Giáo trình Toán kinh tế (Nghề Kế toán doanh nghiệp Trình độ Cao đẳng)

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƢỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƢƠNG I GIÁO TRÌNH Mơn học: Tốn kinh tế NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Hà Nội – 2017 MỤC LỤC Lời nói đầu………………………………………………………………………… Chương 1: Đại số tuyến tính Vectơ n chiều phép tính 1.1 Định nghĩa 1.2 Các phép toán vectơ 1.3 Độc lập phụ thuộc tuyến tính Ma trận 2.1 Các khái niệm 2.2 Các phép tính ma trận 2.3 Các phép biến đổi ma trận 11 Định thức 11 3.1 Cách xác định giá trị định thức 11 3.2 Tính chất định thức 13 Ma trận nghịch đảo 14 4.1 Định nghĩa 14 4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo 14 Hệ phƣơng trình tuyến tính 15 5.1 Khái niệm 15 5.2 Phƣơng pháp giải 16 Bài tập 19 Chương 2: Phương pháp đơn hình Bài tốn đối ngẫu 19 Các khái niệm, tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính 21 1.1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 21 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng đặc biệt 25 1.3 Phƣơng án cực biên 30 1.4 Các tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính 31 Phƣơng pháp đơn hình 31 2.1 Nội dung sở phƣơng pháp 31 2.2 Thuật tốn phƣơng pháp đơn hình 33 2.3 Thuật toán mở rộng 38 Bài toán đối ngẫu 40 3.1 Định nghĩa 40 3.2 Sơ đồ viết toán đối ngẫu 41 4.Bài tập 45 Chương 3: Toán xác suất 50 Giải tích tổ hợp 50 1.1 Tính giai thừa, hoán vị 50 1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp 51 Phép thử, loại biến cố xác suất biến cố 53 2.1 Phép thử, biến cố 53 2.2 Các loại biến cố 53 2.3 Xác suất biến cố 54 Định lý cộng xác suất 55 Định lý nhân xác suất 55 Công thức Bernoull 56 5.1 Định nghĩa 56 5.2.Công thức Bernoulli 57 Công thức xác suất đầy đủ Bayes 59 Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 61 7.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 61 7.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc bảng phân phối xác suất 61 7.3 Hàm phân bố xác suất 61 7.4 Hàm mật độ xác suất 62 Các tham số đặc trƣng biến ngẫu nhiên 63 8.1 Vọng toán (kỳ vọng toán) 63 8.2 Phƣơng sai 63 8.3 Độ lệch chuẩn 64 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 65 9.1 Quy luật không - 65 9.2 Quy luật nhị thức- B(n,p) 65 9.3 Quy luật phân phối – U(a,b) 67 9.4 Quy luật phân phối chuẩn- N(µ,∂2) 68 9.5 Quy luật bình phƣơng 70 9.6 Quy luật Student Tn 70 10 Các định lý giới hạn 71 10.1 Bất đẳng thức Trêbƣsep 71 10.2 Định lý Trêbƣsep 71 11 Bài tập 71 Chương 4: Thống kê toán 75 1.Tổng thể nghiên cứu 75 1.1 Khái niệm 75 1.2 Các phƣơng pháp mô tả tổng thể 75 1.3 Các tham số đặc trƣng mẫu ngẫu nhiên 76 Quy luật phân phối xác suất số thống kê đặc trƣng mẫu 77 2.1 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn 77 2.2 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật không - 78 Ƣớc lƣợng tham số 78 3.1 Ƣớc lƣợng điểm cho kỳ vọng, phƣơng sai xác suất 78 3.2 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tham số P biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật - 81 3.3 Ƣớc lƣợng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 81 3.4 Ƣớc lƣợng phƣơng sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 82 Kiểm định giả thuyết thống kê 84 4.1 Khái niệm 84 4.2 Kiểm định tham số P biến ngẫu nhiên phân phối không - 85 4.3 Kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 87 4.4 Kiểm định giả thuyết phƣơng sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 90 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………….93 Lời nói đầu Tốn kinh tế mơn khoa học nhằm vận dụng tốn học phân tích mơ hình kinh tế để từ hiểu rõ nguyên tắc quy luật kinh tế kinh tế thị trƣờng Toán kinh tế cung cấp cho nhà quản lý kiến thức để họ vận dụng vào việc định sản xuất Toán kinh tế (tiếng Anh Mathematical Economics) lĩnh vực Kinh tế, sử dụng công cụ phƣơng pháp tốn học để phân tích, đánh giá vấn đề kinh tế, kinh doanh Công cụ tốn học cho phép nhà kinh tế phân tích suy luận định lƣợng xây dựng mơ hình đánh giá, dự báo kinh tế, kinh doanh tƣơng lai Ngành Toán kinh tế ngành đào tạo cao đẳng, cử nhân đại học ngành Toán kinh tế có phẩm chất trị, đạo đức sức khỏe tốt; có kiến thức kinh tế - xã hội, quản lý quản trị kinh doanh; có kiến thức chuyên sâu Toán ứng dụng kinh tế, quản lý quản trị kinh doanh; có tƣ nghiên cứu độc lập; có lực tự học tập bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ chuyên mơn thích nghi với thay đổi mơi trƣờng làm việc Chương 1: Đại số tuyến tính Vectơ n chiều phép tính 1.1 Định nghĩa Ta gọi tập hợp bao gồm n số thực từ x1, x2, …, xn y1, y2, yn đƣợc xếp theo thứ tự định (theo hàng theo cột) gọi véc tơ n chiều đƣợc ký hiệu X, Y, Z X = [ x1, x2,…, xn ] Y = [ y1, y2, , yn ] Ví dụ: X1 = [1, 2, 3, -1] X2 = [-1, 4, 4, 0] 1    X3 =   3    1 / 2 - Nếu xếp theo chiều ngang gọi véc tơ hàng (ví dụ X1, X2) - Nếu xếp theo chiều dọc gọi véc tơ cột (ví dụ X3) Chú ý: x1, x2, …, xn gọi thành phần véc tơ X Các xi gọi thành phần thứ i véc tơ X Nếu X = Y tức véc tơ X = véc tơ Y 1.2 Các phép toán véc tơ a Phép nhân véc tơ với số Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] số k (k  R) tích k X k.X = [ k.x1, k.x2, k.xn] Ví dụ: cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] k = tính tích k.X k.X = [2 x 1, x 2, x 3, x -1] = [ 2, 4, 6, -2] Chú ý: Nếu k = -1  k.X = -X( véc tơ đối X) Nếu k =  0.X = b Tổng hiệu hai vec tơ Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] có n chiều, véc tơ Y= [y1, y2, …, yn ] có n chiều điều kiện để hai véc tơ cộng trừ cho chúng phải chiều (hay hƣớng) X  Y = = [x1  y1, x2  y2, …, xn  yn] Ví dụ: Cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] véc tơ Y= [2, 2, 6, -2] tính X + Y X + Y = [ + 2, + 2, + 6, -1 + -2] = [ 3, 4, 9, -3] Các tính chất: 1, X + Y = Y + X 2, X – Y = Y – X (X – Y) X 3, X – Y  Y – X (X + Y) 1.3 Độc lập phụ thuộc tuyến tính a Định nghĩa: Cho V không gian véc tơ; S = {x1, x2, ,xn}  V Xét điều kiện: α1x1 + α2x2 + + αnxn =  (*) Nếu điều kiện (*) xẩy α1 = 0, α2 = 0, ,αn = S gọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính S khơng độc lập tuyến tính S gọi phụ thuộc tuyến tính, tức  αi  mà điều kiện (*) xẩy b Tính chất - Hệ có véc tơ vec tơ   độc lập tuyến tính - Mọi hệ hệ độc lập tuyến tính độc lập tuyến tính - Hệ vec tơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính phụ thuộc tuyến tính - Hệ vec tơ chứa véc tơ tổ hợp tuyến tính véc tơ cịn lại phụ thuộc tuyến tính Ma trận 2.1 Các khái niệm - Khái niệm ma trận: Ngƣời ta gọi bảng gồm m x n số thực đƣợc xếp thành m hàng n cột gọi ma trận cấp m x n  a11  Ký hiệu: A =  a21   am1 a a 12 22 a m2   2n    amn  a a 1n Trong đó: - Mỗi số nằm ma trận đƣợc gọi phần tử, phần tử nằm ô hàng i, cột j đƣợc ký hiệu j - a11, a22, …, amn đƣợc gọi đƣờng chéo ma trận - mn: Đƣợc gọi cấp ,a trận - a11, a12, …, a1n đƣợc gọi hàng thứ ma trận Ma trận viết dƣới dạng tổng quát là: A = (ai j) m x n - Khái niệm ma trận vuông: Ma trận vng ma trận có số hàng số cột ( m = n) - Ma trận có tất phần tử gọi ma trận không, ký hiệu - Ma trận đối: Cho ma trận A = (ai j) m x n ma trận – A = (-ai j) mxn gọi ma trận đối ma trận A - Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A = (ai j) m x n , ma trận chuyển vị ma trận A la At (aj i) m x n ( nghĩa ta đổi hàng thành cột cột thành hàng ta đƣợc ma trận chuyển vị At) 1  1  t Ví dụ: Cho ma trận A =   A = 2  1    0 5  - Ma trận nhau: Cho ma trận A = (ai j)  j = bi j,  i  1, m ; J  1, n - Ma trận tam giác: Là ma trận vng có 2.2 Các phép tính ma trận a Phép nhân ma trận với số m x n; B = (bi j) m x n, ma trận A = B Cho ma trận A = (ai j) m x n k  R ; tích k.A ma trận cấp m x n xác định bởi: k.A = (k.ai j) m x n 1 5 Ví dụ: Cho ma trận A =   k = Hãy tính k.A   0 1.2 3.2 5.2 2 10 k.A =  =   4.2  1.2 0.2 8   * Các tính chất k(A + B) = k.A + k.B (k + h).A = kA + hA k(h.A) = (k.h)A 1.A = A 0.A = b Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (ai j) m x n B = (bi j) p x n (số cột ma trận A số hàng ma trận B) Tích A B ma trận C = A.B cấp m x n, phần tử C i j C đƣợc xác định nhƣ sau: Ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + +aip bpj Nhƣ muốn tìm phần tử dịng i, cột j ma trận tích, ta nhân phần tử dòng i ma trận đứng trƣớc với phần tử tƣơng ứng cột j ma trận đứng sau cộng tích lại với  1 1 3 ; B =  2 tính tích A.B Ví dụ: cho ma trận A =   3 1  0 1.1  2.(1)  3.3 1.1  2.2  3.0  5 A.B =  =   3.1  2.(1)  1.3 3.1  2.2  1.0 4 8 Chú ý: - Phép nhân ma trận A, B thực đƣợc số cột ma trận A số dòng ma trận B A.B thực đƣợc B.A chƣa thực đƣợc Trong trƣờng hợp A, B hai ma trận vuông cấp, A ma trận cấp m x n, B ma trận cấp n x m A.B B.A thực đƣợc nhƣng nói chung A.B  B.A - A.B =  A = B = * Tính chất 1, A(B+C) = AB + ÂC 2, (B + C)A = BA + CA 10 3, k(B.C) = (kB).C = B(kC) c Tổng hiệu hai ma trận Cho ma trận A = (ai j) m x n B = (bi j) m x n hai ma trận cấp m x n: A + B = (ai j + bi j) m x n tức ( A + B+)i j = j + bi j Nhƣ muốn cộng ma trận cuàng cấp, ta cộng phần tử vị trí hai ma trận thành phần   2 1  (1)   0 5 A + B =   =  0    0   1  Ví dụ: Cho ma trận A =   B =   4  * Tính chất: 1, A + B = B + A 2, A + = + A = A 3, A + (-A) = 4, (A+B) + C = A + (B + C) 2.3 Các phép biến đổi ma trận - Đổi chỗ hai dòng cột - Nhân tất phần tử dòng (hoặc cột) với số khác không - Cộng vào phần tử dòng (cột) phần tử tƣơng ứng dòng (cột) khác sau nhân với số Mỗi ma trận cấp m x n đƣợc xem hệ gồm m vec tơ dòng n vec tơ cột, phép biến đổi sơ cấp ma trận thực chất phép biến đổi sơ cấp hệ vec tơ dòng hệ vec tơ cột ma trận Định thức 3.1 Cách xác định giá trị định thức 3.1.1 Ma trận  a11  Cho A ma trận vuông cấp n: A = a21   an1 a a 12 22 a n2   2n   ann a a 1n Nếu ta bỏ dòng cột chứa phần tử j, tức bỏ dòng i cột j ma trận A ta thu đƣợc ma trận vng cấp n -1 ký hiệu Mi j gọi ma trận tƣơng ứng với j  a11  Ví dụ: Cho ma trận A = a21 a  31 a a a 12 22 32   23  33 a a a 13 11 Ta lập đƣợc bảng tính tốn sau: xi mi x ' i mx i ' i m ( xi' ) i 1954,2 12 -4 -44 192 1970,2 18 -3 -54 162 2002,2 20 -1 -20 20 2018,2 42 0 2050,2 28 56 112 -66 486 n = 120 Từ ta tính đƣợc: x ' =  66 = -0,55 120 ( x ') = 486 = 4,05 120 x = 2018,2 + 16.(-0,55) = 2009,4 s2 = 162 [4,05 – (- 0,55)2] = 959,36 s= 959,36  30,97 3.2 Ư c lượng khoảng tin cậy cho tham số P biến ngẫu nhiên ph n phối theo quy luật - - Ta biết trƣớc đƣợc n đột in cậy γ - Từ γ biết ta tính đƣợc Ф(t) = = γ/2, tra ngƣợc lại bảng tích phân Laplace tìm đƣợc t tƣơng ứng - Sai số α đƣợc xác định theo công thức: α t f (1  f ) n - Khoản tin cậy xác suất p (f – α; f + α) 3.3 Ư c lượng kỳ v ng toán biến ngẫu nhiên ph n phối theo quy luật chuẩn a Trường hợp kích thước mẫu lớn (n ≥ 30) - Từ γ biết ta có đƣợc Ф(t) = γ/2, tra ngƣợc lại bảng tích phân Laplace tìm đƣợc t tƣơng ứng - Xác định sai số cho phếp α = t. (nếu Ϭ chƣa biết dùng s) n - Khoản tin cậy vọng toán a 81 ( X - α; X + α) b Trương hợp mẫu nhỏ (n ≤ 30) α từ γ số bặc tự d = n-1 biết tra ngƣợc bảng phân phối Student để tìm t tƣơng ứng t.s - Xác định sai số cho phép α = = n 1 t.s n - Khoản tin cậy vọng toán a ( X - α; X + α) 3.4 Ư c lượng phương sai biến ngẫu nhiên ph n phối theo quy luật chuẩn Giả sử đặc trƣng X đám đơng có phân phối chuẩn N(a, Ϭ2) nhƣng Ϭ chƣa biết Từ đám đông lấy mẫu kích thƣớc n: (X1, X2, ,Xn) a Trường hợp vọng tốn a biết n Khi đại lƣợng ngẫu nhiên  =  ( X i  a) i 1  có phân phối bình phƣơng với n bậc tự Khoản tin cậy Ϭ2 với độ tin cậy γ = - 2α là: n 2  n   ( x i  a)  ( x i  a)  i 1 ; i 1   2      1   Trong đó:    1 đƣợc tra từ bảng phân phối  với n bậc tự b Trường hợp vọng toán a chưa biết n Khi đại lƣợng ngẫu nhiên  = (X i  X ) i 1  có phân phối bình phƣơng với n-1 bặc tự - Khoảng tin cậy Ϭ2 với độ tin cậy γ = - 2α là: n 2  n   ( xi  x)   ( x i  x) i 1 i 1 ;   2    1    Trong đó:    1 đƣợc tra từ bảng phân phối 82  với n - bậc tự Ví dụ: Trong kho đồ hộp ngƣời ta lấy ngẫu nhiên 400 hộp để kiểm tra thấy có 24 hộp bị hỏng Xác định độ tin cậy ƣớc lƣợng dùng tỷ lệ hộp bị hỏng mẫu để ƣớc lƣợng cho tỉ lệ hộp bị hỏng kho với sai số cho phép 2% Giải: Đây toán xác định độ tin cậy dùng tần suất mẫu f (tỷ lệ hộp bị hỏng mẫu) ƣớc lƣợng cho xác suất p (tỷ lệ hộp bị hỏng kho) Ta có f = 24/400 = 0,06 Do n f (1-f) = 400 0,06 0,94 = 22,56 > 20 Do đám đông lớn nên ta coi mẫu lặp, tần suất mẫu f có quy luật phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn Ta có: t  n f (1  f ) = 0,02 400  1,68 0,06 0,94 Tra bảng phân phối chuẩn ta đƣợc Ф(1,68)  0,45352 Nhƣ với sai số 2% ta cho có 6% sản phẩm hỏng kho đồ hộp với độ tin cậy γ = 2Ф(1,68)  0,90704 Ví dụ: Thắp thử 100 bóng đèn đƣợc sản xuất nhà máy A thấy tuổi thọ bình quân 1.000 s = 40 Lấy tuổi thọ bình quân mẫu để ƣớc lƣợng cho tuổi thọ bình qn tồn bóng đèn nhà máy A sản xuất Hãy xác định khoảng tin cậy ƣớc lƣợng với độ tin cậy 0,9545 Giải: Bài toán dùng trung bình mẫu X ( X tuổi thọ bình qn 100 bóng đèn) để ƣớc lƣợng cho vọng tốn a (a tuổi thọ bình qn tồn bóng đèn) - Vì n = 100 > 30 xem nhƣ mẫu lặp nên X đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn Ta có: Ф(t) = 0,9545  = = 0,47725 2 Tra ngƣợc bảng phân phối chuẩn t  Do α = t n  t.s n  2.40 100 = Vậy với độ tin cậy 95,45% khoảng tin cậy ƣớc lƣợng tuổi thọ trung bình bóng đèn là: ( X - α; X + α)  (1000 – 8; 1000 + 8) = (992 giờ; 1008 giờ) Ví dụ: Kiểm tra trọng lƣợng 25 sản phẩm thu đƣợc kết sau: Trọng lƣợng (kg) 45 50 55 60 65 Số SP 2 10 83 Dùng trọng lƣợng trung bình mẫu để ƣớc lƣợng cho trọng lƣợng trung bình tồn sản phẩm Hãy xác định khoảng tin cậy ƣớc lƣợng với độ tin cậy 0,95 Giải: Theo số liệu cho ta có: X = 56,8; s2 = 29,76 Bài toán dùng trọng lƣợng mẫu X ( X trọng lƣợng trung bình 25 sản phẩm mẫu) để ƣớc lƣợng cho vọng tốn a (a trọng lƣợng trung bình tồn sản phẩm) ( X  a) 24 ~ T(24) S - Vì n = 25 < 30, nên T = Từ độ tin cậy γ = 0,95; n – = 24, tra bảng phân phối Student đƣợc t  2,064 Do α = t.s n 1  2,064 29,76 24 = 2,298 (kg) Với độ tin cậy 95% khoảng tin cậy trọng lƣợng TB toàn sản phẩm ( X - α; X + α)  (56,8 – 2,298; 56,8 + 2,298) = (54,502 kg; 59,098 kg) Kiểm định giả thuyết thống kê 4.1 Khái niệm Giả sử cần nghiên cứu đại lƣợng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất chƣa biết dạng hàm phân phối xác suất biết thống kê thực nghiệm ta nêu lên vấn đề sau: Giả thuyết H0: X có phân phối xác suất xác định (hoặc tham số chƣa biết nhận giá trị xác định đó) Với đối thuyết H1: X khơng có phân phối xác suất nhơ (hoặc tham số chƣa biết không nhận giá trị xác định đó) Các giả thuyết đƣợc gọi giả thuyết thống kê Bài toán lựa chọn H0 hay H1 đƣợc gọi toán kiểm định giả thuyết thống kê Chúng ta cần phải kiểm tra H0 hay H1 sở lấy mẫu kích thƣớc n: (X1, X2, ,Xn) từ đại lƣợng ngẫu nhiên X Gọi M = (X1, X2, ,Xn) điểm mẫu, kí hiệu Rn không gian mẫu n chiều Giả sử giả thuyết H0 đúng, sử dụng đại lƣơng thống kê G = G(X1, X2, ,Xn) Sau chọn đƣợc đại lƣợng thống kê G, quy luật phân phối G biết nên với xác suất bé α cho trƣớc tìm đƣợc miền W  Rn cho với điều kiện giả thuyết H0 xác suất để G nhận giá trị thuộc miền W α P{G  W/H0 } = α (1) 84 Vì α bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ coi biến cố (G  W) khơng xẩy phép thử với giả thuyết H0 Khi thực phép thử lấy mẫu ngẫu nhiên ta thu đƣợc mẫu cụ thể (x1, x2, ,xn), qua tính đƣợc giá trị cụ thể đại lƣợng thống kê G là: Gqs = G (x1, x2, ,xn) Thông qua cách xây dựng miền W biết G qs  W, Gqs  W có kết luận Nếu mẫu lấy mà Gqs  W (Tức biến cốGqs  W/H0 xẩy ra) ta bác bỏ giả thuyết H0 , Gqs  W (tức Gqs  W = R/ W) ta chấp nhận H0 có thơng tin Miền W nhƣ gọi miền bác bỏ giả thuyết, miền W gọi miền chấp nhận giả thuyết, α mức ý nghĩa kiểm định Khi tiến hành quy tắc kiểm định thƣờng mắc phải hai sai lầm sau Sai lầm loại một: Thực chất giả thuyết H0 nhƣng lại bị bác bỏ Sai lầm loại hai: Thực chất giả thuyết H0 sai nhƣng lại đƣợc chấp nhận Với α cho trƣớc, có nhiều miền W để cho giả thuyết H0 P {G  W/H0} = α, tƣơng ứng với cách xác định miền W ta có quy tắc kiểm định Nhƣ với mức ý nghĩa α ta có nhiều quy tắc kiểm định Vấn đề đặt số quy tắc quy tắc hiệu hơn? Một quy tắc hiệu xác suất mắc sai lầm loại nhỏ nhất, song điều khơng thể thực Trong thực tế ngƣời ta thƣờng ấn định mức ý nghĩa α với mẫu kích thƣớc n xác định số miền bác bỏ W chọn miền cho xác suất mắc sai lầm loại nhỏ xác suất mắc sai lầm loại α 4.2 Kiểm định tham số P biến ngẫu nhiên ph n phối không - Giả sử (X1, X2, , Xn) mẫu ngẫu nhiên lập từ biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật 0_1 với tham số p n Khi n  i 1 i phân phối theo quy luật nhị thức B(n, p) tần suất f =  i 1 n i   có phân phối tiệm cận chuẩn Ta kiểm định giả thiết H0: p = p0 trƣờng hợp n lớn p không bé: Xét thống kê 85 K= (f  p) n p (1  p ) 0 Nếu H0 K= ( f  ) n (1  ) phân phối theo quy luật N(0; 1) 1) Kiểm định giả thiết H0: p = p0 với đối thiết H1: p  p0 P(K  W  | H0) = P(|K|> U  = α Wα = ( - ∞; - U  )  (U  ; + ∞) 2 2) Kiểm định giả thiết H0: p = p0 với đối thiết H1: p > p0 P(K  W  | H0) = P(|K|>U  = α Wα = (U  ; + ∞) 3) Kiểm định giả thiết H0: p = p0 với đối thiết H1: p < p0 P(K  W  | H0) = P(|K| U  ) = U  Miền bác bổ giả thiết: Wα = (- ∞; - U  )  (U  ; + ∞) 2 b Kiểm định giả thiết: H0:    với đối thiết H 1:    Với cho trƣớc, ta tìm đƣợc Uα cho P(K > Uα) = P(K  Wα/H0) = α Miền bác bỏ giả thiết Wα = (Uα; + ∞) c Kiểm định giả thiết H0:    với đối thiết H1:    Với cho trƣớc, ta tìm đƣợc U1-α = - Uα cho 87 cho P(K  Wα/H0) = P(K < U1-α) = P(K < -Uα) = α Miền bác bỏ giả thiết Wα = (-∞; -Uα) Ví dụ Theo hợp đồng gi a nhà cung cấp súc vật thí nghiệm với phận giáo tài, thỏ cung cấp để làm thí nghiệm phải nặng kg Cân ngẫu nhiên 50 trại thỏ, tính đƣợc cân nặng trung bình 1,1 kg Hỏi với mức ý nghĩa  = 0,05, thỏ trại cung cấp làm thí nghiệm đƣợc chƣa? Giả sử cân nặng thỏ biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với = 0,1 Giải: Gọi X trọng lƣợng thỏ X  N(  ; ) Bài toán kiểm định giả thiết của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn trƣờng hợp biết phƣơng sai Kiểm định giả thiết: H1:  = với đối thiết H1:  > Thống kê kiểm định K= (  1) 50 0,1 Nếu giả thiết H0 K = (  1) 50 phân phối theo quy luật chuẩn N(0; 1) 0,1 Với = 0,05, miền bác bỏ giả thiết Wα = ( Uα; +∞ ) = ( U0,05; + ∞) = (1,645; + ∞) Giá trị quan sát K0 = (1,1 1) 50  7,07 0,1 Ta có, 0Wnên bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận H1 Từ kết luận thỏ trại cung cấp để làm thí nghiệm Trường hợp chưa biết phương sai 2 Thống kê kiểm định K= (   ) n S Nếu giả thiết H0 K= (   ) n S phân phối theo quy luật Student với số bậc tự (n – 1) 88 a Kiểm định giả thiết H0:    với đối thiết H1:    P(K  Wα/H0) = P(K < t  ) + P(K > t  ) = α 2 Miền bác bỏ giả thiết Wα = ( -∞; t  )  ( t  ; +∞) 2 b Kiểm định giả thiết H0:    với đối thiết H1:    P(K  Wα/H0) = P(K > t ) = α Miền bác bỏ giả thiết Wα = ( t  ; + ∞) c Kiểm định giả thiết H0:    với đối thiết H1:    P(K  Wα/H0) = P(K < - t  ) = α Miền bác bỏ giả thiết Wα = ( -∞; - t  ) Ví dụ Trong điều kiện chăn ni bình thƣờng, lƣợng s a trung bình bị 14 kg / 1ngày Nghi ngờ điều kiện chăn ni bị làm cho lƣợng s a giảm xuống, ngƣời ta điều tra ngẫu nhiên 25 conbị tính đƣợc lƣợng s a trung bình ngày 12,5 kg độ lệch chuẩn mẫu 2,5 kg Với mức ý nghĩa = 0,05, kết luận điều nghi ngờ nói Giả thiết lƣợng s a bò biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giải: Gọi X lƣợng s a bò Bài toán kiểm định giả thiết của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn trƣờng hợp chƣa biết phƣơng sai Kiểm định giả thiết H0:  = 14 Với đối thiết H1:  < 14 Thống kê kiểm định 89 K= (  14) 25 S Nếu giả thiết H0 K= (    ) 25 phân phối theo quy luật Student với số bậc tự 24 S Với = 0,05 miền bác bỏ giả thiết Wα = ( -∞; - ( 24) t ) = (-∞; - 1,711) Từ mẫu cụ thể ta có, giá trị quan sát K0 = (12,5 14) 25 = -3 2,5 Ta có, K0Wnên bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận H1 Từ kết luận điều nghi ngờ nói 4.4 Kiểm định giả thuyết phương sai biến ngẫu nhiên ph n phối theo quy luật chuẩn Giả sử biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn N(, 2) Để kiểm định giả thiết H0:  =  2 ta chọn thống kê kiểm định K = (n 1) S  (n 1) S Nếu giả thiết H0 K =  2 phân phối theo quy luật  với (n-1) bậc tự 1) Kiểm định giả thiết H0:  =  với đối thiết H1:   P(K  Wα/H0) = P(K >  Wα = (0; 1  )    2 ) + P(K <  1   )=α (   ; + ∞) 2 2, H0:  =  , H1:  >  2 2 Wα = (   ; + ∞) 3, H0:  =  , H1:  <  2 2 Wα = (0;  1 ) Ví dụ Để kiểm tra độ xác máy, ngƣời ta đo ngẫu nhiên kích thƣớc 15 chi tiết máy máy sản xuất tính đƣợc s2 =14,6 Với mức ý nghĩa 90 = 0,01, kết luận máy móc có hoạt động bình thƣờng khơng, biết kích thƣớc chi tiết máy biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có dung sai theo thiết kế 2 = 12 Giải: Gọi X kích thƣớc chi tiết máy, theo giả thiết X tuân theo quy luật phân phối chuẩn Kiểm định giả thiết H0:  = 12 với đối thiết H1:  > 12 2 Chọn thống kê kiểm định K = 14 S 12 phân phối theo quy luật  với 14 bặc tự Với α = 0,01, ta có Wα = ( Giá trị quan sát K0 = 14 S 12  (14)  = ; + ∞) = ( 29,14; + ∞) 14.14,6 = 17,033, suy ra, K0  Wα nên chƣa 12 có sở để bác bỏ giả thiết H0 hay kết luận máy móc hoạt động bình thƣờng Bài tập Bài 1: Để kiểm tra chất lƣợng gạch nhà máy sản xuất ngƣời ta lấy mẫu gồm 1.600 viên gạch thấy có 48 viên bị hỏng Hãy xác định khoản tin cậy tỷ lệ gạch bị hỏng nhà máy sản xuất với độ tin cậy 0,9594 Bài 2: Trọng lƣợng loại sản phẩm đƣợc sản xuất đại lƣợng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với trọng lƣợng quy định 25kg Dóng gói xong lấy 25 sản phẩm kiểm tra thu đƣợc kết sau: Trọng lƣợng (kg) 23,5 24,5 25 25,6 26,2 Số SP 6 Với độ tin cậy 95% ƣớc lƣợng khoản tin cậy độ phân tán trọng lƣợng sản phẩm đƣợc sản xuất Bài 3: Để nghiên cứu ổn định nhà máy gia công ngƣời ta lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết máy làm đo đƣợc chiều dài trung bình 24,5 cm s = 3,6 cm2 Với độ tin cậy 95% ƣớc lƣợng khoảng tin cậy độ phân tán chiều dài chi tiết máy gia công Biết chiều dài chi tiết tuân theo quy luật phân phối chuẩn Bài Xác định kích thƣớc mẫu chọn bé để ƣớc lƣợng độ ẩm trung bình (tính theo %) loại hàng với sai số cho phép 0,1% độ tin cậy 99% Cho mẫu định lƣợng có kích thƣớc n’ = có kết sau: 5%; 4,8%; 4,8%; 4,9% ; 5% 91 Bài Một loại hàng có tỉ lệ phế phẩm p = 0,2, cần phải trọn mẫu có kích thƣớc để với độ tin cậy γ = 0,95 tỉ lệ phế phẩm mẫu kiểm tra sai khác so với p không vƣợt = 0,05 Bài 5: Kiểm tra 225 chi tiết máy kho A đƣợc chiều dài cho dứi bảng sau: Chiều dài (cm) 6,5 7,1 7,5 8,0 8,5 Số chi tiết 50 45 58 44 28 Căn vào mẫu xá định độ tin cậy ƣớc lƣợng chiều dài trung bình cho loại chi tiết máy kho B với sai số cho phép 0,1 cm Bài 6: Thắp 100 bóng đèn đƣợc sản xuất nhà máy A thấy tuổi thọ bình quân 1.000 s = 40 Lấy tuổi thọ bình quân mẫu để ƣớc lƣợng cho tuổi thọ bình qn tồn bóng đèn cho nhà máy A sản xuất Hãy xác định khoảng tin cậy ƣớc lƣợng với độ t tin cậy 0,9545 Bài 7: Kiểm tra trọng lƣợng 25 sản phẩm thu đƣợc kết sau: Trọng lƣợng (kg) 45 50 55 60 65 Số SP 2 10 Dùng trọng lƣợng trung bình mẫu để đƣợc ƣớc lƣợng cho trọng lƣợng trung bình tồn sản phẩm Hãy xác định khoản tin cậy ƣớc lƣợng với độ tin cậy 0,95 Bài 8: Trọng lƣợng loại sản phẩm đƣợc sản xuất đại lƣợng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với trọng lƣợng quy định 25kg Đóng gói xong lấy 25 sản phẩm kiểm tra thu đƣợc kết sau: Trọng lƣợng (kg) 23,5 24,5 25 25,6 26,2 Số SP 6 Với độ tin cậy 95% ƣớc lƣợng khoản tin cậy độ phân tán trọng lƣợng sản phẩm đƣợc sản xuất Bài Để nghiên cứu ổn định máy gia công ngƣời ta lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết máy làm đo đƣợc chiruf dài trung bình 24,5 cm s = 3,6 cm2 Với độ tin cậy 95% ƣớc lƣợng khoản tin cậy độ phân tán chiều dài chi tiết máy đo gia công Biết chiều dài chi tiết tuân theo quy luật phân phối chuẩn 92 Tài liệu cần tham khảo - Đại học kinh tế quốc dân, Giáo trình Mơ hình tốn kinh tế, 2006 - Đại học kinh tế quốc dân, Bài giảng Toán cao cấp - Đại học kinh tế quốc dân, Giáo trình Tốn ác suất - Đại học kinh tế quốc dân, Giáo trình Kinh tế học vĩ mơ - Đại học kinh tế quốc dân, Giáo trình Quy hoạch tuyến tính - Đại học kinh tế quốc dân, Giáo trình toán ác suất thống kê toán - Tham khảo trang We… 93 TRƯỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƯƠNG I  : Thụy An, Ba Vì, Hà Nội : http:// gtvttw1.edu.vn : (024) 33.863.050 : info@gtvttw1.edu.vn ... đánh giá, dự báo kinh tế, kinh doanh tƣơng lai Ngành Toán kinh tế ngành đào tạo cao đẳng, cử nhân đại học ngành Tốn kinh tế có phẩm chất trị, đạo đức sức khỏe tốt; có kiến thức kinh tế - xã hội,... xuất Toán kinh tế (tiếng Anh Mathematical Economics) lĩnh vực Kinh tế, sử dụng cơng cụ phƣơng pháp tốn học để phân tích, đánh giá vấn đề kinh tế, kinh doanh Cơng cụ tốn học cho phép nhà kinh tế. .. khảo………………………………………………………………….93 Lời nói đầu Tốn kinh tế mơn khoa học nhằm vận dụng tốn học phân tích mơ hình kinh tế để từ hiểu rõ nguyên tắc quy luật kinh tế kinh tế thị trƣờng Toán kinh tế cung cấp cho nhà quản lý