  b q

b N b

b =  c =

b =  c = 51  Loại

Nếu d =  c = 9b + − →  0;5 →

395

b b

loại

(13)

y D

C

x B

A

O

Câu

Già thiết: góc xOy ; OA=OC, AB=CD Kết luận: a) ABC = ACD

b) ABD = BCD

(Hình vẽ GT, KL 0,5đ)

Xét OAD OCB có: - Góc O chung

- OA = OC (gt) - OB = OD

Do đó: OAD = OCB (c-g-c)  AD = BC a) Xét ABC ACD có

- AB = CD (gt) - AC chung - AD = BC

Do đó: ABC = ACD

Bài 5: Gọi số a1; a2; a7

Trong số tự nhiên tuỳ ý có số chẵn lẻ  Tổng chúng số chẵn Xét a1, a2, a3 :

Khơng tính tổng qt giả sử a1,2 = a1+ a2 số chẵn Xét a4, a5, a6  a4,5 số chẵn

Xét a3, a6, a7  a3,6 số chẵn

Xét a1,2; a4,5 ; a3,6 số chẵn ta chia số cho  b1,2 ; b4,5 ; b3,6 b1,2,4,5 = b1,2 + b4,5 số chẵn

a1,2 +a4,5 = 2( b1,2 + b4,5 ) (b1,2 + b4,5 )   (a1,2 + a4,5 ) 

 (a1 + a2 + a4 + a5 ) 

(14)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Đan Hội

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan