giáo trình toán kinh tế nghề kế toán doanh nghiệp cao đẳng

GIÁO TRÌNH MÔN HỌCTên môn học: Toán kinh tếMã số môn học: MH 16Thời gian môn học: 45 giờ; Lý thuyết: 18 giờ; Thực hành, thảo luận, bài tập: 25giờ; Kiểm tra: 2 giờVị trí, tính chất của mô

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH

3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 19

4 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo 21

CHƯƠNG 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 24

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình Toán kinh tế được biên soạn trên cơ sở tiếp thu những nội dungvà kinh nghiệm giảng dạy môn Toán kinh tế trong nhiều năm qua và yêu cầu ứng

dụng trong quản lý kinh tế theo xu hướng hội nhập Giáo trình do tập thể giáo viêntổ bộ môn kế toán doanh nghiệp biên soạn, đã được hội đồng thẩm định củaTrường Cao đẳng Cơ giới Ninh Bình xét duyệt

Để phù hợp với nội dung kiến thức của khung chương trình đào tạo mới,chúng tôi biên soạn giáo trình Nguyên lý thống kê gồm 4 chương:

Chương 1 : Ma trậnChương 2 : Định thức

Chương 3 : Ma trận nghịch đảo

Chương 4 : Hệ phương trình tuyến tính

Mặc dù tập thể nhóm biên soạn đã có rất nhiều cố gắng trong quá trình biênsoạn, song không thể tránh khỏi những khiếm khuyết Nhóm biên soạn rất mongnhận được những đóng góp ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc.

Tập thể tác giả

Phạm Thị HồngĐỗ Quang KhảiAn Thị Hạnh

GIÁO TRÌNH MÔN HỌCTên môn học: Toán kinh tế

Mã số môn học: MH 16

Thời gian môn học: 45 giờ; (Lý thuyết: 18 giờ; Thực hành, thảo luận, bài tập: 25

giờ; Kiểm tra: 2 giờ)

Vị trí, tính chất của môn học:

- Vị trí: Môn học được bố trí giảng dạy sau các môn học chung.

- Tính chất: Là môn học giúp người học vận dụng tốt các môn học chuyênmôn của nghề.

- Về kỹ năng:

+ Xây dựng được mô hình bài toán kinh tế và phân tích được mô hình;+ Giải được bài toán quy hoạch tuyến tính, xác suất và thống kê toán;+ Kiểm định được các giả thuyết thống kê toán.

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có phẩm chất đạo đức, kỷ luật tốt, có ý thứctự rèn luyện để nâng cao trình độ.

Nội dung môn học:

CHƯƠNG 1: MA TRẬNMã chương: TKT01Giới thiệu:

Trang bị cho người học những kiến thức chung về ma trận, các dạng ma trận,các phép toán tuyến tính đối với ma trận, phép cộng, trừ và nhân ma trận.

Ta có thể dùng ký hiệu

A = [aij] (1.2)

để nói rằng A là một ma trận cấp m x n mà phần tử nằm trên dòng i và cột jđược ký hiệu là aij Cách viết (1.2) tương đương với cách viết (1.1) và được dùngkhi nói đến một ma trận tổng quát nào đó Khi cấp của ma trận và các phần tử đãđược xác định bằng số ta thường sử dụng cách viết dạng (1.1).

A =[a11a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …an1 an2 … ann]

Trong ma trận vuông A đường chéo thứ nhất nối góc trên bên trái với gócdưới bên phải được gọi là đường chéo chính, đường chéo thứ hai được gọi là đườngchéo phụ Vị trí của các phần tử aij so với đường chéo chính được xác định theo cácchỉ số i, j như sau:

aij thuộc đường chéo chính khi và chỉ khi i = j

aij nằm phía trên đường chéo chính khi và chỉ khi i < jaij nằm phía dưới đường chéo chính khi và chỉ khi i > j

2.3 Ma trận đường chéo, ma trận vô hướng và ma trận đơn vị

Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đườngchéo chính bằng 0 Ma trận đường chéo cấp n có dạng :

E = [10 01 … 0… 0… … … …

2.4 Ma trận dòng và ma trận cột

Ma trận chỉ có một dòng duy nhất (ma trận cấp 1 x n) được gọi là ma trậndòng Tương tự, ma trận chỉ có một cột duy nhất (ma trận cấp m x 1) được gọi làma trận cột.

3 Các phép toán tuyến tính đối với ma trận

Cộng hai ma trận cùng cấp có nghĩa là cộng các phần tử ở vị trí tương ứngvới nhau

Nhân một ma trận với một số α có nghĩa là nhân mọi phần tử của ma trận đóvới α.

Ví dụ: Cho

A =[4 -5 30 2-1] ; B =[1 2 -25 3 -3]Ta có:

A + B = [5 -3 15 5-4] 3A = [12 -1 5 906-3]

3.2 Phép trừ ma trận

Hiệu của ma trận A và ma trận B được xác định thông qua phép cộng nhưsau :

A – B = A + (-B)

Ví dụ : Cho

A =[4 -5 30 2-1] ; B =[1 2 -25 3 -3]Ta có:

c21 c22 c23 c24c31 c32 c33 c34]

Để tính các phần tử thuộc hàng thứ nhất của AB ta lấy hàng thứ nhất của Anhân lần lượt với các cột của B:

c11 = 3.0 + 1.1 +(-2).(-5) = 11c12 = 3.2 + 1.3 +(-2).(-1) = 11

c13 = 3.(-5) + 1.0 +(-2).4 = - 23c14 = 3.1 + 1.(-1) +(-2).1 = 0

Để tính các phần thử thuộc hàng thứ hai của AB ta lấy hàng thứ hai nhân củaA nhân lần lượt với các cột của B:

c21 = 2.0 + 5.1 + 4 (-5) = - 15c22 = 2.2 + 5.3 + 4 (-1) = 15c23 = 2 (-5) + 5.0 + 4.4 = 6c24 = 2.1 + 5 (-1) +4.1 = 1

Để tính các phần tử thuộc hàng thứ ba của AB ta lấy hàng thứ ba của A nhânlần lượt với các cột của B:

c31 = (-1).0 + 0.1 + (-3).(-5) = 15c32 = (-1).2 + 0.3 + (-3).(-1) = 1c33 = (-1).(-5) + 0.0 + (-3).4 = -7c34 = (-1).1 + 0.(-1) + (-3).1 = -4Kết quả là:

Khái niệm : Ma trận A’ được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A Phép

biến đổi ma trận A thành ma trận A’ được gọi là phép chuyển vị ma trận

Ví dụ : Ma trận chuyển vị của ma trận :

BÀI TẬP CHƯƠNG 1Bài 1: Cho

A =[1-1 23

34] B =[03 12

-2 3] C =[2 -31 24 -1]

1 (A + B) + C2 A + (B + C)3 3A

4 Tìm A’, B’, C’.

Bài 2: Hãy nhân các ma trận sau

a [2 13 2] [1 -11 1 ] b [3 56 -1] [2-3 21]c [3 1 12 1 2

1 2 3] [1 12 -1 1-1

1 01 ] d [2 1 13 0 1] [3 12 11 0]

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨCMã chương: TKT02

Nội dung chính:

1 Định thức của ma trận vuông

Cho một ma trận vuông cấp n :

A =[a11a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …an1 an2 … ann]

Định thức của ma trận A ký hiệu là |A| hoặc det(A) Nếu không gọi ma trậnthì ta viết định thức cấp n dưới dạng một bảng số có n dòng và n cột đặt giữa hai

dấu gạch đứng|a11a12 … a1n

… … … …an1 an2 … ann|

Các tích T4 , T5, T6 (đặt sau dấu -) được xác định hoàn toàn giống như T1, T2,T3 nhưng theo đường chéo phụ

4 Các phương pháp tính định thức

4.1 Phương pháp khai triển

4.1.1 Khái niệm phần bù đại số

4.1.2 Quy tắc khai triển định thức

Định thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của một dòng (hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó.

Ví dụ 1 : Tính định thức :

d1 = |1-3 11 2 25 1

Khai triển định thức d1 theo dòng thứ ba ta được :d1 = (-2)A31 + 5A32 + 0A33 + 0A34

= (-2)M31 + 5(-M32) = (-2)|11 2 25 1

-1 3 -1| - 5 |1-3 5 12 2

= (-2).8 – 5.(-48) = 224

Nhận xét: Trên đây ta chọn hàng thứ ba để khai triển định thức d1 bởi vì sựcó mặt các phần tử bằng 0 trên hàng này làm giảm hẳn khối lượng tính toán Đểtính một định thức cấp n, nói chung ta phải tính n định thức cấp n – 1 Để việc tínhtoán khỏi cồng kềnh, ta nên biến đổi sao cho một hàng (hoặc một cột) nào đó chỉcòn lại một phần tử khác 0, sau đó khai triển theo hàng (hoặc cột) đó Bằng cáchnhư vậy ta có thể tính một định thức cấp n thông qua một định thức cấp n – 1.

Tiếp theo ta lại biến đổi định thức cấp 4 sao cho cột thứ nhất chỉ còn lại mộtphần tử khác 0 là a21 = 1 Cộng lần lượt vào hàng thứ nhất, hàng thứ ba, hàng thứ tưtích của hàng thứ hai, theo thứ tự, với 2, với (-3), với (-2), ta được:

Định thức dạng tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chínhVí dụ: Tính định thức

d = |1 -2 30 5-4 -5 1 32 -5

0 11 -7 -3 18

Tiếp theo, để tránh phải tính phân số ta cộng vào hàng thứ hai, hàng thứ tư vàhàng thứ năm, theo thứ tự, tích của hàng thứ ba với (-1), (-2) và (-1) Kết quả là:

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Tính các định thức sau:1 |13547 13647

CHƯƠNG 3: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOMã chương: TKT03

Giới thiệu:

Trang bị cho người học những kiến thức chung về ma trận nghịch đảo vàcách tìm ma trận nghịch đảo.

Mục tiêu:

- Trình bày được khái niệm ma trận nghịch đảo;

- Trình bày được khái niệm ma trận phụ hợp của ma trận vuông;- Tìm được ma trận nghịch đảo;

- Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận và chính xác.

Nội dung chính:

1 Khái niệm ma trận nghịch đảo

Khái niệm: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trậnvuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:

AX = XA = E (E là ma trận đơn vị)

Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A-1

2 Ma trận phụ hợp của ma trận vuông

Khái niệm: Ma trận phụ hợp của một ma trận vuông cấp n:

A =[a11a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …an1 an2 … ann]

là ma trận vuông cấp n, ký hiệu là A* và được xác định như sau:A* = ¿n x n =[A11A2 1 … An 1

Chú ý rằng phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận phụ hợp A* là phần bùđại số của phần tử thuộc dòng j và cột i của định thức d = |A|

a*

ij = A*

ji (i, j = 1, 2, …, n)

3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là

d = |A|≠ 0 Khi đó ma trận nghịch đảo của ma trận A được xác định theo công thức:

Trước hết, ta tính định thức của ma trận Ad = |21 1 43 -3

Ma trận A có ma trận nghịch đảo:

A-1 = 160 A* = 160 [A11A2 1 A3 1A12 A22 A3 2A13 A2 3 A33]

Ta tính các phần bù đại số:

A11 = |3 -32 -1| = 3 ; A12 = - |1-3 -1|-3 = 10 ; A13 = |1-3 2|3 = 11A21 = - |1 42 -1| = 9 ; A22 = |2-3 -1|4 = 10 ; A23 = - |2-3 21| = - 7A31 = |1 43 -3| = - 15 ; A32 = - |2 41 -3| = 10 ; A33 = |2 11 3| = 5Ma trận nghịch đảo của ma trận A đã cho là:

A-1 = 160 A* = 160 [310 10 109 -15

= [1203

4 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo.

Muốn tính ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận A bằng các phép biến đổi sơcấp về hàng ta làm như sau:

Bước 1: Viết ma trận đơn vị E bên cạnh ma trận A

Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa dần ma trận A về

ma trận E, tác động đồng thời phép biến đổi sơ cấp vào cột ma trận E.

Bước 3: Khi A đã được biến đổi thành E thì E trở thành ma trận nghịch đảo

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: A =[1 2 32 5 3

CHƯƠNG 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHMã chương: TKT04

- Trình bày được khái niệm hệ Cramer;

- Vận dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính;- Rèn luyện tác phong làm việc nghiêm túc tỉ mỉ, cẩn thận, chính xác

(3.4.1)

Trong đó x1, x2, …, xn là các ẩn số

aij là hệ số ở phương trình thứ i của ẩn xj

bi là vế phải của phương trình thứ i

Khi m = n ta có một hệ vuông với n phương trình n ẩnKhi các bi = 0, i ta có một hệ thuần nhấtⱯi ta có một hệ thuần nhất

2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

gọi là ma trận vế phải (hay cột vế phải) của hệ Ma trận:

x = [x1

(3.4.4)

với ma trận hệ số:

A =[a11a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …

an1 an2 … ann] (3.4.5)Là ma trận vuông cấp n.

Khái niệm: Hệ (3.4.4) gọi là hệ Cramer nếu det(A) ≠ 0.

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức x = A-1 b tức là:

−x1 - 2 x2 + 3 x3 = 8

Ta có:

A =[1-3 40 26

-1 -2 3] , b = [3068]

Ta tính được: det (A) = 44 ≠ 0

det (A1) = - 40 , det (A2) = 72, det (A3) = 152Ta suy ra các nghiệm của hệ đã cho:

x1 = - 4044 = - 1011 , x2 = 7244 = 1811 , x3 = 15244 = 3811

4 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính

Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận A về dạng ma trậnđơn vị từ đó suy ra nghiệm.

Ví dụ:

{ x + y + z = 1 x + 2y + 3z = -1 x + 4y + 9z = -9

Toàn bộ quá trình tính toán có thể ghi tóm tắt thành bảng sau:

BÀI TẬP CHƯƠNG 4Bài 1: Giải các hệ Cramer sau:

1 {2 x1 + 5 x2 = 1

2 x1 + x2 = 3

3 {2 x1 - 2 x2 - x3 = -1 x2 + x3 = 1

2 x1 + x2 + x3 = 2 3 x1+ x2 + 2 x3 = 0

5 { 2 x1 - x2 - x3 = 43 x1+ 4 x2 - 2 x3 = 11

3 x1- 2 x2 + 4 x3 = 11

6 {3 x1 + 2 x2 + x3 =52 x1 + 3 x2 + x3 = 1 2 x1+ x2 + 3 x3 = 11

Bài 2: Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính

{x1 - x2 + x3 - x4 = 2x1 - x3 + 2 x4 = 0

−x1+ 2 x2 - 2 x3 + 7 x4 = -72 x1- x2 - x3 = 3