Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Tuổi của người anh hiện nay gấp đôi tuổi của người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay. Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳ[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS PHÚ NHUẬN ĐỀ THI HSG LỚP
MƠN: TỐN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Câu 1 (3 điểm) Cho a, b, c thoả mãn
c b a c b
a+ + = + +
1 1
1 1
Tính giá trị biểu thức: M = (a19 + b19)(b5 + c5)(c2017 + a2017) Câu (3 điểm) Cho phân thức A = x-1
x2-3x+2 a) Tìm điều kiện x để A xác định
b) Rút gọn A
c) Tìm x đề giá trị A
Câu 3 (3 điểm) Cho P = x2 + x + Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Câu 4 (4 điểm) Tính giá trị biểu thức sau:
A = – 12 + 22 – 32 + 42 – …… – 992 + 1002 B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b a c ca a c b bc c b a ab − + + − + + −
+ ; Biết a + b + c =
Câu (3 điểm): Tổng tuổi hai anh em 63 Tuổi người anh gấp đôi tuổi người em lúc người anh tuổi em Hỏi tuổi người ?
Câu 6 (4 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vng góc với lần lợt cắt BC P R, cắt CD Q S
1) Chứng minh AQR APS tam giác cân
2) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3) Chứng minh P trực tâm SQR
4) Chứng minh MN trung trực AC
ĐÁP ÁN
Câu 1 (3 điểm):
c b a c b
a+ + = + +
1 1 1 1 c c b a b a 1 1 1 1 − + + = + ) ( ) ( c b a c b a ab b a + + + − = +
(a + b)c(a + b + c) = –ab(a + b) (a + b)[c(a + b + c) + ab] = (a + b)[c(a + c) + bc + ab] = (a + b)[c(a + c) + b(c + a)] = (a + b)(a + c)(c + b) = a + b = b + c = c + a = a = –b b = –c c = –a M =
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | A = x-1
x2-3x+2
a A xác định x2 – 3x + 0 x 1 x2 b A = x-1
x2-3x+2=
1
( 1)( 2)
x
x x x
−
=
− − −
c A = 1
2 x x
x
= − = =
−
Câu 3 (3 điểm): Cho P = x2 + x + Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Ta có P = x2 + 2x + ( )2 + = (x + )2 +
Do (x + )2 không âm nên nhỏ (x + )2 =
Tức x= - biểu thức có giá trị nhỏ Câu 4 (4 điểm) (Mỗi câu điểm):
A = -12 + 22 - 32 + 42 - ……- 992 + 1002
A = (22 – 12 ) + ( 42 – 32 )+ ……+ (1002 - 992 ) A = + + + + ……+ 99 + 100) A = 50 101 = 5050
Từ a + b + c = a + b = - c a2 + b2 –c2 = - 2ab Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac
B =
2
2
2 +− + − =−
− ca
ca bc
bc ab
ab
Câu (3 điểm) Gọi tuổi anh x, tuổi em 63 – x Khi tuổi anh tuổi em tức trước x – (63 – x) năm
ta có tuổi em lúc là: 63 – x – x – (63 – x )= 126 – 3x
Theo ta có phương trình: x = 2(126 – 3x) => x = 36 Tuổi anh 36, tuổi em 27
2
2
4
2
4
2
2
2
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 6 (4 điểm):
1) ADQ = ABR chúng hai tam giác vng (để ý góc có cạnh vng góc) DA = BA (cạnh hình vng) Suy AQ = AR, nên AQR tam giác vuông cân A Chứng minh tợng tự ta có: ABP = ADS
do AP = AS vàAPS tam giác cân A
2) AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN⊥SP AM⊥RQ Mặt khác: PAN=PAM= 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng, nên hình chữ nhật
3) Theo giả thiết: QA⊥RS, RC⊥SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm SQR
4) Trong tam giác vng cân AQR MA trung tuyến nên AM =
QR
Trong tam giác vng RCQ CM trung tuyến nên CM =
QR MA = MC, nghĩa M cách A C
Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA= NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC
Đề số
Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009
b) 81x4 +
c) (x2 + 3x + 2)(x2+ 11x + 30) – Câu 2: (4.0 điểm)
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn: 2
1
x y
x y
− + − =
− −
Chứng minh M =x +y -xy2 bình phương số hữu tỷ Câu 3: (4.0 điểm)
1 Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y)+ = 40x+1 Giải phương trình: (3x−2)(x+1) (2 3x+ = −8) 16
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M, N, I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD
a) Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b) Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Cõu 5. (2,0 điểm) Chứng minh với n Z, n chẵn, ta cú số n3 + 20n luụn chia hết cho 48 a) Tìm giá trị nguyên x để A = 2
5
x x x
+ có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= −5 x2+2x−4y2−4y
ĐÁP ÁN Câu 1.
a) 2x2+5x− =3 2x2+6x− −x
( ) ( ) ( )( )
2x x x x 2x
= + − + = + −
b) x4+2009x2+2008x+2009=x4+x2+ +1 2008x2+2008x+2008
2 2
2 2
( 1)( 1) 2008( 1)
( 1)( 2008) ( 1)( 2009)
x x x x x x
x x x x x x x x
= + + − + + + +
= + + − + + = + + − +
c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+ + = +8) 16 (x 2)(x+8)(x+4)(x+ +6) 16
( )( )
10 16 10 24 16
x x x x
= + + + + +
Đặt
10 20
x + x+ =t
( )( ) 2
4 16 16 16
t t t t
= − + + = − + =
( 2 )2
10 20
x x
= + +
Câu
a) Ta có: p2 + a2 = b2 p2 = (b + a)(b - a) Mà ước p2 1; p p2
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Do
2
2
2 (p 1)(p 1)
b a p
a p b a
+ =
= − = + −
− =
(1)
Mà p nguyên tố p > 3, suy p lẻ nên p + p – hai số chẵn (2)
Từ (1) (2) suy (p + 1)(p -1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho (3)
Lại có p nguyên tố p > Nên p không chia hết cho p2 số phương lẻ Do p2 chia dư Suy p2 – chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho
Suy a chia hết cho ( (2, 3) = 1) (4)
Tư (3) (4) suy a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm)
b) Ta có 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1
x y
x y y x x y
x y
− + − = − − + − − = − −
− −
1− −y 2x+2xy+ − −1 x 2y+2xy= − − +1 x y xy
2
xy
x y +
+ = Khi đó: M= ( )
2
2
2 3
3
2
xy xy
x +y −xy= x+y − xy= + − xy= = −
Vì x, yQ nên
xy−
số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ Câu
a) Ta có: (x+y)4 =40x+1(1)
Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + < 40x + 40y Suy 41 +(x y)4 40x+40y
Nên 16 < (x + y)4 (x + y)3 < 40 Suy < x + y < Mà x, y nguyên dương; nên x + y = (2)
Thay (2) vào (1) ta có: 40x + = 34 x = 2, thay vào (2) tìm y = Vậy (x; y) = (2; 1)
b) Ta có (3x−2)(x+1) (2 3x+ = − 8) 16 (3x−2 3)( x+3) (2 3x+ = −8) 144 Đặt 3x+ = 3 t 3x− = −2 t 5;3x+ = +8 t Ta có PT (t−5) (t2 t+ = −5) 144
( )( )
4 2
2
9
25 144 16
4 16
t t
t t t t
t t
= = − + = − − = =
=
-Xét trường hợp t ta tìm x=0 ; x=−2; x=1
3 ; x= − -KL
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEO= DFO g( − −c g) => BE = DF
Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b) Ta có: ABC=ADCHBC=KDC Chứng minh : CBH CDK g( −g)
CH CK
CH CD CK CB CB CD
= =
c) Chứng minh : AFD AKC g( −g) AF
A
AK
AD AK F AC AD AC
= =
Chứng minh : CFD AHC g( −g)
CF AH CD AC
=
Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC
AB AC
= =
Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2 Câu
a) Ta có
( )
2 2
2 2
2 2
13 13 2.13
13 13 2.13
13 13 13 13 13
a k a k k
b l b l l
a b k k l l
= + = + +
= + = + +
+ = + + + +
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
( )( ) ( )( )
1 4
A=x x+ x + −x = x +x x + −x Đặt x2 + x – = t
( )( )
2 4
A= +t t− = − −t Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =
O
F
E
K H
C
A
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | ( )( )
2
2
1
1 x x
x x x x
+ − =
− + =
= = −
Đề số
Câu 1 (2 điểm): Cho P = + x + x2 + x3 + + x2014 + x2015 Chứng minh: (x - 1)P = x2016 -
Câu (4 điểm): Cho biểu thức: = + − − + − − +
− + −
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2017
K .
x 1 x 1 x 1 x
a Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b Rút gọn biểu thức K
c Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị ngun
Câu 3 (3 điểm): Các cạnh góc vng tam giác vng có độ dài a, b diện tích S Tìm góc tam giác vng biết (a + b)2 = 8S
Câu 4 (4 điểm): Cho hình thang vng ABCD ( A = D = 900 ) có AB = 4(cm), CD = 9(cm), BC = 13(cm) Trên cạnh BC lấy M cho BM = AB Đường thẳng vng góc BC M cắt AD N Tính diện tích tam giác BNC
Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC với trung tuyến CM Điểm D thuộc đoạn BM cho BD = 2MD Biết MCD = BCD Chứng minh ACD = 900
Câu 6 (3 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
2
4 1
x x
x
− +
với x ĐÁP ÁN
Câu 1 (2 điểm):
Ta có xP = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016
xP - P = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016 - (1 + x + x2 + + x2014 + x2015) = x2016 -
điều cần CM Câu (4 điểm):
a) K có nghĩa x 1 x b) K = A.B
+ − − + − −
=
− +
2 2
(x 1) (x 1) x 4x 1
A
(x 1)(x 1)
−
= =
−
2
x 1
A 1
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vậy K = A.B = x 2017 2017
x x
+ = +
c) Muốn K nguyên x ước 2017
Mà 2017 số nguyên tố nên có ước dương 2017 Nên x = x = 2017
Với x = K = 2018 Với x = - K = - 2016 Với x = 2017 K = Với x = -2017 K =
Câu 3 (3 điểm): Ta có: S =
2 ab
Theo (a + b)2 = 8S a2 + 2ab + b2 = 8.1
2 ab = 4ab a2 - 2ab + b2 =
(a - b)2 = a = b
tam giác vng cân góc nhọn = 450 Câu 4 (4 điểm):
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | MC = BC - BM = 13 - = = CD
Do NC tia phân giác MND Hai góc ANM MND kề bù
Nên BNC = 900
BNC vuông N NM⊥BC (gt) NM2 = BM.MC = 4.9 = 36
MN = 6(cm) Do đó: SNBC =
1
2 NM.BC =
2.6.13 = 39(cm
2) Câu (4 điểm):
BCM có MCD = BCD (gt) đó: CB DB
CM = DM = (vì DB = 2DM gt) BC = 2CM
Gọi P điểm đối xứng C qua M Ta có: PC = 2CM = BC (chứng minh trên) BCP cân C có CD phân giác Nên CD⊥BP
Mặt khác M trung điểm AB (gt) Và M trung điểm CP
BP // AC BP⊥CD AC⊥CD hay ACD = 900 Câu 6 (3 điểm):
A =
2 2
2
(4 4 1) 3 (2 1)
3 3
x x x x
x x
− + − −
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Dấu “=” xảy 2x - = x =
2 Giá trị nhỏ A = -3 x =
2
Đề số
Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức:
3
2
4
2
x x x
A
x x
− + −
=
− −
a Rút gọn A
b Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên Bài 2 (3,0 điểm)
a Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với n chẵn b Tìm giá trị lớn biểu thức B =
2
x x
+
− với x số nguyên Bài 3 (3,0 điểm)
Cho hai số không âm avà b thoả mãn a +b2 a+b Tìm giá trị lớn biểu thức: 2020
2019
1 1
a b
S
a b
= + +
+ +
Bài 4 (3,0 điểm)
Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a 5x2 + y2 = 17 + 2xy
b x+ + − = −2 x (y+2)2 Bài 5 (6,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M (0<MB<MA) cạnh BC lấy N cho
MON=90 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON
với BE
1 Chứng minh ΔMON vuông cân Chứng minh: MN // BE CK⊥BE
3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh: KC+KN+CN=1 KB KH BH
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) Rút gọn A
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 - Phân tích 2x2 - 3x - = (x - 2)(2x + 1)
- Rút gọn kết
2
4
2
x A
x + =
+
b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun - Tìm ĐKXĐ:
1
;
2
x − x
4
2
2
x
A x
x x
+
= = − +
+ +
-Lập luận để A có giá trị nguyên xZ 2x + ước lẻ - Tìm x = 0; -1
Bài
a) Vì n chẵn nên n = 2k (k Z) Do n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k = 8k3 + 4024k = 8k3 - 8k + 4032k = 8k(k2 - 1) + 4032k = 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k lập luận suy điều phải chứng minh b) Nhận xét : B =
2
x x
+
− với x2 mà x−2 > với x2 nên: Nếu x + < x < -1 B <
Nếu x + = x = -1 B = Nếu x + > x > -1 B > Suy B đạt giá trị lớn x > -1 Do x số nguyên, x2, x > -1
Nên ta xét trường hợp sau x = B =
2 (1) x = B = (2) x > B =
2
x x
+ − Với x > ta có B =
2
x x
+ − =
3
2
x +
− B lớn
2
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 mà > x > x - >
nên:
x− lớn x - nhỏ x - nguyên x - = x = B = (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn x = Bài
+ Ta có 2 2
1 ; 2 2
a + a b + ba +b + a+ b + a b (do 2
a +b +a b) + Chứng minh với hai số dương x y, 1
x+ y x+y + Do
2020 2020
1
2019 2019 2020
1 1
S
a b a b
= + − + + −
+ + + + +
+ Kết luận: GTLN S 2020, đạt a= =b Bài
a) 5 2 17 ( )2 17 17 17
4
x +y = + xy x−y + x = x x Do x nguyên nên x20;1; 4
+ x2 = 0(x - y)2 = 17 (loại) + x2 = 1(x - y)2 = 13 (loại) + x2 = 4(x - y)2 =
Với x = (2 - y)2 = tìm y = ; y = Với x = - (- - y)2 = tìm y = -1 ; y = -3 Vậy cặp số nguyên (x; y) (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3) b) Chứng tỏ x+ + − 2 x 3với x
Dấu xảy -2 x
Chứng tỏ (− y+2)2 3với y Do x+ + − = − +2 x (y 2)2 =3
2
3 (− y+2) =3 tìm y = -
2
x+ + − =x -2 x mà x Z
x = -2; -1; 0;
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13
a) -Ta có 0
90 90
BOC= CON+BON= ;
vì MON=900 BOM +BON =900 BOM =CON
-Ta có BD phân giác góc ABC 450
ABC MBO=CBO= =
Tương tự ta có 45
BCD
NCO=DCO= = Vậy ta có MBO=NCO
-Xét OBM OCN có OB=OC ; BOM =CON;MBO=NCO OBM= OCNOM =ON *Xét MON có
90 ;
MON= OM =ON MON vuông cân O
b) + OBM = OCNMB=NC; mà AB=BC AB MB BC NC AM BN AM BN MB NC
− = − = =
Ta có AB//CD AB/ /CE AN BN NE NC
=
/ /
AM AN
MN BE MB NE
= ( theo định ký Ta- lét đảo )
+ Vì MN//BE BKN =MNO=450 ( góc đồng vị có tam giác MON vng cân) BNK ONC
( có
; 45
BNK=ONC BKN=OCN= ) NB NO NK NC
=
Xét BNO;KNCcó BNO=CNK; NB NO
NK = NC BNO KNC
0 45
NKC=NBO= Vậy ta có BKC=BKN+CKN=450+450 =900 CK ⊥BE
c) -Vì KH//OM mà
90
ON ⊥OM OK ⊥KH NKH = , mà NKC=450 CKH =450BKN =NKC=CKH=450
H
E O
N M
K
D C
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Xét BKC có BKN =NKCKN phân giác củaBKC, mà KH ⊥KN KH phân giác
ngoài BKC KC HC KB HB
=
Chứng minh tương tự ta có KN BN KH BH
=
-Vậy ta có KC KN NC HC BN CN BH
KB +KH +BH = HB +BH +BH = = BH =
Đề số
Câu (2,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( x+ x )( + x )( + x )( + ) − 120 b) Rút gọn biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
−
= + + − +
− − + +
tìm x cho A = −A
Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau:
a) x + x+1 + x+2 + x+3 =x +2016
2020 2019 2018 2017
b) (3x + x )( + 6x )( + 7)2 6= Câu (2,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = b) Chứng minh với số nguyên x, y
B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Câu (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh:
AE AB
AF = AC ; AEF CED=
b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM
c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng Câu (1,0 điểm)
Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ( 1) ( 1) ( 1)
a b c
bc a+ +ca b+ +ab c+
ĐÁP ÁN Câu 1
(15)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120 = (x2 + 7x + 11)2 - 112 = (x2 + 7x)( x2 + 7x + 22) = x(x + 7)( x2 + 7x + 22) b)
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
−
= + + − +
− − + +
− + + − − + + −
=
− + +
2
x 2(x 2) x (x 2)(x 2) 10 x
A :
(x 2)(x 2) x 2
− − + − − + −
=
− + +
2
x 2x 4 x x 4 10 x
A :
(x 2)(x 2) x 2
− + −
= =
− + −
6 x 2 1
A
(x 2)(x 2) 6 x 2
Vậy A 1 x 2
− =
− với x 2 −
= − −
− 1
A A A 0 0 x 2 0 x 2
x 2
Câu 2
x x+1 x+2 x+3
+ + + =x +2016
2020 2019 2018 2017
x x+1 x+2 x+3
+1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4
2020 2019 2018 2017
x+2020 x+2020 x+2020 x+2020
+ + + =x +2020
2020 2019 2018 2017
1 1 1 1
( 2020)( + + + 1) 0
2020 2019 2018 2017
x
+ − =
x + 2020 =
1 1 1 1
+ + + 1 0
2020 2019 2018 2017 −
x = -2020
Vậy nghiệm phương trình cho là: x=- 2020 b) (3x+4)(x+1)(6x+7)2 =6
(6x+8)(6x+6)(6x+7) =72 (*) Đặt 6x + = t, ta có:
(16)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 (*) (t 1)(t 1)t+ − =72 − −t4 t2 72= = 0 t 3
- Với t = 3, ta có 6x 7 3 x 2 3
−
+ = =
- Với t = -3, ta có 6x 7 3 x 5 3
−
+ = − =
Vậy nghiệm phương trình cho là: x 2; x 5
3 3
− −
= =
Bài
) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 =
(x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – = (x+1)2 - (y + 2)2 =
(x – y - 1)(x + y + 3) =
Vì x, y nguyên dương nên x + y + > x – y – > x + y + = x – y – =
x = ; y =
Vậy phương trình có nghiệm dương (x,y) =(3;1) b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
(17)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17 a) Xét AEB AFC có :
EAB chung
AEB=AFC( 90 )=
Do AEB đồng dạng AFC( g.g) AE AB AF AC
=
Xét AEF ABC có : BAC chung AE AF
AB= AC(vì
AE AB AF = AC) Do AEF đồng dạng ABC (c.g.c) AEF=ABC
Chứng minh tương tự ta : CED=CBA Do : AEF=CED
b) Vì BEF+AEF=BED+CED 90= nên BEF=BED EB tia phân giác góc DEF Tam giác NED có EH tia phân giác DEN nên: HN EN
HD = ED (1)
Vì EA⊥ EH nên EA tia phân giác đỉnh E DEN
AN EN
AD ED
= (2)
Từ ( 1) (2) suy : HN AN
HD =AD , mà HD=DM ( Do M điểm đối xứng H qua D)
Nên HN AN HN.AD AN.DM
DM = AD =
N
M
K
I
H F
E
D C
B
(18)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 18 c) HN AN AN HN AH AN AH
DM AD AD DM AM AD AM
+
= = = =
+
AMI có HF//MI( ⊥AB) AF AH
AI AM
= (định lí Ta lét), Mà AN AH
AD = AM nên
AF AN
AI = AD FN / /ID(định lí Ta lét đảo (3)) AMK có HE//MK (cùng ⊥AC) AE AH
AK AM
= (định lí Ta lét),
AIK có AF AH AE IK / /FE
AI = AM = AK ( Định lí Ta lét đảo) (4)
Từ (3) (4) suy I, K, D thẳng hàng Câu
Áp dụng ta có:
( 1) 1
a a a a
bc a abc bc ab bc ca bc ab bc ca bc
= = +
+ + + + + + + ;
dấu xảy b = c Tương tự:
( 1) 1
b b
ca b ab ca bc ca
+
+ + + dấu xảy c = a
( 1) 1
c c
ab c ab bc ca ab
+
+ + + dấu xảy a = b Suy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
4 4
1 1
1 1 1
4 4
1 1
1 1
1
a b c
bc a ca b ab c
a b c
ab bc ca bc ab ca bc ca ab bc ca ab
a b c
bc a ca b ab c
a c a b b c
ab bc bc ca ca ab
a b c
bc a ca b ab c a b c
a b c
bc a ca b ab c
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ( ) 1 + Dấu xảy a = b = c = Vậy GTLN P=
(19)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 19 Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -