Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán - Cao đẳng): Phần 1 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Giáo trình Toán kinh tế cung cấp cho người học những kiến thức như: Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính; Bài toán quy hoạch tuyến tính; Phương pháp đơn hình; Bài toán đối ngẫu; Bài toán vận tải - Bài toán thế vị. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP GIÁO TRÌNH MƠN HỌC/MƠ ĐUN: TỐN KINH TẾ NGÀNH, NGHỀ: KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ KINH DOANH TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG (Ban hành kèm theo Quyết định Số:…./QĐ-CĐCĐ-ĐT ngày… tháng… năm 2021 Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp) Đồng Tháp, năm 2021 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin đƣợc phép dùng nguyên trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm i LỜI GIỚI THIỆU Tốn kinh tế (Quy hoạch tuyến tính) phận có nhiều ứng dụng thực tiễn Tối ưu hóa, áp dụng kinh tế nhiều ngành khoa học khác lý thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết đạt Kiến thức quy hoạch tuyến tính cần cho sinh viên bậc đại học, cao đẳng nói chung khối ngành kinh tế nói riêng Với mong muốn có tài liệu học tập phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng ngành kế tốn quản trị kinh doanh, nhóm tác giả biên soạn giáo trình tốn kinh tế sở giảng dùng chung giảng dạy nhiều năm bổ sung thêm tập ứng dụng phù hợp với lĩnh vực kinh tế Mục tiêu cụ thể môn học là:  Cung cấp cho sinh viên số dạng tốn QHTT, cách xây dựng mơ hình tốn học cho số tốn thực tế - tượng kinh tế thường gặp sản xuất kinh doanh cách đưa toán QHTT tổng qt dạng tắc Trên sở để tìm phương pháp giải tối ưu  Cung cấp cho sinh viên sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ giúp sinh viên giải tốn để tìm tính tối ưu tốn cho phù hợp  Giới thiệu cho sinh viên toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế toán đối ngẫu, cần thiết phải đưa toán đối ngẫu  Giới thiệu cho sinh viên toán vận tải, ý nghĩa kinh tế toán vận tải Các phương pháp giải toán vận tải tổng quát toán vận tải đặc biệt Cấu trúc giáo trình tốn kinh tế biên soạn theo đề cương môn học hội đồng khoa học trường thông qua với chương: Chương Một số khái niệm đại số tuyến tính Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính Chương Phương pháp đơn hình Chương Bài tốn đối ngẫu Chương Bài toán vận tải - Bài toán vị Chân thành cảm ơn ban lãnh đạo trường Cao đẳng Cộng Đồng Đồng Tháp tạo điều kiện để có giáo trình đến với sinh viên, cảm ơn đồng nghiệp, em sinh viên có đóng góp để nội dung giáo trình hồn thiện Trong q trình biên soạn giáo trình khơng tránh khỏi sai sót nhỏ Rất mong nhận góp ý từ quý đồng nghiệp bạn sinh viên Đồng Tháp, ngày… tháng năm 2021 Chủ biên/Tham gia biên soạn Nguyễn Thành Tâm Phạm Thị Kiều Anh ii MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU II CHƢƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 MA TRẬN 1.1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.2 ĐỊNH THỨC 1.2.1 Định thức cấp 2, 1.2.2 Định thức cấp n (khai triển theo dòng hay theo cột) 1.3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 11 1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN 11 1.4.1 Định nghĩa 11 1.4.2 Cách tính hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp 12 VECTƠ 13 2.1 VECTƠ 13 2.2 KHONG GIAN VECTƠ 13 2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TINH - PHỤ THUỘC TUYẾN TINH 14 BÀI TẬP CHƢƠNG 17 CHƢƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 18 MỘT SỐ VÍ DỤ DẪN ĐẾN BÀI TỐN QHTT 19 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN 23 2.1 DẠNG TỔNG QUÁT 24 2.2 DẠNG CHÍNH TẮC 25 2.3 DẠNG CHUẨN 25 BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI TOÁN 27 3.1 ĐƢA MỘT BÀI TOÁN DẠNG TỔNG QUÁT VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 27 3.2 KHÁI NIỆM TẬP HỢP LỒI, ĐIỂM CỰC BIÊN, PHƢƠNG ÁN CỰC BIÊN 28 BÀI TẬP CHƢƠNG 31 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 35 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 36 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH VỚI VECTƠ ĐƠN VỊ CĨ SẴN 37 2.1 TRƢỜNG HỢP f (x) min 37 iii 2.2 TRƢỜNG HỢP f (x) max 39 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH VỚI VEC TƠ ĐƠN VỊ KHƠNG CĨ SẴN (BÀI TOÁN MỞ RỘNG) 44 BÀI TẬP CHƢƠNG 51 CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 54 KHÁI NIỆM 55 1.1 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TỐN DẠNG CHÍNH TẮC 55 1.2 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN DẠNG TỔNG QUÁT 56 QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN GỐC VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 57 2.1 CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU 57 2.2 TÌM P.A.T.Ƣ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU QUA P.A.T.Ƣ CỦA BÀI TOÁN GỐC 58 Ý NGHĨA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 61 BÀI TẬP CHƢƠNG 63 CHƢƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI - BÀI TOÁN THẾ VỊ 65 BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT (BÀI TOÁN CỔ ĐIỂN) 66 1.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN 66 1.2 ĐẶT BÀI TOÁN DƢỚI DẠNG BẢNG 67 1.3 CÁC TÍNH CHẤT 68 1.3.1 Tính chất 68 1.3.2 Tính chất 69 1.3.3 Tính chất 69 THUẬT TOÁN THẾ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 69 2.1 LẬP PHƢƠNG ÁN CƠ BẢN BAN ĐẦU 69 2.2 THUẬT TOÁN “QUY CƢỚC PHÍ CÁC Ơ CHỌN” 71 2.3 PHƢƠNG PHÁP THẾ VỊ 74 BÀI TOÁN VẬN TẢI CĨ Ơ CẤM 78 BÀI TỐN VẬN TẢI KHƠNG CÂN BẰNG THU PHÁT 80 BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC 82 5.1 ĐỊNH NGHĨA 82 iv 5.2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU 82 5.3 CÁCH GIẢI 82 BÀI TẬP CHƢƠNG 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 v GIÁO TRÌNH MƠN HỌC/MƠ ĐUN Tên mơn học/mơ đun: TỐN KINH TẾ Mã mơn học/mơ đun: MH33 KX6340301 Vị trí, tính chất, ý nghĩa vai trị mơn học/mơ đun: - Vị trí: Là mơn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế toán, Quản trị kinh doanh Mơn học đƣợc phân bố từ đầu khóa học - Tính chất: Nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức toán kinh tế (quy hoạch tuyến tính) để làm nên tảng cho việc học học phần sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho sinh viên khả tƣ logic, khả tính tốn, định lƣợng - Ý nghĩa vai trị mơn học/mơ đun: mơn học Tốn kinh tế (quy hoạch tuyến tính) mơn học nhằm vận dụng tốn học phân tích mơ hình kinh tế, lập mơ hình số tốn kinh tế tìm phƣơng pháp tối ƣu để đƣa phân tích, định Tốn kinh tế cung cấp cho Nhà Quản lý kiến thức để họ vận dụng vào việc định sản xuất Mơn học có vai trị quan trọng lĩnh vực kinh tế vấn đề tìm phƣơng án tối ƣu Mục tiêu mơn học/mơ đun: - Về kiến thức: + Môn học trang bị số kiến thức sở lý thuyết, toán phƣơng pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính: Khái niệm cách thiết lập tốn quy hoạch tuyến tính, phƣơng án, phƣơng án cực biên, phƣơng án tối ƣu tốn quy hoạch tuyến tính; + Hƣớng dẫn giải dạng tốn quy hoạch tuyến tính phƣơng pháp đơn hình đơn hình mở rộng; Bài tốn đối ngẫu cách giải; Bài toán vận tải ứng dụng - Về kỹ năng: + Hiểu vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải quy hoạch tuyến tính, giúp ngƣời học có kỹ xây dựng mơ hình toán cho toán thực tế nhƣ: toán vốn đầu tƣ, toán lập kế hoạch sản xuất, toán vận tải + Vận dụng phƣơng pháp, kết lý thuyết đƣợc trang bị để giải tập, sử dụng tốt kiến thức tối ƣu hóa tuyến tính đƣợc trang bị để học môn học khác, nghiên cứu khoa học công việc sau - Về lực tự chủ trách nhiệm: vi + Có ý thức nghiêm túc đắn khoa học chất vấn đề toán học vận dụng vào lĩnh vực chun mơn + Có ý thức tích cực, chủ động q trình học tập + Tự chịu trách nhiệm với kết tập thực Nội dung mơn học/mơ đun: Thời gian (giờ) Số TT Thảo Tổng Lý luận, Kiểm tra số thuyết tập Tên chƣơng, mục Chƣơng 0: Một số khái niệm đại số tuyến tính 2 0 Chƣơng 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính 6 0 Chƣơng 2: Phƣơng pháp đơn hình 8 0 Kiểm tra thƣờng xuyên 0 Chƣơng 3: Bài toán đối ngẫu 6 0 Chƣơng 4: Bài toán vận tải Bài toán vị 6 0 Thi kết thúc môn học 0 Cộng 30 28 vii CHƢƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  Giới thiệu Chƣơng nhằm củng cố kiến thức đại số tuyến tính cho sinh viên để vận dụng tốt linh hoạt vào chƣơng sau Giới thiệu kiến thức ma trận phép toán ma trận, khái niệm phƣơng pháp tính định thức ma trận, hạng ma trận, áp dụng giải hệ phƣơng trình tuyến tính, cấu trúc khơng gian vectơ V, khái niệm hệ độc lập độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính  Mục tiêu - Về kiến thức: + Hiểu đƣợc khái niệm ma trận sử dụng thành thạo phép toán ma trận: phép toán cộng, trừ, nhân + Hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định hệ độc lập độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính - Về kỹ năng: + Tính đƣợc định thức ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp n theo công thức, qui tắc Laplace hay phép biến đổi sơ cấp + Thành thạo kỹ “phép biến đổi sơ cấp ma trận”, từ rút phƣơng pháp tìm hạng ma trận + Làm đƣợc tập tƣơng tự - Về lực tự chủ trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập chịu trách nhiệm với kết thực 1 Ma trận 1.1 Ma trận phép toán ma trận 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa ma trận Một ma trận A cấp m n bảng gồm m n số thực đƣợc xếp theo thứ tự thành m dòng n cột đƣợc viết dƣới dạng:  a11  a21 A    am1  a12 a22 am2 Cột thứ a1n  a2n    amn  a11 a21 A    am1  Dòng thứ  mn i 1,m; Ký hiệu: A  aij Trong đó: A: tên ma trận a12 a22 am2 a1n  a2n    (0.1.1) amn  j  1, n aij : phần tử (hay số hạng) nằm dòng (hay hàng) i, cột j A (m, n) : đƣợc gọi kích thƣớc A  Dòng thứ i A A(i)  ai1 ai2 a1n  a1j  a2j    Cột thứ j A A(j)        amj  -1  A    ma trận cấp 23 1   a11  -1, a12 1, a23  Ví dụ 1: 12 7 18   ? Cho ma trận B  21 12  Hãy xác định:   15 14  30   i) Loại ma trận B? ii) Giá trị b23 , b32 ? iii) Dòng thứ cột thứ 3? b) Ma trận không Là ma trận mà phần tử aij 0, i, j (0.1.2) ii) Chia hàng r cho phần tử trục xoay ars ta đƣợc hàng r gọi hàng chuẩn iii) Muốn có hàng i (i  r) , ta lấy ais nhân với hàng chuẩn cộng vào hàng i cũ iv) Muốn có hàng cuối mới, ta lấy s nhân với hàng chuẩn cộng vào hàng cuối cũ  Chú ý: bj 0 2.2 Trƣờng hợp f (x) max Có hai cách giải  Cách : Giải trực tiếp toán cần thay đổi : - Ở bước 2: Tiêu chuẩn tối ƣu j  j (Nếu có j  mà aij  i tốn khơng có phương án tối ưu) - Ở bước 3: Ẩn chọn đƣa vào ẩn có j âm nhỏ  Cách 2: Chuyển hàm mục tiêu toán g(x) f (x) min , miền ràng buộc không thay đổi (PA tối ƣu toán g(x) PA tối ƣu toán f (x) nhƣng fmax gmin)  Chú ý: Trong bảng đơn hình sau tìm đƣợc PA tối ƣu - Nếu hệ số ƣớc lƣợng ứng với ẩn khơng khác tốn có PA tối ưu - Nếu j 0 với xj ẩn khơng dấu hiệu tốn tồn nhiều phương án tối ưu khác (Muốn tìm PA tối ƣu khác ta việc chọn xj làm ẩn đƣa vào hệ ẩn áp dụng thuật toán đơn hình tìm đƣợc PA tối ƣu khác.) Ví dụ 1: Giải tốn f (x) 2x1 5x2 4x3  x4 x5 x6 min x1 6x2 2x4 9x5 30 4x  x  x 3x  40  3x2  x5  x6  26  xj 0, j 1,6 Giải Bài tốn có dạng chuẩn với x1, x3, x6 ẩn Ta lập bảng đơn hình 39 Hệ số Ẩn Phƣơng án x1 -1 -1 -1 x1 x2 x3 X4 x5 x6 30 -6 -2 -9 x3 40 1 x6 26 0 1 f(x) 194 -4 -1 -6 Ta thấy, j  j nên phƣơng án tối ƣu là: x (30,0,40,0,0,26) fmin  f (x) 194 Ví dụ 2: Giải tốn f (x) 6x1 x2 x3 3x4 x5 7x6 min x1  x2  x4  x6 15 2x  x 2x 9  4x1 2x4  x5 3x6   xj 0, j 1,6 (*) Giải Ta nhân vế pt thứ hai (*) với -1 (do b2 90) f (x) 6x1 x2 x3 3x4 x5 7x6 min x1  x2  x4  x6 15 2x  x 2x 9  4x1 2x4  x5 3x6   (*) xj 0, j 1,6 Bài tốn có dạng chuẩn với x2, x3, x5 ẩn Ta lập bảng đơn hình 40 Hệ số Ẩn Phƣơng án 1 -7 x1 x2 x3 x4 x5 X6 x2 15 -1 -1 1 x3 -2 0 -2 x5 0 -3 f(x) 26 -5 0 -2 -7 x6 15 -1 -1 1 x3 39 -4 -2 0 x5 47 -1 f(x) -19 -2 -3 0 * Phân tích - Ở bảng ban đầu, ta thấy 6 3 nên P.A chƣa tối ƣu chƣa có dấu hiệu chứng tỏ tốn khơng có phƣơng án tối ƣu Ta tìm ẩn đƣa vào x6 có 6 3 Trên cột ứng với x6 có a16 1 nên ẩn đƣa x2 - Dùng phép biến đổi bảng đƣợc bƣớc lặp thứ hai, ta thấy 4 10 mà ai4 âm (1, 2, 1) nên tốn cho khơng có phƣơng án tối ƣu Ví dụ 3: Giải toán f (x) 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6 min 2x1 4x2 3x3  x4 152 4x 2x 3x  x 60 (2)  3x1  x3  x6 36  xj 0, j 1,6 Giải tốn Nếu có nhiều phƣơng án tối ƣu tìm thêm phƣơng án tối ƣu khác Giải Bài tốn có dạng chuẩn với x4, x5, x6 ẩn Ta lập bảng đơn hình 41 Hệ số Ẩn Phƣơng án 5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x4 152 0 x5 60 3 x6 36 0 f(x) 472 12 0 x4 128 7/3 -2/3 x5 12 5/3 -4/3 x1 12 1/3 0 1/3 f(x) 328 0 -4 x4 104 0 -1 -2 x2 5/6 1/2 -2/3 x1 12 1/3 0 1/3 f(x) 292 0 -2 -3 Ở bƣớc lặp thứ 3, ta có j 0, j Nên phƣơng án tối ƣu là: x* (x1,x2,x3,x4,x5,x6 ) (12,6,0,104,0,0) fmin  f(x* ) 292 Trong phƣơng án tối ƣu x6 ẩn không bản, nhiên 6 0 Nếu đƣa x6 vào hệ ẩn tiếp tục tính tốn theo thuật toán ta thu đƣợc phƣơng án tối ƣu khác, tốn có lời giải khơng Thực tính tốn ta có bảng sau: Hệ số Ẩn Phƣơng án 5 x1 x2 x3 x4 x5 X6 x4 32 -6 -3 -2 x2 30 3/2 1/2 x6 36 0 f(x) 292 0 -2 -3 Phƣơng án tối ƣu thứ hai x** (0,30,0,32,0,36) 42  Chú ý - Khi kết luận P.A.T.Ƣ, ta dựa vào số ẩn toán ban đầu - Nếu hàm mục tiêu f (x) có thêm số a bảng đơn hình tính hàm mục tiêu theo cách thơng thƣờng, ta phải cộng thêm a ? Giải toán: f (x) 2x1 5x2 4x3 x4 5x5 3min x1 6x2 2x4 9x5 32  2x  x  x  x 30    3x2  x5 36 xj 0, j 1,5 Ví dụ 4: Giải tốn: f (x) x1 4x2 2x3 x4 max 2x1 x2  x3  3x  x  x 7  xj 0, j 1,4 Giải Hệ số Ẩn Phƣơng án -1 -1 x1 x2 x3 x4 x3 -1 -1 x4 1 -7 0 f(x) x3 11 x2 1 f(x) 50 23 0 Phƣơng án tối ƣu là: x (0,7,11,0) f (x) 50 ? Giải toán f (x)  2x2  x3 max x1  x2  5x 2x  x    x2 5 xj 0, j 1,3 43 Thuật tốn đơn hình với vec tơ đơn vị khơng có sẵn (Bài tốn mở rộng) Nhƣ chƣơng trình bày, tốn QHTT dạng tắc chƣa phải dạng chuẩn, ta dùng ẩn giả để đƣa dạng chuẩn Ta xét tốn dạng tắc: f (x) cj xj min (2.3.1) a x  b i =1,m (2.3.2) xj 0, j 1,n bi 0,i 1,m (2.3.3) n j1 n j1 ij j i Cộng vào ràng buộc thứ i ( i 1,m) ẩn giả xig  Và xét toán sau:  f x cj xj Mxig min (2.3.4) a x x (2.3.5) n j1 ij j n m j1 i1 g i bi i =1,m   xj 0; xig 0 j 1, n;i 1, m (2.3.6) Với M số dƣơng lớn tùy ý, xig ẩn giả Bài toán (2.3.1) – (2.3.3) gọi toán xuất phát; toán (2.3.4) – (2.3.6) gọi toán mở rộng hay tốn (M) BẢNG ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG Hệ số Ẩn Phƣơng án c1 c2 … cm cm+1 … cj … cn x1 x2 … xm xm+1 … xj … xn M xn+1 b1 A11 a12 … a1m a1(m+1) … a1s … A1n M xn+2 b2 A21 a22 … a2m a2(m+1) … a2s … A2n … … … … … … … … M xn+i bi ai1 ai2 … aim … … … … … … … M xn+ bm am1 am2 … am am(m+1) … ams m f(x) … … … ai(m+1) … ais … … … … … ain … … amn m f(x0) ∆1 ∆2 … ∆m ∆m+1 … ∆j ∆n * Quan hệ hai toán xuất phát mở rộng Dựa vào miền ràng buộc toán xuất phát toán (M), ta thấy: 44 - Nếu x phƣơng án tốn xuất phát (x, xg ) (x,0) (các thành phần xig  i ) phƣơng án toán (M) ngƣợc lại - Hơn nữa, x phƣơng án toán xuất phát (x,0) phƣơng án toán (M) Bài tốn (M) có dạng chuẩn, ta áp dụng thuật tốn đơn hình trình bày Mục 2.2 sau số hữu hạn bước lặp ta đến kết luận: a) Trong hệ ẩn khơng có ẩn giả thu đƣợc PACB tối ƣu tốn xuất phát cách bỏ m thành phần ứng với ẩn giả PA tối ƣu toán (M) Nếu tốn (M) khơng có phương án tối ưu tốn xuất phát khơng có phương án tối ưu b) Nếu tốn (M) có phƣơng án tối ƣu mà ẩn giả bỏ phần ẩn giả đi, ta lại phƣơng án tối ƣu toán xuất phát c) Nếu toán (M) có phƣơng án tối ƣu mà cịn ẩn giả dương tốn xuất phát khơng có phương án  Chú ý  - Khi giải toán mở rộng, f x j bảng đơn hình gồm hai phần: phần khơng phụ thuộc M, phần hệ số M Nên chia dịng cuối bảng đơn hình hai dịng: dịng ghi phần khơng phụ thuộc M, cịn dịng ghi hệ số M - Trong bảng đơn hình không cần thiết ghi cột ứng với ẩn giả Nếu phƣơng án mà ẩn giả bị loại khỏi hệ ẩn bản, nghĩa ta tìm đƣợc phƣơng án tốn xuất phát Vì vậy, bỏ dịng ghi hệ số M f x j tiếp tục giải tốn  - Nếu tốn dạng tắc có bi 0,i 1, m có sẵn số vectơ cột đơn vị A cần thêm ẩn giả vào phƣơng trình cần thiết đủ để tạo toán mở rộng dạng chuẩn - Nếu f (x) max hệ số ẩn giả hàm mục tiêu toán mở rộng M (Với M dƣơng lớn tùy ý) Ví dụ 5: Giải toán sau: (trường hợp a) f (x) 8x1 6x2 2x3 min 4x1 4x2 3x3 18 4x 3x 4x 16  xj 0, j 1,3 45 Giải Bài tốn có dạng tắc, nhƣng b1 18  nên nhân hai vế ràng buộc thứ với (-1) Tuy nhiên khơng phải dạng chuẩn, ta thấy thiếu véc tơ đơn vị thứ thứ hai nên ta cộng thêm ẩn giả x4, x5 0 vào ràng buộc thứ thứ hai để tốn có dạng chuẩn:  f x 8x1 6x2 2x3 Mx4 Mx5 min 4x1 4x2 3x3  x4 18 4x 3x 4x  x 16  xj 0, j 1,5, M0 vô lớn Ta có bảng đơn hình mở rộng i Hệ số Ẩn Phƣơng án -8 x1 x2 X3 M x4 18 4 -3 M x5 16 4  -6 -2 34 f x M x4 -7 -8 x1 3/4 16  -32 -12 -10 -7 f x x2 -7 -8 x1 5/2 25/4 f x -8 0 -94  * Phân tích - Ở bảng ban đầu, ta tính  f x 34M ta viết lên 34 xuống 46 1 8M8 2 7M6 3  M2 ta viết phần không phụ thuộc M lên trên, hệ số M xuống Ta thấy i  nên P.A chưa tối ưu chưa có dấu hiệu chứng tỏ tốn khơng có P.A.T.Ư Ta tìm ẩn đưa vào x1 có 1  lớn Trên cột ứng với x1 có a11   a12   nên ta cần tính 1  9; 2  Do 2 nhỏ nên ẩn đưa x5, phần tử trục xoay - Sau biến đổi bảng, ta bảng Do 3 10 nên P.A chưa tối ưu chưa có dấu hiệu chứng tỏ tốn khơng có P.A.T.Ư - Biến đổi tương tự ta bảng Do j  j x (5/2,2,0,0,0) phƣơng án tối ƣu toán mở rộng nên phƣơng án tối ƣu toán xuất phát x* (5/2,2,0) fmin  f (x) 8 Ví dụ 6: Giải toán sau: (trường hợp b) f (x) 6x1 3x2  x3 min 2x1 5x2  x3 10 4x 3x 2x 16  2x1 4x2  x3 8  xj 0, j 1,3 Giải Ta đƣa tốn có dạng tắc f (x) 6x1 3x2  x3 0x4 min 2x1 5x2  x3  x4 10 4x 3x 2x 16  2x1 4x2  x3 8  xj 0, j 1,4 Ta thấy ràng buộc thứ có x4 ẩn Vậy cần thêm ẩn giả x5, x6 0 vào ràng buộc thứ hai thứ ba Ta có tốn mở rộng nhƣ sau:  f x  6x1 3x2  x3 Mx5 Mx6 min 10 2x1 5x2  x3  x4 4x 3x 2x  x 16  2x1 4x2  x3  x6 8  47 xj 0, j 1,6, M0 vơ lớn Ta có bảng đơn hình mở rộng Hệ số Ẩn Phƣơng án x1 x2 X3 x4 x4 10 1 M x5 16 -3 M x6  -6 -3 -1 24 f x x4 1 M x5 0 11 0 x1 1/2  24 0 -11 0 x4 1 M x5 0 -11 0 x3 f x -4 0 0 -11 0 f x  Ở bảng 3, ta thấy j  j nên toán mở rộng (M) có PATƢ Trong PATƢ cịn ẩn giả x5 ẩn nhƣng x5  Nên tốn cho có PATƢ x*(0,0,8) fmin  f (x) 8 Ví dụ 7: Giải tốn (trường hợp c) f (x) 2x1 4x2 2x3 min x1 2x2  x3  27 2x  x 2x 50  x1  x2  x3 18  xj 0, j 1,3 Giải 48 Đƣa dạng tắc: f (x)  2x1 4x2 2x3 0x4 min x1 2x2  x3  27 2x  x 2x 50  x1 x2 x3  x4 18  xj 0, j 1,4 Ta thấy thiếu véc tơ đơn vị thứ thứ hai nên ta cộng ẩn giả x5, x6 0 vào ràng buộc thứ thứ hai để tốn có dạng chuẩn:  f x  2x1 4x2 2x3 0x4 Mx5 Mx6 min x1 2x2  x3  x5  27 2x  x 2x  x 50  x1 x2 x3  x4 18  xj 0, j 1,6, M0 Ta có bảng đơn hình mở rộng Hệ số Ẩn Phƣơng án -2 X1 x2 x3 X4 i M x5 27 -2 27 M x6 50 2 25 x4 18 1 -1  -2 -4 77 -1 f x M x5 -5/2 0 -2 x3 25 ½ 0 x4 43 3/2 f x -50 -4 -5 0 -5/2 0  x(0,0,25,43,2,0) phƣơng án tối ƣu tốn (M), nhƣng cịn ẩn giả x5 20 nên tốn cho khơng có phƣơng án 49 ? Giải toán f (x) 2x1 x2 x3 max  4x1  x2 2x3 12  2x1 2x2 2x3 10  x1 2x2  x3  20  xj 0, j 1,3 50 BÀI TẬP CHƢƠNG Giải toán a) f (x)  2x1 x2 2x3 min b) f (x)  4x1  x2 2x3 max x1 4x3 7  x  x 10  xj 0, j 1,3  x2  x3 8 x x 5 1 xj 0, j 1,3 Giải toán a) f (x)  x1 4x2 x3 x4  x5  x6 min 1 2x1  x2 5x3  x4 2x 4x 2x  x 2  x1 2x2  x3  x6 5  xj 0, j 1,6 b) f (x)  x1 2x2 2x3 x4  x5 2x6 min 5 2x1  x2 5x3  x4 x 2x 2x  x5 4 1 4x1  x2  x3  x6   xj 0, j 1,6 Giải toán a) f (x)  x1 2x2 x3 max b) f (x) 2x1  x2  x4 min 15 x1  x2  x3 x  x  x  x  27 1 2x1  x2  x3 18  xj 0, j 1,4 x1 2x2 3x3 10 x 3x  x 5 1 xj 0, j 1,3 Giải toán sau a) f (x) 3x1 4x2 2x3 2x4 min  x4  28 2x1 2x2 x 5x 3x 2x 31 1 2x1 2x2 2x3  x4 16  xj 0, j 1,4 b) f (x) 10x1 3x2 2x3 max 51 2 x1  x2 x3 2x  x x 3  8x1 6x3 6x4 19  xj 0, j 1,4 c) f (x)  x1 x2 x3 2x5 min 2x1  x2  x4   x 2x 2x   3x1  x4  x5 10  xj 0, j 1,5 d) f (x) 3x1 x2 2x3  x4 max 2x1  x2 4x3  x4 10 3x 2x  x 2x 8  4x1  x2 2x3 4  xj 0, j 1,4 Cho toán f (x)  x1 x2 x3 min 2x1  x2  x  x 3 1  x1  x2  x3 1 x3  a) Giải toán cho x2 b) Hãy tìm phƣơng án tối ƣu tốn cho có thành phần thứ hai lớn Giải biện luận toán sau theo tham số m f (x)  2x1 mx2  x3 min 6x1 8x2 2x3 1 2x 8x  x 3  x1 5x2  x3   xj  0, j 1,2,3 Một xí nghiệp sản xuất đƣợc ba loại sản phẩm, ký hiệu A, B, C Định mức hao phí ngun liệu, vốn, lao động (giờ cơng) lợi nhuận thu đƣợc tính cho đơn vị sản phẩm loại cho bảng sau: 52 Sản phẩm A B C Mức huy động tối đa Nguyên liệu (kg) 3 150 Vốn (1.000đ) 120 Lao động (giờ công) 100 Lợi nhuận (1.000đ) Xí nghiệp sản xuất đơn vị sản phẩm loại cho phạm vi số nguyên liệu, vốn, công huy động đƣợc, xí nghiệp đạt lợi nhuận cao a) Hãy lập mơ hình tốn b) Giải tốn tìm phƣơng án sản xuất tối ƣu 53 ... dịng 1, ta có: i ? ?1 A  a11A 11 a12A12 a13A13 1A 11 4A12 (3)A13 Mà A 11  (? ?1) 1? ?1 det(M 11)  (? ?1) 2  6 A12  (? ?1) 12 det(M12)  (? ?1) 3  3 3 A13  (? ?1) 13 det(M13)  (? ?1) 4  36 3  A ? ?1. (6)... hình 40 Hệ số Ẩn Phƣơng án 1 -7 x1 x2 x3 x4 x5 X6 x2 15 -1 -1 1 x3 -2 0 -2 x5 0 -3 f(x) 26 -5 0 -2 -7 x6 15 -1 -1 1 x3 39 -4 -2 0 x5 47 -1 f(x) -1 9 -2 -3 0 * Phân tích - Ở bảng ban đầu, ta thấy... 3 -1   2 -4   Giải 12 (0 .1. 21) ? ?1 -1 3  ? ?1 -1 3   h2h2 3h1   5       -1 6 -1 0 44 3 -1   h  h  h 3     2 -4 -8 -5 22     ? ?1 -1 3    h3h3 h2  0 -1 6