Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Thanh Vân

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS THANH VÂN ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số

Câu 1: (2đ) Với q, p số nguyên tố lớn chứng minh rằng: p4 – q4  240

Câu 2: (2đ) Tìm số tự nhiên n để phân bố

3

193

+ + =

n n A

a Có giá trị số tự nhiên b Là phân số tối giản

c Với giá trị n khoảng từ 150 đến 170 phân số A rút gọn

Câu 3: (2đ) Tìm nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 (y-3)2 = -

Câu :(3 điểm)

a)Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y =

b) So sánh M N biết :

102

103

101 1

M

101 1

+ =

+ ;

103

104

101 1

N

101 1

+ =

+

Câu : (6 điểm) Cho đoạn thẳngAB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm

OA, OB

a) Chứng tỏ OA < OB

b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ?

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

ĐÁP ÁN Câu 1: (2đ) Ta có: p4 – q4 = (p4 – ) – (q4 – 1) ; 240 = 2.3.5 Chứng minh p4 –  240

- Do p >5 nên p số lẻ (0,25đ) + Mặt khác: p4 –1 = (p –1) (p + 1) (p2 +1) (0,25đ) > (p-1 (p+1) hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1)  (0,25đ) + Do p số lẻ nên p2 số lẻ -> p2 +1  (0,25đ) - p > nên p có dạng:

+ p = 3k +1 > p – = 3k + – = 3k  > p4 – 

+ p = 3k + > p + = 3k + + = 3k +3  > p4 –  (0,25đ) - Mặt khác, p dạng:

+ P = 5k +1 > p – = 5k + – = 5k  > p4 – 

(2)

+ p = 5k +4 > p + = 5k +5  > p4 –  (0,25đ) Vậy p4 –  hay p4 –  240

Tương tự ta có q4 –  240 (0,25đ) Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1) = p4 – q4  240

Câu 2: (2đ)

a) 187 187 ) ( 193 + + = + + + = + + = n n n n n A

Để A N 187  4n + => 4n +3  17;11;187 (0,5đ) + 4n + = 11 -> n =

+ 4n +3 = 187 > n = 46

+ 4n + = 17 -> 4n = 14 -> khơng có n N Vậy n = ; 46

b) A tối giản 187 4n + có UCLN -> n 11k + (k  N)

-> n 17m + 12 (m  N) c) n = 156 -> ;

19 77 =

A

n = 165 ->

39 89 =

A

n = 167 ->

61 139 =

A

Câu 3: (2đ)

Do –4 = 12 (- 4) = 22.(-1) nê có trường hợp sau:

a)    − = =     − = = −     − = − = − 1 ) ( y x y x y x    − = =     − = − = − 1 1 y x y x b)    = =     = = −     − = − = − 2 )

( 2

y x y x y x    = =     = − = − 2 2 y x y x Câu

a) Chứng minh đẳng thức:

(3)

VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1)

= -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c

= b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - So sánh, ta thấy : VT = VP = a -

Vậy đẳng thức chứng minh

b) Với a > b S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

( ) ( ) ( )

S a b c c b a a b

S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b  = − − − − + − + + − +

 = − − − + − + + − +  = − − − = +

Tính S : theo ta suy :  = +S a b

* Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy :

+ a b dương, hay a > b > 0, a + b > :  = + = +S a b a b + a b âm, hay > a > b, a + b <  − + (a b) 0, nên suy :

( ) ( )

S a b a b a b

 = + = − + = − + −

* Xét với a b khác dấu :

Vì a > b, nên suy : a > b <  − b 0, ta cần xét trường hợp sau xảy : + a  b,hay a > -b > 0, a+ = − − b a ( b) 0, suy ra: = + = +S a b a b + a  b, hay -b > a > 0, a+ = − − b a ( b) 0, hay − +(a b)0 suy :

S a b (a b) a ( b)

 = + = − + = − + −

Vậy, với : +S = +a b (nếu b < a < 0)

+ S = − + −a ( )b (nếu b < a < 0, b < <a  b )

Câu

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy :

 OA < OB

b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :

OA OB

OM ; ON

2 2

 = =

Vì OA < OB, nên OM < ON

b

m a n

(4)

Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N c) Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có :

OM MN ON

 + =

Suy : MN=ON OM− Hay : MN OB OA AB

2 2

−

 = =

Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

Đề số

Bài 1: Chứng minh rằng:

A =

2

1

99

2 + + + 

+

Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số p + p + Cũng số nguyên tố Bài 3: Tìm ssó tự nhiên nhỏ có tính chất sau:

Số chia cho dư 1; chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 13

Bài 4: Tìm x biết: x- 1 = 2x +

Bài 5: Cho đoạn thẳng Ab = 7cm Điểm C nằn Avà B cho AC = 2cm Các điểm D,E theo thứ tự

là trung điểm AC CB Gọi I trung điểm DE tính DE CI

ĐÁP ÁN Bài 1:

Ta có: 3A = 2 3 98

1

1+ + + + +

Nên 3A - A = - 99

1

Hay 2A = - 99

1

 A =

2

1

99  −

Vậy A < ẵ

Bài 2:

Số p có dạng 3k; 3k + 1; 3k + với k  N * Nếu p = 3k p = ( p số nguyên tố)

Khi p + =5; p + =7 số nguyên tố

Nếu p = 3k + p + = 3k +3 chia hết cho lớn nên p +2 hợp số trái với đề Nếu P = 3k +2 p +4 = 3k + chia hết cho lớn nên

(5)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài 3:

Gọi x số phải tìm x + chia hết cho 3; 4; 5; nên x +2 bội chung 3; 4; 5; BCNN (3,4,5,6) = 60 nên x + = 60n

Do x = 60n - (n = 1,2,3 )

Do x số nhỏ có tính chất x phải chia hết cho 13 Lần lượt cho n = 1,2,3 ta thấy đến n = 10

Thì x = 598 chia hết cho 13 Số nhỏ cần tìm 598

Bài 4:

x - 1 = 2x + ta có: x - = 2x + x - = -(2x + 3) * x - = 2x +3

2x - x = -1 - x = -

* x - = -(2x + 3) x + 2x = -3 + x = -2/3

Vậy x = -4; x = -2/3

Bài 5:

+ Ta có: AC + CB = AB ( C nằm AB) nên CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + Vì D E nằm A,B nên

AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB

AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vì D trung điểm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vì E trung điểm BC) Vậy DE = - - 2,5 = 3,5 (cm)

+ Vì I trung điểm DE

Nên DI = 1/2 DE = 1/2 3,5 = 1,75(cm) Suy AI = AD + DI = + 1,75 = 2,75

+ Ta thấy AD < AC < AI nên (nằm D I) nên DC + CI = DI

Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - = 0,75 (cm) Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm

Đề số

(6)

a) A =

2 14

28 18 29 18

5.(2 ) (2 ) 2.(2 3) 3

5.2 3 7.2 3

− −

b) B = 81

12 12 12 5

12

158158158 289 85: 13 169 91 .

4 4 6 711711711

4

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

 − − − + + + 

 

Câu 2: (4.0 điểm)

1) So sánh P Q

Biết P = 2010 2011 2012

2011+2012+2013 Q =

2010 2011 2012 2011 2012 2013

+ +

2) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 a + 21 = b

Câu Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ số ln chia hết cho 396

Câu chứng minh rằng:

a) 1 1 1

2− + −4 16+32−643; b) 16

3

100

99

4

3

2

100 99

3

2 + − + + − 

− Câu 5:

Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a

b) Xác định điểm M tia Ox cho OM =

(a+b)

ĐÁP ÁN Câu 1:

a) Ta có:

2 14

28 18 29 18

5.(2 ) (2 ) 2.(2 3) 3

A

5.2 3 7.2 3

− =

−

18 18 12 28 14

28 18 29 18

5.2 2 2.2 3

5.2 3 7.2 3

− =

−

30 18 29 18

28 18

5.2 3 2 3

2 (5 7.2) − =

(7)

29 18

28 18

2 (5.2 1) 2.9

2

2 (5 14) 9

−

= = = −

− −

KL:…

b) Ta có:

12 12 12 5

12

158158158 289 85 13 169 91

81 :

4 4 6 711711711

4

7 289 85 13 169 91 B

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

1 1 1

12

158.1001001 289 85 13 169 91

81 :

1 1 1 711.1001001

4

7 289 85 13 169 91   − − −   + + + 

   

    

 

=

   

 − − − + + + 

   

    

 

81 12 5: 158 711

 

=  

 

18 324

81 64,8

5

= = =

KL:…… (0.5đ)

Câu 2:

a) Ta có:

Q = 2010 2011 2012

2011 2012 2013

+ +

+ + =

2010

2011 2012+ +2013+

2011

2011 2012+ +2013+

+ 2012

2011 2012+ +2013

Lần lượt so sánh phân số P Q với tử là: 2010; 2011; 2012 thấy phân thức P lớn phân thức Q

Kết luận: P > Q

b) Từ liệu đề cho, ta có:

+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 21m; b = 21n (1)

(8)

+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:

( )

BCNN 21m; 21n 420 21.20 BCNN m; n 20 (3)

 = =

 =

+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra: 21m 21 21n

 + = 21 m 1( + =) 21n  + =m n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có Trường hợp: m = 4, n = m = 2, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = m = 2, n = ta số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105

Câu

Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp  1;2;3 nên tổng chúng 1+2+3=6

Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đơi ngun tố nên ta cần chứng minh A = 155*710*4*16 chia hết cho ; 11

Thật :

+A  số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho ( 0,25 điểm ) + A  tổng chữ số chia hết cho :

1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho ( 0,25 điểm )

+ A  11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm )

Vậy A  396

Câu a) (2 điểm ) Đặt A= 2 3 4 5 6

2

1

1 64

1 32

1 16

1

1− + − + − = − + − + −

(0,25 điểm )

 2A= 2 3 4 5

2

1

1− + − + − (0,5 điểm )  2A+A =3A = 1-

2 2

1

6

6 

−

= (0,75 điểm )  3A <  A <

3

(9)

b) Đặt A= 2 3 4 99 100 100 99 3 3

1− + − + + −

3A= 1- 2 3 3 98 99 100 99 3 3

2− + − + + −

(0,5 điểm )  4A = 1- 2 3 98 99 100

3 100 3 3

1+ − + + − −

 4A< 1- 2 3 98 99 3 3

1+ − + + −

(1) (0,5 điểm )

Đặt B= 1- 2 3 98 99 3 3

1+ − + + −

 3B= 2+ 2 97 98 3 3

1− + + −

(0,5 điểm )

4B = B+3B= 3- 99

1

<  B <

(2)

Từ (1)và (2)  4A < B <

 A < 16

3

(0,5 điểm )

Câu

a) (1 điểm )Vì OB <OA ( b<a) nên tia Ox điểm B nằm điểm O điểm A Do đó: OB +OA= OA

Từ suy ra: AB=a-b

b)(1 điểm )Vì M nằm tia Ox OM = + = + = + − = + − = 2 2 ) (

1 a b

b b a b b a b a

= OB + OA OB OB AB

2

2 = +

−

 M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AM = BM

Đề số Câu 1: (2đ)

Thay (*) số thích hợp để a) 510* ; 61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho chia dư

Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Câu 3: (3,5 đ)

Trên đường qua địa điểm A; B; C (B nằm A C) có hai người xe máy Hùng Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ khởi hành lúc để đến C vào lúc 11 ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng luc gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc ninh 1/4 vận tốc Hùng Tính quãng đường BC

Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm

a Tình độ dài BM

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

c Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy d Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK = cm Tính độ dài BK

Câu 5: (1đ) Tính tổng: B =

100 97

2 10

2

+ + +

+

ĐÁP ÁN Câu

a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì:

5 + + + * chia hết cho 3; từ tìm *  {0; 3; 6; 9} (1đ) b) Để 261* chia hết cho chia dư thì:

* chẵn + + + * chia dư 1; từ tìm * = (1đ)

Câu

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100

3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3

= 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101

S = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 (0,5đ)

Câu

Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 - = (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 - = (giờ)

Quãng đường AB 30 km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10 km Vì lúc Hùng cách Dũng 20 km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20 km

Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng là:

20 : 50( / ) 24

60 20 60 24

h km

= =

Do vận tốc Ninh 1/4 vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là: [50 : (1 + 4)] = 40 (km/h)

Từ suy quãng đường BC là: 40 - 30 = 90 (km)

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Câu 4: (3đ)

a M, B thuộc tia đối CB CM -> C nằm B M

->BM = BC + CM = (cm) (0,5đ)

b C nằm B,M -> Tia AC nằm tia AB, AM -> CAM = BAM -  BAC = 200 (0,75đ) c Có  xAy =  x AC + CAy =

2 

BAC +

1  CAM =

2

( BAC +  CAM) = 

BAM =

.80 = 400 (0,75đ)

d + Nếu K  tia CM -> C nằm B K1 -> BK1 = BC + CK1 = (cm) (0,5đ)

+ Nếu K tia CB -> K2 nằm B C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) (0,5 đ) Câu 5: (1đ)

Ta có )

4 1 ( ) 1 ( 1 − =  − =  ); 10 ( 10 ); ( − = − = ; ) 100 99 ( 100 97 −

= (0,5đ)

 B= )

100 99 10 7 4 1 ( − + + − + − + −  B=

50 33 100 99 ) 100 1 ( = =

− (0,5đ)

Đề số

Bài 1: Tìm x biết

a) x+1 = 25 b) x-4

9 =11 c) (x-32).45=0

B

A

M

(12)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Bài 2: Tính tổng sau cách hợp lý nhất:

a) A = 11 + 12 + 13 + 14 + … + 20 b) B = 11 + 13 + 15 + 17 + … + 25 c) C = 12 + 14 + 16 + 18 + … + 26

Bài 3:(2,25 điểm) Tính:

a) A= 5 11.16+16.21+21.26+ +61.66 b) B= 1 1 1

2+ +6 12+20+30+42

c) C = 1 1.2+2.3+ +1989.1990+ +2006.2007 Bài : (1đ)

So sánh: A =

1 2005

2006 2005

+ +

B =

1 2005

2005 2004

+ + Bài 5: (2đ)

Một học sinh đọc sách ngày Ngày thứ đọc

5 2

số trang sách; ngày thứ đọc

được

5 3

số trang sách lại; ngày thứ đọc 80% số trang sách lại trang cuối Hỏi cuốn sách có trang?

ĐÁP ÁN Bài 1:

a) x= 25− =5 25 ; b) x= 45 44 89

11 99 99

+

− = = ;

c) x = 32

Bài 2: Tính tổng sau cách hợp lý nhất:

a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155

b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144 c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152

Bài 3: Tính:

a) A= 1 1 1 1 1 11 16− +16−21+21−26+ +61−66=11−66 =66 b) B= 1 1 1 1 1 1 1

(13)

c) C = 1 1 1 1 1 2006 2 1989 1990 2006 2007 2007 2007

− + − + + − + + − = − =

Bài 4: 1đ

A =

1 2005

2006 2005

+ +

<

2004

2005

2004

2005 2006 2005

+ +

=

) 2005 ( 2005

2005 2004

+ +

=

1 2005

2005 2004

+ +

= B Vậy A < B

Bài : 2đ

Gọi x số trang sách, x  N Ngày đọc x

5

trang

Số trang lại x- x

5

= x

5

trang

Ngày đọc

x = x

25

trang

Số trang lại x

5

- x

25

= x

25

trang

Ngày thứ đọc : x

25

.80% +30 = 125 24x

+ 30

Hay : x

5

+ x

25

+ 125 24x

(14)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	623 KB