Giáo trình giải tích hàm nhiều biến trường đh sài gòn

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O - Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến Mã số: GT2013-03 Chủ nhiệm đề tài: PGS TS Phạm Hoàng Quân Thành viên: TS Lê Minh Triết ThS Phan Trung Hiếu ThS Hồng Đức Thắng Tp Hồ Chí Minh, 8/2015 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O - Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến Mã số: GT2013-03 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng Tp Hồ Chí Minh, 8/2015 Chủ nhiệm đề tài Lời nói đầu Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến biên soạn dành cho sinh viên giai đoạn đào tạo Tuy nhiên, sử dụng tài liệu tham khảo cho sinh viên số nhóm ngành khác, cho học viên cao học cán nghiên cứu khối khoa học Toán lý Kỹ thuật Nội dung giáo trình biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích hàm nhiều biến dùng giảng dạy Khoa Toán - Ứng dụng, trường Đại học Sài Gịn Giáo trình gồm chương Chương chương giới thiệu khái niệm giới hạn, liên tục, khả vi vi phân hàm nhiều biến Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trình bày chương Chương chương đề cập đến phép tính tích phân hàm nhiều biến bao gồm: tích phân bội, tích phân đường tích phân mặt Đặc biệt, nhiều toán lĩnh vực vật lý, hóa học, sinh học kinh tế mơ tả mơ hình tốn học Một mơ hình xây dựng, ta thường phải giải phương trình vi phân để dự báo định lượng tính chất đặc trưng tốn Điều cho thấy, phương trình vi phân có nhiều ứng dụng thực tế Chính vậy, chúng tơi biên soạn thêm phần đọc thêm phương trình vi phân, nhằm giúp cho sinh viên có thêm kiến thức phương trình để ứng dụng sau Trong chương, chúng tơi trình bày đầy đủ, ngắn gọn kiến thức với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể, tập chọn lọc nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ tính tốn vận dụng lý thuyết việc giải toán Mặc dù cố gắng nhiều trình biên soạn, giáo trình khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để giáo trình ngày hồn thiện Tp HCM, tháng năm 2015 CÁC TÁC GIẢ Chương GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Trong chương này, giới thiệu vài nét không gian n , giới hạn liên tục hàm số nhiều biến số §1 KHƠNG GIAN n I Định nghĩa khơng gian n Tích Descartes n tập số thực  định nghĩa tích        n  n   hay  n  ( x1 , x2 , , xn ) x k   , k  1,2, , n Vậy, không gian n không gian tất n số thực có thứ tự ( x1 , x2 , , x n ) Ký hiệu x  ( x1 , x2 , , x n ) điểm hay vectơ n ; xk tọa độ thứ k x n , với k  1,2, , n Điểm O(0,0, ,0) gọi gốc tọa độ Ví dụ 1.1 Với n  , ta có 1   : đường thẳng thực   Ví dụ 1.2 Với n  , ta có   ( x1 , x2 ) x1 , x2   : mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes   Ví dụ 1.3 Với n  , ta có   ( x1 , x2 , x3 ) x1 , x2 , x3   : không gian chiều với hệ tọa độ Descartes II Phép toán đại số n 2.1 Hai vectơ Hai vectơ x  ( x1 , x2 , , x n )   n , y  (y1 , y2 , , yn )  n gọi x k  yk ,  k  1,2, , n 2.2 Các phép toán đại số vectơ Cho hai vectơ x  ( x1, x2 , , xn )  n , y  (y1 , y2 , , yn )  n ,    Khi đó, ta định nghĩa x  y  ( x1  y1 , x2  y2 , , x n  yn ) , x  y  ( x1  y1 , x2  y2 , , xn  yn )  x  ( x1 ,  x2 , ,  x n ) Tính chất 2.1 Cho vectơ x , y, z   n ,  ,    , ta có (i) x  y  y  x ; (ii) ( x  y )  z  x  ( y  z) ; (iii) x   x ; 0: vectơ không; (iv) x  ( x )  ,  x  (1).x ; (v) (  ).x   (  x ) ; (vi) (   ).x   x   x ; (vii) (  ).x   (  x ) ; (viii) 1.x  x Ví dụ 2.1 Cho x  (2, 3, 1), y  (4, 1,  2)   Tính x  y, y  x, 3x,  y Giải x  y  (2, 2, 1), y  x  (6,4, 3), x  (6, 9,3),  y  (8, 2,4) 2.4 Tích vơ hướng Định nghĩa 2.2 Tích vơ hướng hai vectơ x  ( x1 , x2 , , xn )  n , y  (y1 , y2 , , yn )  n số, ký hiệu x, y , định nghĩa x , y  x1.y1  x2 y2   xn yn Tính chất 2.3 Cho vectơ x , y, z   n ,    ta có (i) x , y  y, x ; (ii) x, y  z  x, y  x , z ; (iii)  x, y   x, y 2.5 Chuẩn Chuẩn (Euclide) x x  x12  x22   xn2 Nếu x   x  x  x Nếu x  ( x1, x2 ) 2 vectơ x  x12  x22 độ dài vectơ x Nếu x  ( x1, x2 ) 2 điểm x  x12  x22 khoảng cách từ điểm x đến gốc tọa độ O Từ định nghĩa chuẩn tích vơ hướng ta có x  x12  x22   xn2  Định lý 2.4 Với x , y, z   n ,    , ta có (i) x  0, x  x  ; (ii)  x   x ; (iii) x  y  x  y ; (iv) x  y  x  z  z  y Chứng minh (i) hiển nhiên (ii)  x   x , suy  x   x x, x (iii) n x  y   ( xk  yk )2 k 1 n k n n k 1 k 1   x  2 xk yk   yk2 k 1 n   xk2  k 1   x  y n  xk2 k 1 n n k 1 k 1  yk2   yk2 , suy x  y  x  y (iv) (iii), ta thay x x  z thay y z  y 2.6 Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm x , y   n n d ( x, y)  x  y   (x k  y k )2 k 1 Trong  d ( x , y )  x  y Trong n d ( x, y) khoảng cách Euclide hay mêtric Euclide n Tính chất 2.5 Với x , y, z   n ,    , ta có (i) d ( x, y )  0, d ( x, y)  x  y ; (ii) d ( x, y)  d( y, x) ; (iii) d ( x ,  y)   d ( x, y) ; (iv) d ( x, y)  d ( x, z)  d (z, y) Chứng minh Dễ dàng chứng minh (i), (ii), (iii) (iv) suy từ Định lý 2.4 (iv) Ví dụ 2.2 Cho hai điểm x  (2,3, 1,5), y  (3, 2, 1, 4)   a) Tính khoảng cách từ x đến gốc tọa độ O ■ b) Tính khoảng cách từ x đến y Giải a) x     25  39 b) x  y  (2  3)2  (3  2)2  (1  1)2  (5  4)2  III Hội tụ n Một ánh xạ x :   n m  x (m )   x1 (m), x2 (m), , xn (m)  gọi dãy n Ký hiệu x k (m ) tọa độ thứ k x(m) , với k  1,2, , n Dãy ( xk (m))m gọi dãy thành phần dãy ( x(m)) Như vậy, dãy n xác định gồm n dãy số thực Dãy ( x(m)) gọi hội tụ x   n   0, m0   : d ( x (m ), x )   , m  m0 Khi đó, x gọi giới hạn ( x(m)) ta ký hiệu lim x (m )  x hay m  x(m)  x m   Dễ thấy lim x (m )  x  lim x (m )  x  Hơn nữa, từ đẳng thức m  m  n x ( m)  x    xk ( m)  xk  , k 1 với x  ( x1 , x2 , , x n ) , ta Mệnh đề 3.1 Dãy ( x(m)) n hội tụ tất dãy thành phần ( xk (m))m hội tụ Khi lim x (m)  x  lim xk (m )  x k , k  1,2, , n m  m  Ví dụ 3.1 Trong 2 , khảo sát hội tụ dãy sau  1 m   a) x(m)   ,  m m      b) y (m )   m , m    Giải m2  1  m   nên x(m)  (0,1) m   a) Vì  m m 1 b) Vì dãy m dãy phân kỳ nên dãy y(m) phân kỳ Chú ý rằng, để đơn giản ký hiệu, ta viết dãy ( xm ) thay cho ( x(m) ) không gây nhầm lẫn IV Tôpô n 4.1 Quả cầu Với điểm x   n số thực r  , ta có   (i) Quả cầu mở: B( x, r )  y   n y  x  r ;   (ii) Quả cầu đóng: B( x,r )  y   n y  x  r ;   (iii) Mặt cầu: S ( x ,r )  y   n y  x  r Ví dụ 4.1 Trong 2 , mặt cầu tâm I, bán kính r đường trịn tâm I, bán kính r; cầu mở tâm I bán kính r tất điểm nằm đường tròn tâm I, bán kính r; cầu đóng tâm I bán kính r hình trịn tâm I, bán kính r 4.2 Lân cận n Cho xo   n , lân cận điểm x0 tập tất điểm thuộc cầu mở tâm x0 , bán kính nhỏ tùy ý   B ( x ,  )  y   n y  x0   4.3 Các loại điểm tập hợp n Xét điểm x0   n tập hợp A   n Khi (i) Điểm x0 gọi điểm A r  : B ( x , r )  A ; (ii) Điểm x0 gọi điểm dính A r  : B ( x0 , r )  A   ; (iii) Điểm x0 gọi điểm tụ A r  : ( B( x , r ) \ {x 0})  A   ; (iv) Điểm x0 gọi điểm biên A x0 điểm dính A điểm dính  n \ A , nghĩa r  : B( x0 , r )  A   B ( x0 , r )  ( n \ A)   Tập hợp tất điểm biên A ký hiệu A gọi biên tập A Ví dụ 4.2 Trong  , cho A  (0,1]  {2} Tìm điểm trong, điểm dính, điểm tụ, điểm biên A Giải (i) Tập hợp điểm A {x   |  x  1} (ii) Tập hợp điểm dính A {x   |  x  1}  {2} (iii) Tập hợp điểm tụ A {x   |  x  1} (iv) Tập hợp điểm biên A {0, 1, 2} Chứng minh (i) x   thỏa  x  điểm A Thật vậy, chọn r  min{x0 ,  x0} , ta dễ dàng chứng minh B( x0 , r )  A x   \ A khơng điểm A r  , B( x0 , r )  A khơng điểm A r  , B(1,r)  A Tương tự, ta có khơng điểm A Chứng minh (ii), (iii), (iv) xem tập Nhận xét 4.1 (i) Điểm tụ A khơng thiết phải thuộc A (ii) Điểm A phải thuộc A Chiều ngược lại, nói chung khơng (iii) Điểm biên A thuộc A không thuộc A (iv) Nếu x0 điểm tụ A x0 điểm dính A Chiều ngược lại, nói chung khơng 4.4 Tập mở, tập đóng, tập bị chặn n Cho A   n Ta nói (i) A tập mở n điểm A điểm trong, nghĩa x  A, r  : B( x,r)  A ; (ii) A tập đóng n điểm dính A thuộc A; (iii) A tập bị chặn chứa cầu, nghĩa x   n , r  : A  B ( x , r ) Ví dụ 4.3 Trong  , (a,b) tập mở, tập bị chặn, không tập đóng; (, a), (b, ) tập mở; [a, b], (, a], [b, ) tập đóng Trong 2 , hình trịn mở, hình vng mở (khơng kể biên) tập mở; tập {( x , y )   |  x  1,  y  3} tập đóng; tập {( x , y )   |  x  1,  y  3} tập không đóng khơng mở Mệnh đề 4.2 A   n tập đóng  n \ A tập mở Chứng minh Chiều /  / Giả sử  n \ A không mở nên x   n \ A r  , B( x, r )   n \ A Ta suy B( x,r)  A   r  Vậy x điểm dính A Vì A đóng nên x  A , vơ lý Chiều /  / Giả sử A khơng đóng nên x điểm dính A x   n \ A Vì  n \ A mở nên r  : B( x, r )   n \ A Suy ra, A  B( x, r)   Vậy x không điểm dính, vơ lý ■ Ví dụ 4.4 Trong n , chứng minh (i) Quả cầu mở tập mở (ii) Quả cầu đóng tập đóng 10 Giải (i) Lấy y  B( x, r ) , chọn r '  r  d ( x, y)  Khi B( y,r ')  B( x,r) (ii) Ta chứng minh  n \ B '( x ,r ) tập mở Lấy y  n \ B '( x,r ) , chọn r '  d ( x, y)  r  Khi đó, B(y,r ')   n \ B '( x, r )   Mệnh đề 4.3 A   n tập đóng  ( x ( m ))  A, x ( m )  x   n  x  A Ví dụ 4.5 Cho A  {( x , y )   |  x  1,  y  3} a) Tìm điểm trong, điểm biên A b) A có tập đóng khơng? Giải a) Tập hợp điểm A {( x , y )   |  x  1,  y  3} Tập hợp điểm biên A {( x ,2)   |  x  1}  {( x ,3)   |  x  1} {(0, y )   |  y  3}  {(1, y )   |  y  3} Chứng minh z0  ( x0 , y0 )  2 thỏa  x0   y0  điểm A 11 Chọn r  min{x0 ,  x0 ,3  y0 , y0  2}  Ta chứng minh B(z0 , r )  A Lấy w  ( x , y )  B(zo , r ) , suy  x0  r  x  r  x ,   y0  r  y  r  y0   x0  r ,  r  x  1, Vì r  min{x ,  x0 ,3  y0 , y0  2} nên    y0  r , r  y   (1.1) (1.2)   x  1, Từ (1.1) (1.2), suy  Do w  A Vậy, B(z0 , r )  A  y   Chứng minh z0  A không điểm A Thật vậy, z0  A nên r  : B( z0 , r )  A Chứng minh z0  ( x0 , y0 ) điểm nằm cạnh hình vng khơng điểm A Khơng tính tổng quát, ta xét z0  ( x0 ,3) thỏa  x0   r r  , ta có điểm w   x0 ,    B( z0 , r ) w  A , suy r  , 2  B( z0 , r )  A Vậy, z0  ( x0 ,3) thỏa  x0  không điểm A Chứng minh z0  ( x0 , y0 ) điểm nằm cạnh hình vng khơng điểm biên A Khơng tính tổng qt, ta xét z0  ( x0 ,2) thỏa  x0  r  , ta có B(z0 , r )  A   z0  B( z0 , r )  A 12  r Lại có w   x ,    B(z0 , r )  ( n \ A) nên B(z0 , r )  (n \ A)   2  Vậy, z0  ( x0 ,2) thỏa  x  điểm biên A b) Lấy dãy (( xm , ym ))  A , ( xm , ym )  ( x, y )  2 Suy  xm  x, mà   ym  y 0  xm  1,   x  1, nên  Do đó, (x, y)  A Vậy, A tập đóng   y  2  ym   4.6 Tập liên thông Tập A   n gọi liên thông x, y  A , nối với đường cong liên tục nằm hoàn toàn A Ví dụ 4.3 Trong  , khoảng, đoạn, nửa khoảng tập liên thơng Nói riêng,  tập liên thơng Trong 2 , hình ellip, hình trịn, đa giác lồi lõm, nửa mặt phẳng tập liên thơng Trong 3 , hình cầu, khối đa diện tập liên thông 4.7 Tập compăc Tập đóng bị chặn được gọi tập compăc §2 HÀM NHIỀU BIẾN SỐ I Định nghĩa Một hàm n biến quy tắc đặt tương ứng n số thực (x1, x2,…, xn) với số thực nhất, ký hiệu u  f ( x1 , x2 , , x n ) Hay nói cách khác, ánh xạ f : D  n   ( x1 , x2 , , x n )  u  f ( x1 , x2 , , x n ) gọi hàm n biến xác định D Tập hợp D gọi miền xác định hàm số f, nghĩa tập điểm ( x1 , x2 , , x n ) cho biểu thức f ( x1 , x2 , , xn ) có nghĩa Miền giá trị f tập giá trị mà f nhận được, nghĩa 13  f ( x , x , , x )   ( x , x , , x )  D n n Trường hợp n  , ta có hàm hai biến, thường ký hiệu z  f (x, y) Trường hợp n  , ta có hàm ba biến, thường ký hiệu u  f ( x, y, z) Ví dụ 1.1 Cho hàm f (x, y)  ln( x  y  1) a) Tính f (1,1) , f (e,1) b) Tìm vẽ miền xác định f c) Tìm miền giá trị f Giải a) f (1,1)  ln(1   1)  ln1  f (e,1)  ln(e   1)  ln e  b) f xác định  x  y    y   x   Miền xác định D  ( x , y )   | y   x D tập hợp điểm nằm phía đường thẳng y   x c) Miền giá trị:  Ví dụ 1.2 Tìm miền xác định hàm số sau a) f ( x , y )  x  sin( xy ) c) f ( x , y )  x  y 1 x 1 b) f ( x , y )   x  y d) f ( x , y )  y ln( x  y ) Giải a) Miền xác định D  2 14 b) f xác định   x  y   x  y    Miền xác định D  ( x , y )   | x  y  D tập hợp điểm nằm hay nằm đường trịn tâm (0,0) bán kính  x  y   0,  x  y   0, c) f xác định    x     x    Miền xác định D  ( x , y )   | x  y   0, x  D tập hợp điểm nằm phía hay thuộc đường thẳng y  x 1, bỏ điểm thuộc đường thẳng x  d) f xác định  x  y   y  x   Miền xác định D  ( x , y )   | y  x D tập hợp điểm nằm phía parabol y  x 15 Ví dụ 1.3 Tìm miền xác định hàm số sau a) f ( x , y, z)  3zx  e y b) f ( x, y, z)  ln(z  y)  xy sin z x c) f ( x, y, z)  2 1 x  y  z Giải a) Miền xác định D  3 b) f xác định  z  y   z  y   Miền xác định D  ( x , y, z)   | z  y D tập hợp điểm nằm phía mặt phẳng z  y c) f xác định   x  y  z   x  y  z2    Miền xác định D  ( x , y, z)  3 x  y  z2  D hình cầu mở (khơng kể biên) tâm O bán kính II Đồ thị hàm nhiều biến Đồ thị hàm số n biến f ( x1 , x2 , , xn ) xác định D tập   G f  ( x1 , x2 , , xn , u) u  f ( x1 , x2 , , x n ), ( x1 , x2 , , x n )  D Trong trường hợp n = 1, đồ thị hàm f biểu diễn tường minh mặt phẳng nghiên cứu kỹ giải tích hàm biến Trong trường hợp n  , đồ thị hàm hai biến f (x, y) xác định D tập hợp tất điểm ( x , y , z)   cho z  f (x, y) ( x, y)  D Do đó, việc nghiên cứu đồ thị hàm f gặp khó khăn khơng dễ biểu diễn vật thể ba chiều mặt phẳng Khi đó, ta dựa vào trợ giúp máy tính để nhận đồ thị hàm hai biến khơng gian ba chiều cách nhanh chóng 16 Đối với trường hợp n  , ta khơng có phương pháp để vẽ đồ thị cách trực tiếp Ví dụ 2.1 Đồ thị số hàm hai biến III Đường mức hàm hai biến Đường mức hàm hai biến z = f(x,y) đường cong mặt phẳng Oxy có phương trình f ( x , y )  C , với C số (thuộc miền giá trị f) Nói cách khác, ta lấy mặt phẳng z  C song song với mặt phẳng Oxy cắt đồ thị 17 hàm số f, ta vết, sau chiếu vng góc vết lên mặt phẳng Oxy cho ta đường mức Đường mức cho biết cao độ mặt z  C Trong áp dụng thực tế, đồ địa lý khí tượng thường dạng tập đường mức Ví dụ 3.1 Đồ thị hàm số f ( x , y )  x  y đường mức x  y  C họ đường trịn tâm O(0,0), bán kính C Ví dụ 3.2 Bản đồ địa hình vùng núi, đường mức đường cong độ cao so với mực nước biển 18 §3 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC I Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa 1.1 Cho hàm số z  f (x, y) xác định tập D   ( x , y0 ) điểm tụ D Ta nói hàm z  f (x, y) có giới hạn L ( x, y) tiến ( x , y0 )   0,   : ( x , y )  D ,  ( x , y )  ( x , y )    f ( x , y )  L   Ký hiệu lim ( x , y )( x0 , y0 ) f ( x, y )  L Chú ý 1.2 (i) f ( x, y )  L khoảng cách từ số f (x, y) đến số L; (ii) ( x , y )  ( x , y ) khoảng cách từ điểm ( x, y) đến điểm ( x , y0 ) ; (iii) Giới hạn f (x, y) (nếu có) nhất; (iv) Giới hạn L hàm số f (x, y) ( x , y )  ( x0 , y0 ) không phụ thuộc đường ( x, y) tiến đến ( x , y0 ) Vì vậy, hai đường ( x, y) tiến đến ( x , y0 ) mà f (x, y) tiến đến hai giá trị khác hàm số khơng có giới hạn ( x , y0 ) , nghĩa ta hai đường C1 C cho lim ( x , y )( x0 , y0 ) theo C1 L1  L2 lim f ( x , y )  L1 ( x , y )( x0 , y0 ) lim ( x , y )( x0 , y ) theo C2 f ( x , y ) không tồn 19 f ( x , y )  L2 ... vi phân hàm nhiều biến Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trình bày chương Chương chương đề cập đến phép tính tích phân hàm nhiều biến bao gồm: tích phân bội, tích phân đường tích phân... MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O - Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến Mã số: GT2013-03 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng Tp Hồ Chí Minh, 8/2015 Chủ nhiệm đề tài Lời nói đầu Giáo trình Giải. .. Toán lý Kỹ thuật Nội dung giáo trình biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích hàm nhiều biến dùng giảng dạy Khoa Toán - Ứng dụng, trường Đại học Sài Gịn Giáo trình gồm chương Chương