2 PHӹN 2 N֤I DUNG I M֤T S֜ KIԑN THִC Cҹ S֪ 1) PhҼҺng ph§p giӶi bài toán t³m gi§ tr֗ l֧n nhӸt, gi§ tr֗ nh֛ nhӸt cֳa h¨m s֝ y = f(x) tr°n tԀp s֝ D PhҼҺng ph§p chung LԀp bӶng biԒn thi°n cֳa h¨m s֝ tr°n t[.]
I toán t 1) y = f(x) - - - 1, Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) - 2) Bước Bước Bước 3) 1/ a, b, c - a, b, c không âm, ta có: II -2- x2 , ba Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát Ví Cho x, y, z : x P y 3 z xyz x xyz y z Nhận xét hướng dẫn giải x y t là: z t y x t x xyz P (t ) xyz y z z xyz t x t y P (t ) t 3 xyz z 3 xyz xyz 3; t Vì t ' P (t ) t 0, t m in P ( t ) P(t) P (3 ) 10 P 3; Tìm GTLN, GT Ví d 3; x y H= x y 1 x y x, y Nhận xét hướng dẫn giải Ta có H = x y 1 x y x y y x x t t sau: H (t ) t y t x y ta suy ra: x y t ;1 H (t ) t t ;1 Vì ' H (t ) t t 2 0, t ;1 nên H(t) -3- H(t) ;1 H(t) khi: t = 2 khi: t = Đáp số: max(H) = x; y 1; ; min(H) = x y x, y ) Ví 2008 ) Cho P 2(x x x, y y ) y 2 xy Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết x y Có thể đưa tốn ẩn khơng? - Ta nghĩ tới đẳng thức x y ( x y ) x y ; x y ( x y )( x x y y ) - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất x y để sử dụng giả thiết - Biến đổi biểu thức P vào x y ta có : 2 2 2 P 2(x y )( x - Từ giả thiết 2 xy (x y ) y) xy = 2( x xy xy 2 2 y )( xy ) (x y) xy Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt : t x y Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: x y (x y) Lời giải Ta có : Ta có : P (t ) P 2(x (x xy y )( x y) y ) xy = 2( x t 2 ) t 2 x xy y )( t x y 2 t 3 (x y) t 6t t 2 t xy ) y thì: 2t (2 Ta có xy 2 (x y) 2 P (t ) t 3 t 6t P '( t ) Ta có P '( t ) 3t 3t t t -2 t P’(t) + 13/2 2 - P(t) -7 : -4- m in P ( t ) P ( 2) x y m a x P (t ) ;2 13 P (1) x ;y x ( 2009 )Cho x : S (4 x 0, y y )( y 3x) x Tìm y 3 ;y Ví 2 ;2 3 gi 25 xy Hoạt động khám phá : - Từ giả thiết x y đưa tốn ẩn không ? - Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất x y để sử dụng giả thiết - Chú ý đẳng thức : x x y y (x y) (x y )( x xy 2 xy y ) Sau khai triển vào x y , ta có : S x y x y - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt : t x y 2 - Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức : Ta có : 34 xy S (4 x y )( y 2 2 16 x y 16 x y 16 x y t xy Do x) 12(x y) xy 0; y 16t 2 16 x y xy y ) xy] 12( x y ) (x y) 34 xy 34 xy, x y 12 nên 2 25 xy y )( x 2[ ( x x f (t ) xy 2t (x xy y) 12 t t 4 Ta có f '( t ) 32t f '( t ) t 16 t 1/16 f(t) - 1/4 + 12 25/2 f(t) 191/16 : m in f ( t ) 0; f ( 16 ) 191 16 x ;y 4 -5- x ;y m a x f (t ) 0; f ( 25 ) x y Ví 5( : V 2009) A 3( x 4 y 2 x y ) 2(x 2 y ) : x, y (x y) xy Hoạt động khám phá : - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để sử dụng dễ dàng Chú ý đẳng thức : x x 2 y y (x y) (x 2 xy y )( x 2 xy y ) Và ( x y ) x y Khi điều kiện tốn trở thành : Ta biến đổi A sau : A 3( x (x y 2 x y ) y ) 2(x (x 2 y ) y ) x y 1 2(x y ) (x 2 y ) 3( x 2 y ) 2 2(x y ) ( x (x y 2 y ) ) Hay A (x 2 y ) 2 2( x y ) - Vì ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến cách đặt - Tìm điều kiện biến t ta sử dụng bất đẳng thức x : (x y) (x xy y) (x Do (x y) y) y (x y) x : xy y) (x (x y) (x y) (x y) (x (x t (x y) (x y) xy 2 y) (x y) 0 y) (x y) 0, x, y : A 3( x y x y ) x x, y y 2(x 3( x y 2 x y ) y ) 1 A A 2(x : 2 y ) (x -6- 2 y ) (x 4 y ) 2(x 2 y ) y (x 2 y ) 3( x 2 y ) 2 2(x 2 y ) ( x y (x 2 y ) ) Hay A (x y ) 2( x 2 y ) Vì x y (x 2 y) ( x 1) y nên x y 2 t x 2 y f (t ) t 2t 1 t f '( t ) t 2 f '( t ) t : 4/9 t 1/2 + f '( t ) f (t ) 16 m in f ( t ) t f( ) t 16 Suy A x y 16 : m in A x (x y ) xy x y 16 y - 2006) Cho A 16 Ví x, y xy A x y Hướng dẫn: A x x y x 3 y x y (x y )( x 3 x y t t t ;x t 1 x y t t A t ty t 2t y ) xy 1 t ( x y ) ( xy 2 t y ) (x ty y xy -7- x y xy 1 x y (t ) 1) ty (t t 1) y ... c không âm, ta có: II -2- x2 , ba Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát Ví Cho x, y, z :... để sử dụng giả thiết - Biến đổi biểu thức P vào x y ta có : 2 2 2 P 2(x y )( x - Từ giả thiết 2 xy (x y ) y) xy = 2( x xy xy 2 2 y )( xy ) (x y) xy Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số... (x y )( x xy 2 xy y ) Sau khai triển vào x y , ta có : S x y x y - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt : t x y 2 - Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức : Ta có : 34 xy S (4