GIÁO TRÌNH MÔN HỌCTên môn học: Toán kinh tếMã số môn học: MH 16Thời gian môn học: 45 giờ; Lý thuyết: 18 giờ; Thực hành, thảo luận, bài tập: 25giờ; Kiểm tra: 2 giờVị trí, tính chất của mô
MA TRẬN
Các phép toán tuyến tính đối với ma trận
3.1 Phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với một số
Cho 2 ma trận cùng cấp m x n :
1 Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m x n, ký hiệu là A + B và được xác định như sau:
2 Tích của hai ma trận A với một số α là một ma trận cấp m x n, ký hiệu là αA và được xác định như sau: αA = [ αaa ij ]m x n
Chú ý rằng phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp (có số dòng và số cột như nhau) Nói cách khác thì:
Cộng hai ma trận cùng cấp có nghĩa là cộng các phần tử ở vị trí tương ứng với nhau
Nhân một ma trận với một số α có nghĩa là nhân mọi phần tử của ma trận đó với α.
Hiệu của ma trận A và ma trận B được xác định thông qua phép cộng như sau :
3.3 Phép nhân ma trận với ma trận
Trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B Người ta gọi tích
AB là ma trận C = [ c ij ]m x n với cij bằng hàng i của A nhân với cột j của B
Ví dụ 2: Cho 2 ma trận:
Ma trận AB là một ma trận cấp 3 x 4:
AB = [ c c c 11 21 31 c c c 12 22 32 c c c 13 23 33 a c c 14 24 34 ] Để tính các phần tử thuộc hàng thứ nhất của AB ta lấy hàng thứ nhất của A nhân lần lượt với các cột của B: c11 = 3.0 + 1.1 +(-2).(-5) = 11 c12 = 3.2 + 1.3 +(-2).(-1) = 11 c13 = 3.(-5) + 1.0 +(-2).4 = - 23 c14 = 3.1 + 1.(-1) +(-2).1 = 0 Để tính các phần thử thuộc hàng thứ hai của AB ta lấy hàng thứ hai nhân của
A nhân lần lượt với các cột của B: c21 = 2.0 + 5.1 + 4 (-5) = - 15 c22 = 2.2 + 5.3 + 4 (-1) = 15 c23 = 2 (-5) + 5.0 + 4.4 = 6 c24 = 2.1 + 5 (-1) +4.1 = 1 Để tính các phần tử thuộc hàng thứ ba của AB ta lấy hàng thứ ba của A nhân lần lượt với các cột của B: c31 = (-1).0 + 0.1 + (-3).(-5) = 15 c32 = (-1).2 + 0.3 + (-3).(-1) = 1 c33 = (-1).(-5) + 0.0 + (-3).4 = -7 c34 = (-1).1 + 0.(-1) + (-3).1 = -4
3.4 Phép chuyển vị ma trận
Nếu xoay các dòng của A thành các cột với thứ tự tương ứng ta được một ma trận cấp n x m :
Khái niệm : Ma trận A’ được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A Phép biến đổi ma trận A thành ma trận A’ được gọi là phép chuyển vị ma trận
Ví dụ : Ma trận chuyển vị của ma trận :
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1: Cho
Bài 2: Hãy nhân các ma trận sau a [ 2 1 3 2 ] [ 1 -1 1 1 ] b [ 3 5 6 -1 ] [ 2 -3 2 1 ] c [ 3 1 1 2 1 2 1 2 3 ] [ 1 1 2 -1 1 1 0 -1 1 ] d [ 2 1 1 3 0 1 ] [ 3 1 2 1 1 0 ] e [ 3 2 1 0 1 2 ] [ 1 2 3 ] f [ 2 1 3 ] [ 1 2 3 ]
Bài 3: Hãy tính AB + BA nếu a A =[ 1 -2 -1 2 1 1 2 2 3 ] B =[ 4 -4 2 0 1 1 1 2 1 ] b A =[ 2 1 -1 2 1 1 0 1 2 ] B =[ 3 3 -3 5 1 -2 4 -2 -1 ]
ĐỊNH THỨC
Định thức của ma trận vuông
Cho một ma trận vuông cấp n :
A =[ a a … … … … a 11 21 n1 a a a 12 22 n2 … a … a … a 1n 2n nn ] Định thức của ma trận A ký hiệu là | A | hoặc det(A) Nếu không gọi ma trận thì ta viết định thức cấp n dưới dạng một bảng số có n dòng và n cột đặt giữa hai dấu gạch đứng| a a … … … … a 11 21 n1 a a a 12 22 n2 … a … a … a 1n 2n nn |
Chú ý rằng mỗi định thức là một số xác định, còn ma trận chỉ là một bảng số Dấu gạch đứng được sử dụng thay cho dấu ngoặc để phân biệt định thức với ma trận vuông.
Tính các định thức cấp thấp theo định nghĩa
Ma trận vuông cấp 1 chỉ có một phần tử duy nhất là một số a Như vậy, định thức của ma trận vuông cấp 1 có một thành phần bằng phần tử duy nhất của nó. det ([ a 11]) = a11
Theo định nghĩa, ta có :
Trong đó mỗi tích Tk (k = 1, 2, …, 6) là tích của ba phần tử mà ta có thể xác định theo quy tắc đường chéo như sau :
T1 là tích ba phần tử trên đường chéo chính ; mỗi tích T2 và T3 là tích của hao phần tử trên đường song song với đường chéo chính (có hai đường như vậy) và phần tử ở góc đối diện.
Các tích T4 , T5, T6 (đặt sau dấu -) được xác định hoàn toàn giống như T1, T2,
T3 nhưng theo đường chéo phụ.
Các tính chất cơ bản của định thức
- Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó.
- Nếu tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột nào đó bằng 0 thì định thức bằng 0.
- Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.
- Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số α thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với α.
- Khi ta cộng vào một hàng (hoặc một cột) của định thức tích của một hàng (hay một cột) khác với một số α tùy chọn thì định thức không thay đổi.
Các phương pháp tính định thức
4.1.1 Khái niệm phần bù đại số
Cho định thức cấp n : d = | a a … … a … 11 i1 n1 … a … … … … … … a a … 1j ij nj … a … a … … … a 1n in nn |
Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij) của định thức d ta được một định thức cấp n -1, ký hiệu là Mij.
Khái niệm : Định thức Mij được gọi là phần bù và Aij = (-1) i+j Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij của định thức d.
Chú ý rằng phần bù đại số của một phần tử aij là phần bù Mij được gán dấu (+) nếu (i+j) là số chẵn và được gán dấu (-) nếu (i+j) là số lẻ.
Ví dụ : Cho định thức : d = | - 2 3 1 3 4 -1 2 5 2 |
Phần bù đại số của các phần tử thuộc dòng thứ nhất của định thức đã cho là:
4.1.2 Quy tắc khai triển định thức Định thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của một dòng (hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó.
Ví dụ 1 : Tính định thức : d1 = | 1 -3 1 -2 5 2 1 -1 3 -1 2 2 5 1 0 0 |
Khai triển định thức d1 theo dòng thứ ba ta được : d1 = (-2)A31 + 5A32 + 0A33 + 0A34
Nhận xét: Trên đây ta chọn hàng thứ ba để khai triển định thức d1 bởi vì sự có mặt các phần tử bằng 0 trên hàng này làm giảm hẳn khối lượng tính toán Để tính một định thức cấp n, nói chung ta phải tính n định thức cấp n – 1 Để việc tính toán khỏi cồng kềnh, ta nên biến đổi sao cho một hàng (hoặc một cột) nào đó chỉ còn lại một phần tử khác 0, sau đó khai triển theo hàng (hoặc cột) đó Bằng cách như vậy ta có thể tính một định thức cấp n thông qua một định thức cấp n – 1.
Ví dụ 2: Tính định thức d2 = | -2 5 1 3 2 0 0 -1 0 6 -3 -1 2 0 3 -4 1 -1 3 7 5 -2 -5 2 3 |
Trước hết ta biến đổi sao cho cột thứ ba chỉ còn lại một phần tử duy nhất khác 0 là a53 = - 1 Để thực hiện điều đó ta cộng lần lượt vào hàng thứ hai và hàng thứ tư tích của hàng thứ năm, theo thứ tự, với 3 và (-4) Theo tính chất của định thức, định thức không thay đổi qua hai phép biến đổi đó, do đó: d2 = | -2 5 1 3 2 0 -9 0 -1 0 18 0 -3 -1 2 0 -1 3 13 7 5 -7 -10 -5 3 |
Khai triển định thức theo cột thứ ba ta được: d2 = (-1)A53 = - | -2 5 1 3 2 -9 13 7 -1 5 18 -7 -10 -1 3 -5 |
Tiếp theo ta lại biến đổi định thức cấp 4 sao cho cột thứ nhất chỉ còn lại một phần tử khác 0 là a21 = 1 Cộng lần lượt vào hàng thứ nhất, hàng thứ ba, hàng thứ tư tích của hàng thứ hai, theo thứ tự, với 2, với (-3), với (-2), ta được: d2 = - | 0 -13 25 1 -9 0 26 0 36 13 -34 -26 -33 -24 17 7 |
Khai triển định thức này theo cột thứ nhất ta được: d2 = - 1 A21 = | -13 25 26 36 -34 -26 -33 -24 17 | Đến đây, ta có thể tính định thức cấp 3 để được kết quả Tuy nhiên, nếu ngại tính số lớn, ta có thể biến đổi tiếp tục Lấy cột thứ ba cộng vào cột thứ nhất, sau đó cộng vào dòng thứ ba tích của dòng thứ nhất với (-3), ta được: d2 = | 4 0 12 -33 -24 25 -34 -26 17 | = | 4 25 0 -34 0 -108 -75 17 -26 |
Khai triển định thức cuối cùng theo cột thứ nhất ta được: d2 = 4 | -34 -108 -75 -26 | = 4 (2550 – 2808) = - 1032
4.2 Phương pháp biến đổi về dạng tam giác Định thức dạng tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính
Ví dụ: Tính định thức d = | 1 -2 3 2 2 1 1 4 3 5 1 4 2 -1 3 2 0 2 3 3 0 -5 1 3 -3 | Để biến đổi về dạng tam giác, trước hết ta cộng vào hàng thứ hai, hàng thứ ba, hàng thứ tư và hàng thứ năm tích của hàng thứ nhất, theo thứ tự, với (-2), (-1), (-3) và (-1) Sau các phép biến đổi đó ta được: d = | 1 -2 3 0 5 0 6 0 11 -7 -3 18 -4 -5 1 3 -1 -2 6 2 -5
Tiếp theo, để tránh phải tính phân số ta cộng vào hàng thứ hai, hàng thứ tư và hàng thứ năm, theo thứ tự, tích của hàng thứ ba với (-1), (-2) và (-1) Kết quả là: d = | 1 -2 3 0 -1 -3 -3 7 2 -5
Bây giờ cộng vào hàng thứ ba và hàng thứ tư, theo thứ tự, tích của hàng thứ hai với 6 và (-1), ta được: d = | 1 -2 3 0 -1 -3 0 0 0 0 0 0 -19 -20 48 -2 1 2 -3 4 0 -5 7 -1 -4 |
Tiếp theo, cộng vào hàng thứ ba và hàng thứ tư tích của hàng thứ năm, theo thứ tự, với 19 và 2, sau đó đổi chỗ hàng thứ ba và hàng thứ năm, ta được: d = - | 1 -2 3 0 -1 -3 -3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 4 -20 -28 -5 7 -4 -9 |
Cuối cùng, cộng vào hàng thứ năm tích của hàng thứ tư với 5, ta được định thức tam giác: d = - | 1 -2 3 0 -1 -3 -3 7 2 -5
Theo quy tắc tính định thức dạng tam giác ta được: d = - 1.(-1).1.4.(-73) = -292
Tính các định thức sau:
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Khái niệm ma trận nghịch đảo
Khái niệm: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:
(E là ma trận đơn vị)
Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A -1
Ma trận phụ hợp của ma trận vuông
Khái niệm: Ma trận phụ hợp của một ma trận vuông cấp n:
A =[ a a … … … … a 11 21 n1 a a a 12 22 n2 … a … a … a 1n 2n nn ] là ma trận vuông cấp n, ký hiệu là A * và được xác định như sau:
Chú ý rằng phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận phụ hợp A * là phần bù đại số của phần tử thuộc dòng j và cột i của định thức d = | A | a * ij = A * ji (i, j = 1, 2, …, n)
Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là d = | A | ≠ 0 Khi đó ma trận nghịch đảo của ma trận A được xác định theo công thức:
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
Trước hết, ta tính định thức của ma trận A d = | 2 1 -3 2 -1 1 4 3 -3 | = - 6 + 9 + 8 – (- 36 – 1 – 12) = 60
Ma trận A có ma trận nghịch đảo:
Ta tính các phần bù đại số:
Ma trận nghịch đảo của ma trận A đã cho là:
Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo
Muốn tính ma trận nghịch đảo A -1 của ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp về hàng ta làm như sau:
Bước 1: Viết ma trận đơn vị E bên cạnh ma trận A
Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa dần ma trận A về ma trận E, tác động đồng thời phép biến đổi sơ cấp vào cột ma trận E.
Bước 3: Khi A đã được biến đổi thành E thì E trở thành ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
Toàn bộ quá trình tính toán có thể ghi tóm tắt thành một bảng như sau:
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau bằng phương pháp phần bù đại số
Bài 2: Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng tổng quát
Dạng tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính đó là một hệ m phương trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số:
Trong đó x1, x2, …, xn là các ẩn số aij là hệ số ở phương trình thứ i của ẩn xj bi là vế phải của phương trình thứ i
Khi m = n ta có một hệ vuông với n phương trình n ẩn
Khi các bi = 0, i ta có một hệ thuần nhấtⱯi ta có một hệ thuần nhất
{ 2 x 3 x 1 1 -3x +2 x 2 2 +4 x -7 x 3 3 = 5 = 6 là một hệ 2 phương trình 3 ẩn;
{ 2 x 3 x 1 1 -3x +2 x 2 2 = 5 = 6 là một hệ 2 phương trình 2 ẩn;
{ 2 x 3 x 1 1 -3x +2 x 2 2 = 0 = 0 là một hệ thuần nhất
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
A =[ a a … a 11 21 m1 a a … a 12 22 m2 … a … a … … … a 1n 2n mn ] gọi là ma trận hệ số của hệ Ma trận: b = [ b b … b 1 2 3 ] gọi là ma trận vế phải (hay cột vế phải) của hệ Ma trận: x = [ x x … x 1 2 3 ] gọi là ma trận ẩn của hệ
Với phép nhân ma trận với ma trận, hệ (3.4.1) viết
Ax = b Đó là dạng ma trận của hệ (3.4.1)
Hệ Cramer
Bây giờ xét hệ n phương trình n ẩn:
(3.4.4) với ma trận hệ số:
Là ma trận vuông cấp n.
Khái niệm: Hệ (3.4.4) gọi là hệ Cramer nếu det(A) ≠ 0.
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức x = A -1 b tức là: xj = det (A) j det (A) trong đó A là ma trận (3.4.5), Aj là ma trận suy từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột vế phải b.
Ta tính được: det (A) = 44 ≠ 0 det (A1) = - 40 , det (A2) = 72, det (A3) = 152
Ta suy ra các nghiệm của hệ đã cho: x1 = - 40 44 = - 10 11 , x2 = 72 44 = 18 11 , x3 = 152 44 = 38 11
Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính
Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận A về dạng ma trận đơn vị từ đó suy ra nghiệm.
Toàn bộ quá trình tính toán có thể ghi tóm tắt thành bảng sau:
Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là (1, 2, -2)