Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Thanh Lâm

Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.. nào đó[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS THANH LÂM ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số

Câu 1: Chứng minh rằng:

A =

2

1

99

2 + + + 

+

Câu 2: Tìm số nguyên tố p cho số p + p + Cũng số nguyên tố

Câu 3: (2 điểm)

a Tìm n để n2 + 2006 số phương

b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số

Câu 4: (2 điểm)

a Cho a, b, n  N* Hãy so sánh

n b

n a

+ +

và

b a

b Cho A =

1 10

12 11

− −

; B =

1 10

11 10

+ +

So sánh A B

Câu 5: (2 điểm)

Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10

Câu 6: (1 điểm)

Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng

ĐÁP ÁN Câu 1:

Ta có: 3A = 2 3 98

3

1

1+ + + + +

Nên 3A - A = - 99

3

Hay 2A = - 99

3

 A =

2

1

99 

− Vậy A < ẵ

Câu 2:

Số p có dạng 3k; 3k + 1; 3k + với k  N * Nếu p = 3k p = ( p số nguyên tố)

Khi p + =5; p + =7 số nguyên tố

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | p + hợp số; trái với đề

Vậy p = giá trị phải tìm

Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)  a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm)

+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n)2 (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm)

Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm)

b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho

Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm)

Bài 4: Mỗi câu cho điểm

Ta xét trường hợp a

b= ;

a b  ;

a

b (0,5đ)

TH 1: a

b =  a = b

a n a

1

b n b

+ = =

+ (0,5đ) TH 2: a

b  a > b a + n > b+ n

Mà a n

b n

+

+ có phần thừa so với

a b a

;

b n b

−

+ có phần thừa so với

a b

b

− ,

vì a b a b

b n b

−  −

+ nên

a n a

b n b

+ 

+ (0,25đ) TH3: a

b  a < b a + n < b + n

Khi a n

b n

+

+ có phần bù tới

b a

b n

− + ,

a

b có phần bù tới b a

b

− ,

vì b a b a

b n b

−  −

+ nên

a a n

b b n

+ 

+ (0,25đ) b) Cho A =

1 10 10 12 11 − − ;

rõ ràng A < nên theoa, ba <1 b n

n a

++ > ba  A<

10 10 10 10 11 ) 10 ( 11 ) 10 ( 12 11 12 11 + + = + − + − (0,5đ)

Do A<

10 10 10 10 12 11 + + = = + + ) 10 ( 10 ) 10 ( 10 11 10 10 10 11 10 + + (0,5điểm) Vây A<B

(3)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Đặt B1 = a1

B2 = a1 + a2 B3 = a1 + a2 + a3 B10 = a1 + a2 + + a10

Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn chứng minh ( 0,25 điểm) Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau:

Ta đen Bi chia cho 10 10 số dư ( số dư  { 1,2.3 9}) Theo nguyên tắc Diriclê, phải có số dư Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n)  ĐPCM

Bài 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng  có : 2005x 2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần  số giao điểm thực tế là:

(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm

Đề số

Câu 1 Một Đoàn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách khơng thừa, khơng thiếu người thuyền Đồn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ?

Câu 2 Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ?

Câu 3 Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 Câu 4:

Một bác nông dân mang cam bán Lần thứ bán 1/2số cam 1/2 quả; Lần thứ bán 1/3 số cam lạivà 1/3 ; Lần thứ bán 1/4số cam lại 3/4 Cuối cung lại 24 Hỏi số cam bác nông dân mang bán

Câu 5: Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng

nào đồng quy Tính số giao điểm chúng

ĐÁP ÁN Câu 1

Một Đoàn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, khơng thiếu người thuyền Đồn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ?

Giả sử thuyền chở 30 người 11 thuyền chở được: 30 11 = 330 (người) (1 đ) Nên số thuyền người lái chở 24 người / thuyền (330 - 300): (30 - 24) = (thuyền) (1 đ) Giả sử thuyền có người láI, số người láI thuyền là: 11 = 22 (người) (1 đ) Nên số thuyền người láI chở 30 người là: 22 -19 = (thuyền)

(4)

Câu

Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ?

Nhận xét: Số a có n chữ số khi: 10n−1  a  10n (1 đ) Ta thấy: 250 = 216 234 =216 (29)3 27 = 216 5123 128 (1) (0,5 đ)

) ( 625

)

5 (

1016 = 16 16 = 16 4 = 16

Từ (1) (2) suy ra: 250 1016 (0.5 đ) Mặt khác: 250 = 215 235 =215 (27)5 = 215 1285 (3) (0,5 đ)

) ( 125

) (

1015 = 15 15 = 15 = 15

Từ (3) (4) suy ra: 1015  250 (0.5 đ)

Vậy ta có: 1015 250 1016; Nên số 250 có 16 chữ số viết hệ thập phân (1đ)

Câu

Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 Ta có: 

7 sơ chu 51

7

77 = 777777.1045 +777777 1039+ + 777777 103+777 (0.5 đ) = 777777(1045 + 1039 + + 103) + 777 (0.5 đ)

Suy ra: 

7 sô chu 51

7

77 chia cho 777 777 dư 777 (0.5 đ)

Đặt 

7 sô chu 51

7

77 = A ; 777 777 = B; 1045 + 1039 + + 103 = C (0.5 đ)

Ta có A = B.C + 777 hay A - B C = 777 Từ ước chung A B ước 777 Mặt khác 777 ước số A B (0.5 đ)

( A = 777.(1048 +1045 + + 1); B = 777 1001) Vậy 777 ƯCLN A B

Câu 4. Số cam lại sau lần bán thứ : (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ)

Số cam lại sau lần bán thứ (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ)

Số cam bác nông dân mang bán (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ)

Câu 5 (1đ)

Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng lại tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm giao điểm tính hai lần nên có 101.100:2= 5050 ( giao điểm)

(5)

Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số abc, biết rằng: b2 =ac

abc−cba=495

Bài 2: a)Tính nhanh:

1979 1978 1979 1980 1958 21 1980 1979 1978 − + +

b) Rút gọn:

2 11 2

12

5 16 6 12 15 2.6 10 81 960

+ −

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số

4 99 + + n n

a) Có giá trị số tù nhiên b) Là phân số tối giản

Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng

31 số số dương

Bài 5: (2đ) Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tuỳ ý sau đem cộng số với số

thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10

Bài 6: (1,5đ)

Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng:

a xOy=xOz= yOz

b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại

ĐÁP ÁN Bài 1: Ta có

( ) ( )

( ) 495 495:99

99 99 99 10 100 10 100 10 100 10 100 = = −  = − = − = − − − + + = + + − + + = − c a c a c a a b c c b a a b c c b a cba abc

Vì b2 =acvà ≤ b ≤ mà a - c = Nên ta có:

Với a = c = b2 = 9.4 = 36 b = (Nhận)

Với a = c = b2 = 8.3 = 24 khơng có giá trị b Với a = c = b2 = 7.2 = 14 khơng có giá trị b Với a = c = b2 = 6.1 = khơng có giá trị b

Bài 2: a)

(6)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1440 101 12 . 120 5 96 12 . 15 . 8 5 3 . 32 12 . 3 . 5 . 2 5 3 . 2 2 3 . 5 . 3 . 5 . 2 5 3 . 2 . 2 . 3 . 5 5 . 2 . 3 3 . 5 . 2 5 . 3 . 2 3 . 2 . 5 5 . 3 . 2 . 3 5 . 2 . 3 . 2 . 2 5 . 3 . 3 . 2 . 3 . 2 2 . 3 . 2 . 5 960 . 81 10 . 6 . 2 15 . 12 . 6 16 . 6 . 5 11 17 14 10 18 11 12 17 10 14 11 19 4 12 2 11 12 2 11 = + = + = + = − + = − + = − + = − +

Bài 3: Đặt A = ( ) ( )

4 91 91 4 91 4 91 99 + + = + + + + = + + + = + + + = + + n n n n n n n n n n

a) Để A số tù nhiên 91⋮ 3n + ⋮ 3n + ước 91 hay 3n + thuộc {1; 7; 13; 91} Với 3n + = n = -1 Loại n số tù nhiên

Với 3n + = n = Nhận A = + 13 = 15 Với 3n + = 13 n = Nhận A = + = Với 3n + = 91 n = 29 Nhận A = + =

b) Để A phân số tối giản 91 khơng chia hết 3n + hay 3n + không ước 91 Suy 3n + không chia hết cho ước nguyên tố 91 Từ suy ra:

3n + không chia hết cho suy n ≠ 7k +1 3n + không chia hết cho 13 suy n ≠ 13m +

Bài (2đ) Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số bất

kỳ chúng số âm trái với giả thiết

Tách riêng số dương cịn 30 số chi làm nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương

Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ , ,2, …., nên ln tìm hai tổng có chữ số tận giống nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10

Bài 6 (1,5đ).Ta có: x Oy' =60 ,0 x Oz' =600 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên

' '

120

yOz= yOx +x Oz= xOy= yOz=zOx

Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz x Oy' =x Oz' nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz

Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy

Đề số Câu Tính:

a A = + 2 + + + + 20

b Tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 5750

(7)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a Chứng minh nếu: (ab+cd +eg) 11 abcdeg 11

b Chứng minh rằng: 10 28 + 72

Câu

Hai lớp 6A; 6B thu nhặt số giấy vụn Lớp 6A có bạn thu 26 kg lại bạn thu 11 kg ; Lớp 6B có bạn thu 25 kg lại bạn thu 10kg Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng 200kg đến 300kg

Câu : (4 điểm )Cho xOy yOzlà hai góc kề bù thoả mãn xOy=5yOz

4

a) Tính số đo góc xOy yOz

b) Kẻ tia Ot cho tOy=800.Tia Oy có tia phân giác tOz không ? Tại ?

c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng cho đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường tròn tâm O bán kính r Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói với tia gốc O có hình vẽ, tính số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp A

(Cho biết điểm nằm đường tròn khơng thẳng hàng)

Câu : (1 điểm) Cho lưới vng kích thước 55 Người ta điền vào ô lưới số

-1; 0; Xét tổng số tính theo cột, theo hàng theo đường chéo Hãy chứng tỏ tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị

ĐÁP ÁN Câu 1. a) 2A = + + + + 21

=> 2A – A = 21 +8 – ( + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) + + (2 20 – 2 20) = 2 21 b) (x + 1) + ( x + ) + + (x + 100) = 5750

=> x + + x + + x + + + x + 100 = 5750 => ( + + + + 100) + ( x + x + x + x ) = 5750

101 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750

100 x = 5750 – 5050 100 x = 700

x =

Câu 2. a) abcdeg=10000ab +100cd +eg = 9999 ab+99cd +(ab+cd +eg) 11 b) 10 28 + 9.8 ta có 10 28 + 8 (vì có số tận 008)

nên 10 28 + 9.8 10 28 + 72

Câu 3. Gọi số giấy lớp thu x (Kg) ( x-26) 11 ( x-25) 10 Do (x-15)  BC(10;11) 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235

(8)

Bài

* ) Trường hợp x = tìm y  {3, } +) y = tìm z =

+) y = tìm z =

* ) Trường hợp x =3 tìm y = z =3

Vậy x= 2, y = , z = x = 2, y = , z = x = y = z =3 Cho xOy yOzlà hai góc kề bù thoả mãn xOy=5yOz

4

a) Tính số đo góc xOy yOz Vẽ hình

Lập luận xOy + yOz = 1800 mà xOy=5yOz

4 => 5

yOz

4 + yOz = 180 0 9

yOz

4 = 180

0 =>yOz = 800

=>xOy = 1000

b) Kẻ tia Ot cho tOy=800 Tia Oy có tia phân giác tOz không ? Tại ?

Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ đường thẳng chứa tia Oy tia Ot trùng với tia Oz ( dotOy= yOz= 800 ) nên tia Oy không tia phân giác tOz

Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ đường thẳng chứa tia Oy tia Oy nằm tia Oz Ot mà tOy= yOz (= 800 ) nên tia Oy tia phân giác tOz

c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng cho đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường tròn tâm O bán kính r Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói với tia gốc O có hình vẽ, tính số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp A (Cho biết điểm nằm đường trịn khơng thẳng hàng)

Lập luận có 50.2 + = 104 tia gốc O => A có 104 điểm

Lập luận để có 104.103/2 = 5356 đoạn thẳng nối 104 điểm A

Nối đầu đoạn thẳng với điểm thuộc 102 điểm cịn lại (khơng phải mút đoạn thẳng đó) 102 tam giác

Vậy có 5356.102 tam giác Nhưng tam giác tính lân, ta có5356.102 : = 182104 tam giác

Bài

(9)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vì lưới vng có kích thước 55 có cột, hàng đường chéo, có tất 12 tổng Do chọn

điền vào ô số -1, ,1 nên giá trị tổng S số nguyên thoả mãn : -5 ≤ S ≤ Vậy có 11 số mà 12 tổng , theo nguyên tắc Đi-rích-lê tồn hai tổng có giá trị

Đề số

Câu 1: Tính tổng 12 13 1001

3 3

A= + + + +

Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho:

3 a b = ;

12 21 b

c = ; 11 c d =

Câu 3: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , 50

a) Tìm hai số thuộc dãy cho ƯCLN chúng đạt giá trị lớn b) Tìm hai số thuộc dãy cho BCNN chúng đạt giá trị lớn

Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành góc AOB, BOC, COD, DOA khơng có điểm chung

Tính số đo mổi góc biết rằng: BOC = AOB; COD = AOB; DOA = AOB ĐÁP ÁN

Câu 1: Ta có 3A = + 1/3 + 1/32 + + 1/399

Vậy: 3A – A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399) - (1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 Suy ra: A= (3100-1)/ 2.3100

Câu 2: Ta có 12/21= 4/7, phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giản nên tồn số tự nhiên k, l, m cho a = 3k, b = 5k, b = 4n, c = 7n, c = 6m, d = 11m

Từ đẳng thức 5k = 4n, 7k = 6m ta có 4n 7n mà (4,5) = 1; (7,6) = Nên n 5, n mặt khác (5,6) =1 n 30

để số tự nhiên a, b, c, d nhỏ phải khác 0, ta chọn n nhỏ 30 suy ra: k = 24, m = 35 Vậy a = 72, b = 120, c = 210, d = 385

Câu 3: Gọi a b hai số thuộc dãy 1, 2, 3, , 50 Giả sử a > b

a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) a – b d ta chứng minh d ≤ 25 giả sử d > 25 b>25 ta có a ≤ 50 mà b >25 nên 0< a – b < 25, xảy

a – b d ; d = 25 xảy a = 50; b = 25

vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn 50 25 a) BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450

Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn 50 49

Câu 4: (Học sinh tự vẽ hình)

Ta thấy : AOB + BOC + AOD >1800

vì trái lại góc AOD có điểm chung với ba góc Đặt AOB= α

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội

dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí