Untitled 1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – LÊ ĐÌNH THÚY TOÁN KINH TẾ Giáo trình dùng cho Sinh viên Kinh tế (Có bổ sung và chỉnh lý) HÀ NỘI 2021 2 3 MỤC LỤC LỜI[.]
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – LÊ ĐÌNH THÚY TỐN KINH TẾ Giáo trình dùng cho Sinh viên Kinh tế (Có bổ sung chỉnh lý) HÀ NỘI - 2021 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng CÁC MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép toán tuyến tính ma trận 1.3 Phép chuyển vị ĐỊNH THỨC 2.1 Khái niệm cách tính 2.2 Các tính chất định thức PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Phép nhân ma trận với ma trận 3.2 Ma trận nghịch đảo HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1 Các khái niệm 4.2 Hệ Cramer CÁC MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 5.1 Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ 5.2.Mơ hình I/O (Input/Output) Léontief 9 10 10 11 11 13 14 14 16 18 18 18 20 20 21 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương BÀI TẬP CHƢƠNG 25 26 Chƣơng HÀM SỐ, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép tính hàm số CÁC HÀM SỐ THƢỜNG DÙNG 2.1 Các hàm số thƣờng dùng 2.2 Một số hàm số kinh tế thƣờng dùng HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Hàm số hai biến số 3.2 Hàm số n biến số 3.3 Các hàm số nhiều biến số quan trọng phân tích Kinh tế 28 28 28 29 29 30 30 30 32 32 MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG 4.1 Thị trƣờng loại hàng hóa 4.2 Thị trƣờng nhiều hàng hóa ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 5.1 Đạo hàm 5.2 Vi phân 5.3 Đạo hàm cấp cao 5.4 Áp dụng Kinh tế ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 6.1 Đạo hàm riêng cấp hàm số nhiều biến số 6.2 Đạo hàm riêng cấp hàm số nhiều biến số 6.3 Áp dụng Kinh tế TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 7.1 Nguyên hàm tích phân bất định 7.2 Bảng tích phân 7.3 Tính chất 7.4 Một số phƣơng pháp tính tích phân bất định 7.5 Áp dụng Kinh tế TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 8.1 Định nghĩa 8.2 Tính chất 8.3 Cơng thức Newton – Leibnitz 8.4 Một số phƣơng pháp tính tích phân xác định 8.5 Áp dụng Kinh tế 34 34 34 35 35 36 37 37 39 39 41 41 44 44 44 45 45 46 47 47 48 48 49 49 Câu hỏi hướng dẫn ôn tập Chương BÀI TẬP CHƢƠNG 52 53 Chƣơng BÀI TOÁN TỐI ƢU CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Cực trị 1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1.3 Bài toán tối ƣu CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHƠNG CĨ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN 2.1 Khái niệm cực trị điều kiện cần 2.2 Điều kiện đủ 2.3 Bài toán tối đa lợi nhuận 57 57 57 58 59 59 59 62 CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC 3.1 Cực trị có điều kiện với hai biến chọn phƣơng trình ràng buộc 3.2 Cực trị có điều kiện với n biến chọn phƣơng trình ràng buộc 3.3 Ý nghĩa nhân tử Lagrange BÀI TOÁN TỐI ƢU VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC 4.1 Cực đại lợi ích tiêu dùng 4.2 Tối thiểu chi tiêu 4.3 Sản xuất với sản lƣợng tối đa 4.4 Sản xuất với chi phí tối thiểu 4.5 Hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm nhƣng tiêu thụ hàng hóa hai thị trƣờng riêng biệt 65 65 68 70 71 71 72 72 73 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương BÀI TẬP CHƢƠNG 76 77 73 Chƣơng PHÂN TÍCH ĐỘNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Khái niệm chung phƣơng trình vi phân 1.2 Phƣơng trình vi phân thƣờng cấp PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LOẠI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1 Phƣơng trình phân ly biến số 2.2 Các phƣơng trình đƣa đƣợc dạng phân ly biến số 2.3 Phƣơng trình tuyến tính phƣơng trình Bernoulli ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 3.1 Tìm hàm cầu biết độ co dãn cầu theo giá 3.2 Phân tích thị trƣờng MƠ HÌNH TĂNG TRƢỞNG 4.1 Mơ hình tăng trƣởng Domar 4.2 Mơ hình tăng trƣởng Solow 80 80 80 82 82 83 85 88 88 89 90 90 91 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương BÀI TẬP CHƢƠNG 93 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 LỜI NÓI ĐẦU Để giải số vấn đề Kinh tế, nhà kinh tế thiết lập mơ hình kinh tế sử dụng cơng cụ Tốn thích hợp để xử lý mơ hình Giáo trình cung cấp số phương pháp Toán Kinh tế Những kiến thức Tốn nêu Giáo trình kiến thức cân nhắc chọn lựa Nguyên tắc chọn lựa ngắn gọn, thiết thực dễ hiểu Chương trang bị kiến thức tối thiểu ma trận,định thức, cách giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn số nhằm hướng tới việc xử lý mơ hình tuyến tính kinh tế Cân thị trường, Cân kinh tế vĩ mô, mơ hình I/O Léontief… Chương Giáo trình tập trung vào việc giải mơ hình kinh tế nhờ kiến thức Giải tích hàm số biến số nhiều biến số Các toán tối ưu hàm mục tiêu đề cập giải cơng cụ Tốn Chương đề cập đến Phân tích động Giáo trình cung cấp kiến thức thật Phương trình vi phân, hướng đến giải số mơ hình kinh tế qua việc thiết lập quỹ đạo thời gian Trong Giáo trình đề cập đến việc Phân tích thị trường hai mơ hình tăng trưởng Domar Solow Phần Phương trình sai phân khơng đưa vào nội dung môn học, thời lượng q Sau chương có phần Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Bài tập Các tập mang tính gợi ý, có tính điển hình Nhóm biên soạn nhận hỗ trợ tích cực Khoa Toán Trường Đại học Kinh doanh Công nghệ Hà Nội Mặc dù tác giả cố gắng không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận nhận xét góp ý bạn đọc để tiếp tục hồn thiện nội dung hình thức Giáo trình nhằm nâng cao hiệu sử dụng học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 03 năm 2021 Nhóm biên soạn Chương CÁC MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trong số mơ hình tuyến tính quan trọng phân tích kinh tế mơ hình I/O Léontief (hay cịn gọi mơ hình cân đối liên ngành), mơ hình cân kinh tế vĩ mơ, mơ hình cân thị trường nhiều hàng hóa liên quan… ta phải giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn số Công cụ để xử lý vấn đề sử dụng kiến thức ma trận định thức Đại số tuyến tính MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH 1.1 Các khái niệm Một bảng số gồm m.n số thực xếp thành m dòng n cột đƣợc gọi ma trận cấp mxn đƣợc ký hiệu nhƣ sau: a11 a12 a1n a a 22 a 2n A = (aij)mxn A 21 a m1 a m2 a mn Các số aij đƣợc gọi phần tử ma trận A Cụ thể hơn: aij phần tử nằm dòng thứ i cột thứ j ma trận A Hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn đƣợc coi tất phần tử tƣơng ứng chúng đôi nhau: aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n) Ma trận có tất phần tử đƣợc gọi ma trận không Ma trận không cấp mxn đƣợc ký hiệu Omxn đơn giản O Ma trận cấp nxn, tức ma trận có số dịng số cột nhau, đƣợc gọi ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông: a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n a1n a 2n a nn phần tử a 11, a22 , , a nn đƣợc gọi phần tử nằm đường chéo Ma trận đơn vị cấp n đƣợc ký hiệu chữ En ma trận sau: 1 0 En 0 nxn 1.2 Các phép tốn tuyến tính ma trận Cộng hai ma trận cấp Tổng hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn ma trận ký hiệu A + B đƣợc xác định nhƣ sau: A + B = (aij+bij)mxn Nhân ma trận với số Tích ma trận A = (aij)mxn với số ma trận ký hiệu A đƣợc xác định nhƣ sau: A = ( aij)mxn Chú thích: Tích (-1)A đƣợc ký hiệu ma trận –A đƣợc gọi ma trận đối ma trận A 3.Tính chất phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số có tính chất sau: a) A + B = B + A b) (A + B) + C= A + (B + C) c) A + O = A d) A + (-A) = O e) (A + B) = A + B f) ( + β)A = A + βA g) ( β)A = (βA) A, B, C ma trận cấp, , số thực Phép trừ hai ma trận cấp Phép trừ hai ma trận cấp đƣợc xác định nhƣ sau: A - B = A + (-B) = A + (-1)B Ma trận A - B đƣợc gọi hiệu ma trận A ma trận B 1.3 Phép chuyển vị Cho ma trận a11 a12 a a 22 A 21 a m1 a m2 a1n a 2n a mn Chuyển dòng ma trận A thành cột với thứ tự tƣơng ứng (khi cột trở thành dịng với thứ tự tƣơng ứng) ta đƣợc ma trận a11 a A ' 12 a1n 10 a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn ... số vấn đề Kinh tế, nhà kinh tế thiết lập mơ hình kinh tế sử dụng cơng cụ Tốn thích hợp để xử lý mơ hình Giáo trình cung cấp số phương pháp Toán Kinh tế Những kiến thức Toán nêu Giáo trình kiến... ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 5.1 Đạo hàm 5.2 Vi phân 5.3 Đạo hàm cấp cao 5.4 Áp dụng Kinh tế ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 6.1 Đạo hàm riêng cấp hàm số nhiều biến số 6.2 Đạo hàm... TRONG KINH TẾ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép tính hàm số CÁC HÀM SỐ THƢỜNG DÙNG 2.1 Các hàm số thƣờng dùng 2.2 Một số hàm số kinh tế thƣờng dùng HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Hàm