Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 Trường THCS Thăng Long

Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qu[r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS THĂNG LONG ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số Bài (3điểm)

a Tính nhanh: A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54

1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

+ + +

+ + +

b Chứng minh : Với kN* ta ln có : k k( +1)(k+ − −2) (k 1) (k k+ =1) 3.k k( +1) áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 + + + +n n.( +1)

Bài (3điểm)

a.Chứng minh : (ab cd+ +eg)11 : abcdeg 11 b.Cho A = 2+ 2+23+ + 60 Chứng minh : A ; ; 15 Bài (2điểm) Chứng minh : 12 13 14

2 +2 +2 + +2n < Bài (2 điểm)

a Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC

b Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng

ĐÁP ÁN Bài

a 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54

1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

+ + +

+ + + =

( )

( )

1.5.6 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6 1.3.5 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5

+ + +

= =

+ + +

b.Biến đổi :

( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1)

k k+ k+ − k− k k+ =k k+  k+ − k− = k k+

áp dụng tính : ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 1.2 1.2.3 0.1.2 2.3 2.3.4 1.2.3 3.4 3.4.5 2.3.4

3.n n n n n n n n

= −

= −

= −

+ = + + − − +

Cộng lại ta có : ( 1)( 2) ( 1)( 2)

n n n

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Bài

a) Tách sau : abcdeg 10000= ab+100cd+eg=(9999ab+99cd) (+ ab cd+ +eg) Do 9999 11 ; 99 11(9999ab+99cd)11

Mà : (ab cd+ +eg)11 (theo ra) nên : abcdeg 11

b) Biến đổi :

*A =( 2) ( 4) ( 4) ( 59 60) ( ) 3( ) 59( )

2+2 + +2 + +2 + + +2 =2 2+ +2 2+ + + 2+

=3 2( +23+ + 259)

*A = ( 3) ( 6) ( 58 59 60)

2+2 +2 + +2 +2 + + +2 +2 =

=2 2( + +22)+2 24( + +22)+ + 258( + +22) = 2( +24+ + 258) *A = (2+22+23+24) (+ 25+26+27+28)+ + (257+258+259+260)= = ( 3) (5 3) 57( 3)

2 2+ +2 +2 +2 2+ +2 +2 + + 2+ +2 +2 = ( 57)

15 2+2 + + 15

Bài Ta có :

( )

2

1 1

1

n  n n− = n− −n Áp dụng : 2

1 1 1 1

1 ; ; ;

2  −2  −2 n  n−1−n  12 13 14

2 +2 +2 + +2n <

1

n −  Bài

a) Xét hai trường hợp :

*TH 1: C thuộc tia đối tia BA

Hai tia BA, BC hai tia đối  B nằm A C  AC = AB + BC = 12 cm

*TH : C thuộc tia BA

C nằm A B (Vì BA > BC)  AC + BC = AB  AC = AB - BC = cm b)

- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm

- Do giao điểm tính hai lần nên số giao điểm là: 10100:2=5050 giao điểm

Đề số

Câu 1: (2điểm)

Cho 2: tậo hợp A = n  N | n (n + 1) ≤12 B = x  Z | | x | < 3

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

b có tích ab (với a  A; b  B) tạo thành, cho biết tích ước Câu 2: ( 3điểm)

a Cho C = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40

b Cho số 0; 1; 3; 5; 7; Hỏi thiết lập số có chữ số chia hết cho từ sáu chữ số cho

Câu 3: (3điểm)

Tính tuổi anh em biết 5/8 tuổi anh 3/4 tuổi em năm 1/2 tuổi anh 3/8 tuổi em năm

Câu 4: (2điểm)

a Cho góc xoy có số đo 1000 Vẽ tia oz cho góc zoy = 350 Tính góc xoz trường hợp b Diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB cách khác

ĐÁP ÁN Câu 1: Liệt kê phần từ tập hợp

a A =  0, 1, 2, 3 B =  - 2, -1, 0, 1, 2,  0,5đ A ∩ B =  0, 1, 2, 0,5đ b Có 20 tích tạo thành

-2 -1 0 0 0 -2 -1 2 -4 -2 -6 -3

Những tích ước 6: ±1; ±2 ; ±3 ; ±6 0,5đ Câu 2:

a B = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100)

= (1 + + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33) 0,5đ = 40 (3 + 35 +39 +………+397 ) : 40 0,5đ b Mỗi số có dạng: abc0 , abc5

Với abc0

- Có cách chọn chữ số hạng nghìn (vì chữ số hàng nghìn khơng phải số 0) - Có cách chọn chữ số hàng trăm

- Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy 5.6.6 = 180 số

Với abc5 Cách chọn tương tự có 180 số Vậy ta thiết lập 360 số có chữ số chia hết cho từ chữ số cho 0,5đ

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Mà 5/8 tuổi anh lớn 3/4 tuổi em năm,

nên – 5/8 = 3/8 tuổi anh = 14 – = 12 năm 1đ Vậy tuổi anh là: 12 : 3/8 = 32 tuổi 0,5đ 3/4 tuổi em 32 – 14 = 18 tuổi 0,5đ Tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi 0,5đ Câu 4:

a, Có cách vẽ tia OZ (có hình vẽ)

Góc XOZ = 650 1350 1đ b, Có thể diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB cách khác M trung điểm  MA+MB=AB MA=MB=AB/2

Của đoạn thẳng A MA=MB

Đề số

Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : a) (102 +112 +122) (: 132 +142)

b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− − c) ( )

2 16

13 11

3.4.2 11.2 4 −16

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)

e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : (4 điểm) Tìm x, biết:

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240

c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16

Bài : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b Bài : (3 điểm)

a)Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y =

b) So sánh M N biết :

102 103

101 1

M

101 1

+ =

+

103 104

101 1

N

101 1

+ =

+

Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ?

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

ĐÁP ÁN Bài

( 2 2) ( 2) ( ) ( )

a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196

365 : 365 1

+ + + = + + +

= =

( )

2

b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− − =1.2.3 7.8 8− − =1.2.3 7.8 0=0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

16 16 18

11

13 11 13 2 4 13 22 36

2 36 36 36

13 22 36 35 36 35

3.4.2 3.2 2 3 2

c)

11.2 4 16 11.2 2 2 11.2 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2

2

11.2 2 2 11.2 2 2 11 2 9

= =

− − −

= = = = =

− − −

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374

= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - =

= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

( )

 2 2

x 14 13 8 4 2.5 :19 x 4

 

 =  − − −

 =

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

( )

 2 2

x 14 13 8 4 2.5 :19 x 4

 

 =  − − −

 =

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240

c) 11 - (-53 + x) = 97

x 11 97 ( 53) 33

 = − − − = −

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

(x 84) 16 213 (x 84) 229 x 84 229 x 229 84 145

 − + = − −

 − + = −

 + =

 = − =

Bài

Từ liệu đề cho, ta có :

+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1)

và ƯCLN(m, n) = (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :

( )

( )

BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3)

 = =

 =

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :

15m 15 15n+ = 15 m 1( + =) 15n  + =m n (4)

Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4)

Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài

a) Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c

= b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - So sánh, ta thấy : VT = VP = a -

Vậy đẳng thức chứng minh

b) Với a > b S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

( ) ( ) ( )

S a b c c b a a b

S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b

 = − − − − + − + + − +

 = − − − + − + + − +  = − − − = +

Tính S : theo ta suy :  = +S a b

* Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy :

+ a b dương, hay a > b > 0, a + b > :  = + = +S a b a b

+ a b âm, hay > a > b, a + b <  − +(a b)0, nên suy :

( ) ( )

S a b a b a b

 = + = − + = − + −

* Xét với a b khác dấu :

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

+ a  b,hay a > -b > 0, a+ = − − b a ( b) 0, suy ra: = + = +S a b a b

+ a  b, hay -b > a > 0, a+ = − − b a ( b) 0, hay − +(a b)0 suy :

S a b (a b) a ( b)

 = + = − + = − + −

Vậy, với : +S = +a b (nếu b < a < 0)

+ S = − + −a ( )b (nếu b < a < 0, b < < a  b ) Bài

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy :  OA < OB

Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :

OA OB

OM ; ON

2 2

 = =

Vì OA < OB, nên OM < ON

Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có :

OM MN ON

 + =

suy : MN=ON−OM hay : MN OB OA AB

2 2

−

 = =

Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

Đề số

Câu 1: Cho S = + 52 + 53 + ………+ 52006 a) Tính S

b) Chứng minh S 126

Câu Tìm số tự nhiên nhỏ cho số chia cho dư 1; chia cho dư ; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11

Câu Tìm giá trị nguyên n để phân số A = 3

1

n n

+

− có giá trị số nguyên Câu Cho số 18, 24, 72

a) Tìm tập hợp tất ước chung số b) Tìm BCNN số

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

ĐÁP ÁN Câu (2đ)

a) Ta có: 5S = 52 + 53 +54 +………+52007

 5S – S = (52 + 53 +54 +………+52007) – (5 + 52 + 53 + ………+ 52006)

 4S = 52007 – Vậy S = 2007

5

4

−

b) S = (5 + 54) + (52 + 55) + (53 + 56) +……… + (52003 +52006)

Biến đổi S = 126.(5 + 52 + 53 +………+ 52003) Vì 126 126  S 126 Câu (3đ) Gọi số phải tìm x

Theo ta có x + chia hết cho 3, 4, 5,  x + bội chung 3, 4, 5, BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + = 60.n Do x = 60.n – (n = 1; 2; 3… ) Mặt khác x 11 cho n = 1; 2; 3….Ta thấy n = x = 418 11 Vậy số nhỏ phải tìm 418

Câu (1đ) Ta có 3 3 3( 1) 5

1 1

n n n

n n n n

+ = − + = − + = +

− − − −

Để A có giá trị nguyên 

1

n− nguyên Mà

5

n− nguyên 5 (n – 1) hay n – ước Do Ư5

= 1 ; 5

Ta tìm n = 2; n = 0; n = 6; n = -4 Câu (2đ)

a) Tìm Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) cho 0,5đ  ƯC (18; 24; 72) = 1; 2; 3; 6

b) Ta có 72  B(18) ; 72  B(24)  BCNN (18;24;72) = 72 Câu (2đ)

O D B A C x

Vì A nằm B C nên BA +AC = BC  BA +AC = (1) Lâp luân  B nằm A D

Theo gt OD < OA  D nằm O A (0,5đ) Mà OD + DA = OA  + DA =5  DA =3 cm

Ta có DB + BA = DA  DB +BA = (2) (0,25đ) Lấy (1) – (2): AC – DB = (3) (0,25đ) theo đề : AC = 2BD thay (3)

Ta có 2BD – BD =  BD = (0,25đ)  AC = 2BD  AC = cm

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Đề số

Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011 b) B = 70.(

565656 131313 + 727272 131313 + 909090 131313 )

c) C =

b a + c b + d c + a d biết b a = c b = d c = a d

Câu Tìm x số tự nhiên, biết: a) + x = + x

b) x : (

2 -

2 ) = 11 , 11 , − + − + Câu

a) Tìm tất cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 b) Không quy đồng mẫu số so sánh

2010 2011 2011 2010 10 19 10 ; 10 19 10

9 + − = − + −

−

= B

A

Câu Cho A =

4 + − n n

a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên

Câu 5: Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc

b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất góc?

Đáp án Câu

a) (1,5 đ)

A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1 b) (1,5 đ)

B = 70.(

56 13 + 72 13 + 90 13

) = 70.13.(

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 = 70.13.( - 10

) = 39 c) (1,5 đ)

Đặt b a = c b = d c = a d = k Ta có b a c b d c a d

= k4 => k4 = 1 k = 1  C =

b a + c b + d c + a d

=  Câu

a) (2,0 đ)

2 + x = +

x  (x + 1)

2= 16 = (4)2 +) x + = => x =

+) x + = - => x = -5 (loại) Vậy x =

b) (1,5 đ)

x : (

2 -

2 ) = 11 , 11 , − + − +

 x :(

2 19 − ) =       + − − + 11 , 11 ,  = x

=> x = Câu a) (1,5 đ)

Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1

Vậy để 34x5y chia hết cho 36 34x5y chia hết cho

34x5y chia hết cho + + x + + y9 => 12 + x + y9 (1)

34x5y chia hết cho 5y4 => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x9 => x =

Với y = thay vào (1) => 18 + x9 => x = x = Vậy cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) (9,6) b) (1,5 đ)

Ta có 20109 192011 20109 102011 20119 10 10 10 10 10

A= − + − = − + − + −

2011 2010 2011 2010 2010

9 19 10

10 10 10 10 10

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11

Ta thấy 102011 102010

10 10

−  −

=> Vậy A > B

Câu a) (1,0 đ) A =

4

+ − n n

phân số n + 0 => n - b) (2,0 đ)

A =

4

+ − n n

=

4

5

+ − = +

− +

n n

n

Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  5 n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3,

Câu

a)Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 Mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500

b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC =

BOC = 750 Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 Do AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050

c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, góc tính hai lần Vậy có tất

2 2009 . 2010

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -