Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 Trường THCS Thanh Mai

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS THANH MAI ĐỀ THI HSG LỚP

MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số

Câu 1. ( 2,0 điểm)

Cho A = + 22 + 23 + 24 + + 220 Tìm chữ số tận A

Câu 2. ( 1,0 điểm)

Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27

Câu 3. ( 1,5 điểm)

Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n

Câu 4. ( 1,0 điểm)

Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố

Câu 5. ( 1,5 điểm)

a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n -1) với (n €N*) Tìm điều kiện n để hai số nguyên tố

b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 440

Câu ( 2,0 điểm)

Cho xAy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm, C điểm tia Ay

a Tính BD

b Biết BCD 850, BCA 500 TínhACD c Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK

ĐÁP ÁN Câu

A = (2 + 22 + 23 + 24 + + 220.) = 22 + 23 + 24 + 25 + + 221 Nên A.2 - A = 221 -2

 A = 221 -

Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 = 165

165 có tận Nên 165 có tận có tận Vậy A có tận

Câu : Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27

Câu

Với số tự nhiên n ta có trường hợp sau: TH1: n chia hết cho tích chia hết cho TH 2: n chia cho dư n = 5k +1

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TH3: n chia cho dư n = 5k +2

 2n +1= 10k + chia hết cho  tích chia hết cho TH4: n chia cho dư n = 5k +3

 3n +1= 15k + 10 chia hết cho  tích chia hết cho TH 5: n chia cho dư n = 5k +4

 n +1= 5k + chia hết cho  tích chia hết cho

Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho với số tự nhiên n

Câu

Nếu pq + 11 số ngun tố phải số ngun tố lẻ ( pq + 11 > 2)

 pq số chẵn  số phải chẵn, tức + Giả sử p = Khi 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11 Thử q = 2( loại)

q = 3( t/m)

q > có số hợp số  p = q =

+ Giả sử q = Giải TT ta p = Vậy p = 2; q = p = 3; q =

Câu

a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n -1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 d, 8n -1 d

 8.( 7n +3) – 7.( 8n -1) d  31 d  d = 31 Để hai số ngun tố d ≠ 31

Mà 7n + 31  7n + - 31 31 7(n - 4) 31

 n – 31( 31 nguyên tố nhau)

 n = 31k + 4( với k số tự nhiên) Do d ≠ 31 n ≠ 31k +

Vậy hai số 7n +3, 8n –1 nguyên tố n ≠ 31k + 4( với k số tự nhiên) b) Gọi hai số phải tìm a b ( a, b  N* , a > b)

Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k b = 28q Trong k, qN*và k, q nguyên tố

Ta có : a - b = 84

 k - q =

Theo ra: 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k <16

Chọn hai số có hiệu khoảng từ 11 đến 15 11 14; 12 15 Chỉ có 11 14 hai số nguyên tố

(3)

Ta có : a = 28 11 = 308 ; b = 28 14 = 392 Vậy hai số phải tìm 308 392

Câu

a) Tính BD

Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax

A nằm D B

 BD = BA + AD = + = (cm)

b) Biết BCD = 850, BCA = 500 Tính ACD

Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD => ACD + ACB = BCD

=> ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350

c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

- Lập luận K nằm A B

- Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = – = (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B

- Suy ra: KB = KA + AB KB = + = (cm)

* Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm

Đề số

Bài 1: (1,0điểm) Thực phép tính (tính hợp lý có thể) a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16

b/ 23 53 - {400 -[ 673 - 23 (78: 76 +70)]}

Bài 2:(1,0điểm) M có số phương khơng nếu: M = + + +…+ (2n-1) (Với n  N , n  0)

Bài 3:(1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990)

b / Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho

Bài 4:(1,0điểm) So sánh A B biết: A =

1 17

19 18

+ +

, B =

1 17

18 17

+ +

(4)

a) Phân số

1 n n

+

− có giá trị số nguyên b) Phân số 3012 +12

+

n n

phân số tối giản

Bài 6:(2,5điểm)

Cho góc xBy = 550.Trên tia Bx, By lấy điểm A, C (A B, CB) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300

a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC

c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz

Bài 7:(1,0điểm) Tìm cặp số tự nhiên x , y cho: (2x + 1)(y – 5) = 12

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) 16(123+ 321 - 44):16 = 400

b) 8.125-3.{400-[673-8.50]} = 1000-3.{400-273}

=619

Câu 2.

M = + + +…+ (2n-1) (Với n  N , n  0) Tính số số hạng = (2n-1-1): + = n

Tính tổng = (2n-1+1) n: = 2n2: = n

KL: M số phương

Câu

a) Ta có:

3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)

= (34)25 = 8125 có chữ số tận

19990 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19) = (192)495 = 361495 (có chữ số tận

Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho

b)

Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (aN)

Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a +

Vì 4a 4; không chia hết nên 4a+ không chia hết

(5)

Vì A =

1 17 17 19 18 + +

<  A=

1 17 17 19 18 + + < 16 17 16 17 19 18 + + + + = ) ( )

(17 17 17 17 18 17 + + = 17 17 18 17 + + = B

Vậy A < B

Câu a) n n +

− số nguyên (n+1) (n-2) Ta có (n+1) = (n− +2) 3

Vậy (n+1) (n-2) 3(n-2)

(n-2)  Ư(3) = − −3; 1;1;3 => n  −1;1;3;5

b) Gọi d ƯC 12n+1 30n+2 (dN*) 12n+1d,30n+2d



5(12n+1)−2(30n+2) d (60n+5-60n-4) d  1 d mà dN* d =

Vậy phân số cho tối giản

Câu

Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C: AC= AD + CD = 4+3 = cm

Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC

Ta có đẳng thức:  ABC =  ABD +  DBC  DBC = ABC - ABD =550 – 300 = 250

Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD

Tính  ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600

- Trường hợp 2:Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA

Tính  ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

Câu

(2x+ 1); (y - 5) ước 12

(6)

Ư(12) = 1;2;3;4;6;12  Vì 2x + lẻ nên:

2x + 1=  x=0 , y =17 2x + 1=  x=1 , y=9

Vậy với x = y = 17; Với x = y =

Đề số

Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : a) (102 +112+122) (: 132 +142)

b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− −

c) ( )

2 16

13 11

3.4.2 11.2 4 −16

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)

e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + -

Bài : (4 điểm) Tìm x, biết:

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2−42

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240

c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16

Bài :(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b

Bài :(3 điểm)

a)Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y =

b) So sánh M N biết :

102

103

101 1

M

101 1

+ =

+

103

104

101 1

N

101 1

+ =

+

Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳngAB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm

OA, OB

a) Chứng tỏ OA < OB

b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ?

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

(7)

( 2 2) ( 2) ( ) ( )

a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196

365 : 365 1

+ + + = + + +

= =

( )

2

b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− − =1.2.3 7.8 8− − =1.2.3 7.8 0=0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

16 16 18

11

13 11 13 2 4 13 22 36

2 36 36 36

13 22 36 35 36 35

3.4.2 3.2 2 3 2

c)

11.2 4 16 11.2 2 2 11.2 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2

2

11.2 2 2 11.2 2 2 11 2 9

= =

− − −

= = = = =

− − −

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374

= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - =

= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13

Bài

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2−42

( )

 2 2

x 14 13 8 4 2.5 :19

x 4

 

 =  − − −

 =

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2−42

( )

 2 2

x 14 13 8 4 2.5 :19

x 4

 

 =  − − −

 =

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240

c) 11 - (-53 + x) = 97

x 11 97 ( 53) 33

 = − − − = −

d) -(x + 84) + 213 = -16

(x 84) 16 213

(x 84) 229

x 84 229

x 229 84 145

 − + = − −

 − + = −

 + =

 = − =

Bài

Từ liệu đề cho, ta có :

(8)

và ƯCLN(m, n) = (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :

( )

BCNN 15m; 15n 300 15.20

BCNN m; n 20 (3)

 = =

 =

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :

15m 15 15n+ = 15 m 1( + =) 15n  + =m n (4)

Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4)

Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75

Bài

a) Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c

= b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - So sánh, ta thấy : VT = VP = a -

Vậy đẳng thức chứng minh

b) Với a > b S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

( ) ( ) ( )

S a b c c b a a b

S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b

 = − − − − + − + + − +

 = − − − + − + + − +  = − − − = +

Tính S : theo ta suy :  = +S a b

* Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy :

+ a b dương, hay a > b > 0, a + b > :  = + = +S a b a b

+ a b âm, hay > a > b, a + b <  − +(a b)0, nên suy :

( ) ( )

S a b a b a b

 = + = − + = − + −

* Xét với a b khác dấu :

Vì a > b, nên suy : a > b <  − b 0, ta cần xét trường hợp sau xảy : + a  b,hay a > -b > 0, a+ = − − b a ( b) 0, suy ra: = + = +S a b a b

+ a  b , hay -b > a > 0, a+ = − − b a ( b) 0, hay − +(a b)0 suy :

S a b (a b) a ( b)

 = + = − + = − + −

Vậy, với : +S = +a b (nếu b < a < 0)

(9)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy :

 OA < OB

Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :

OA OB

OM ; ON

2 2

 = =

Vì OA < OB, nên OM < ON

Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có :

OM MN ON

 + =

suy : MN=ON−OM

hay : MN OB OA AB

2 2

−

 = =

Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

Đề số

Câu (6 điểm): Thực phép tính

a) 136 28 62 21

15 10 24

 − + 

 

 

b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314

c) 65 11 91 : 81 6 20

 

+  − 

 

Câu (4 điểm): Cho A = - + - + - 6+ + 19 - 20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng?

b) Tìm tất ước A

Câu (4 điểm):

a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) Tìm x biết: + + + 13 + 16 + + x = 501501

Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

b) Cho biết BAM= 800, BAC=600 Tính CAM

c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK = 1cm Tính độ dài BK

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 a) (2 điểm):

= 272 168 186 21 29 21 203 811 30 30 30 24 24 24 24

 − +  = = =

 

 

b) (2 điểm):

= (528 : 4) + 42 171 - 7314 = 132 + 7182 - 7314 =

c) (2 điểm):

= 41 111 91 :25 41.2 6 4 6 25

 

+  −  = +

 

= 41 125 246 371 71

6+25=150+150 =150 = 150

Câu (4 điểm):

a) (2 điểm):

A = (1-2) + (3-4) + (5-6) + + (19-20) (có 10 nhóm) = (-1) + (-1) + (-1) + + (-1) (có 10 số hạng) = 10 (-1) = -10

Vậy A 2, A 3, A

b) (2 điểm):

Các ước A là: 1, 2, 5, 10 (nêu ước cho 0,25đ)

Câu (4 điểm): a) (2 điểm):

Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + 2n + (n N) Gọi d ước số chung chúng Ta có: 2n + d 3n + d

nên (2n + 3) - (2n + 1) d hay d

nhưng d d ước chung số lẻ

Vậy d = tức hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) (2 điểm)

Ta có: = + 3; = + 5; 13 = + 7; 16 =7 +

Do x = a + (a+1) (a  N)

Nên + + + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501

Hay (a+1)(a+1+1): = 501501

(a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 1002 Suy ra: a = 1000

Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11

a) (2 điểm): Hai điểm M B thuộc hai tia đối CM CB nên điểm C nằm hai điểm B M Do đó: BM= BC + CM = + = (cm) b) (2 điểm): Do C nằm hai điểm B M nên tia AC nằm hai tia AB AM Do CAM =BAM−BAC = 800 - 600 = 200 c) (2 điểm):

+ Nếu K thuộc tia CM C nằm B K (ứng với điểm K1 hình vẽ)

Khi BK = BC + CK = + = (cm) + Nếu K thuộc tia CB K nằm B C (ứng với điểm K2 hình vẽ

Khi BK = BC - CK = - = (cm)

Đề số

Câu 1. Tính giá trị biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011

b) B = 70.(

565656 131313 + 727272 131313 + 909090 131313 )

c) C =

b a + c b + d c + a d biết b a = c b = d c = a d

Câu 2. Tìm x số tự nhiên, biết: a) + x = + x

b) x : (

2 -

2 ) = 11 , 11 , − + − + Câu

(12)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 2010 2011 2011 2010 10 19 10 ; 10 19 10

9 + − = − + −

−

= B

A

Câu 4. Cho A =

4 + − n n

a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên

Câu 5: Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc

b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất góc?

Đáp án Câu

a) (1,5 đ)

A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1

b)(1,5 đ)

B = 70.(

56 13 + 72 13 + 90 13

) = 70.13.(

8 + + 10 ) = 70.13.( - 10

) = 39

c) (1,5 đ)

Đặt b a = c b = d c = a d = k Ta có b a c b d c a d

= k4 => k4 = 1 k = 1

 C =

b a + c b + d c + a d

= 

Câu

a) (2,0 đ)

2 + x = +

x  (x + 1)

2= 16 = (4)2

+) x + = => x =

+) x + = - => x = -5 (loại) Vậy x =

(13)

x : (

2 -

2 ) = 11 , 11 , − + − +

 x :(

2 19− ) =       + − − + 11 , 11 ,  = x

=> x =

Câu

a) (1,5 đ)

Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1

Vậy để 34x5y chia hết cho 36 34x5y chia hết cho

34x5y chia hết cho + + x + + y9 => 12 + x + y9 (1)

34x5y chia hết cho 5y4 => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x9 => x =

Với y = thay vào (1) => 18 + x9 => x = x = Vậy cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) (9,6)

b) (1,5 đ)

Ta có 20109 192011 20109 102011 20119

10 10 10 10 10

A= − + − = − + − + −

2011 2010 2011 2010 2010

9 19 10

10 10 10 10 10

B= − + − = − + − + −

Ta thấy 102011 102010

10 10 −  −

=> Vậy A > B

Câu

a) (1,0 đ)

A = + − n n

phân số n + 0 => n -

b) (2,0 đ)

A = + − n n = 5 + − = + − + n n n

Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  5 n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3,

Câu

(14)

Mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500

b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC =

2

BOC = 750

Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800

Do AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050

c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, góc tính hai lần Vậy có tất

2 2009 . 2010

(15)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	623 KB