Giáo trình toán tài chính phần 1 đh kinh doanh công nghệ hà nội

Lời nói đầu Toán Tài môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giải vấn đề tài ngân hàng Toán Tài xây dựng cách có hệ thống công thức, phương trình để xử lý xác toán liên quan đến tài chính: tính tiền lÃi, hóa, tư hóa nguồn vốn, chiết khấu thương phiếu, Toán tài áp dụng lĩnh vực quản lý: thẩm định dự án đầu tư, đánh giá tình hình tài công ty, vào việc t oán khoản nợ thông thường, nợ trái phiếu, đặc biệt áp dụng thị trường chứng khoán Toán Tài có ích lợi cho sinh viên ngành Tài chính, Ngân hàng, Quản trị kinh doanh Cuốn sách bước đầu cung cấp sở lý thuyết Toán tài Có số vấn đề nêu sách chưa áp dụng ngân hàng Việt Nam, tương lai không xa, dùng phổ biến theo tập quán ngân hàng giới Những vần đề liên quan đến cổ phiếu thị t rường chứng khoán chưa đề cập đến Tuy nhiên, sách đà trang bị sở kiến thức Toán tài chính, đủ giúp cho sinh viên thực nghiên cứu sâu sau Cuốn sách dùng làm tài liệu giảng dạy học tập cho giảng viên sinh viên trường Đại học Kinh doanh Công nghệ Hà Nội Hy vọng sách đáp ứng yêu cầu đào tạo Nhà trường Sử dụng kèm theo sách Bảng tài Đó bảng cho sẵn giá trị với hoc chữ số thập phân hàm số thường dùng Toán tài chính, giúp cho việc tính toán dễ dàng Khi biên soạn, sách không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp quý báu tất cảc bạn đọc Người biên soạn Mục lục Chương I LÃi đơn Đ1 Đại cương §Þnh nghÜa LÃi đơn Giá trị thu 10 L·i suÊt trung b×nh 10 L·i st hiƯu dơng 11 Đ2 Phương pháp thực hành tính lÃi đơn 11 Phương pháp số ước số cố định 11 Trường hợp năm dân 12 Ch­¬ng II ChiÕt khấu theo lÃi đơn 14 §1 ChiÕt khÊu 14 Th­¬ng phiÕu 14 ChiÕt khÊu 14 ChiÕt khấu thương mại theo lÃi đơn 14 ChiÕt khÊu hỵp lý theo l·i ®¬n 15 Các mối quan hệ chiết khấu thương mại chiết khấu hợp lý 16 Đ2 Thực hành chiết khấ u 17 Chi phÝ chiÕt khÊu (agio) 17 Giá trị ròng thương phiếu 18 L·i suÊt thùc tÕ chiÕt khÊu lÃi suất giá thành chiết khấu 18 Đ3 Sự tương đương thương phiếu theo lÃi n 20 Các định nghĩa 20 Định lý tương đương 21 §4 Mét sè toán ứng dụng 23 Bài toán thời hạn trả chung 23 Bài toán thời hạn trả trung bình 23 Ch­¬ng III L·i gép 25 Đ1 Đại cương 25 §2 C«ng thøc tÝnh l·i gép 25 Giá trị thu 25 ¸p dơng 25 Tr­êng hỵp khoảng thời gian số nguyên 26 L·i st tØ lƯ vµ l·i st tương đương 29 Đ3 Hiện hoá chiết khấu theo lÃi gộp 30 Hiện hoá 30 Tính giá trị khoản vốn thêi kú tuú ý 30 ChiÕt khÊu theo l·i gép 31 Đ4 Sự tương đương thương phiếu theo lÃi gộp 32 Định nghĩa 32 Định lý tương đương thương phiếu 33 Thời hạn trả chung thời hạn trả trung bình 34 C¸c vÝ dơ ¸p dông 34 Đ5 So sánh loại chiết khấu 37 Các công thức đà có chiết khấu theo là i đơn lÃi gộp 37 So sánh E c Er 37 So sánh E c e 37 So s¸nh E r vµ e 38 Tãm t¾t 38 Đ Tư hoá hoá liên tục 38 Tư hoá liên tục 38 Hiện hoá liªn tơc 39 Chương IV DÃy niên kim 40 Đ1 Đại c­¬ng 40 Định nghĩa 40 Các loại dÃy niên kim 40 Đ2 DÃy niên kim cố định cuối kỳ 40 Số tiền thu dÃy niên kim cố định cuối kỳ 40 C¸c vÝ dơ ¸p dơng 41 Giá trị dÃy niên kim cố định cuối kỳ 44 Đ3 DÃy niên kim cố định đầu kỳ 45 Số tiền thu 45 Gi¸ trị 45 Đ4 Giá trị dÃy niên kim thời điểm 46 Giá trị dÃy niên kim thời ®iÓm p 46 Thời hạn trả trung bình 47 Sự tương đương dÃy niên kim 48 Đ5 DÃy niên kim 48 Tỉng qu¸t 48 DÃy niên kim lập thành mét cÊp sè céng 49 DÃy niên kim lập thành cấp số nhân 49 Đ6 áp dụng dÃy niên kim: thẩm định dự án đầu tư 51 Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV IRR 51 VÝ dô 53 Ch­¬ng V Thanh toán nợ thông thường 55 Đ1 Đại cương 55 Ph­¬ng thøc vay vèn 55 Phương thức công thức toán nợ thông thường 55 Bảng toán nợ 56 Đ2 Thanh toán nợ thông thường 56 Quan hệ niên kim phần toán nợ gốc 56 Các quy tắc b¶n 58 VÝ dô 60 Thanh toán nợ niên kim cố định (a k = a = const) 61 Thanh toán nợ với khoản toán nợ gốc cố định (m k = m = const) .63 Đ3 Một vài phương thức toán đặc biệt 64 Vay nợ với tiền lÃi trả tr­íc 64 Thanh toán nợ gốc lần 66 Ch­¬ng VI Thanh toán nợ trái phiếu 67 Đ1 Đại cương 67 §2 Lý thuyÕt chung toán nợ trái phiếu 67 Cơ sở liệu 67 Các công thøc 68 Một số trường hợp toán ®Ỉc biƯt 70 Bảng toán nợ 71 Tình hình toán tr ¸i phiÕu 73 Đ3 Một số đặc trưng thời hạn cđa tr¸i phiÕu 74 Median cđa tr¸i phiÕu 74 Thời hạn trung bình trái phiÕu 75 Đ4 LÃi suất đầu tư lÃi suất giá thành 76 Kh¸i niƯm 76 Trường hợp niên kim cố định 77 Tr­êng hỵp số trái phiếu toán cố định 77 VÝ dô 78 LÃi suất đầu tư người mua trái phiếu 79 Chương VII Định giá khoản nợ 81 Đ1 Định giá khoản nợ thông thường 81 Định giá 81 Quyền thu lợi toàn phần quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần 81 Quyền thu lợi đơn vị quyền sở hữu danh nghĩa đơn vÞ 82 Quan hƯ cđa qun thu lợi đơn vị định giá quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82 Qun së h÷u danh nghĩa đơn vị số trường hợp đặc biệt 84 Đ2 Định giá khoản nợ trái phiếu 87 Tr¸i phiÕu víi gi¸ to¸n ngang mƯnh gi¸ 87 Tr¸i phiÕu víi gi¸ to¸n cao mệnh giá 89 C¸c vÝ dơ 89 Bµi tËp 92 Chương I LÃi đơn Đ1 Đại cương Định nghĩa Tiền lÃi số tiền mà người vay phải trả thêm cho người cho vay, sau khoảng thời gian đó, số tiền đà vay ban đầu Đó số tiền thuê khoản vốn ban đầu LÃi suất theo đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) tỉ số số tiền lÃi phải trả đ.v.t.g xét số tiền vay Về mặt giá trị, lÃi suất số tiền lÃi phải trả đ.v.t.g cho đơn vị vốn vay LÃi suất đơn vị đo (thứ nguyên) thường tính % Giá trị gốc khoản vốn giá trị xác định thời điểm 0, thời điểm gốc bắt đầu tính lÃi Giá trị thu (Số tiền thu được) khoản vốn thời điểm giá trị gốc cộng với tiền lÃi phát sinh khoảng thời gian từ thời điểm đến thời điểm xét (thời hạn cho vay) LÃi đơn LÃi đơn tiền lÃi tính số vốn vay ban đầu suốt thời gian vay với lÃi suất cố định LÃi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lÃi suất thời hạn cho vay Gọi I lÃi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lÃi suất năm Khi I = C.i.a Thông thường, đặt t lÃi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 t = 9) Khi C.t.a (1) I 100 Nếu m khoảng thời gian tính theo th¸ng, ta cã C.t.m (2) I 1200 NÕu n khoảng thời gian tính theo ngày, ta có C.t.n (3) I 36000 Giá trị thu Gọi C giá trị (số tiền) thu khoản vốn ban đầu C C.t.n sau n ngày, ta cã C'  C  I  C  (4a) 36000 C.t.m  sau m th¸ng, ta cã C’ = C + I = C + (4b) 1200 C.t.a  sau a năm, ta có C = C + I = C + (4c) 100 VÝ dơ: Mét kho¶n vèn 100.000.000 đồng cho vay hôm 1/10 Tính số tiền thu vào ngày 31/12, biết lÃi suất 9% năm Giải: Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày Số tiền thu tính theo công thức (4a) 100.000.000x9x91 C'  100.000.000   102.275.000 ® 36000 L·i suÊt trung bình LÃi suất trung bình nhiều khoản vốn có lÃi suất khoảng thời gian cho vay khác lÃi suất thay lÃi suất khác cho tổng số lÃi không đổi Gi¶ sư cã p kho¶n vèn Ci cho vay víi lÃi suất t i thời hạn cho vay n i tương ứng Gọi T lÃi suất trung b×nh, ta cã: p C i T.n i C i t i n i    i 1 36000 i 36000 p Từ đó, ta tìm p T C t n i 1 p i i C n i 1 i i (5) i VÝ dô: Mét ng­êi cho vay kho¶n vèn nh­ sau Vèn L·i suÊt 3800 USD 7,5% 6420USD 8,2% 780 USD 8,5% TÝnh lÃi suất trung bình Thời hạn cho vay Từ 25/5 ®Õn 15/7 Tõ 25/5 ®Õn 31/7 Tõ 25/5 ®Õn 31/8 10 Giải: Tương ứng với khoản vốn trên, thời hạn cho vay 51, 67, 98 ngày LÃi s uất trung bình tính theo công thức (5) (3800x7,5x51)  (6420x8,2x67)  (780x8,5x98) T  8,04 (3800x51)  (6420x67) (780x98) LÃi suất trung bình 8,04% LÃi suất hiệu dụng Trường hợp người cho vay trả lÃi trước, thời điểm 0, lÃi suất hiệu dụng cao lÃi suất quy định t đà thoả thuận Với số vốn C sau n ngày, người cho vay thu khoản lÃi I Do I trả trước, nên thực tế vào thời điểm 0, người cho vay khoản tiền (C -I) Số vốn (C-I) ban đầu đà tạo nên số tiỊn l·i I Gäi t’ lµ l·i st hiƯu dơng, ®ã: (C  I).t'.n C.t.n I 36000 36000 C Tõ ®ã suy (6) t'  t CI Ta thÊy t’> t VÝ dô: Mét ng­êi cho vay 20.000 USD tr¶ l·i tr­íc víi l·i st tho¶ thn 9% Thời hạn cho vay 20 tháng Tính lÃi suất hiệu dụng Giải: Số tiền lÃi thu C.t.m 20000x9x20 I=   3000 (USD) 1200 1200 VËy l·i st hiƯu dơng lµ: 20000 t'  x  10,58 20000  3000 L·i st hiƯu dơng xÊp xØ 10,58% Đ2 Phương pháp thực hành tính lÃi đơn Phương pháp số ước số cố định Trong công thức Ctn I= 36000 11 ta chia tử mẫu cho t I= Cn 36000 t 36000 , ta có t N I= (7) D Đại lượng N gọi số Đại lượng D gọi ước số cố định Giá trị D ổn định lÃi suất chưa thay đổi dùng chung cho trường hợp vốn thời hạn khác Phương pháp tính I qua công thức (7) gọi phương pháp số ước số cố định Ví dụ: Sử dụng phương pháp số ước số cố định, tìm tổng lÃi đầu tư nguồn vèn sau víi l·i suÊt 9%: 5500 euro tõ 1/3 ®Õn 31/7 2625 euro tõ 1/3 ®Õn 31/8 870 euro từ 1/3 đến 30/9 Giải: Thời hạn đầu tư nguồn vốn n = 152, n = 183, n = 213 (ngày) 36000 Ước số cố định D = 4000 Tổng lÃi thu được: 1 I I1 I  I  (N  N  N )  (C1 n  C n  C n ) D D  (5500x52  2625x183  5500 x213)  621,97 euro 4000 KÝ hiƯu N = Cn vµ D = Trường hợp năm dân Một năm dân có 365 ngày Do sử dụng công thức tính lÃi thương mại (một năm có 360 ngày) để tính lÃi trường hợp năm dân ta phải điều chỉnh sau: 36500 N Đặt D = số tiền lÃi dân I = t D' Ví dụ: Sự chênh lệch lÃi thương mại lÃi dân nguồn vốn C đầu tư với lÃi suất 9,5% thời hạn 72 ngày 1,14 triệu đồng Tìm nguồn vốn C 12 Chương IV DÃy niên kim Đ1 Đại cương Định nghĩa Niên kim khoản tiền bỏ với quÃng thời gian QuÃng thời gian gọi thời kỳ Một thời kỳ năm, tháng, quý, tháng Các niên kim tạo thành dÃy niên kim nhằm mục đích: Hình thành khoản vốn Thanh toán khoản nợ Các loại dÃy niên kim Người ta phân loại dÃy niên kim theo tiêu chí sau: Các niên kim đóng vào đầu hay vào cuối kỳ Các niên kim (niên kim cố định) hay khác Số lượng niên kim hữu hạn hay vô hạn Trường hợp số niên kim hữu hạn, số lượng niên kim đà xác định từ trước, hay chưa rõ (chẳng hạn số lượng niên kim phụ thuộc vào tuổi thọ người) Đ2 DÃy niên kim cố định cuối kỳ Xét dÃy có n niên kim, niên kim trả vào cuối kỳ Người ta quy định thời điểm gốc (thời điểm 0) dÃy niên kim thời điểm xẩy thời kỳ trước niên kim thực Cần ý xác định thời điểm gốc phép tính dÃy niên kim Số tiền thu dÃy niên kim cố định cuối kỳ Số tiền (giá trị) thu dÃy niên kim cố định cuối kỳ, ký hiệu V n, tổng số tiền thu niên kim tính thời điểm thứ n Gọi a niên kim cố định 40 Ta có sơ đồ sau: n-1 n a a a a a(1+i) a(1+i)n-2 a(1+i)n-1 VËy Vn = a + a(1+i) + a(1+i) +….+ a(1+i) n-2 + a(1+i) n-1 Đó tổng n số hạng cấp số nhân có số hạng u = a công bội q = 1+i Ta cã Vn  u qn 1 (1  i) n  a q 1 (1  i)  Cuèi cïng, ta cã c«ng thøc tÝnh sè tiền thu dÃy n niên kim cố định a: Vn  a (1  i) n  i (1) Chú thích 1: Giá trị hàm số (1 i) n cho Bảng tài chÝnh III i Chó thÝch 2: Trong c«ng thøc (1) có đại lượng, toán xoay quanh việc cho đại lượng, cần tìm đại lượng thứ Khi biết a, n, V n, cần tìm i, ta dùng cách tính khác việc sử dụng Bảng tra tài III Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: (Tính giá trị thu V n ) Sử dụng Bảng tài III phương pháp nội suy, tìm giá trị thu dÃy 10 niên kim cố định, niên kim 100.000.000 đồng, với lÃi suất 6,20% Giải: Tra bảng III víi n = 10, i = 6,25% ta cã giá trị 13,336572 i = 6,00% ta có giá trị 13,180795 41 Theo phương pháp nội suy, ta có: 13,336572 13,180795 B C M A 6,00 6,20 N 6,25 i CM AM BN.AM   CM  BN AN AN (13,336572  13,180795) x0,20 CM = = 0,1246216 0,25 Víi i = 6,20% th× (1  i)10   13,180795  0,1246216  13.3054166 i Cuèi cïng V10 = 100.000.000 x 13,3054166 = 1.330.541.660 ®ång VÝ dơ 2: (TÝnh niên kim a) Một khoản vốn 242.149,2 euro vừa hình thành nhờ dÃy 14 niên kim cố định cuèi kú BiÕt l·i suÊt mét thêi kú lµ 8%, tính số tiền niên kim cố định Giải: Ta cã V14  a (1  i) n  242149,2 i Bảng tài III với n = 14, i = 8% cho ta giá trị (1 i) n   24,21492 i VËy sè tiÒn niên kim 242149,2 a= 10.000 euro 24,21492 Ví dụ 3: (Tính số niên kim n) Cần phải có dÃy niên kim cố định a = 10.000 USD cuối kỳ để tạo thành khoản vèn 1.000.000 USD? Gi¶ sư l·i st i = 7% 42 Gi¶i: V ln( n i  1) (1  i) n  Vn a Tõ ta cã thÓ t×m thÊy n =  i a ln(1  i) Tuy nhiên n phải số nguyên dương, ta cần sử dụng bảng III sau điều chỉnh a thích hợp (mặc dù a đà cho) Với liệu đà cho, ta có (1 i ) n  1.000.000   100 i 10.000 Tra bảng III, cột 7% cho giá trị 94,460786 với n = 30 giá trị 102,073041 với n = 31 Vậy n [30,31] cần điều chỉnh a theo cách sau: Vn với n = 30 a =  10.586,40 USD 94,460.786  víi n = 31 th× a = Vn  9796,910 USD 102,073.04 VÝ dơ 4: (TÝnh l·i st i) BiÕt sè tiỊn thu dÃy 11 niên kim cố định cuối kỳ 150.000 euro Mỗi niên kim 10.000 euro Tìm lÃi suất i Giải: Với liệu đà cho, ta cã (1  i )11  150.000 15 i 10.000 Bảng III dòng 11 cho giá trị 14,971.643 với i = 6% giá trị 15,170.108 víi i = 6,25% 15,170108 15 14,971643 B C M A 0,06 i Theo phương pháp nội suy ta cã: AM CM AN.CM   AM  AN BN BN 43 N 0,0625 Tõ ®ã ta cã: (0,0625  0,06) x (15 - 14,971643  0,0036 15,170108 - 14,971643 Vậy lÃi suất i cần tìm là: 0,06 + 0,0036 = 0,06036 hay i = 6,036 % AM = Giá trị dÃy niên kim cố định cuối kỳ Giá trị dÃy niên kim cố định cuối kỳ tổng giá trị niên kim tính thời điểm gốc, thời điểm 0, ký hiệu V Ta lập sơ đồ sau: n-1 n a a …… a a a(1+i)-1 a(1+i)-2 …… a(1+i)-(n-1) a(1+i)-n Gi¸ trị niên kim tính thời ®iĨm gèc lµ: V0 = a(1+i) -n + a(1+i)-(n-1) + + a(1+i) -1 Đó tổng n số hạng cấp số nhân với u1 = a(1+i) -n công bội q = 1+i Vo u (1  i) n  1  (1  i)  n qn 1 a  a (1+i)-n i i q Ta có công thức tìm giá trị V dÃy n niên kim cố định a V0 = a (1 i) n i (2) Chú thích 1: Giá trị hàm số (1 i) n cho bảng tài IV i Chú thích 2: Ta coi V0 giá trị V n Khi ®ã V = Vn(1+i)-n Thay Vn tõ c«ng thøc (1) (1  i) n  1  (1  i)  n (1  i) n a i i Ta tìm lại công thøc (2) V0 = a 44 Chó thÝch 3: Trong công thức (2) có đại lượng Các toán áp d ụng đưa tìm đại lượng thứ cho biết đại lượng Chú thích 4: Thông thường, người ta ngầm định sử dụng niên kim cuối kỳ Đ3 DÃy niên kim cố định đầu kỳ Xét dÃy n niên kim cố định Mỗi niên kim thực vào đầu kỳ Số tiền thu Gọi Vn số tiền thu dÃy niên kim xét, tính thời ®iĨm thø n Ta cã s¬ ®å sau: ……… n-1 n a a ……… a a(1+i) ……… a(1+i)n-1 a(1+i) n Nh­ vËy V’n = a(1+i) + a(1+i) +…… +a(1+i) n = a (1  i ) (1  i ) n  (1  i ) Ta tìm công thức tính giá trị thu dÃy n niên kim cố định a thực vào đầu kỳ: Vn = a (1 i ) (1  i ) n  (1 i ) (3) Giá trị Gọi Vo giá trị dÃy niên kim xét tính thời điểm Ta cã V’o = V’n(1+i)-n = a (1  i ) (1  i ) n  (1+i)-n (1  i )  1  (1  i )  n (4) i Cịng cã thĨ t×m thÊy (4) qua sơ đồ tương ứng tự cách tìm công thøc (2) V’o = a (1  i ) 45 Đ4 Giá trị dÃy niên kim thời điểm Giá trị dÃy niên kim thời điểm p Cho dÃy n niên kim cố định a cuối kỳ Trong Đ3, ta tính V o Vn Xét thời điểm p bất kỳ, p có giá trị âm hay dương Gọi V p giá trị dÃy niên kim tính thời điểm p Khi đó, giá trị dÃy niên kim thời điểm p lµ Vp = Vo(1+i)p = Vn(1+i) -(n-p) (5) VÝ dơ 1: Một người mua lại cửa hàng Trong ngày bàn giao, người bán đề nghị phương thức toán: Trong 12 năm liên tiếp, vào cuối năm trả số tiền 30.000 USD Lần trả thực năm sau ngày bàn giao Đúng năm sau ngày bàn giao trả khoản tiền Giả sử lÃi suất 4% năm, hÃy tính khoản tiền cần trả phương thức toán tương đương Giải: Ngày bàn giao thời điểm gốc dÃy 12 niên kim cố định Vo 30.000 Ta cã:  1,04 12 = 30.000 x 9,385074 = 281.552,22 0,04 Khoản tiền phương án V dÃy niên kim Vậy V4= Vo (1+i)4 = 281.552,22 x 1,04 = 329.376,4 USD VÝ dơ 2: Cho mét d·y niªn kim cố định Thời kỳ năm Biết a = 10.000 USD i = 6%, hÃy tìm giá trị dÃy niên kim tính thời điểm sau: năm trước ngày thực niên kim thứ 18 tháng trước ngày thực niên kim thứ tháng trước ngày thực niên kim thứ 46 Giải: năm trước ngày thực niên kim thứ thời điểm 0, 18 tháng trước ngày thực niên kim thứ thời điểm ( -1/2), tháng trước ngày thực niên kim thứ thời điểm 3/4 Ta cần tìm V o, V , V3 -1 -1/2 3/4 th¸ng 18 th¸ng Theo công thức (5), ta tìm được: V0 = 10.000 V  - 1,06 8  62.097,94 USD 0,06 = V0 (1,06)   60.314,85 USD V = V0 (1,06)  64.871,80 USD Thời hạn trả trung bình Khi thay dÃy niên kim khoản tiền trả vào thời hạn đó, ta cần có tương đương giá trị chúng Giả sử có dÃy n niên kim cố định a số tiền thay C=na, thời hạn khoản tiền thay gọi thời hạn trung bình Thời hạn tính trục thời gian với thời điểm gốc dÃy niên kim Ký hiệu thời hạn trả trung bình p Tại thời điểm 0, phương trình tương đương cho: V0 C(1 i)  p a  (1  i)  n i  na(1  i)  p  (1  i) p  n i  (1  i) n Từ hệ thức (6) ta tìm p Chú thích: i Giá trị biểu thức cho bảng tài V (1 i) n 47 (6) Sự tương đương dÃy niên kim Hai dÃy niên kim gọi l tương đương giá trị chúng vào thời điểm p Ví dụ: So sánh dÃy (A) gồm niên kim, niên kim 1.000.000 đồng, thời kỳ tháng, niên kim thực sau tháng, với dÃy niên kim (B) gồm 10 niên kim, niên kim 900.000 đồng, thời kỳ tháng, niên kim đầu dược thực sau năm, lÃi suất thời kỳ 6% Giải: Chọn thời điểm so sánh thời điểm gốc dÃy (A), ®èi víi d·y (B) thêi ®iĨm nµy lµ ( 1) Ta tÝnh V0(A) vµ V(B) V0(A) = 1.000.000  1,06 8  6.209.794 0,06 (B) 1 V-(B)  900.000  V0 x1,06  1,06 10 1,06 1 0,06 = 900.000 x 7,360087 x 0,943396 = 6.249.128,9 Vậy V0(A) < V-(B) Đ5 DÃy niên kim Tổng quát Cho dÃy n niên kim cuối kỳ, niên kim a k Ta có sơ đồ sau: n-1 n -| | -| | | a1 a2 an-1 an Khi ®ã: n V0   a k (1  i)  k (7) k 1 n Vn   a k (1  i) n  k (8) Vn  V0 (1  i ) n (9) k Thông thường việc cho giá trị a k thường cho đặc biệt: chúng lập thành cấp số cộng cấp số nhân 48 DÃy niên kim lập thành cấp số cộng Cho dÃy n niên kim {a k} lập thành cấp số cộng với công bội d Khi ak = a1 + (k-1)d Thay vào công thức (8): Vn = n  [a k 1  (k  1)d] (1  i) n  k = a1(1+i)n-1 + (a1+d)(1+i)n-2 +…+ (a1+(n-2)d)(1+i) + (a1+(n-1)d) = a1 [(1+i)n-1 + (1+i)n-2 +…+(1+i)1 + 1] + d[(1+i) n-2+ 2(1+i) n-3+…+(n-2)(1+i)1 + (n-1)] n n = a1 (1  i )  + d S = a (1  i )  + d S i (1  i )  TÝnh: (1+i) n-2 + 2(1+i) n-3 + … +(n-2)(1+i)1 + (n-1) S = S(1+i) = (1+i)n-1 + 2(1+i) n-2 + …+(n-2)(1+i)2 + (n-1)(1+i) S(1+i)-S = Si = [ (1+i)n-1 + (1+i) n-2 +…+(1+i)1 + ] - n n = (1  i )  - n (1  i )  VËy: S=  (1  i ) n    n  i  i  Cuèi cïng: n n  (1  i ) n   d (1  i ) n  dn Vn = a1 (1  i )  + d   n = a1 (1  i )  + i i i i i i i   (1  i ) n  1  d  dn Vn =    a1   i i i  Dễ dàng tìm giá trị V theo c«ng thøc V = Vn(1+i)-n 1  (1  i )  n   d  dn (1  i )  n V0 =    a1   i i i    (10) (10) DÃy niên kim lập thành cấp số nhân Cho dÃy n niên kim {a k} lập thành cấp số nhân với công sai q Khi a k =a q k-1 49 Thay vào công thøc (8), ta cã n Vn   aq k 1 (1  i) n k k 1 NÕu q = 1+i th× Vn  n a a q n =   q k (1  i) n (1  i) ( )  k q (1  i) k 1  i k 1 q n k (*) a n q n  naq n 1 q NÕu q  1+i , ta nhËn xÐt tæng (*) tổng n số hạng cấp số nhân có q q công bội Từ ®ã: u1 = 1+i 1 i q n ( ) 1 a q q n  (1  i) n 1 i q n  (1  i) n n  i Vn  (1  i)  a(1  i) n 1  a q q 1 i q  (1  i) q  (1  i) (1  i) n 1 1 i VËy Vn  a q n  (1  i) n q (1 i) (11) Dễ dàng tìm giá trị V theo công thức V = Vn(1+i)-n V0 = a (1  i)  n q n  (1  i) n q  (1  i) (11’) VÝ dô: Mét ng­êi muèn lËp quỹ vốn theo cách sau: Trong 10 năm liên tiếp, cuối năm gửi khoản tiền Khoản tiền 10.000 USD, khoản tiền năm sau tăng thêm 5% khoản tiền năm trước Giả sử lÃi suất 6% năm Hỏi số tiền quỹ vốn lập sau gửi khoản tiền cuối Giải: Các khoản tiền gửi lập thành cấp số nhân với công bội q = 1,05 áp dụng công thức vừa tìm với a = 10.000, i = 0,06, số tiền quỹ vốn vừa hình thành V10  10.000 1,0510  1,0610 1,0610  1,0510  10.000 1,05  1,06 0,01  10.000 1,790848  1,628895 161.953 USD 0,01 50 Đ6 áp dụng dÃy niên kim: thẩm định dự án đầu tư Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV IRR Xét dự án đầu tư gồm có n thời kỳ Dự án thời điểm thứ kết thúc sau thời điểm thứ n Mét thêi kú lµ mét qu·ng thêi gian b»ng nhau, thường tính năm Đối với dự án, cã luång tiÒn: D k , k=0, ,n  Luồng tiền đầu tư Luồng tiền thu R k , k=0, ,n Thông thường vào thời kỳ đầu dự án đầu dự án R k= vào thời kỳ cuối dự án D k = Dự án thời điểm 0, lúc đà phải đầu tư khoản tiền D Đặt CF k = Rk - Dk (k = 0, ,n) Luång tiÒn CFk , k=0, ,n luồng tiền lÃi tịnh (thuần) thu người đầu tư Để thẩm định dự án đ ầu tư, thường dùng hai tiêu chuẩn: NPV IRR a) NPV (Giá trị tịnh (thuần)) NPV giá trị tính thời điểm dÃy niên kim CFk Ta có sơ đồ sau: n D0 R0 CF0 D1 R1 CF1 D2 R2 CF2 Dn Rn CF n CF1(1+i)-1 CF2(1+i)-2 CFn(1+i)-n Với lÃi suất đầu tư giả định i mét thêi kú, th× NPV = n  CF (1  i) k 0 Th«ng th­êng R = 0, nªn NPV = -D0 + n  CF (1 i) k k k Một dự án gọi khả thi (theo lÃi suất i) NPV > 51 k k (12) Biết NPV, nhà đầu tư có thể: Biết dự án khả thi hay không, Có lựa chọn đầu tư có đồng thời nhiều dự án xem xét Chú thích: Thời điểm tính NPV thời ®iĨm gèc cđa d·y niªn kim {CFk} nh­ ®· nªu Đ2 Giá trị NPV hoàn toàn phụ thuộc vào lÃi suất đầu tư giả định i hàm giảm theo i b) IRR (Tỉ suất hoàn vèn néi bé) IRR lµ "l·i suÊt" lµm cho NPV = Ký hiệu IRR = r r nghiệm phương trình: n CF (1 r) k k k (13) Với lÃi suất đầu tư IRR, khoản tiền đầu tư lợi nhuận cân Do đó, thị trường tài chÝnh, l·i suÊt thùc t¹i i  i > IRR dự án không khả thi , i < IRR dự án khả thi Chú thích: Việc giải phương trình (13) để tìm r tiến hành qua phương pháp nội suy: cần tìm hai giá trị r r2 cho vế trái tương ứng nhận giá trị dương âm Thực chất vế trái NPV(r 1) NPV(r 2) Sử dụng phương pháp nội suy, ta có: NPV y1 = NPV(r 1) y = NPV(r 2) A M r1 C y MC AM   (v× y1 > 0; y2 < 0) CN BN  y y1 y1 MC   MC  (r2  r1) MC  CN y  y y1  y 52 N r2 B Khi ta tìm ®­ỵc r = MC + r Chó thÝch:  r r r2  Ta cã thĨ dïng tht to¸n sau   Khi ®ã  y1 y  r-r1 0-y1 y y =  r-r1= (r2 -r1)  r = r1+ (r2 -r1) r2 -r1 y -y1 y1 -y y1 -y 2 Ví dụ Một dự án đầu tư gồm khoản giải ngân sau: 40.000 USD vào cuối năm 2010; 20.000 USD vào cuối năm 2011; 20.000 USD vào cuối năm 2012; 20.000 USD vào cuối năm 2013 Dự án kết thúc sau năm Bắt đầu vào cuối năm 2011 kết thúc, hàng năm thu khoản l·i 18.100 USD  TÝnh lng tiỊn l·i tÞnh, tõ tính NPV với lÃi suất đầu tư 10% Nêu kết luận Tìm IRR Giải: a) Ta có: D0 = 40.000 R0 = D1 = 20.000 R1 = R2 = R7 =18.100 D2 = 20.000 D3 = 20.000 D4 = D = D = D = VËy: CF0 = - 40.000 CF1 = CF2 = CF3 = -1.900 CF4 = CF5 = CF6 = CF7 = 18.100 53 Khi ®ã: NPV = - 40.000 - 1.900x[1,1 -1+ 1,1-2 + 1,1-3] + 18.100x[1,1 -4 + 1,1-5 + 1,1-6 + 1,1-7] = -1.629,1 Dự án không khả thi với lÃi suất đầu tư mong muốn 10% b) Đặt IRR = r, ta có phương trình: - 40.000 - 1.900[(1+r) -1+ (1+r)-2 + (1+r) -3] + +18.100[(1+r) -4 + (1+r)-5 + (1+r) -6 + (1+r) -7] = Ta đà biết * Vế phải r = 10 có giá trị NPV(10) = y = -1.629,1 * Víi i = 8%, ta tÝnh NPV(8) = 2.688,6 = y Tõ ®ã r = 0,08  2.688,6 x (0,10  0,08)  0,08  0,0125  0,0925 2.688,6  1.629,1 VËy tØ suÊt hoµn vèn néi bé lµ: IRR = 9,25% 54 ... (k  1) d] (1  i) n  k = a1 (1+ i)n -1 + (a1+d) (1+ i)n-2 +…+ (a1+(n-2)d) (1+ i) + (a1+(n -1) d) = a1 [ (1+ i)n -1 + (1+ i)n-2 +…+ (1+ i )1 + 1] + d[ (1+ i) n-2+ 2 (1+ i) n-3+…+(n-2) (1+ i )1 + (n -1) ] n n = a1 (1 ... 1, 05 áp dụng công thức vừa tìm với a = 10 .000, i = 0,06, số tiền quỹ vốn vừa hình thành V10  10 .000 1, 0 510  1, 0 610 1, 0 610  1, 0 510  10 .000 1, 05  1, 06 0, 01  10 .000 1, 790848  1, 628895  16 1.953... cho, ta cã (1  i )11  15 0.000  15 i 10 .000 Bảng III dòng 11 cho giá trị 14 ,9 71. 643 với i = 6% giá trị 15 ,17 0 .10 8 víi i = 6,25% 15 ,17 010 8 15 14 ,9 716 43 B C M A 0,06 i Theo phương pháp nội suy ta