Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng Trường ĐH Sài Gòn

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O - Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng Mã số: GT2012-05 Chủ nhiệm đề tài: PGS TS Phạm Hoàng Quân Thành viên: ThS Phan Trung Hiếu ThS Hoàng Đức Thắng Tp Hồ Chí Minh, 10/2014 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN -O0O - Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng Mã số: GT2012-05 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng Tp Hồ Chí Minh, 10/2014 Chủ nhiệm đề tài Lời nói đầu Ngày nay, Phương trình đạo hàm riêng trở thành lĩnh vực quan trọng Tốn học Có nhiều mơ hình tự nhiên mơ tả phương trình đạo hàm riêng như: truyền nhiệt vật dẫn, dao động dây, sóng âm, sóng thuỷ triều,… Hơn nữa, với phát triển kỹ thuật tính tốn đại, mơn học Phương trình đạo hàm riêng trở nên cần thiết không cho sinh viên ngành Tốn mà cịn cho sinh viên ngành Vật lý ngành kỹ thuật khác Vì vậy, chúng tơi biên soạn “Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng” nhằm phục vụ cho việc học tập nghiên cứu sinh viên môn học Nội dung giáo trình biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Phương trình đạo hàm riêng dùng giảng dạy Khoa Toán - Ứng dụng, trường Đại học Sài Gịn Giáo trình gồm chương Chương trình bày khái niệm phương trình đạo hàm riêng Chương 2, trình bày phương trình truyền nhiệt, phương trình vị, phương trình truyền sóng giới thiệu số phương pháp giải Cuối cùng, nhằm giúp sinh viên bước đầu làm quen với lĩnh vực giải số phương trình đạo hàm riêng, chúng tơi biên soạn phần đọc thêm hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm Matlab để giải số phương trình đạo hàm riêng Trong chương, chúng tơi trình bày đầy đủ, ngắn gọn kiến thức với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể, tập chọn lọc nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ tính tốn vận dụng lý thuyết việc giải toán Mặc dù cố gắng nhiều trình biên soạn, giáo trình khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để giáo trình ngày hồn thiện Tp HCM, tháng 10 năm 2014 CÁC TÁC GIẢ Chương KHÁI QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, khảo sát khái niệm phương trình đạo hàm riêng, phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai đưa phương trình dạng tắc Chương nhắc lại phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, cấp kết khai triển Fourier, biến đổi Fourier cần thiết cho nội dung chương sau I Ơn tập phương trình vi phân Một phương trình vi phân phương trình hàm (một biến) có chứa đạo hàm hàm cần tìm Cấp cao đạo hàm có mặt phương trình gọi cấp phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp n có dạng F ( x, y, y, , y ( n ) )  , (1.1) x biến độc lập, y hàm cần tìm, y, y, , y( n ) đạo hàm cấp y, biểu thức F ( x, y, y, , y ( n ) ) thực chứa y (n ) Hàm số y  y( x ) gọi nghiệm phương trình vi phân (1.1) khoảng I   y đạo hàm tồn I thỏa mãn phương trình (1.1) điểm thuộc I 1.1 Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F ( x , y, y)  , x biến độc lập, y hàm cần tìm, y  dy dx (1.2) Nghiệm tổng quát phương trình (1.2) biểu thức y  f ( x , C ) , C số tùy ý cho: i) Với số C, hàm số y  f ( x , C ) nghiệm (1.2) ii) Với điểm ( x , y0 ) thuộc miền chứa nghiệm, thay vào (1.2) giải C  C0 Nghiệm tổng quát phương trình (1.2) viết dạng hàm ẩn  ( x , y )  C gọi tích phân tổng quát Sau đây, ta nhắc lại số loại phương trình giải phép tính tích phân 1.1.1 Phương trình tách biến Phương trình sau gọi phương trình tách biến g( y ) y  f ( x ) (1.3) Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế (1.3), ta  g( y)ydx   f ( x )dx  g( y)dy   f ( x )dx G( y )  F ( x )  C , G nguyên hàm g , F nguyên hàm f , C số tùy ý Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau a) y  x b) y y  e x  Giải a) Lấy tích phân vế, ta  ydx   5x dx  dy   5x dx 4 y  x  C Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y  x  C , với C số tùy ý b) Lấy tích phân vế, ta  y ydx   (e  y dy   (e x  3)dx x  3)dx y3  ex  3x  C y  3e x  x  D , với D  3C Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y  3e x  x  D , với D số tùy ý Ví dụ 1.2 Giải phương trình y  y 2e x Giải Xét y  , phương trình trở thành y  ex y Lấy tích phân vế, ta y x  y dx   e dx dy  y   e dx x 1 x e C y y 1 , e C x với C số tùy ý Ta thấy, y  nghiệm phương trình Ví dụ 1.3 Giải phương trình (1  x ) y  (1  y ) xy  , x  Giải Xét y  , phương trình trở thành (1  y) y 1 x  y x Lấy tích phân vế, ta (1  y) y 1 x  y dx    x dx 1 1     y  1 dy     x  1 dx ln y  y   ln x  x  C ln xy  x  y  C , với C số tùy ý Ta thấy, y  nghiệm phương trình 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Định lý 1.1 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp y  p( x ) y  , p hàm liên tục khoảng I   Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình vi phân khoảng I  p ( x ) dx , y  Ce  với C số tùy ý p ( x ) dx Chứng minh Nhân vế phương trình cho e , ta  ye  p ( x )dx       ye  p ( x ) dx C  p ( x ) dx y  Ce  , với C số tùy ý ■ Định lý 1.2 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp y  p( x ) y  q( x ) , p, q hàm liên tục khoảng I   Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình vi phân khoảng I  p ( x ) dx   p( x )dx dx  C  , ye    q( x )e    với C số tùy ý p ( x ) dx , ta Chứng minh Nhân vế phương trình cho e  ye  p ( x )dx   q( x )e  p ( x )dx     ye  p ( x ) dx   q( x )e  p ( x ) dx dx + C  p ( x ) dx   p( x )dx dx  C  , ye    q( x )e    với C số tùy ý ■ Ví dụ 1.4 Tìm nghiệm tốn sau  y  y  x,   y(0)  Giải dx Ta có y  y  x Nhân vế cho e  e2 x , ta  ye   xe 2x 2x 1 1  y  e2 x  xe2 x dx  e2 x  xe2 x  e2 x  C   x   Ce2 x , 4 2  với C số tùy ý 1 Vì y(0)  nên   C  , suy C  4 Vậy, nghiệm toán y  1 x   e 2 x 4 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp  với hệ số ay  by  cy  , (1.4) a, b, c số a  Phương trình đặc trưng (1.4) phương trình bậc theo ẩn k sau ak  bk  c  (1.5) Nếu (1.5) có nghiệm thực phân biệt k1 k2 (1.4) có nghiệm tổng qt y  Aek1x  Bek2 x , với A, B số tùy ý Nếu (1.5) có nghiệm kép k0 (1.4) có nghiệm tổng qt y  ( Ax  B )e k0 x , với A, B số tùy ý Nếu (1.5) có nghiệm phức liên hợp   i (1.4) có nghiệm tổng quát y  e x ( A cos  x  B sin  x ) , với A, B số tùy ý Ví dụ 1.5 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau a) y  y  y  b) y  y  y  c) y  y  y  Giải  k  1, a) Phương trình đặc trưng k  k   , suy   k  3 Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y  Ae x  Be3 x , với A, B số tùy ý b) Phương trình đặc trưng k  k   , suy k  Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y  ( Ax  B )e x , với A, B số tùy ý c) Phương trình đặc trưng k  k   , suy k  1  i 2 Vậy, nghiệm tổng quát phương trình  3  y  e  A cos x  B sin x, 2   x với A, B số tùy ý 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng với hệ số Xét phương trình sau  ay  by  cy  f ( x ) (1.6) Ta tìm nghiệm tổng quát (1.6) hai phương pháp: hệ số bất định biến thiên hệ số Lagrange 1.3.1 Phương pháp hệ số bất định Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát y0 phương trình (1.4) tương ứng với (1.6) Bước 2: Nếu f ( x ) có dạng đặc biệt ta tìm nghiệm đặc biệt y p phương trình khơng (1.6) phương pháp hệ số bất định, trình bày sau Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình (1.6) y  y0  y p function a=f(x) a=sin(2*pi*x); %Tạo file g.m function a=g(y) a=sin(2*pi*y); %Tạo file ucx.m function a=ucx(x,y) a=(1/sinh(2*pi))*(sinh(2*pi*(1-y))*sin(2*pi*x) +sinh(2*pi*(1-x))*sin(2*pi*y)); %Tạo file change.m function a=change(M,i,j) a=i+(M+1)*(j-1); %Tạo file Vd6_1.m clc clear all M=20; h=1/M; %Tạo điểm nút X=[0:M]*h; Y=[0:M]*h; %Tạo ma trận A B A=zeros((M+1)^2,(M+1)^2); B=zeros((M+1)^2,1); for j=1:(M+1) for i=1:(M+1) id=change(M,i,j); %Chỉ số điểm (i,j) idleft=change(M,i-1,j); %Chỉ số điểm nằm bên trái điểm (i,j) idright=change(M,i+1,j); %Chỉ số điểm 198 nằm bên phải điểm (i,j) idup=change(M,i,j+1); %Chỉ số điểm nằm bên điểm (i,j) iddown=change(M,i,j-1); Chỉ số điểm nằm bên điểm (i,j) if ((i>1)&&(i1)&&(j