ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN TIN HỌC LÝ KIM HÀ GIẢI TÍCH PHỨC NÂNG CAO (Tài liệu dành cho học viên Cao học ngành Toán) 2 Mục lục Mục lục Mục lục 1[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - TIN HỌC LÝ KIM HÀ GIẢI TÍCH PHỨC NÂNG CAO (Tài liệu dành cho học viên Cao học ngành Toán) Mục lục Mục lục Mục lục Hàm chỉnh hình biến phức 1.1 Sự khả vi phức 1.2 Tích phân Cauchy 1.3 Các kết định tính 1.4 Thác triển giải tích dọc theo đường cong 1.5 Cơng thức Pompeiu 7 16 41 50 56 Lý thuyết mặt Riemann 65 2.1 Định nghĩa Ví dụ 65 2.2 2.3 Hàm chỉnh hình Ánh xạ chỉnh hình Các tính chất 69 70 Hàm phức nhiều biến 77 3.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức 77 3.2 Cơng thức tích phân Cauchy miền đa trụ 89 3.3 Phương trình Cauchy-Riemann miền đa trụ 100 MỤC LỤC Lời nói đầu Bài giảng “Giải tích phức nâng cao” chủ yếu dùng tài liệu học tập cho học viên Cao học ngành Toán lý thuyết Ứng dụng Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, với thời lượng 60 đến 90 học Tài liệu cung cấp kiến thức nhập môn lý thuyết hàm chỉnh hình cho học viên cao học mà nội dung thực tổng qt hóa học viên học bậc Đại học, Cao đẳng Mục tiêu tài liệu tập trung vào kết định tính Lý thuyết hàm chỉnh hình mà học viên học hay áp dụng tính tốn trước Vì lý này, kiến thức định lượng liên quan đến hàm chỉnh hình biến phức khơng trình bày chi tiết Hơn nữa, tài liệu đề cập đến vấn đề thuộc nơi giao lĩnh vực Giải tích phức, Phương trình đạo hàm riêng, Hình học Đại số Do đó, để đọc tài liệu, học viên cần có kiến thức Tốn lý thuyết bậc đại học Giải tích hàm, Topo, Đại số đại cương Nội dung tài liệu bao gồm ba phần Phần thứ nhắc lại chứng minh chi tiết kết định tính đặc trưng Hàm phức biến C Hơn nữa, phần này, học viên học thêm hai nội dung mà có lẽ bậc Đại học chưa tiếp cận, Thác triển giải tích Phương trình Cauchy-Riemann không Đây hai nội dung liên quan đến phần sau cách chặt chẽ Bài toán thác triển giải tích dẫn đến việc nghiên cứu không gian tương tự mặt phẳng phức mặt phẳng phức, mặt Riemann Đây nội dung thứ hai tài liệu Trong nội dung này, ta xây dựng lý thuyết hàm biến phức mặt Riemann Vì lý thời lượng, nên ta nghiên cứu khả vi mà khơng đề cập đến khả tích mặt Riemann Phương trình Cauchy-Riemann khơng lại dẫn ta đến việc nghiên cứu Lý thuyết hàm chỉnh hình khơng gian phức nhiều chiều (tích hữu hạn mặt phẳng phức) Tại đây, ta thấy khác biệt rõ rệt tính chất giải tích khơng gian phức chiều nhiều chiều mà thể phương trình phức bậc Cả ba nội dung trên, thứ xoay quanh đối tượng hàm chỉnh hình chính, MỤC LỤC thứ hai tìm hiểu liên kết ba chương kết định tính nên Lý thuyết thặng dư hay vấn đề định lượng khác khơng đề cập tài liệu Ngồi ra, ba nội dung sở để học viên tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu lĩnh vực Giải tích phức nhiều biến, Hình học phức sau Do đó, tài liệu biên soạn theo cấu trúc phù hợp với hướng nghiên cứu tác giả Tuy nhiên, tài liệu tất cả, để học viên tự đọc nội dung thuộc ba lĩnh vực đề cập Do đó, để tìm hiểu chi tiết, học viên tham khảo tài liệu cốt yếu cuối tài liệu Mùa hè năm 2016, Thành phố Hồ Chí Minh, Lý Kim Hà lkha@hcmus.edu.vn Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Chương Hàm chỉnh hình biến phức 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.1 Sự khả vi phức Tích phân Cauchy Các kết định tính Thác triển giải tích dọc theo đường cong Cơng thức Pompeiu 16 41 50 56 Sự khả vi phức Trong học phần giải tích phức bậc đại học, ta biết cấu trúc trường tập hợp số phức C tương thích với với cấu trúc topo trường Nghĩa phép tốn đại số hình thành tính chất trường ánh xạ liên tục từ C C Đ C Do đó, từ tính liên tục này, ta định nghĩa tính khả vi hàm số trường số phức sau Cụ thể, với hai số phức z w, thương f pwq f pz q xác định ta thực phép tính giới hạn w Ñ z cho thương wz Định nghĩa 1.1 Giả sử D C tập mở không rỗng, z P C điểm D f : D Ñ C hàm biến phức xác định D Khi đó, ta nói f có đạo hàm phức z giới hạn sau f pwq f pz q lim w Ñz wz Hàm chỉnh hình biến phức tồn C Khi giới hạn tồn tại, ta gọi giá trị đạo hàm f z, ta ký hiệu df f pwq f pz q p z q f pz q lim w Ñz dz wz Bằng cách áp dụng đẳng thức bản, ta thấy hàm biến phức có dạng mũ nguyên dương (f pz q z m ) có đạo hàm phức điểm mặt phẳng phức đa thức thực Chẳng hạn như, hàm phức f : z ÞĐ z có đạo hàm phức f pz q 1; hàm bình phương f : z ÞĐ z có đạo hàm phức f pz q 2z; hàm bậc m f : z ÞĐ z m có đạo hàm phức f pz q mz m1 Hơn nữa, từ định nghĩa, tính chất đạo hàm phức tính tuyến tính trường C, đạo hàm hàm hàm tích hàm thương, cơng thức đổi biến cho đạo hàm hàm hợp hoàn toàn chứng minh kết hàm biến thực Ví dụ đa thức phức f pz q n ¸ n ¸ am z m có đạo hàm phức m mam z m1 ; hàm nghịch đảo z ÞĐ 1{z có đạo hàm phức f 1pzq 1{z2 m với tất số phức z khác không Một điều tự nhiên f có đạo hàm phức z f phải liên tục z Điều chứng minh cách đơn giản từ đẳng thức f pwq f pz q pw z qppf pwq f pz qq{pw z qq tính chất giới hạn tích tích giới hạn Chúng ta biết hàm thực x ÞĐ |x|{x khơng tồn giới hạn x Ñ 0, vậy, hàm phức z ÞĐ |z |{z khơng tồn giới hạn z Đ Do đó, hàm phức z ÞĐ |z | khơng có đạo hàm phức z Tuy nhiên, điều khác với lý thuyết biến thực, hàm phức z ÞĐ |z |2 x2 y lại có đạo hàm phức z hàm thực x ÞĐ x2 lại có đạo hàm thực nơi Bằng định nghĩa, ta dễ dàng kiểm tra điều này, điều mà đáng lưu ý x2 x.x |z |2 z.¯ z Sự khác biệt rõ ràng đến từ khái niệm thành phần liên hợp Ta thấy rằng, đại lượng nguyên nhân làm tính chất có đạo hàm hàm |z |2 z Ngoài ra, thân hàm liên hợp z ÞĐ z¯ lại khơng có đạo hàm nơi, khơng phải có đạo hàm nơi Điều dễ dàng kiểm chứng từ định nghĩa xét giới hạn “trượt” trục thực sau trượt trục ảo, ta tính Nhắc lại khơng gian vector trường số phức không gian vector trường số thực hạn chế phép nhân từ C đến R Nếu X Y không gian vector trường số phức, T : X Ñ Y ánh xạ tuyến tính C, T tuyến tính R khơng gian vector X, Y R 1.1 Sự khả vi phức Tuy nhiên, khẳng định ngược lại khơng tổng qt Chẳng hạn như, ánh xạ z ÞĐ z¯, z ÞĐ Repz q, z ÞĐ Impz q tuyến tính R khơng tuyến tính C Mặt phẳng phức khơng gian vector R có số chiều thực hai với sở thông thường t1 p1, 0q, i p0, 1qu Trong sở này, với T ánh xạ C-tuyến tính C Đ C, ta ln có biểu diễn T p1q a11 ia21 , T piq a12 ia22 Bởi T pz q zT p1q (do tính tuyến tính), nên với α T p1q a11 ia21 a12 ia22 T piq ipa11 ia21 q a21 ia11 iα Do đó, a11 a22, a12 a21 Lưu ý T pz q αz, nên ánh xạ R-tuyến tính Do đó, định thức ánh xạ detpT q |α|2 Nếu X, Y hai không gian vector định chuẩn C, D X tập không rỗng, ta xét f : D Ñ Y ánh xạ, z điểm D, ta nói f khả vi phức z tồn ánh xạ C-tuyến tính liên tục T : X Đ Y cho f pwq f pz q T pw z q 0 lim w Ñz ||w z||X w PD với giới hạn lấy theo chuẩn Y Trong trường hợp này, ta cịn nói f khả vi thực z ánh xạ T tìm R-tuyến tính, khơng cần thiết thỏa C-tuyến tính Đặc biệt trường hợp X Y C, có Mệnh đề 1.1 Giả sử D C, f : D Ñ C hàm phức, z điểm D Khi f có đạo hàm phức z f khả vi phức z Chứng minh Giả sử f có đạo hàm phức z, nghĩa ta có f pwq f pz q w Ñz wz α f pz q lim Giới hạn tương đương lim w Ñz f pwq f pz q αpw z q |w z | Do T pz q αz ánh xạ C-tuyến tính cần tìm Giả sử f khả vi phức z, nghĩa f pwq f pz q T pw z q |w z | P lim Ñ w z w D f pwq f pz q T p1qpw z q wlim Ñz |w z | 10 Hàm chỉnh hình biến phức Như trên, giới hạn tương đương với lim w Ñz f pwq f pz q wz T p1q Đẳng thức khẳng định f pz q T p1q Nói cách khác, trường hợp X Y C, thì giá trị đạo hàm phức giá trị T p1q Ánh xạ T định nghĩa vi phân f z, ta biết vi phân Do đó, khả vi phức sử khả vi thực điểm ánh xạ vi phân T tương ứng C-tuyến tính Mệnh đề 1.2 Xét D C tập mở, f : D Ñ C hàm phức, với f pz q upx, y q iv px, y q, với u, v hàm thực, z x iy Giả sử z P D, đó, f khả vi phức z u, v hai hàm khả vi thực px, y q cho Hệ thức Cauchy-Riemann sau thỏa $ Bu Bv px, yq, ' & px, y q Bx By B u Bv ' % px, y q px, y q By Bx Chứng minh Ta cần chứng minh f R-khả vi z x iy u, v khả vi px, yq, theo nghĩa C xem không gian R-vector, f hàm giá trị vector với hai thành phần u v Ma trận Jacobi thực f sở thông thường t1 p1, 0q, i p0, 1qu rT p1q T piqs r∇u ∇v s Bu px, yq Bx Bv px, yq Bx Bu px, yq a11 By Bv px, yq a21 By a12 a22 Do đó, ma trận ma trận biểu diễn T cho cho T ánh xạ C-tuyến tính a11 a22 , a12 a21 Nói cách khác điều tương đương với B p q Bv px, yq Bx By B u Bv ' % px, y q px, y q By Bx $ u ' & x, y 1.1 Sự khả vi phức 11 Lưu ý, đạo hàm phức xác với đạo hàm riêng thực theo hướng p1, 0q đạo hàm riêng theo hướng i p0, 1q Thật vậy, f có đạo hàm phức z x iy f pz q Khi f px h iy q f px iy q f pwq f pz q lim , hÑ0 wz h P f pwq f pz q f px ipy hqq f px iy q f pz q lim lim w Ñz wz i hÑ0 h wz ih,hPR f pz q lim Ñ w z w z h,h R Thay f pz q upx, y q iv px, y q vào giới hạn trên, ta Bf px Bx B f f pz q By px f pz q Bu px, yq i Bv px, yq, Bx Bx B v B u iy q p x, y q i px, y q By By iy q Nếu f pz q tồn tại, tất đạo hàm thực theo hướng vector w P C tồn ta có cong thức đạo hàm theo hướng hàm thực Bf : lim f pz Bw ttÑPR0 twq f pz q t lim w tÑ0 f pz P t R twq f pz q wt wf 1pzq Nếu f pz q tồn tại, ma trận Jacobian thực f pu, vq với Bxupx, yqBy vypx, yq Bxvpx, yqBy upx, yq pBxupx, yqq2 pBxvpx, yqq2 |f 1pzq|2 Bây giờ, ta khảo sát khái niệm đạo hàm hàm phức với hai hàm quan trọng : hàm z ÞĐ ez hàm ngược Bởi cơng thức trên, ta kiểm tra pez q1 ez với z P C Ngoài ra, hàm mũ ez sinh song ánh từ dãy vô hạn nửa mở tz P C : π Impz q ¤ π u vào mặt phẳng thủng C Czt0u Song ánh lại sinh hàm ngược hàm ez gọi hàm logarithm chính: Logpz q logp|z |q iArgpz q log a px2 y2q iArgpx, y q, với z x iy 0, Argpz q Argpx, y q P pπ, π s Tuy nhiên, hàm ngược có nhược điểm không liên tục điểm thuộc nửa trục thực âm R p8, 0s Vì vậy, hàm exp dù khả vi phức C, trở thành đồng phôi C Tập hợp p8, 0s làm cho hàm ngược ez không liên tục gọi nhánh cắt hàm logarithm phức 12 Hàm chỉnh hình biến phức Ta tìm hiểu hàm logarithm phức mặt phẳng bị cắt Czp8, 0s Ta có, với Logpz q upx, y q iv px, y q, z x iy P Czp8, 0s Bxupx, yq x2 x y2 ; By upx, yq x2 y y2 , bên nửa trục thực âm Bxvpx, yq Bxrarctanpy{xqs x2yy2 , By vpx, yq By rarctanpy{xqs x2 x y2 Do đó, ta có hệ thức Cauchy-Riemann, pLogpzqq1 Bxupx, yq với z iBx v px, y q x iy x2 y z1 P Czp8, 0s Định nghĩa 1.2 Xét D tập mở C, f : D Ñ C hàm phức; f hàm chỉnh hình f có đạo hàm phức điểm thuộc D đạo hàm phức hàm liên tục D Ta định nghĩa hàm ngun hàm chỉnh hình tồn mặt phẳng phức Nói cách khác, hàm chỉnh hình hàm thuộc lớp C theo nghĩa phức Mối liên hệ khái niệm hàm chỉnh hình, khả vi phức đạo hàm phức mô tả sau: Mệnh đề 1.3 Xét D tập mở C, xét f : D Đ C hàm phức; f hàm chỉnh hình đạo hàm Bx f, By f tồn liên tục, thỏa hệ thức CauchyRiemann điểm thuộc D, nghĩa Bx f p x iy q By f px iy q{i với z x iy P D Trong định nghĩa mệnh đề trên, yêu cầu điều kiện ngặt cho đạo hàm riêng tồn tại, thỏa mãn hệ thức Cauchy-Riemann, mà phải liên tục Tuy nhiên, đòi hỏi tạm thời Trong nội dung sau, thấy rằng, điều kiện liên tục bỏ được, nghĩa cần đạo hàm riêng tồn thỏa hệ thức Cauchy-Riemann, nội dung Định lý Goursat Thật ra, với hàm chỉnh hình cụ thể, ta thấy kết 1.1 Sự khả vi phức 13 dễ dàng Lý do, sau tính đạo hàm phức, ta kiểm tra trực tiếp đạo hàm tự nhiên liên tục Chẳng hạn chuỗi lũy thừa hàm chỉnh hình điểm thuộc miền hội tụ chuỗi Sự thật điểm này, đạo hàm phức chuỗi chuỗi đạo hàm phức số hạng hội tụ ttên miền hội tụ chuỗi ban đầu Hơn nữa, chuỗi hàm liên tục Chẳng hạn như, ta biết exp z ¸ z n {n!, lấy đạo hàm phức thành n phần ta pexp z q1 exp z với z P C Các hàm đa thức hữu hạn, hàm mũ, hàm cosine sine, hàm hyperbolic hàm Gauss z ÞĐ ez , khai triển thành chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ 8, chúng hàm nguyên, nghĩa chỉnh hình tồn C Tuy nhiên, hàm mũ ez , hàm ngược hàm lại khơng chỉnh hình tồn C Chẳng hạn như, hàm bậc hai số phức (là hàm ngược hàm bình phương z ÞĐ z ) có nhánh cắt, hàm bậc ba số phức lại có hai nhánh cắt, hàm khơng chỉnh hình nhánh cắt chúng Từ trở sau, ta ký hiệu OpDq tập hợp gồm hàm chỉnh hình D C Với phép cộng phép nhân điểm, OpDq C-đại số1 Tiếp theo, liệt kê vài tính chất hàm chỉnh hình tập mở, liên thông Với X không gian topo Y tập hợp, ta nói h : X Ñ Y hàm địa phương xung quanh c P X có lân cận U X c cho hpxq hpcq với x P U Ta kiểm chứng hàm địa phương tập liên thơng đường X hàm toàn tập Nhắc lại X tập mở liên thơng Rn h : X Đ R hàm tất đạo hàm riêng h triệt tiêu X Vì thế, ta có Mệnh đề 1.4 Nếu D C tập mở liên thông f : D đạo hàm phức triệt tiêu tồn D Ñ C hàm Chứng minh Rõ ràng f hàm D đạo hàm phức f cần khơng đại số trường C với phép cộng phép nhân hàm thông thường (tạo thành vành), phép nhân với vô hướng C thông thường (tạo thành không gian vector C), phép nhân có tính chất kết hợp 14 Hàm chỉnh hình biến phức tồn D Bây giờ, f có đạo hàm phức khơng tồn D, đó, đạo hàm riêng theo hướng i triệt tiêi đồng thời D Vì vậy, từ tính liên thơng, ta có f hàm D Nhắc lại hàm w : E Ñ C, với E Rn tập mở, hàm điều hòa w thuộc lớp C pE q Laplacian w triệt tiêu E, nghĩa ∆w : B w px , , x q n Bx2j j 1 n ¸ E Nếu f : D Ñ C hàm chỉnh hình D, với D C tập mở, giả sử f pz q upx, y q iv px, y q, với z x iy P D, u, v hai hàm thuộc lớp C pDq Khi đó, hệ thức Cauchy-Riemann Định lý Clairaut, u v hai hàm điều hòa D Chiềuangược lại lúc Chẳng hạn hàm Logpx iy q log x2 y iArgpx, y q hàm chỉnh hình mặt phẳng bị cắt Czp8, 0s, hai phần thực phần ảo lại hàm điều hịa mặt phẳng thủng Czt0u Ta biết mặt phẳng thủng khơng phải miền đơn liên, cịn mặt phẳng bị cắt miền đơn liên Thật ra, khẳng định ngược lại ta thêm điều kiện D miền đơn liên Định lý khơng có chứng minh dễ dàng Tuy nhiên, ta xét trường hợp hình chữ nhật có cạnh song song với hai trục tọa độ Mệnh đề 1.5 Xét D C hình chữ nhật mở có cạnh song song với hai trục tọa độ u : D Đ R hàm điều hịa D Khi đó, tồn hàm điều hịa v : D Ñ R cho f u iv hàm chỉnh hình D Chứng minh Ta tìm hàm v từ hệ thức Cauchy-Riemann Cố định z0 tìm hàm v px, y q cho Bv px, yq Bu px, yq px, yq P D By Bx x0 iy0 P D Ta (1.1.1) cách lấy nguyên hàm hai vế theo biến thứ hai Điều thực đoạn thẳng nối px, y0 q px, y q nằm bên D Khi đó, ta có ˆ y Bu px, ξ qdξ C pxq v px, y q y0 B x 1.1 Sự khả vi phức 15 với C pxq hàm khả vi thực phụ thuộc vào biến x Tiếp theo, ta tìm hệ số C pxq từ đẳng thức thứ hai Bv px, yq Bu px, yq Bx By Bởi Định lý hội tụ Lebesgue, ˆ y y0 B u px, ξ qdξ B x2 Từ tính điều hịa u, ta lại có ˆ y B u B u px, ξ qdξ C pxq px, y q By y0 B ξ C pxq (1.1.2) Bu px, yq By BBuy px, yq BBuy px, yq BBuy px, y0q BBuy px, y0q Do đoạn thẳng nối px0 , y q với px, y q nằm bên D, nên ˆ x Bu pζ, y qdζ C pxq x0 B y Vậy, ta tìm hàm v có dạng, với C số thực, ˆ y ˆ x B u Bu pζ, y qdζ v px, y q p x, ξ qdξ y0 B x x0 B y C (1.1.3) Nếu miền D C, hàm u : D Ñ R hàm điều hòa cho tồn hàm điều hòa v D mà u iv chỉnh hình D, ta nói v liên hợp điều hịa u D Hàm v theo nghĩa sai khác số Bài tập Bài Xét D C tập mở liên thông, f : D Ñ C hàm phức, z P D f pz q tồn Ta định nghĩa hàm liên hợp f f¯pwq : f pwq với w P D Chứng minh f¯ có đạo hàm phức z f pz q Từ đó, chứng minh f f¯ hàm chỉnh hình D f hàm D Bài Chứng minh D C tập mở liên thơng f : D Đ C hàm chỉnh hình D cho tập ảnh f thuộc trục thực thuộc trục ảo, f hàm 16 Hàm chỉnh hình biến phức Bài Chứng minh D C tập mở liên thông f : D Đ C hàm chỉnh hình D cho tập ảnh f thuộc đường trịn đó, f hàm D Hãy tìm phản ví dụ để chứng tỏ điều kiện chỉnh hình khơng thể bỏ Bài Xét D C tập mở liên thông, D : tz¯ : z P Du ảnh đối xứng D qua trục thực Với hàm f : D Ñ C, ta định nghĩa f pz q : f pz¯q, giả sử f có đạo hàm phức z P D Chứng minh hàm f có đạo hàm phức z¯ Hãy biểu diễn pf q1 pz¯q f pz q Chứng minh f hàm chỉnh hình f D f hàm D Ta thấy rằng, tính chất liên thông tập mở C nhân tố quan trọng loạt tính chất Do đó, ta gọi tập mở miền C Bài Chứng minh v liên hợp điều hịa u u liên hợp điều hòa v Bài Chứng minh hpz q hàm phức tập mở D C mà phần thực phần ảo hàm điều hòa cho zhpz q hàm điều hịa, hpz q hàm chỉnh hình D Tìm phản ví dụ chứng tỏ điều kiện cho zhpz q bỏ 1.2 Tích phân Cauchy Đầu tiên, ta định nghĩa tích phân Cauchy cho hàm biến thực có giá trị phức Cụ thể xét ra, bs khoảng compact R, hàm biến thực f : ra, bs Ñ C xác định liên tục phân tích thành f ptq uptq iv ptq, với u, v hàm thực liên tục ra, bs Khi đó, ta định nghĩa ˆ ˆ b ˆ b ˆ b f ptqdt f ptqdt : uptqdt i v ptqdt (1.2.1) ra,bs a a Mệnh đề 1.6 Với ký hiệu định nghĩa trên, ta có ˆ b ˆ f ptqdt Ô a a b a |f ptq|dt Chứng minh Xét θ số thực chọn sau Khi đó, ta có (học viên tự chứng minh (bất) 1.2 Tích phân Cauchy 17 đẳng thức chứng minh) ˆ b ˆ b ˆ iθ iθ Re e f ptqdt Re e f ptq dt Ô a Cui cựng, chọn θ Arg a ˆ b a a b |f ptq|dt f ptqdt , ta có bất đẳng thức cần chứng minh Tiếp theo, định nghĩa tích phân Cauchy tổng quát đường cong Cho trước tập mở D C, gọi đường D hàm α : ra, bs Ñ D liên tục khả vi khúc, ra, bs khoảng compact R Nghĩa tồn phân hoạch a a0 a1 am b hàm αk P C prak1 , ak s Ñ Dq cho αk α|rak1 ,ak s , với k 1, , m Tập ảnh rαs : αpra, bsq gọi vết α, ý khác với đường α Xét f hàm phức xác định liên tục vết rαs đường cong α, Tích phân f đường α định nghĩa ˆ m ˆ m ˆ ak ¸ ¸ f pz qdz : f pz qdz : f pαk ptqqαk1 ptqdt, (1.2.2) α k αk k ak1 vế phải định nghĩa Trong mặt phẳng phức, tdx, dy u sở cho dạng vi phân de Rham thực loại R2 tdz, d¯ z u sở cho dạng vi phân de Rham phức loại p1, 0q p0, 1q C, với dz : dx idy, d¯ z : dx idy Tích phân |f | đường cong α theo độ đo dương |dz | định nghĩa ˆ m ˆ ak m ˆ ¸ ¸ |f pαk ptqq||αk1 ptq|dt, |f pzq||dz| : (1.2.3) |f pzq||dz| : α k αk k ak1 Từ đó, ta có Định lý 1.1 (Bất đẳng thức (ML-estimates)) Giả sử f : D Ñ C hàm liên tục, α : ra, bs Ñ D đường cong D Khi đó, ta có: ˆ ˆ với M α f pz qdz ¤ supt|f pzq| : z P rαsu L |f pzq||dz| Ô M L, m k ak ak1 |αk1 ptq|dt độ đài α 18 Hàm chỉnh hình biến phức Chứng minh Bất đẳng thức kết trực tiếp ˆ b ˆ ˆ ptqdt Ô f pz qdz f p α p t qq α α a b a Thành phần cuối lại bị chặn ˆ m ˆ ¸ |f pzq||dz| ¤ M α |f pαptqq||α1ptq|dt ak ak1 k ˆ α |f pzq||dz| |αk1 ptq|dt M L Định lý 1.2 (Định lý hội tụ) Giả sử D C tập mở f, fn : D Ñ C hàm liên tục, α : ra, bs Ñ D đường cong D, giả sử dãy hàm fn hội tụ f rαs Khi đó, ta có ˆ ˆ n lim Ñ α fn pz qdz α f pz qdz Chứng minh Xem tập cho người học viên Bổ đề 1.1 (Bổ đề cung nhỏ - cung lớn) Giả sử π α β ¤ π Xét A : Apz0 , rα, β sq : tz0 r.eiθ : r ¥ 0, θ P rα, β su góc vơ hạn đỉnh z0 , quét từ góc lượng giác α đến β Xét f : Apz0 , rα, β sqztz0 u Ñ C hàm liên tục cung bị chặn γr pθq tz0 reiθ : θ P rα, β su, với r ¡ cho trước Khi đó, ta có: ˆ Nếu lim pz z0 qf pz q λ P C lim f pz qdz iλpβ αq z Ñz0 ,z PA r Ñ0 γr ˆ (1.2.4) Nếu lim zf pz q λ P C lim f pz qdz iλpβ αq z Ñ8,zPA r Ñ γr Chứng minh Ta quan sát thấy giới hạn hàm zf pz q hữu hạn z tiến vơ dẫn đến f pz q phải tiến không z tiến vơ Do đó, z lim Đ8,zPA zf pz q λ P C ðđ z lim Đ8,zPA pz z0qf pzq λ P C 1.2 Tích phân Cauchy 19 Ta xét hàm g pz q f pz q , với z P Aztz0 u, hai trường hợp z z0 ta ln có pz z0 qg pz q Đ Bây giờ, ta xét tích phân ˆ γr f pz qdz ˆ λ g pz q dz λ z z0 γr ˆ λ γr z z0 ˆ dz γr g pz qdz Với tích phân thứ nhất, hai trường hợp, ta có ˆ γr λ z z0 dz ˆ β α λ rieiθ dθ reiθ Bởi Ước lượng ML, ta lại có ˆ ˆ ˆ g pz qdz Ô |gpzq||dz| Ô r γr γr iλpβ αq ||g||r |dz| pβ αqr||g||r , ||g ||r : maxt|g pz0 reiθ q| : θ P rα, β su Ta thấy pz z0 qg pz q tiến z Ñ z0 hay z Ñ Trong trường hợp z P γr z Đ z0 ðđ r Đ (cung nhỏ) Khi pz z0 qg pz q reiθ g pz q Ñ z Ñ z0 lưu ý z Ñ z0 theo hướng với argumment thuộc rα, β s, nên dẫn đến ta có lim r||g ||r Hồn r Đ0 tồn tương tự trường hợp z P γr , z Đ ðđ r Đ (cung lớn), ta có lim r||g ||r Kết hợp điều lại, ta có giới hạn cần chứng minh r Đ hai trường hợp cung nhỏ cung lớn Tiếp theo, ta quan tâm đến mối liên hệ đối tượng tích phân phức đạo hàm phức Cụ thể, ta quan tâm đến câu hỏi: điều xảy xét tích phân hàm khả vi phức? Giả sử f pz q upx, y q iv px, y q, với z x iy, x, y P R, u v hai hàm số thực, đường cong trơn tham số αptq xptq iy ptq, t P ra, bs Khi đó, ta có ˆ ˆ b f pz qdz pupxptq, yptqq ivpxptq, yptqqqpx1ptq iy1ptqqdt α a ˆ b ˆ b 1 pupxqtq, yptqqx ptq vpxptq, yptqqy ptqqdt i pvpxptq, yptqqx1ptq upxptq, yptqqy1ptqqdt a a ˆ b ˆ b upx, yqdx vpx, yqdy i vpx, yqdx upx, yqdy (tích phân đường loại 2) a a 20 Hàm chỉnh hình biến phức Do đó, cách hình thức, ta định nghĩa f pz qdz pupx, yq iv px, y qqpdx idy q : upx, y qdxv px, y qdy ipv px, y qdx upx, y qdy q Một dạng vi phân thực cấp có dạng P px, y qdx Qpx, y qdy, P Q hàm thực hai biến thông thường Dạng vi phân gọi thuộc lớp C hàm hệ số P px, y q Qpx, y q thuộc C Một dạng vi phân thực cấp P px, y qdx Qpx, y qdy thuộc lớp C gọi khớp tồn hàm thực f px, y q thuộc lớp C cho df P px, y qdx Qpx, y qdy (hay ∇f px, y q pP px, y q, Qpx, y qq) Trong trường hợp này, f gọi nguyên hàm dạng vi phân P px, y qdx Qpx, y qdy Một dạng vi phân thực cấp P px, y qdx Qpx, y qdy thuộc C gọi dạng vi phân BQ BP Vì dpdf q 0, nên dạng vi phân thực cấp đóng Bx By thuộc lớp C khớp thi phải dạng đóng Rõ ràng f pz qdz phân rã thành hai thành phần: f pz qdz (dạng vi phân thực cấp một) + i(dạng vi phân thực cấp một) gọi dạng vi phân phức loại p1, 0q Ký hiệu thứ hai định f pz qd¯ z : pupx, y q iv px, y qqpdx idy q : upx, y qdx v px, y qdy ipv px, y qdx upx, y qdy q gọi dạng vi phân phức loại p0, 1q Các dạng vi phân phức đóng vai trị quan trọng lý thuyết Phương trình Cauchy-Riemann khơng mà ta tìm hiểu chương sau Điều mà ta quan tâm f pz qdz dạng vi phân đóng phần thực udx vdy phần ảo vdx udy f pz qdz đóng, nghĩa uy px, y q vx px, y q ux px, y q vy px, y q Và tính chất đóng rõ ràng tương đương với hệ thức CauchyRiemann Ta biết Giải tích vector, tích phân đường loại hai dạng vi phân thực cấp thuộc lớp C đóng khơng phụ thuộc vào đường đi, phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối đường Do đó, áp dụng tính độc lập vào đường cho udx vdy vdx udy, ta có kết Giải tích phức biến sau: tích phân phức hàm chỉnh hình khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân, phụ thuộc vào điểm bắt đầu điểm kết thúc Định lý 1.3 Xét D tập mở C, hàm f : D Ñ C chỉnh hình Nếu α β hai đường cong nằm D cho điểm bắt đầu điểm kết thúc hai đường trùng nhau, ta có ˆ ˆ f pz qdz f pz qdz α β Xét đường cong γ định hướng dương Ta chọn hai điểm khác A B γ Giả sử hướng γ hướng từ A đến B Rõ ràng, γ hội hai ... ? ?Giải tích phức nâng cao? ?? chủ yếu dùng tài liệu học tập cho học viên Cao học ngành Toán lý thuyết Ứng dụng Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, với thời lượng 60 đến 90 học Tài liệu. .. chỉnh hình cho học viên cao học mà nội dung thực tổng qt hóa học viên học bậc Đại học, Cao đẳng Mục tiêu tài liệu tập trung vào kết định tính Lý thuyết hàm chỉnh hình mà học viên học hay áp dụng... hình biến phức khơng trình bày chi tiết Hơn nữa, tài liệu đề cập đến vấn đề thuộc nơi giao lĩnh vực Giải tích phức, Phương trình đạo hàm riêng, Hình học Đại số Do đó, để đọc tài liệu, học viên cần