Bài giảng Giải tích phức nâng cao chủ yếu được dùng như là tài liệu học tập chính cho học viên Cao học các ngành Toán lý thuyết và Ứng dụng tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Mục tiêu chính của tài liệu là tập trung vào những kết quả định tính cơ bản nhất của Lý thuyết hàm chỉnh hình mà có thể học viên đã được học hay áp dụng trong tính toán trước đó.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - TIN HỌC LÝ KIM HÀ GIẢI TÍCH PHỨC NÂNG CAO (Tài liệu dành cho học viên Cao học ngành Toán) Mục lục Mục lục Mục lục Hàm chỉnh hình biến phức 1.1 Sự khả vi phức 1.2 Tích phân Cauchy 1.3 Các kết định tính 1.4 Thác triển giải tích dọc theo đường cong 1.5 Cơng thức Pompeiu 7 16 41 50 56 Lý thuyết mặt Riemann 65 2.1 Định nghĩa Ví dụ 65 2.2 2.3 Hàm chỉnh hình Ánh xạ chỉnh hình Các tính chất 69 70 Hàm phức nhiều biến 77 3.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức 77 3.2 Cơng thức tích phân Cauchy miền đa trụ 89 3.3 Phương trình Cauchy-Riemann miền đa trụ 100 MỤC LỤC Lời nói đầu Bài giảng “Giải tích phức nâng cao” chủ yếu dùng tài liệu học tập cho học viên Cao học ngành Toán lý thuyết Ứng dụng Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, với thời lượng 60 đến 90 học Tài liệu cung cấp kiến thức nhập môn lý thuyết hàm chỉnh hình cho học viên cao học mà nội dung thực tổng qt hóa học viên học bậc Đại học, Cao đẳng Mục tiêu tài liệu tập trung vào kết định tính Lý thuyết hàm chỉnh hình mà học viên học hay áp dụng tính tốn trước Vì lý này, kiến thức định lượng liên quan đến hàm chỉnh hình biến phức khơng trình bày chi tiết Hơn nữa, tài liệu đề cập đến vấn đề thuộc nơi giao lĩnh vực Giải tích phức, Phương trình đạo hàm riêng, Hình học Đại số Do đó, để đọc tài liệu, học viên cần có kiến thức Tốn lý thuyết bậc đại học Giải tích hàm, Topo, Đại số đại cương Nội dung tài liệu bao gồm ba phần Phần thứ nhắc lại chứng minh chi tiết kết định tính đặc trưng Hàm phức biến C Hơn nữa, phần này, học viên học thêm hai nội dung mà có lẽ bậc Đại học chưa tiếp cận, Thác triển giải tích Phương trình Cauchy-Riemann không Đây hai nội dung liên quan đến phần sau cách chặt chẽ Bài toán thác triển giải tích dẫn đến việc nghiên cứu không gian tương tự mặt phẳng phức mặt phẳng phức, mặt Riemann Đây nội dung thứ hai tài liệu Trong nội dung này, ta xây dựng lý thuyết hàm biến phức mặt Riemann Vì lý thời lượng, nên ta nghiên cứu khả vi mà khơng đề cập đến khả tích mặt Riemann Phương trình Cauchy-Riemann khơng lại dẫn ta đến việc nghiên cứu Lý thuyết hàm chỉnh hình khơng gian phức nhiều chiều (tích hữu hạn mặt phẳng phức) Tại đây, ta thấy khác biệt rõ rệt tính chất giải tích khơng gian phức chiều nhiều chiều mà thể phương trình phức bậc Cả ba nội dung trên, thứ xoay quanh đối tượng hàm chỉnh hình chính, MỤC LỤC thứ hai tìm hiểu liên kết ba chương kết định tính nên Lý thuyết thặng dư hay vấn đề định lượng khác khơng đề cập tài liệu Ngồi ra, ba nội dung sở để học viên tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu lĩnh vực Giải tích phức nhiều biến, Hình học phức sau Do đó, tài liệu biên soạn theo cấu trúc phù hợp với hướng nghiên cứu tác giả Tuy nhiên, tài liệu tất cả, để học viên tự đọc nội dung thuộc ba lĩnh vực đề cập Do đó, để tìm hiểu chi tiết, học viên tham khảo tài liệu cốt yếu cuối tài liệu Mùa hè năm 2016, Thành phố Hồ Chí Minh, Lý Kim Hà lkha@hcmus.edu.vn Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Chương Hàm chỉnh hình biến phức 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.1 Sự khả vi phức Tích phân Cauchy Các kết định tính Thác triển giải tích dọc theo đường cong Cơng thức Pompeiu 16 41 50 56 Sự khả vi phức Trong học phần giải tích phức bậc đại học, ta biết cấu trúc trường tập hợp số phức C tương thích với với cấu trúc topo trường Nghĩa phép tốn đại số hình thành tính chất trường ánh xạ liên tục từ C ✂ C Đ C Do đó, từ tính liên tục này, ta định nghĩa tính khả vi hàm số trường số phức sau Cụ thể, với hai số phức z ✘ w, thương f ♣wq ✁ f ♣z q xác định ta thực phép tính giới hạn w Ñ z cho thương w✁z Định nghĩa 1.1 Giả sử D ⑨ C tập mở không rỗng, z C điểm D f : D Ñ C hàm biến phức xác định D Khi đó, ta nói f có đạo hàm phức z giới hạn sau f ♣wq ✁ f ♣z q lim w Ñz w✁z Hàm chỉnh hình biến phức tồn C Khi giới hạn tồn tại, ta gọi giá trị đạo hàm f z, ta ký hiệu df f ♣wq ✁ f ♣z q ♣ z q ✏ f ✶ ♣z q ✏ lim w Ñz dz w✁z Bằng cách áp dụng đẳng thức bản, ta thấy hàm biến phức có dạng mũ nguyên dương (f ♣z q ✏ z m ) có đạo hàm phức điểm mặt phẳng phức đa thức thực Chẳng hạn như, hàm phức f : z ÞĐ z có đạo hàm phức f ✶ ♣z q ✏ 1; hàm bình phương f : z ÞĐ z có đạo hàm phức f ✶ ♣z q ✏ 2z; hàm bậc m f : z ÞĐ z m có đạo hàm phức f ✶ ♣z q ✏ mz m✁1 Hơn nữa, từ định nghĩa, tính chất đạo hàm phức tính tuyến tính trường C, đạo hàm hàm hàm tích hàm thương, cơng thức đổi biến cho đạo hàm hàm hợp hoàn toàn chứng minh kết hàm biến thực Ví dụ đa thức phức f ✶ ♣z q ✏ n ➳ ✏ n ➳ ✏ am z m có đạo hàm phức m mam z m✁1 ; hàm nghịch đảo z ÞĐ 1④z có đạo hàm phức f ✶♣zq ✏ ✁1④z2 m với tất số phức z khác không Một điều tự nhiên f có đạo hàm phức z f phải liên tục z Điều chứng minh cách đơn giản từ đẳng thức f ♣wq ✁ f ♣z q ✏ ♣w ✁ z q♣♣f ♣wq ✁ f ♣z qq④♣w ✁ z qq tính chất giới hạn tích tích giới hạn Chúng ta biết hàm thực x ÞĐ ⑤x⑤④x khơng tồn giới hạn x Đ 0, vậy, hàm phức z ÞĐ ⑤z ⑤④z khơng tồn giới hạn z Đ Do đó, hàm phức z ÞĐ ⑤z ⑤ khơng có đạo hàm phức z ✏ Tuy nhiên, điều khác với lý thuyết biến thực, hàm phức z ÞĐ ⑤z ⑤2 ✏ x2 y lại có đạo hàm phức z ✏ hàm thực x ÞĐ x2 lại có đạo hàm thực nơi Bằng định nghĩa, ta dễ dàng kiểm tra điều này, điều mà đáng lưu ý x2 ✏ x.x ⑤z ⑤2 ✏ z.¯ z Sự khác biệt rõ ràng đến từ khái niệm thành phần liên hợp Ta thấy rằng, đại lượng ngun nhân làm tính chất có đạo hàm hàm ⑤z ⑤2 z ✘ Ngoài ra, thân hàm liên hợp z ÞĐ z¯ lại khơng có đạo hàm nơi, khơng phải có đạo hàm nơi Điều dễ dàng kiểm chứng từ định nghĩa xét giới hạn “trượt” trục thực sau trượt trục ảo, ta tính Nhắc lại không gian vector trường số phức khơng gian vector trường số thực hạn chế phép nhân từ C đến R Nếu X Y không gian vector trường số phức, T : X Ñ Y ánh xạ tuyến tính C, T tuyến tính R khơng gian vector X, Y R 1.1 Sự khả vi phức Tuy nhiên, khẳng định ngược lại khơng tổng quát Chẳng hạn như, ánh xạ z ÞÑ z¯, z ÞÑ Re♣z q, z ÞÑ Im♣z q tuyến tính R khơng tuyến tính C Mặt phẳng phức khơng gian vector R có số chiều thực hai với sở thông thường t1 ✏ ♣1, 0q, i ✏ ♣0, 1q✉ Trong sở này, với T ánh xạ C-tuyến tính C Đ C, ta ln có biểu diễn T ♣1q ✏ a11 ia21 , T ♣iq ✏ a12 ia22 Bởi T ♣z q ✏ zT ♣1q (do tính tuyến tính), nên với α ✏ T ♣1q ✏ a11 ia21 a12 ia22 ✏ T ♣iq ✏ i♣a11 ia21 q ✏ ✁a21 ia11 ✏ iα Do đó, a11 ✏ a22, a12 ✏ ✁a21 Lưu ý T ♣z q ✏ αz, nên ánh xạ R-tuyến tính Do đó, định thức ánh xạ det♣T q ✏ ⑤α⑤2 Nếu X, Y hai không gian vector định chuẩn C, D ⑨ X tập khơng rỗng, ta xét f : D Đ Y ánh xạ, z điểm D, ta nói f khả vi phức z tồn ánh xạ C-tuyến tính liên tục T : X Đ Y cho f ♣wq ✁ f ♣z q ✁ T ♣w ✁ z q ✏0 lim w Ñz ⑤⑤w ✁ z⑤⑤X w D với giới hạn lấy theo chuẩn Y Trong trường hợp này, ta cịn nói f khả vi thực z ánh xạ T tìm R-tuyến tính, khơng cần thiết thỏa C-tuyến tính Đặc biệt trường hợp X ✏ Y ✏ C, có Mệnh đề 1.1 Giả sử D ⑨ C, f : D Ñ C hàm phức, z điểm D Khi f có đạo hàm phức z f khả vi phức z Chứng minh Giả sử f có đạo hàm phức z, nghĩa ta có f ♣wq ✁ f ♣z q w Ñz w✁z α ✏ f ✶ ♣z q ✏ lim Giới hạn tương đương lim w Ñz f ♣wq ✁ f ♣z q ✁ α♣w ✁ z q ⑤w ✁ z ⑤ ✏ Do T ♣z q ✏ αz ánh xạ C-tuyến tính cần tìm Giả sử f khả vi phức z, nghĩa f ♣wq ✁ f ♣z q ✁ T ♣w ✁ z q ⑤w ✁ z ⑤ lim Ñ w z w D f ♣wq ✁ f ♣z q ✁ T ♣1q♣w ✁ z q ✏ wlim ✏ Ñz ⑤w ✁ z ⑤ 10 Hàm chỉnh hình biến phức Như trên, giới hạn tương đương với lim w Ñz f ♣wq ✁ f ♣z q w✁z ✏ T ♣1q Đẳng thức khẳng định f ✶ ♣z q ✏ T ♣1q Nói cách khác, trường hợp X ✏ Y ✏ C, thì giá trị đạo hàm phức giá trị T ♣1q Ánh xạ T định nghĩa vi phân f z, ta biết vi phân Do đó, khả vi phức sử khả vi thực điểm ánh xạ vi phân T tương ứng C-tuyến tính Mệnh đề 1.2 Xét D ⑨ C tập mở, f : D Ñ C hàm phức, với f ♣z q ✏ u♣x, y q iv ♣x, y q, với u, v hàm thực, z ✏ x iy Giả sử z D, đó, f khả vi phức z u, v hai hàm khả vi thực ♣x, y q cho Hệ thức Cauchy-Riemann sau thỏa ✩ ❇u ❇v ♣x, yq, ✬ ✫ ♣x, y q ✏ ❇x ❇y ❇ u ❇v ✬ ✪ ♣x, y q ✏ ✁ ♣x, y q ❇y ❇x Chứng minh Ta cần chứng minh f R-khả vi z ✏ x iy u, v khả vi ♣x, yq, theo nghĩa C xem không gian R-vector, f hàm giá trị vector với hai thành phần u v Ma trận Jacobi thực f sở thông thường t1 ✏ ♣1, 0q, i ✏ ♣0, 1q✉ ✔ rT ♣1q T ♣iqs ✏ r∇u ∇v s ✏ ✖ ✕ ❇u ♣x, yq ❇x ❇v ♣x, yq ❇x ❇u ♣x, yq ✜ ✒ a11 ✣ ❇y ❇v ♣x, yq ✢ ✏ a21 ❇y a12 a22 ✚ Do đó, ma trận ma trận biểu diễn T cho cho T ánh xạ C-tuyến tính a11 ✏ a22 , a12 ✏ ✁a21 Nói cách khác điều tương đương với ❇ ♣ q ✏ ❇v ♣x, yq ❇x ❇y ❇ u ❇v ✬ ✪ ♣x, y q ✏ ✁ ♣x, y q ❇y ❇x ✩ u ✬ ✫ x, y 96 Hàm phức nhiều biến Bây giờ, ta chọn t✶ cho D♣a✶ , t✶ q ⑨ D♣w✶ , t✶ q ⑨ D♣a✶, s✶q, với w✶ D♣a✶, q Từ tính chất lồng này, dễ thấy ˆ k ✁1 log ⑤uk ♣z ✶ q⑤dV ♣z ✶ q ↕ ✁ Vol♣D♣a✶ , t✶ qq log c D w✶ ,t✶ ♣ q M0Vol♣D♣w✶, t✶ q③D♣w✶, t✶qq Vế phải bất đẳng thức nhỏ r✁Vol♣D♣w✶ , t✶ qq log c0 s ta chọn đủ nhỏ c0 ➔ c Do đó, ˆ k ✁1 log ⑤uk ♣z ✶ q⑤dV ♣z ✶ q ↕ ✁Vol♣D♣w✶ , t✶ qq log c0 D w✶ ,t✶ ♣ q Kết với Bất đẳng thức Jensen dẫn đến k ✁1 log ⑤uk ♣w✶ q⑤ ↕ log c0 , hay ⑤uk ♣w✶q⑤ck0 ↕ 1, với w✶ D♣a✶, q, k ➙ k0 Điều chứng tỏ chuỗi bổ đề hội tụ tập D♣a✶ , q ✂ D♣0, c0 q Bởi a✶ c0 ➔ c tùy ý, nên hội tụ xảy D♣0, r✶ q ✂ D♣0, cq, u xác định mở rộng đa trụ lớn Kết mở rộng u thuộc A♣D♣0, r✶ q ✂ D♣0, cqq thỏa giả thiết Định lý Osgood khai triển Ta cần Định lý Giải tích hàm sau Bổ đề 3.3 (Nguyên lý phạm trù Baire) Cho X không gian metric đầy ↕ đủ Nếu tUk ✉ họ đếm tập đóng có phần Uk có phần khác rỗng X khác rỗng X, k Định lý 3.11 (Định lý Hartogs) Nếu u hàm phức xác định tập mở Ω ⑨ Cn giả sử u giải tích phức tách, nghĩa giải tích phức theo biến zj biến khác cịn lại cố định Khi đó, u hàm giải tích phức tồn Ω 3.2 Cơng thức tích phân Cauchy miền đa trụ 97 Chứng minh Ta chứng minh định lý theo quy nạp Trường hợp n ✏ tầm thường Ta giả sử định lý không gian Cn✁1 , với n → Bây giờ, ta chứng minh kết không gian Cn Lấy kỳ a Ω đa bán kính r cho đa trụ D♣a, rq ⑨ Ω Với cách ký hiệu Bổ đề Hartogs, ta đặt Xk ✏ ✦ zn D♣an, rn④2q : ⑤u♣z✶, znq⑤ ↕ k ❅z✶ D♣a✶, r✶q ✮ Do u liên tục theo biến zn cố định z ✶ D♣a✶ , r✶ q, nên Xk tập đóng với k Mặt khác, u lại liên tục theo biến z ✶ ↕ cố định biến zn D♣an , rn q, nên u bị chặn với Xk ✏ D1 ✂ ✂ Dn Do đó, theo Nguyên zn cố định, ta có D♣an , rn ④2q ⑨ k lý phạm trù Baire, tồn Xk ✘ ❍ chứa D♣bn , δ q với vài bn D♣an , rn ④2q Chúng ta biết u giải tích phức tách bị chặn D♣a✶ , r✶ q✂ D♣bn , δ q Vậy theo Ước lượng Cauchy, đạo hàm riêng bậc (nghĩa theo biến zj biến lại cố định) bị chặn tập compact đa trụ Và thế, từ phương trình Cauchy-Riemann cho biến tách, mối liên hệ đạo hàm theo zj xj , yj dẫn đến đạo hàm riêng biến thực bị chặn tập compact đa trụ Do đó, áp dụng Định lý giá trị trung bình cho biến thực xj , yj u liên tục D♣a✶ , r✶ q ✂ D♣bn , δ q Lần nữa, liên tục tính giải tích tách, theo Định lý Osgood, dẫn đến thật u hàm giải tích phức D♣a✶ , r✶ q ✂ D♣bn , δ q chuỗi hội tụ tập compact đa trụ Bây giờ, ta chọn sn → rn ④2 cho D♣bn , sn q ⑨ D♣an , rn q, tất nhiên D♣bn , δ q ⑨ D♣bn , sn q Đến bây giờ, ta có u giải tích phức D♣a✶ , r✶ q ✂ D♣bn , δ q Với đĩa mở tâm sn này, u giải tích phức tách, nên chuỗi lũy thừa khai triển u mở rộng từ D♣bn , δ q đến D♣bn , sn q hội tụ theo biến zn cố định z ✶ D♣a✶ , r✶ q Rõ ràng, hai giả thiết Bổ đề Hartogs với đa trụ nhỏ D♣a✶ , r✶ q✂ D♣bn , δ q đa trụ lớn D♣a✶ , r✶ q✂ D♣bn , sn q Do đó, u giải tích phức đa trụ lớn Cuối cùng, a bất kỳ, nên u giải tích phức toàn Ω Rõ ràng chiều ngược lại Định lý hiển nhiên Chứng minh chứng minh gốc F Hartogs, mà trình bày M Hervé Và M Hervé giả thuyết có hay khơng hàm nửa điều hịa tách nửa điều hòa Tuy nhiên, giả thuyết chứng minh sai phản ví dụ Wiegerinck Một câu hỏi tự nhiên đặt có tồn phiên nhiều chiều cho Cơng thức tích phân Poimpeiu-Cauchy hay khơng, nghĩa tổng qt Cơng thức 98 Hàm phức nhiều biến tích phân Cauchy nhiều chiều u hàm giải tích phức Câu trả lời có, nội dung Công thức Bochner-Martinelli Nhân Bochner-Martinelli định nghĩa n ➞ ♣n ✁ 1q! ➳ ¯j ✁ z¯j qdζj ❫ ♣ ♣ ζ dζ¯k ❫ dζk q, (3.2.6) ♣2πiqn ⑤ζ ✁ z⑤2n j✏1 k ✘j với ζ ✏ ♣ζ1 , , ζn q, z ✏ ♣z1 , , zn q Cn , quan trọng ζ ✘ z Rõ ràng, B ♣ζ, z q dạng vi phân loại ♣n, n ✁ 1q theo biến ζ Đặc biệt, n ✏ B ♣ζ, z q ✏ B ♣ζ, z q ✏ 1 dζ 2πi ζ ✁ z nhân Cơng thức tích phân Cauchy chiều mà ta biết Một lưu ý khác khái niệm nhân Bochner-Martinelli dạng lý thuyết nhân tích phân tổng quát Giải tích phức nhiều biến để biểu diễn kỳ dị toán tử, mà ngày gọi Lý thuyết Cauchy-Fantappiè Do khn khổ giáo trình, không đề cập chi tiết đến lý thuyết này, người đọc tham khảo tài liệu M Range hay Shaw Chen Định lý 3.12 Cho Ω miền bị chặn Cn với biên bΩ trơn, n ➙ giả sử f ˆ ˆ f ♣z q ✏ f ♣ζ qB ♣ζ, z q ✁ ❇¯ζ f ❫ B ♣ζ, z q, với z Ω, bΩ 0✏ ˆ bΩ C 1♣Ω¯ q Khi (3.2.7) Ω f ♣ζ qB ♣ζ, z q ✁ ˆ Ω ❇¯ζ f ❫ B ♣ζ, zq, với z ❘ Ω (3.2.8) Chứng minh Ta lặp lại kỹ thuật “khoét” trường hợp chiều Xét z Ω, với → nhỏ, ta đặt B ♣z q ✏ tζ Cn : ⑤ζ ✁ z⑤ ➔ ✉, D ♣z q ✏ Ω③B ♣z q Thay áp dụng Định lý Green cho hàm, truờng hợp này, ta áp dụng Định lý Stoke cho dạng vi phân Cụ thể, ta có ˆ ˆ ˆ ˆ d♣f ♣ζ qB ♣ζ, z qq ✏ f ♣ζ qB ♣ζ, z q ✏ f ♣ζ qB ♣ζ, z q ✁ f ♣ζ qB ♣ζ, z q ♣q D z ♣q bD z bΩ ♣q bB z 3.2 Cơng thức tích phân Cauchy miền đa trụ 99 Vì ❇¯ζ B ♣ζ, z q ✏ ζ ✘ z, mà dζ ♣f ♣ζ qB ♣ζ, z qq ✏ ❇¯ζ ♣f ♣ζ qB ♣ζ, z qq ✏ ❇¯ζ f ♣ζ q B ♣ζ, z q f ♣ζ q❇¯ζ B ♣ζ, z q, nên ˆ ˆ ˆ f ♣ζ qB ♣ζ, z q ✏ ❇¯f ♣ζ q ❫ B ♣ζ, zq f ♣ζ qB ♣ζ, z q ♣q bΩ ❫ ♣q D z bB z Mục đích ta đạt đẳng thức (3.2.7) Ñ chứng minh trường hợp chiều Thật vậy, phép đổi biến ζj Ñ ζj ✁ zj , lần Định lý Stoke cho B ♣z q, ta ˆ n ˆ ➞ ζ¯j ♣ n ✁ 1q! ➳ B ♣ζ, z q ✏ dζ ❫ ♣ dζ¯k ❫ dζk q j ♣2πiqn j✏1 bB ♣0q ⑤ζ ⑤2n bB ♣z q k ✘j n ˆ ➞ ➳ ✁ 1q! ¯j ❫ dζj ❫ ♣ d ζ dζ¯k ❫ dζk q ✏ ♣♣n2πi qn 2n j✏1 B ♣0q k ✘j ✏ 1, (3.2.9) với → nhỏ tùy ý Từ đây, Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, qua giới hạn Đ 0, ta ¯ rõ ràng ta không cần phải “khoét” z đẳng thức Cuối cùng, z ❘ Ω, khỏi Ω lúc nhân Bochner-Martinelli quy Áp dụng trực tiếp Định lý Stoke miền Ω, ta ˆ ˆ f ♣ζ qB ♣ζ, z q ✏ ❇¯f ♣ζ q ❫ B ♣ζ, zq bΩ Ω Và đó, Định lý chứng minh Như hệ quả, ta có Hệ 3.1 Xét Ω miền bị chặn Cn với biên trơn n ➙ Với f ¯ q, ta có C ♣Ω ˆ f ♣z q ✏ f ♣ζ qB ♣ζ, z q, với z Ω, bΩ tích phân không z A♣Ωq ❳ ¯ ❘ Ω Ta thấy nhân Bochner-Martinelli thỏa mãn tính chất quen thuộc cho hàm giải tích phức trường hợp chiều Tuy nhiên, số chiều 100 Hàm phức nhiều biến n ➙ 2, nhân Bochner-Martinelli khơng cịn tính chất giải tích phức theo biến z thân C Trong nội dung sau, ta xây dựng nhân sinh lớp hàm Henkin mà chúng khắc phục khuyến điểm nhân Bochner-Martinelli miền đặc biệt 3.3 Phương trình Cauchy-Riemann miền đa trụ Đầu tiên, ta tìm hiểu phương trình Cauchy-Riemann khơng đa trụ với việc tìm nghiệm hàm khả vi Nghĩa là, với f ♣z q ✏ n ➳ ✏ fj ♣z qd¯ zj dạng j vi phân loại ♣0, 1q cho trước, có giá compact, có hệ số thuộc lớp C , tìm hàm thuộc lớp C cho ❇¯u ✏ f Như biết, điều kiện cần để phương trình có nghiệm ❇¯f ✏ Hơn nữa, ta viết tường minh hơn, giải phương trình Cauchy-Riemann giải hệ ❇u ✏ f , ❇z¯j j với j ✏ 1, , n, (3.3.1) các điều kiện tương thích ❇fj ✁ ❇fk ✏ 0, ❇z¯k ❇z¯j với ↕ j ➔k↕n (3.3.2) thỏa Trong trường hợp n ✏ 1, phương trình (3.3.1) có nghiệm C nghiệm trơn khác không điểm C tích phân Lebesgue liệu f C0✽ ♣Cq thật khác không Tuy nhiên, Cn , n ➙ 2, điều khơng cịn xảy mặt tổng quát Định lý 3.13 Giả sử hàm phức fj C0k ♣Cn q, j ✏ 1, , n, n ➙ k → fj thỏa điều kiện tương thích (3.3.2) Khi tồn hàm u C0k ♣Cn q nghiệm hệ phương trình Cauchy-Riemann (3.3.1) 3.3 Phương trình Cauchy-Riemann miền đa trụ 101 Chng minh Ta t uz q : ă f1 ♣τ, z2 , , zn q dτ ❫ d¯ τ 2πi đĩa mở τ ✁ z1 f1 ♣z1 ✁ τ, z2 , , zn q ă d d τ 2πi đĩa mở τ Đẳng thức thứ hai u lần chứng tỏ u hàm thuộc lớp C k f C k ♣Cn q Ngồi ra, f có giá tập compact Cn , nên tích phân triệt tiêu ⑤z2⑤ ⑤zn⑤ đủ lớn Khi ta xem biến z2 , , zn cố định kết C, ta có ❇u ✏ f ❇z¯1 Bây giờ, lấy đạo hàm theo biến z2 , , zn áp dụng điều kiện tương thớch (3.3.2), ta c u ă f1, z2, , znq dτ ❫ d¯τ ❇z¯j 2i ă zk z1 (3.3.3) fk , z2 , , zn q 1 dτ ❫ d¯ τ ✏ 2πi ❇τ¯ τ ✁ z1 Theo Cơng thức tích phân Pompeiu-Cauchy đẳng thức cuối fk ♣z q fk có giá tập compact Cn Do đó, ❇u ✏ f , ❇z¯j j với j ✏ 1, , n Và thế, theo Định lý Hartogs u hàm giải tích phức bên tập compact chứa supp(fj ) Mặt khác, u♣z q ✏ ⑤z2 ⑤ ⑤zn ⑤ đủ lớn để có phần giao khác rỗng phần bù tập compact Do đó, theo Định lý đồng Cn (xem phần tập), u ✏ bên tập compact Nghĩa u C0k ♣Cn q Định lý bước quan trọng chứng minh Định lý Hartogs mở rộng hàm giải tích phức Đây định lý kinh điển đánh dấu thiết lập Lý thuyết hàm phức nhiều biến, mà thật phân biệt với lý thuyết hàm phức biến (n ✏ 1) Định lý chứng minh F Hartogs sau phương pháp khác L Ehrenpreis, biết đến Định lý Osgood-Brown 102 Hàm phức nhiều biến Tính chất thác triển hàm giải tích phức định lý cịn gọi Hiện tượng Hartogs Nói thêm, nay, có nhiều phiên chứng minh Định lý kinh điển này, đây, dựa phương pháp phương trình Cauchy-Riemann Định lý 3.14 (Định lý thác triển Hartogs) Cho Ω tập mở Cn , với n ➙ 2, K ⑨ Ω tập compact cho Ω③K tập liên thơng Khi đó, với u A♣Ω③K q, ta tìm U A♣Ωq cho u ✏ U Ω③K Lưu ý định lý khơng cịn C Chẳng hạn ta xét u♣z q ✏ z1 , hàm giải tích phức C③t0✉ Tuy nhiên, khơng thể mở rộng hàm cách liên tục thành hàm giải tich phức toàn mặt phẳng phức C Do đó, tượng Hartogs khơng xuất lý thuyết Giải tích phức biến Nói cách khác, khơng gian Cn , n ➙ 2, ta “xóa” tập điểm Ω mà f khơng giải tích phức, để có hàm mở rộng F giải tích phức Ω Chứng minh Định lý thác triển Hartogs Xét K ⑨ Ω tập compact cho Ω③K liên thông Giả sử u A♣Ω③K q Ta xét ϕ C0✽ ♣Ωq cho ϕ ✏ lân cận chứa K Để “lấp” tập K mà u không xác định, ta đặt u0 :✏ ♣1 ✁ ϕqu, u0 ✏ K u0 C ✽♣Ωq Ta tìm hàm v C ✽♣Ωq cho U :✏ u ✁ v thỏa mãn điều kiện Định lý Thật vậy, hàm U cần tìm phải hàm giải tích phức, nghĩa ❇¯U điều kiện để tìm hàm v phải ❇¯v ✏ ❇¯u0 ✏ ✁u❇¯ϕ :✏ f ✏ 0, nên (3.3.4) Trong đó, f ✏ K bên ngồi Ω tính chất ϕ, f dạng vi phân loại ♣0, 1q có hệ số thuộc C0✽ ♣Cn q Hơn nữa, f thỏa mãn điều kiện cần phương trình Cauchy-Riemann (3.3.4) Do đó, theo Định lý tồn nghiệm 3.3 Phương trình Cauchy-Riemann miền đa trụ 103 trên, ta tìm hàm v thỏa phương trình (3.3.4) hàm v không thành phần liên thông không bị chặn phần bù supp(ϕ) Ngoài ra, biên thành phần lại chứa Ω③K Do đó, có tập V mở Ω③K cho v ✏ u0 ✏ u V , nghĩa U ✏ u0 V Sự tồn v dẫn đến tính giải tích phức Ω U Nên theo Định lý đồng nhất, U ✏ u toàn Ω③K Một kết khác giải cho phương trình Cauchy-Riemann tượng mở rộng từ (n ✁ 1) chiều đến n chiều phức sau Và lần nữa, ta thấy kỹ thuật mở rộng lặp lại tương tự Định lý 3.15 Cho Ω tập mở Cn , n ➙ 2, xét D ✏ Ω ❳t♣z1 , , zn✁1 , 0q, z1 , , zn✁1 C✉ tập mở Cn✁1 Khi hàm u A♣Dq ln có mở rộng thành hàm U A♣Ωq, nghĩa U ⑤D ✏ u Chứng minh Xét phép chiếu π : ♣z1 , , zn✁1 , zn q ÞĐ ♣z1 , , zn✁1 q :✏ z ✶ , đặt B ✏ π ✁1 ♣Cn✁1 ③Dq ❳ Ω Bây giờ, với ϕ C ✽ ♣Ωq đồng lân cận D, triệt tiêu Ω③B Ta tìm hàm v C ✽ ♣Ωq cho U :✏ ♣u ✆ π qϕ zn v hàm mở rộng cần tìm Lần nữa, U hàm giải tích phức dẫn đến v thỏa mãn zn ❇¯v hay ✏ ✁♣u ✆ πq❇¯ϕ, ❇¯v ✏ ✁ ♣f ✆zπq❇ϕ , ¯ n phương trình Cauchy-Riemann cần giải để tìm U Nhận xét vế phải dạng vi phân phức loại ♣0, 1q xác định tốt ❇¯ϕ ✏ tập tzn ✏ 0✉, có hệ số trơn Ω Hơn nữa, tính tốn trực tiếp ta ✂ ✂ ✡ ¯ϕ ✡ ♣ f ✆ π q ❇ ❇¯ϕ ❇¯ ✏ ♣ u ✆ π q❇¯ z z n n Vế phải đẳng thức cuối triệt tiêu bên bên lân cận D, nghĩa dạng vi phân đóng, nên lần nữa, kết tồn nghiệm kết thúc chứng minh định lý 104 Hàm phức nhiều biến Tiếp theo, ta mở rộng Định lý tồn nghiệm phương trình Cauchy-Riemann khơng cho dạng vi phân phức bậc cao khơng có giá compact Định lý 3.16 (Định lý Dolbeault-Grothendieck) Xét D ✏ D1 ✂ ✂ Dn đa trụ mở Cn f cho ❇¯f ✏ C♣✽p,q 1q♣Dq, p, q ➙ Giả sử D✶ tập compact tương đối D Khi đó, ta tìm u C♣✽p,qq ♣D✶ q cho ❇¯u ✏ f Nhắc lại C♣✽p,qq ♣Dq không gian dạng vi phân phức loại ♣p, q q mà hệ số thuộc lớp C ✽ ♣Dq Để chứng minh Định lý 3.16, ta cần kết tính tốn dạng vi phân sau Định nghĩa 3.9 Ta đặt C♣✽p,qq ♣Ωqk tập hợp dạng vi phân phức f loại ♣p, q q không chứa thành phần d¯ zk 1 , , d¯ zn , nghĩa f có dạng f ✏ ➳ ⑤I ⑤✏p,⑤J ⑤✏q fI,J dz I ❫ d¯zJ , Chẳng hạn C♣✽p,qq ♣Ωq0 với d¯ zJ ✏ d¯zj ❫ ❫ d¯zj , ↕ j1 ↕ ↕ jq ↕ k q ✏ t0✉, C♣✽p,qq♣Ωqn ✏ C♣✽p,qq♣Ωq C♣✽p,qq♣Ωqk ❇¯f viết lại thành ➳ ➳ ❇ fI,J ❇¯f ✏ d¯ zl ❫ dz I ❫ d¯ z J h, ❇ z ¯ l ⑤I ⑤✏p,⑤J ⑤✏q l→k Rõ ràng f với h C♣✽p,q 1q ♣Ωqk (Chứng minh Định lý 3.16) Ta dùng phương pháp quy nạp theo k để chứng minh Định lý Rõ ràng, Định lý C♣✽p,qq ♣Ωq0 Giả sử kết C♣✽p,qq ♣Ωqk , nghĩa là: với F C♣✽p,q 1q ♣Ωqk✁1 , ta tìm U C♣✽p,qq ♣Ωq cho ❇¯U ✏ F Bây giờ, xét f C♣✽p,qq ♣Ωqk , nghĩa f không phụ thuộc vào d¯ zk 1 , , d¯ zn , ta viết f ✏ d¯zk ❫ g h, 3.3 Phương trình Cauchy-Riemann miền đa trụ với g C♣✽p,qq ♣Ωqk✁1 , h g ✏ 105 C♣✽p,q 1q♣Ωqk✁1 Trong đó, g viết lại cách ➳✶ ⑤I ⑤✏p,⑤J ⑤✏q gI,J dz I ❫ d¯zJ , với ↕ j1 ➔ ➔ jq ↕ k ✁ ➳✶ Ở dấu tổng phẩy nghĩa ta thực cộng theo đa số mà hệ số tạo thành dãy số tăng ngặt Tác động toán tử ❇¯ vào biểu diễn f có chứa d¯ zk , không quan tâm đến dấu 1, ✁1 hốn vị dạng vi phân, ta có ❇gI,J ✏ 0, ❇z¯j với j → k, (3.3.5) nghĩa gI,J giải tích phức tách theo biến zj , j → k (Đến đây, ta khơng thể tìm nghiệm từ phương trình khơng có giả thiết giá compact.) Bây giờ, ta xét ψ C0✽ ♣Dk q cho ψ ♣zk q ✏ lân cận hình ¯ ✶ ⑨ D” Đặt chiếu xuống chiều thứ k D” ⑨ D D ¨ ψ ♣τ qgI,J ♣z1 , , zk✁1 , τ, zk 1 , , zn q GI,J ♣z q ✏ dτ ❫ d¯ τ 2i zk ă (3.3.6) zk τ qgI,J ♣z1 , , zk✁1 , zk ✁ τ, zk 1 , , zn q ✏ ✁ 2πi dτ ❫ d¯ τ τ Đến đây, theo Định lý 1.27 ❇GI,J ✏ ψ♣z q.g ♣zq, k I,J ❇z¯k Dk ❇GI,J ✏ g ♣zq I,J ❇z¯k D” ❇GI,J ✏ ❇z¯j → k Ngoài ra, (3.3.5) nên với j Với thành phần này, ta đặt G✏ ➳✶ ⑤I ⑤✏p,⑤J ⑤✏q GI,J dz I ❫ d¯zJ 106 Hàm phức nhiều biến Và đó, D” ❇¯G ✏ ❇ ➳✶ n ➳ GI,J I,J ✏ j ❇z¯j d¯ zj ❫ dzI ❫ d¯zJ ✏ d¯zk ❫ g h1, h1 chứa tổng theo j từ đến k ✁ không phụ thuộc vào d¯ zk , , d¯ zn ¯ Nghĩa là, hiệu h ✁ h1 không liên quan đến d¯ zk , , d¯ zn Vì f ✁ ❇ G ✏ h ✁ h1 , nên theo giả thiết quy nạp (với F ✏ f ✁ ❇¯G), ta tìm v C♣✽p,qq ♣D✶ q cho ❇¯v ✏ f ✁ ❇¯G D✶ , hay ❇¯v ❇¯G ✏ f D✶ Và đó, ta tìm nghiệm u :✏ v G thỏa phương trình (3.16) D✶ , điều hồn tất chứng minh Ví dụ 12 Giả sử D♣0, rq đa trụ Cn , với r ✏ ♣r, , rq n ➙ Ta đặt Q ✏ t♣z1 , , zn q D♣0, rq : ⑤zj ⑤ ➔ r④2, j ✏ 1, , n ✁ 1, hay ⑤zn⑤ ➙ r④2✉ Khi hàm giải tích phức Q mở rộng thành hàm giải tích phức D♣0, rq Bổ đề Hartogs dẫn đến việc nghiên cứu vài khái niệm quan trọng lý thuyết dạng vi phân phức Định nghĩa 3.10 Giả sử Ω tập mở Cn Dạng vi phân phức ϕ C♣✽p,qq ♣Ωq gọi ❇¯-đóng ❇¯ϕ ✏ Dạng vi phân phức ϕ cho C♣✽p,qq♣Ωq gọi ❇¯-khớp tồn ψ C♣✽p,q✁1q♣Ωq ❇¯ψ ✏ ϕ Ω Rõ ràng ❇¯❇¯ ✏ nên dạng vi phân ❇¯-khớp ❇¯-đóng Chú ý tất dạng vi phân loại ♣p, nq Cn dạng vi phân loại ❇¯-đóng 3.3 Phương trình Cauchy-Riemann miền đa trụ 107 Bây giờ, ta xét toán tử ❇¯♣p,qq ánh xạ tuyến tính từ C♣✽p,qq ♣Ωq vào C♣✽p,q 1q ♣Ωq Khi đó, ¯ ♣p,qq :✏ tdạng vi phân phức ♣p, q q thuộc loại Ker♣❇q ¯ ♣p,q✁1q :✏ tdạng vi phân phức ♣p, q q thuộc loại Im♣❇q ¯ ♣p,q✁1q Dễ dàng thấy Im♣❇q nghĩa sau xác định: ❇¯-đóng✉ ❇¯-khớp✉ (3.3.7) ¯ ♣p,qq , nhóm chuẩn tắc Do định ⑨ Ker♣❇q Định nghĩa 3.11 (Nhóm đối đồng điều ❇¯-De Rham) Nhóm đối đồng điều ❇¯-De Rham miền Ω không gian vector cho K♣p,qq ♣Ωq :✏ ¯ ♣p,qq Ker♣❇q ¯ ♣p,q✁1q Im♣❇q Những nhóm gắn bó chặt chẽ với tính giải phương trình Cauchy¯ ♣p,qq ✏ Im♣❇q ¯ ♣p,q✁1q , nghĩa Riemann nhiều chiều Cụ thể Ker♣❇q ♣ p,q q K ♣Ωq ✏ Trong nội dung sau, nghiên cứu tính triệt tiêu nhóm này, nghĩa miền Ω q K♣p,qq ♣Ωq ✏ 108 Hàm phức nhiều biến Tài liệu tham khảo [1] Chen, S C.; Shaw, M C., Partial differential equations in several complex variables AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 19 American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Boston, MA, 2001 xii+380 pp [2] W Ebeling, “Functions of Several Complex Variables and Their Singularities”, Grad Stud Maths., Vol 83, AMS, 2007 [3] T W Gamelin, “Complex Analysis”, Springer - Verlag New York, Inc, 2001 [4] G De Marco, “Basic Complex Analysis”, Lecture notes given at Università Degli Studi Di Padova, Italy, 2011 [5] G De Marco, “Selected Topics of Complex Analysis”, Lecture notes given at Università Degli Studi Di Padova, Italy, 2012 [6] Krantz, Steven G., Function theory of several complex variables Second edition The Wadsworth- Brooks /Cole Mathematics Series WadsworthBrooks/Cole Advanced Books-Software, Pacific Grove, CA, 1992 xvi+557 pp [7] W Rudin, “Function Theory in the Unit Ball of Cn ”, Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1980 [8] W Rudin, “Real and Complex Analysis”, 3d ed., McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1987 [9] G Zampieri, “Complex Analysis and CR Geometry”, A M S ULECT 43, 2008 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO ... ? ?Giải tích phức nâng cao? ?? chủ yếu dùng tài liệu học tập cho học viên Cao học ngành Toán lý thuyết Ứng dụng Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, với thời lượng 60 đến 90 học Tài liệu. .. chỉnh hình cho học viên cao học mà nội dung thực tổng qt hóa học viên học bậc Đại học, Cao đẳng Mục tiêu tài liệu tập trung vào kết định tính Lý thuyết hàm chỉnh hình mà học viên học hay áp dụng... hình biến phức khơng trình bày chi tiết Hơn nữa, tài liệu đề cập đến vấn đề thuộc nơi giao lĩnh vực Giải tích phức, Phương trình đạo hàm riêng, Hình học Đại số Do đó, để đọc tài liệu, học viên cần