VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì 1 11/2020), tr 33 37 ISSN 2354 0753 33 SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TỪ NHỮNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG CHO HỌC SINH T[.]
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 SÁNG TẠO BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TỪ NHỮNG BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Dương Hoàng1, Trương Thị Hải2,+ Article History Received: 13/8/2020 Accepted: 18/9/2020 Published: 05/11/2020 Keywords Math problems, Geometric flat coordinate extreme, high school 1Trường Đại học Đồng Tháp; 2Trường Trung học phổ thông Hiệp Thành, thành phố Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu + Tác giả liên hệ ● Email: truongthihai78@gmail.com ABSTRACT In teaching Math, students not only need to master the knowledge and know how to solve problems but also need to develop a problem into new problems through higher level inference Since then, they can promote their initiative and creativity in learning The paper presents the creation and construction of problems to find the maximum and minimum values of a function from flat coordinate geometric extreme problems for high school students Exploiting and finding relationships between flat coordinate geometrical extreme problems and functional problems not only fosters creative thinking for students but also integrates internal subjects in Math teaching, contributing to new teaching methods, implementing the current educational innovation goals Mở đầu Theo Nguyễn Bá Kim (2007): Trong dạy học, phát huy tính sáng tạo học sinh (HS) yêu cầu Để làm điều này, địi hỏi giáo viên (GV) cần có phương pháp, nghệ thuật giảng dạy Trong dạy học Toán, HS cần nắm vững kiến thức biết cách giải tốn (BT) mà cịn cần phát triển BT thành BT thông qua suy luận mức cao hơn, từ em phát huy khả chủ động sáng tạo học tập Đã có nhiều kết nghiên cứu hướng khai thác BT dạy học Toán trường phổ thông như: Lê Xuân Trường (2018), Trần Anh Tuấn (2015), Nguyễn Sơn Hà (2012), Vũ Lệ Hoa (2020),… Trong q trình dạy học Tốn, HS cảm nhận vẻ đẹp toán học GV biết cách khai thác BT nhiều góc độ khác gắn toán học với thực tiễn Một BT hồn tồn mở rộng, đào sâu BT biết Những BT hình học tọa độ có mối liên hệ với BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Hầu hết BT cực trị hình học tọa độ đưa hàm số, sau dùng phương pháp khảo sát hàm số để giải Mặt khác, có nhiều BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để giải gặp nhiều khó khăn, chí khơng giải Lúc này, sử dụng phương pháp tọa độ BT trở nên đơn giản nhiều Bài báo trình bày vấn đề sáng tạo, xây dựng BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số từ BT cực trị hình học tọa độ phẳng cho HS THPT Kết nghiên cứu 2.1 Các cách thức sáng tạo toán dạy học giải Tốn trung học phổ thơng Để sáng tạo BT mới, theo Tơn Thân (1995): “Có nhiều cách như: Lập BT tương tự với BT ban đầu; lập BT đảo BT ban đầu; thêm vào BT ban đầu số yếu tố, đặc biệt hóa BT ban đầu; bớt số yếu tố BT ban đầu, khái quát hóa BT ban đầu; thay đổi số yếu tố BT ban đầu, chuyển đổi ngơn ngữ’’ Trong cách trên, cách thứ có ưu điểm HS dễ thực hiện, bởi: thay đổi số yếu tố BT cho, thay đổi số liệu, giả thiết, thay đổi yếu tố phải tìm, phải chứng minh Đặc biệt, thay đổi ngơn ngữ BT để có BT dạng ngơn ngữ khác Có thể “thay đổi số yếu tố BT ban đầu” để tạo BT dạng “mở” theo hướng sau: - Hướng 1: Thay việc tìm chứng minh kết việc tìm chứng minh nhiều kết có; - Hướng 2: Thay tìm chứng minh kết cho yêu cầu tìm thêm kết khác có; - Hướng 3: Bổ sung thêm kiện câu hỏi với yêu cầu tìm chứng minh kết có Sau đây, đề cập cách thứ 5: “Thay đổi số yếu tố BT ban đầu, chuyển đổi ngôn ngữ” để hướng dẫn HS xây dựng BT tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số từ BT cực trị hình học tọa độ phẳng 33 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 2.2 Sáng tạo tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số từ tốn cực trị hình học tọa độ phẳng 2.2.1 Sáng tạo toán từ tốn cực trị: “Tìm điểm M thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị” * BT gốc: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng hai điểm A, B khơng thuộc Tìm điểm M thuộc cho: 1) MA MB nhỏ 2) MA MB lớn (Đặng Thành Nam, 2014, tr 85) Đây BT cực trị hình học bản, chuyển đổi sang ngơn ngữ đại số, ta xây dựng BT cực trị đại số * Xây dựng BT mới: Giả sử ta có : ax by c ( a b ) điểm A xA ; y A , B xB ; yB , M x; y mặt phẳng Oxy - Phân tích BT gốc: Ta có: MA MB ( x xA )2 ( y y A )2 ( x xB )2 ( y yB )2 MA MB ( x x A ) ( y y A ) ( x xB ) ( y y B ) Đây biểu thức hai biến x; y ràng buộc điều kiện ax by c GV hướng dẫn HS chuyển đổi BT cho thành BT: “Tìm giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) biểu thức: f ( x; y) ( x xA )2 ( y y A )2 ( x xB )2 ( y yB )2 Hoặc: f ( x; y ) ( x x A ) ( y y A ) ( x xB ) ( y y B ) , thỏa mãn điều kiện ax by c ’’ Từ đó, GV hướng dẫn HS lập quy trình xây dựng BT từ BT - Quy trình xây dựng BT mới: + Bước 1: Chọn đường thẳng tùy ý : ax by c + Bước 2: Lấy hai điểm A, B phía (hoặc khác phía) đường thẳng + Bước 3: Tính P MA MB (hoặc P MA MB ), với M thuộc đường thẳng + Bước 4: Phát biểu BT - Xây dựng BT mới: GV hướng dẫn HS chọn đường thẳng tùy ý điểm A, B khơng thuộc đường thẳng để xây dựng BT BT 1: Cho x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y x y x y x y 13 Phân tích: Từ x y : x y P x 1 y 2 x 2 y 3 MA MB Với A 1; 2 , B 2;3 , M ( x; y) BT trở thành: “Cho điểm M thuộc đường thẳng : x y A 1; 2 , B 2;3 Tìm giá trị nhỏ MA MB ” Hướng dẫn Ta có: x y : x y P x 1 y 2 x 2 y 3 MA MB ; với A 1; 2 , B 2;3 , M ( x; y) Do A, B nằm khác phía nên MA MB nhỏ M AB Phương trình đường thẳng AB : x y Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: 5 x y 5 4 5 4 M ; Pmin 26 , x; y ; 3 3 3 3 x y 34 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 Nhận xét: Nếu chọn : x y , lấy hai điểm A 2;1 , B 1; 1 để tăng độ khó BT cách nhân phương trình với x y 1 , ta BT BT 2: Cho x, y thỏa x3 x2 y xy x y3 x2 y y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y x y x2 y x y Phân tích Từ giả thiết, ta có: : x y Mặt khác P x 2 y 1 x 1 y 1 MA MB với A 2;1 ; B 1; 1 Từ đó, ta có BT hình học: “Cho điểm M thuộc đường thẳng : x y A 2;1 ; B 1; 1 Tìm giá trị nhỏ MA MB ” Đến đây, BT giải tương tự Với ý tưởng này, ta tiếp tục xây dựng BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức (chọn : x y A 0; 1 ; B 0;3 ) sau: BT 3: Cho x, y thỏa mãn 2x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y 1 x y 3 2 Phân tích: Ta có: 2x y : 2x y P x2 y 1 x y 3 MA MB Với A 0; 1 ; B 0;3 , M x; y 2 BT trở thành BT hình học: “Cho điểm M thuộc đường thẳng : 2x y hai điểm A 0; 1 ; B 0;3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA MB ” Hướng dẫn: Ta có: 2x y : 2x y P x2 y 1 x y 3 MA MB Với A 0; 1 ; B 0;3 , M x; y 2 Do A, B nằm phía nên P MA MB đạt giá trị nhỏ M AB , với A’ đối xứng A qua Phương trình AA : x y 2 6 4 7 Gọi H hình chiếu A lên H ; A ; 5 5 5 2 2 Phương trình AB :11x y M ; 3 3 2 2 Vậy: Pmin , x; y ; 3 3 Tính sáng tạo khơng dừng lại đây, ta chuyển BT cực trị hình học tọa độ sang BT phức cách yêu cầu HS chọn điều kiện số phức thỏa mãn phương trình đường thẳng; biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng tổng đoạn thẳng 2.2.2 Sáng tạo toán từ tốn cực trị: “Tìm điểm M thuộc đường tròn (C ) thỏa mãn điều kiện cực trị” A M1 I M2 Hình 35 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 * BT gốc: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) tâm I , bán kính R điểm A (C ) Gọi M điểm (C ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ AM Hướng dẫn: - Viết phương trình tham số đường thẳng d qua hai điểm I , A ; - Tìm giao điểm M1 , M d (C ) ; - Tính AM1 , AM so sánh kết luận (xem hình 1) Đây BT cực trị liên quan đến đường tròn Nếu xét BT theo quan điểm đại số, ta có BT để phát triển thành BT cực trị đại số khác Cụ thể: * Xây dựng BT - Phân tích BT gốc: Với A xA ; y A , M x; y có: MA ( x xA )2 ( y y A )2 Đây biểu thức hai biến x; y ràng buộc điều kiện ( x a)2 ( y b)2 R Do đó, ta chuyển đổi BT cho thành BT: “Tìm giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) biểu thức: f ( x; y) ( x xA )2 ( y y A )2 thỏa điều kiện ( x a)2 ( y b)2 R ” GV hướng dẫn HS lập quy trình xây dựng BT từ BT gốc - Quy trình xây dựng BT mới, gồm bước: + Bước 1: Chọn đường tròn (C ) : ( x a)2 ( y b)2 R + Bước 2: Chọn điểm A xA ; y A (C ) + Bước 3: Với M x; y , tính MA + Bước 4: Phát biểu BT - Xây dựng BT mới: 2 Nếu ta chọn đường tròn C : x 1 y 3 68 , điểm A(2;1) khơng thuộc đường trịn Với M ( x; y ) , ta có: AM x 2 y 1 Ta viết biểu thức AM dạng P x y x y xy phương trình đường trịn dạng khai triển Ta có BT mới: BT 1: Cho x, y thỏa mãn x y x y 58 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P x y x y xy Phân tích: Từ giả thiết, ta có: x2 y 2x y 58 (C) : x 1 y 3 68 P x 2 2 y 1 AM , A(2;1), M ( x; y) (C ) BT trở thành: “Cho đường tròn C : x 1 y 3 68 A 2;1 Gọi M điểm (C ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ AM” 2 Hướng dẫn: Ta có: x2 y 2x y 58 (C) : x 1 y 3 68 đường trịn có tâm I (1; 3) P x 2 2 y 1 AM , A(2;1), M ( x; y) (C ) Gọi d đường thẳng qua hai điểm I , A , có x t d : y 3 4t Tọa độ giao điểm d đường tròn (C ) nghiệm hệ phương trình: x t t x; y 3;5 y 3 4t 2 t 2 x; y 1; 11 x 1 y 3 68 Đường thẳng d cắt (C ) điểm M (3;5), M (1; 11) AM 17, AM 17 Vậy: Pmax 17 x; y 1; 11 ; Pmin 17 x; y 3;5 36 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 Nhận xét: Ta thay đổi hình thức BT, thể biểu thức dạng khác có BT 1 BT 2: Cho x, y thỏa mãn 58 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x y x y 1 P x y x y Phân tích: BT xuất phân số Do đó, HS cần tìm cách đặt ẩn phụ để đưa dạng nguyên thể X x 2 2 Đặt Giả thiết BT trở thành: X 1 Y 3 68 ; P X 2 Y 1 Y y Pmax X 2 Y 1 lớn Pmin X 2 Y 1 nhỏ Đến đây, ta BT Vậy, Pmax 153 x; y 1; 11 ; Pmin 17 x; y 3;5 Thông qua việc khai thác hai BT gốc hình học phẳng để xây dựng phát triển thành BT cực trị đại số giúp HS nắm mối liên hệ hình học phẳng đại số, linh hoạt, sáng tạo có kinh nghiệm việc sáng tạo BT Đồng thời, cung cấp thêm cho HS công cụ giải toán, rèn kĩ năng, linh hoạt, sáng tạo trình giải BT cực trị; khơi gợi ý tưởng sáng tạo BT cực trị hình học thành BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Kết luận Có nhiều dạng tốn cực trị hình học tọa độ phẳng phát triển thành BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Việc khai thác, tìm mối liên hệ BT cực trị hình học tọa độ phẳng BT hàm số không bồi dưỡng tư sáng tạo cho HS mà cịn tích hợp nội mơn dạy học Tốn, góp phần đổi phương pháp dạy học, thực mục tiêu đổi giáo dục Tài liệu tham khảo Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GD-ĐT) Đặng Thành Nam (2014) Kĩ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy NXB Đại học Quốc gia Hà Nội G.Polya (1997) (người dịch: Nguyễn Sỹ Tuyển, Phan Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản) Sáng tạo toán học NXB Giáo dục Lê Hồnh Phị (2008) Phân dạng phương pháp giải toán Số phức NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Lê Hồng Đức (2009) Phương pháp giải toán: Đường thẳng - Đường tròn - Ba đường Conic NXB Đại học Sư phạm Lê Xuân Trường (2018) Một số hướng khai thác tốn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Tạp chí Giáo dục, số 424, tr 33-36 Nguyễn Bá Kim (2007) Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Sơn Hà (2012) Sáng tạo toán từ toán ban đầu bất đẳng thức nhằm rèn luyện tư độc lập, sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông Tạp chí Giáo dục, số 295, tr 35-37 Trần Anh Tuấn (2015) Phát triển tư sáng tạo cho học sinh thơng qua việc khai thác tốn dạy học bất đẳng thức Tạp chí Giáo dục, số 351, tr 47-49 Tôn Thân (1995) Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi tốn trường trung học phổ thơng sở Việt Nam Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học giáo dục Vũ Lệ Hoa (2020) Giáo dục phát huy tính tích cực tư sáng tạo người học nhà trường phổ thơng Tạp chí Giáo dục, số 476, tr 25-28 37 ... sáng tạo BT cực trị hình học thành BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Kết luận Có nhiều dạng tốn cực trị hình học tọa độ phẳng phát triển thành BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm. .. chí Giáo dục, Số 489 (Kì - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 2.2 Sáng tạo toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số từ tốn cực trị hình học tọa độ phẳng 2.2.1 Sáng tạo toán từ tốn cực trị: ... luyện tư độc lập, sáng tạo cho học sinh trung học phổ thơng Tạp chí Giáo dục, số 295, tr 35-37 Trần Anh Tuấn (2015) Phát triển tư sáng tạo cho học sinh thơng qua việc khai thác tốn dạy học bất