Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán - Cao đẳng): Phần 2 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Giáo trình Toán kinh tế trang bị một số kiến thức về cơ sở lý thuyết, các bài toán cơ bản và các phương pháp giải bài toán trong quy hoạch tuyến tính: Khái niệm và cách thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính, phương án, phương án cực biên, phương án tối ưu của một bài toán quy hoạch tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!

CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU  Giới thiệu Ở chƣơng 2, ta xét toán quy hoạch tuyến tính min-max nhƣ hai tốn tách biệt Nhƣng thật tốn ln ln tồn toán max tƣơng ứng ngƣợc lại Bài toán quy hoạch ban đầu đƣợc gọi tốn gốc cịn tốn tƣơng ứng đƣợc gọi toán đối ngẫu Trong nhiều trƣờng hợp, nhờ Lý thuyết đối ngẫu mà vấn đề phức tạp giải toán gốc trở nên đơn giản dễ dàng thông qua giải tốn đối ngẫu Ta ln tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu từ phƣơng án toán gốc ngƣợc lại  Mục tiêu - Về kiến thức: + Hiểu rõ tốn đối ngẫu + Ý nghĩa kinh tế toán đối ngẫu, cần thiết phải đƣa toán đối ngẫu + Hiểu đƣợc mối quan hệ toán gốc toán đối ngẫu từ có phƣơng pháp tìm phƣơng án tối ƣu nhanh - Về kỹ năng: + Lập đƣợc toán đối ngẫu từ toán gốc + Từ phƣơng án tối ƣu toán gốc suy đƣợc phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu ngƣợc lại - Về lực tự chủ trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập chịu trách nhiệm với kết thực 54 Khái niệm 1.1 Bài toán đối ngẫu tốn dạng tắc Định nghĩa: Cho toán gốc (P): f (x) cj xj min (max) (3.1.1) a x  b i 1,m (3.1.2) xj 0, j 1,n (3.1.3) n j1 n j1 ij j i Bài toán (D) sau đƣợc gọi toán đối ngẫu nó: g(y)  by i i max (min) (3.1.4) a y  () c (3.1.5) m i1 m i1 ij i j ( j 1, n) yi tùy ý dấu ( i 1,m) (3.1.6)  Nhận xét - Hàm mục tiêu (P) f (x) min hàm mục tiêu (D) g(y) max ngƣợc lại - Các ràng buộc toán (D) bất đẳng thức "" f (x) max (hoặc "" f (x) min ) - Số ẩn toán số ràng buộc toán ngƣợc lại - Các hệ số cj số hạng tự bi hai toán đối ngược - Ma trận hệ số ràng buộc hai toán chuyển vị Hàng i ma trận A(aij)mxn xác định ràng buộc thứ i toán gốc a x  b , n j1 ij j i cột j ma trận A xác định ràng buộc thứ j toán đối ngẫu: a y  () c m i1 ij i j Ví dụ 1: Bài tốn gốc: f (x)  2x1 4x2 3x3 min x1 2x2  x3  x 3x 5 2 xj 0, j 1,3 Bài toán đối ngẫu toán là: g(y) 2y1 5y2 max 55 y1  2y  y    y1 3y2 3 y1, y2 tùy ý 1.2 Bài toán đối ngẫu toán dạng tổng quát Quy tắc lập toán đối ngẫu đƣợc cho bảng sau: Bài toán gốc P (D) Hàm mục tiêu f (x)  Bài toán đối ngẫu D (P) cj xj max n Hàm mục tiêu g(y)  j1 by min m i1 i i       Ràng buộc thứ i: aijxj  bi , i 1, m Ẩn thứ i: yi    0, i 1, m j1  tùy ý n    Ẩn thứ j: xj   0, j 1, n tùy ý  Ràng buộc thứ j: aij yi  cj , j 1, n i1  m  Nhận xét: Bài toán đối ngẫu tốn đối ngẫu tốn gốc Vì ngƣời ta nói cặp tốn gốc – đối ngẫu cặp toán đối ngẫu  Cách nhớ max  Ẩn  Ràng buộc(cùng dấu) Ràng buộc  Ân (ngƣợc dấu)  max Ẩn  Ràng buộc (ngƣợc dấu) Ràng buộc  Ân (cùng dấu) Ví dụ 2: Tìm tốn đối ngẫu toán f (x) 2x1 3x2 x3 x4 max (1) 2x1 x2 x3  x4 5 x  x 2x  x  (2) 1 5x1  x2 3x3  x4  20 (3)  x1, x2 0, x3 0 x4 tùy ý Bài toán đối ngẫu toán là: g(y) 5y1 7y2 20y3 min (do f (x) max ) 56 2y1  y2 5y3  y  y  y 3  y 2y 3y 1   y1  y2  y3 1 (do x1 0) (do x2  0) (do x3  0) (do x4 tùy ý 0) y1  (do ràng buộc (1) ), y2 tùy ý (do ràng buộc (2) = ), y3  (do ràng buộc (3) ), Ví dụ 3: Tìm tốn đối ngẫu toán f (x)  2x1  x2 x3 min x1  x2 2x3 1 x  x 3x  1 x1  x2 2x3 3  x1 0, x2 0, x3 tùy ý Bài toán đối ngẫu là: g(y)  y1 2y2 3y3 max y1  y2  y3  y  y  y 1  2y1 3y2 2y3 1  y2 0, y3 0 ? Lập toán đối ngẫu toán sau: f (x) 2x1 x2 8x3 max 7x1 4x2 2x3  28 3x x 3x 10  2x1 3x2 x3 15  x1 0, x2 0 Quan hệ toán gốc toán đối ngẫu 2.1 Các định lý đối ngẫu Định lý 1: Với cặp toán P D, xảy ba trƣờng hợp sau: Cả hai khơng có phƣơng án Cả hai có phƣơng án, lúc hai có phƣơng án tối ƣu giá trị hàm mục tiêu phƣơng án tối ƣu Một hai tốn khơng có phƣơng án, cịn tốn có phƣơng án Khi tốn có phƣơng án khơng có phƣơng án tối ƣu hàm mục tiêu khơng bị chặn 57 Hệ 1: Nếu hai tốn có phƣơng án tối ƣu tốn có phƣơng án tối ƣu Hệ 2: Điều kiện cần đủ để hai phƣơng án x* (P) y* (D) tối ƣu là: f (x*)  g(y*) Định lý 2: (Độ lệch bù yếu) Điều kiện cần đủ để phƣơng án x* (P) y* (D) tối ƣu là:   m   xj aij yi cj  0 (j 1,n)    i1  n yi aijxj bi  0 (i 1,m)   j1  (3.1.7) (3.1.8)  Chú ý: Nếu tích thừa số khác thừa số 2.2 Tìm P.A.T.Ƣ toán đối ngẫu qua P.A.T.Ƣ toán gốc Giả sử tốn gốc có phƣơng án tối ƣu x (x1, x2, xn) giải đƣợc toán đối ngẫu Theo định lý 2, ta có  Nếu x*j  a y c m i1 * ij i j  Nếu thay x* vào ràng buộc toán gốc mà xẩy aijx*j  bi n (,) j1 (đẳng thức thật sự) yi*  Từ ta đƣợc hệ phƣơng trình, giải hệ ta tìm đƣợc nghiệm tối ƣu tốn đối ngẫu  Nhận xét: Tìm P.A.T.Ƣ tốn gốc qua P.A.T.Ƣ toán đối ngẫu ta tiến hành tƣơng tự Ví dụ 4: Bài tốn gốc f (x) 2x1 x2 x3 4x4 max 5x1  x2  x3 6x4 50 3x  x 2x 16  4x1 3x3  x4  23  xj  0, j 1,4 Có phƣơng án tối ƣu x (0,14,6,5), f (x)  40 Viết toán đối ngẫu tìm phƣơng án tối ƣu tốn đối ngẫu Giải 58 Bài toán đối ngẫu: g(y) 50y1 16y2 23y3 min 5y1 3y2 4y3  y 1 1 y  y 3y 1 1  6y1 2y2  y3  (1) (2) (3) (4) y1 tuỳ ý, y2 0, y3 0 Tìm phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu: x2 140y1 1 (theo (2)) x3 60y1  y2 3y3 1 (theo (3)) x4 506y1 2y2  y3 4 (theo (4)) Giải hệ ta tìm đƣợc: y1 1, y2  , y3  5 62 Vậy phƣơng án tối ƣu y 1,  ,   5 với g(y*) 50.116. 23.   40  f (x)  5  5 Ví dụ 5: Bài toán gốc f (x)  2x1 5x2 4x3  x4 5x5 min x1 6x2 2x4 9x5 32  2x  x  x  x 30    3x2  x5 36 xj  0, j 1,5 Có phƣơng án tối ƣu x (32,0,30,0,0), f (x) 184 Viết toán đối ngẫu tìm phƣơng án tối ƣu tốn đối ngẫu Giải Bài tốn đối ngẫu là: g(y) 32y1 30y2 36y3 max 59   y1   6y1 2y2 3y3 5 y  2  2y1  y2 1   9y1  y2  y3 5   y1, y2 tuỳ ý, y3  Tìm phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu: x1 320y1 2 x3 300y2 4 Thứ hai: Thay x (32,0,30,0,0) vào ràng buộc thứ ta có 3x2  x5 36 360 Nên y3  Thứ nhất: Vậy phƣơng án tối ƣu y 2,4,0 với g(y*) 32.230.436.0 184  f (x) ? Tìm phƣơng án tối ƣu tốn đối ngẫu, biết tốn gốc có phƣơng án tối ƣu x (1/5,0,9/10), f (x) 12 f (x) 15x1 8x2 10x3 max 3x1 2x2 4x3 3 2x  x 2x   4x1 5x2 2x3 1  xj  0, j 1,3 Ví dụ 6: Bài toán gốc f (x) 52x1 60x2 36x3 min x1 32 2x 4x 3x   4x 2x   x2 2   x3 3 xj tùy ý ( j 1,3) a) Viết toán đối ngẫu toán 60 b) Tìm phƣơng án tối ƣu tốn gốc biết P.A.T.Ƣ toán đối ngẫu y 0, 34, 22,0,2 g(y*)  310   3 Giải Bài tốn đối ngẫu là: g(y) 32y1 6y2 4y3 2y4 3y5 max y1 2y2 4y3 52 4y 2y  y  60  3y2  y5 36  yi  i 1,5 Tìm phƣơng án tối ƣu tốn gốc Thứ nhất: y2  34 02x1 4x2 3x3 6 y3  22 04x1 2x2  y5 20x3 3 Thứ hai: Mọi ràng buộc toán đối ngẫu phƣơng trình nên khơng cho ta điều xj x 11 1 2x1 4x2 3x3 6  x2 5 Giải hệ phƣơng trình  4x1 2x2  x3 3   x3 3  11 Vậy phƣơng án tối ƣu toán gốc x  ,  ,3 6  11 310  g(y) với f (x*) 52 60. 36.3  3 Ý nghĩa toán đối ngẫu Một toán quy hoạch tuyến tính gốc đƣợc lập nên từ vấn đề sản xuất kinh doanh, tham số (aij ,b,c i j ), ẩn số, hàm mục tiêu, ràng buộc chứa đựng nội dung rõ rệt kinh tế Khi chuyển sang toán đối ngẫu đơi lúc ta khó giải thích ý nghĩa kinh tế yếu tố tốn đối ngẫu Tuy nhiên khơng phải mà tốn đối ngẫu khơng có tầm quan trọng to lớn 61 Theo khái niệm ta thấy: giải đƣợc hai toán coi nhƣ giải đƣợc tốn Vì gặp tốn khó giải tốn đối ngẫu dễ giải Ví dụ 7: Bài tốn sau f(x)  cjxj min aijxj bi (i 1,m) xj 0 ( j 1,n) Giả thiết cj 0 ( j 1,n) Nếu giải trực tiếp, ta cần đƣa vào m ẩn phụ với hệ số -1, lại thêm m ẩn giả với hệ số đƣa dạng chuẩn để giải thuật tốn đơn hình Cịn đƣa toán đối ngẫu: g( y)  bi yi max aij yi cj ( j 1,n) yi 0 (i 1,m) cần đƣa m ẩn phụ vời hệ số có tốn dạng chuẩn để giải Ngồi ngƣời ta cịn chứng minh đƣợc: có phƣơng án tối ƣu tốn đối ngẫu, tức bảng j 0 j Lúc x*( m1,m2, ,mn ) phƣơng án tối ƣu tốn gốc (Trong m j ƣớc lƣợng ẩn phụ ym j ) Bẳng lý thuyết toán đối ngẫu ngƣời ta đƣa thuật toán giải số toán quan trọng kinh tế nhƣ “phƣơng pháp vị” giải toán vận tải phƣơng pháp “ Điều chỉnh nhân tữ” giải toán sản xuất đồng 62 BÀI TẬP CHƢƠNG Lập toán đối ngẫu toán sau:  f (x)  2x1  x2  x3 min x  x 2x 1   a) x1  x2 3x3  x1  x2 2x3 3   x1  0, x2   f (x) x1  x2  x3 max x 3x  x  b)  2x  x 2x 1   xj 0, j 1,3 Lập toán đối ngẫu toán sau:  f (x)  2x1 3x2 2x3 4x5 min x  x 3x    a) 4x1 2x3  x5 3 x1 3x3  x4  x5 10   x1  0, x2, x3  0, x4, x5 R  f (x)  25x1 20x2 30x3 max 3x  x  x 12  x1  x2  x3 8 b)  x 2x 2x 12 1 2x1 3x2  x3 9   xj  0, j 1,3 Cho toán gốc:  f (x)  27x1 50x2 18x3 max x 2x  x  2  2x  x  x   x1 2x2  x3 2   x1, x2 R, x3  a) Lập toán đối ngẫu b) Giải toán đối ngẫu suy kết tốn gốc Tìm phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu Biết tốn gốc có phƣơng án tối ƣu x (0,7/2,1) có dạng: f (x) 12x1 8x2  x3 min  x1 2x2  x3 8  2x1 2x2 3x3 10  2x1 3x2  x3 12  63 70 Phƣơng án chƣa tối ƣu cịn loại (2, 3) có cƣớc phí 10 Ta quay bƣớc  Bƣớc 1: Quy cƣớc phí chọn 8 50 0 10 -1 20 10 s2  s3 1 r2 0 r3 0 70 s1 0 r1 1 Ma trận cƣớc phí là: 7 50 0 10 0 20 10 70 Ta thấy loại có cƣớc phí dƣơng nên tốn có phƣơng án tối ƣu  0 50 X  10 20 10 70 0   Với phƣơng án tối ƣu cƣớc phí phải trả là: f (X*) 1.503.102.206.107.70 670 2.3 Phƣơng pháp vị Cho toán vận tải: f (x) cijxij min m n i1 j1 74 (4.2.3) x a (i 1,m) (4.2.4) x b (4.2.5) n j1 ij i m i1 ij j ( j 1, n) xij  (i 1, m; j 1, n) (4.2.6) Bài toán đối ngẫu toán là: g(u,v) au i i bv j j max (4.2.7) ui vj cij (i 1, m; j 1, n) (4.2.8) m n i1 j1 ui ,vj tuỳ ý (4.2.9) Theo định lý đối ngẫu thứ ta có dấu hiệu tối ƣu: Điều kiện cần đủ để X {xij} tối ƣu tồn hệ thống {ui , vj} (i 1, m; j 1, n) thỏa mãn điều kiện sau: a) ui vj cij xij  (4.2.10) b) ui vj cij với i, j (4.2.11) (Các ui ,vj gọi vị dịng i cột j)  Thuật tốn  Bƣớc 1: Xây dựng phƣơng bán cho toán vận tải - Lập bảng vận tải - Kiểm tra điều kiện cân thu-phát - Xác định P.A.C.B (bằng phương pháp chi phí bé nhất) - Kiểm tra lại có mn1 chọn, chuyển qua bƣớc  Bƣớc 2: Xây dựng hệ thống vị ui , vj - Lấy hàng i (chọn hàng có nhiều chọn) gán cho giá trị ui tuỳ ý (thƣờng cho ui  0) - Tính ui ,vj cịn lại theo cơng thức: vj ui cij ui vj cij với (i, j) ứng với chọn (Bằng cách ta có đủ ui ,vj tất hàng cột)  Bƣớc 3: Kiểm tra tính tối ƣu Tính ij vj ui cij cho loại (dƣơng ghi rõ số, âm ghi dấu (-)), chọn ij  75 + Nếu ij  (i, j) phƣơng án tối ƣu + Nếu tồn ij  chƣa tối ƣu chuyển sang bƣớc  Bƣớc 4: Điều chỉnh phƣơng án để tìm phƣơng án tốt 1.Chọn đƣa vào: Ơ loại có cƣớc phí dƣơng ( ij  0) lớn Xác định vòng điều chỉnh Phân chẵn lẻ Tìm đƣa lƣợng điều chỉnh Lập phƣơng án tốt Các việc 2, 3, 4, làm tƣơng tự nhƣ thuật tốn “Quy cước phí chọn” Sau có phƣơng án mới, quay bƣớc tiếp tục tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu  Nhận xét: Thuật toán dựa khái niệm toán đối ngẫu định lý độ lệch bù yếu trừu tƣợng bạn khơng nắm sở tốn Về tiến trình tính tốn khơng gọn nhẹ thuật tốn “Quy cước phí chọn” ij tính bƣớc khơng đƣợc dùng bƣớc sau Cịn thuật toán trƣớc cij bƣớc sau thƣờng nhỏ, hầu hết Về mức độ hiệu hai phƣơng pháp nhƣ Ví dụ 5: Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 14 21 12 23 (cij) 24 19 22 32 22 11 34 16 (ai ) 125 175 210; 34 15 27 (bj ) 120 140 75 85 90 Giải 76 vj ui 24 bj 27 120 140 22 32 15 75 85 90 10 14 125 50 24 175 16 21 (+8) 11 (-) vj ui 22 bj 24 19 120 140 (-) 32 (0) 15 15 34 140 34 (-) 75 19 22 23 (-) 70 210 12 16 (-) 90 27 70 22 24 75 85 (-) 15 90 10 125 175 816 210 14 21 (-) 50 24 12 19 70 22 75 22 15 11 (-) 23 (-) 32 (-) 15 (0) 34 125 34 (-) 90 16 27 85 (-) Kết thúc bảng 2, có ij  (ij) nên phƣơng án tối ƣu 50 75 0  X  70 15 0 90  125 85   Với phƣơng án tối ƣu cƣớc phí phải trả là: f (X*) 14.5012.7524.7019.115.9011.12516.857650 ? Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 77 1 3 (cij)  4 2  (ai ) 31 2 4 3 4 4 50 75 128; (bj ) 104 22 40 118 Bài toán vận tải có cấm Trong thực tế có số tuyến đƣờng khơng thể vận chuyển hàng hóa qua đƣợc: cầu, phà, đƣờng sá bị hƣ hỏng, phƣơng tiện vận tải thích hợp, kế hoạch vận tải phải đảm bảo cho trạm phát phát hết hàng trạm thu phải thu đủ hàng không cân thu phát,…Các ô ứng với tuyến đƣờng gọi “ô cấm”  Cách giải Ta lập toán mở rộng (VTM) cách thay cij ô cấm M  lớn, dùng phƣơng pháp vị để giải tốn Có hai trƣờng hợp: * Nếu P.A.T.Ƣ (VTM) có tất cá thành phần ứng với cấm Khi đó, tốn xuất phát có P.A.T.Ƣ * Nếu P.A.T.Ƣ (VTM) có tất cá thành phần ứng với cấm khác Khi đó, tốn xuất phát khơng có P.A khơng có P.A.T.Ƣ Ví dụ 6: Giải tốn vận tải với số liệu sau đây: 8 (cij) 10 10 (ai ) 50 15 16 10 15 14 11 13 100 50; (bj ) 50 100 25 25 Trong ô (2, 2) (2, 4) ô cấm Giải 78 Bj 50 100 25 25 15 16 10 M M Ai 50 50 100 10 25 50 10 14 11 13 25 25 Không thể phân phối đƣợc để thỏa mãn P.A toán vận tải nên tốn khơng có P.A Đặt c22 c24  M, thực phƣơng pháp vị ta có P.A tối ƣu nhƣ bảng sau : 5–M Bj 50 15 6-M 10 100 25 25 15 16 10 Ai 50 50 15 – M 100 50 25 10 M 50 25 25 10 14 11 M 13 50 Trong P.A.T.Ƣ tốn mở rộng (VTM) có thành phấn ứng với cấm (2,2) : x22  25  Do tốn khơng có phƣơng án ? 79 Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 5 6 8 9  (cij)  11 12  23   (ai ) 150 100 145 100 ; (bj ) 140 150 180 Với điều kiện A3 A4 phải bán hết hàng Bài tốn vận tải khơng cân thu phát a) Trƣờng hợp ai bj m n i1 j1 - Thêm điểm thu giả Bn1 với nhu cầu bn1  ai bj m n i1 j1 - Các ô cột ứng với điểm thu giả có cƣớc phí 0: ci(n1)  (i 1, m) Lúc toán trở thành cân thu phát b) Trƣờng hợp ai bj m n i1 j1 - Thêm điểm phát giả An1 với nhu cầu an1  b a n j1 m j i1 i - Các ô hàng ứng với điểm phát giả có cƣớc phí 0: c(m1) j 0 ( j 1, n)  Chú ý: Khi tìm phƣơng án ban đầu, phân phối vào trƣớc Các hàng cột ứng với điểm thu phát giả cịn thừa hàng phân vào Ví dụ 7: Giải toán vận tải cho bảng dƣới đây: bj 20 40 60 80 30 50 4 Giải 80 Kiểm tra điều kiện cân thu-phát ai 160; bj 120 ai bj m n i1 j1 Ta thêm trạm thu giả B4 với lƣợng hàng b4 160120  40 Các nằm dịng trạm thu giả có cij bj 20 40 0 60 40 80 10 30 60 10 r2 2 30 50 20 s1 1 30 s2 4 s3 1 r1 0 r3 0 s4  Ta áp dụng thuật toán “Quy cƣớc phí chọn” để giải tìm đƣợc ma trận cƣớc phí là: 0 10 0 60 10 30 20 30 Ta thấy ô loại có cƣớc phí 0 nên phƣơng án tối ƣu  10 60 10 X   30 0  20 0 30  Với phƣơng án tối ƣu cƣớc phí phải trả là: f (X*) 4.101.602.301.20180 ? Giải toán vận tải 81 bj 10 14 6 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức 5.1 Định nghĩa Bài toán vận tải có dạng sau đƣợc gọi tốn vận tải dạng bất đẳng thức f (x) cijxij min m n i1 j1 x a i (i 1, m) x b ( j 1, n) n j1 ij m i1 ij j (1) xij  (i 1, m; j 1, n)  0, bj  0, cij  (i 1, m; j 1,n) 5.2 Điều kiện tối ƣu Điều kiện cần đủ để tốn (1) có phƣơng án tối ƣu a b m i1 n i j1 j 5.3 Cách giải a Trƣờng hợp ai bj m n i1 j1 Trƣờng hợp ngƣời ta chứng minh đƣợc toán (1) tƣơng đƣơng với toán sau đây: 82 f (x) cijxij min m n i1 j1 x a i (i 1, m) x b ( j 1, n) n j1 ij m i1 ij j (2) xij  (i 1, m; j 1, n) Bài toán (2) toán cân thu phát Giải toán thuật toán vị ta đƣợc phƣơng án tối ƣu toán (1) b Trƣờng hợp a b m i1 n i j1 j Xét toán: f (x) cijxij min m n i1 j1 x a i (i 1, m) x b ( j 1, n) n j1 ij m i1 ij j (3) xij  (i 1, m; j 1, n) Bài tốn (3) tốn khơng cân thu phát đƣợc nghiên cứu, ln có phƣơng án tối ƣu, phƣơng án pƣơng án toán (1) Trong trƣờng hợp ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng, phƣơng án tối ƣu toán (3) phƣơng án tối ƣu toán (1) Vậy để giải toán (1) với điều kiện a b m i1 n i j1 j ta giải tốn khơng cân thu phát (3) Nói chung, tồn phƣơng án tối ƣu tốn (1) khơng phải phƣơng án tối ƣu toán (3) 83 BÀI TẬP CHƢƠNG Giải toán vận tải cho bảng sau: Bj cij B1 B2 B3 B4 2 30 Ai A1: 100 A2: 80 A3: 20 Giải toán vận tải với số liệu sau  40 15 35 100  68 51 53 18   (cij)  120 30 150 16   30 54 13 80    (ai ) 80 30 20 60; (bj ) 40 70 50 30 Cho toán vận tải với số liệu sau 1 12 7 7 11 8  (cij)  6 6 5 2   (ai ) 35 90 75 100; (bj ) 50 80 70 60 40 phƣơng án 20 0 x  30 0  75 25 45 0 60 0 15  0 25 a) Hãy điều chỉnh phƣơng án x để thu đƣợc phƣơng án cực biên xấu x b) Giải toán cho xuất phát từ Giải toán vận tải cho bảng sau 84 x x không bj 60 60 80 50 100 20 130 Giải toán vận tải cho bảng sau bj 25 35 60 30 20 40 60 4 2 6 Có ba sở phát hành báo hàng ngày A, B, C, phân phối cho vùng kinh tế I, II, III, IV Bảng dƣới cho biết số lƣợng phát hành báo sở số lƣợng báo yêu cầu vùng kinh tế tính đơn vị 1000 tờ, đồng thời cho biết thời gian cần thiết để vận chuyển báo từ sở phát hành đến vùng kinh tế tính (h) Tìm phƣơng án phân phối vận chuyển báo cho tổng thời gian vận chuyển nhỏ Cơ sở phát hành Lƣợng báo phát hành Thời gian vận chuyển đến vùng I II III IV A 40 3 B 110 85 C 30 Nhu cầu vùng 6 30 60 40 50 Ba công nhân A, B, C phải đứng máy tiện I, II, III để sản xuất chi tiết máy Năng suất công nhân loại máy (chi tiết/ngày) đƣợc cho bảng dƣới Muốn có phƣơng án phân công nhân đứng máy để đƣợc tổng số chi tiết ngày lớn Máy I II III 1 A: 19 21 25 B: 20 18 24 C: 17 26 18 N.suất C.nhân a) Lập mơ hình tốn b) Mơ hình thay đổi công nhân B không đứng đƣợc máy I c) Giải toán hai trƣờng hợp Giải tốn có cấm bj 80 20 60 50 40 70 M M Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 86 5 6 8 9  (cij)  11 12  23   (ai ) 150 100 145 100; (bj ) 140 150 180 Với điều kiện A3 A4 phải phát hết hàng 10 Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 3 (cij) 4 3 (ai ) 80 5 8 4 3 70 50; (bj ) 100 50 30 70 Với điều kiện B3 phải thu đủ hàng 11 Giải toán vận tải cho bảng sau bj 20 40 60 30 50 80 30 12 Giải 11 với điều kiện f (x) max 13 Cho toán vận tải với số liệu sau đây: 1 (cij) 4 2 (ai ) 14 4 2 1 10m 6; (bj ) 5 20 5m (m: tham số) Tìm phƣơng án tối ƣu trƣờng hợp: 0m1, m1 Từ tìm biểu thức giá trị tối ƣu hàm mục tiêu 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS Đặng Hấn (1995), Quy hoạch tuyến tính, Trƣờng ĐH Kinh Tế TP.HCM Nguyễn Thành Cả, Quy hoạch tuyến tính, Trƣờng ĐH Kinh Tế TP HCM TS Bùi Phúc Trung (2003), Quy hoạch tuyến tính tối ưu hố, Trƣờng ĐH Kinh Tế TP.HCM 88 ... 125 50 24 175 16 21 (+8) 11 (-) vj ui 22 bj 24 19 120 140 (-) 32 (0) 15 15 34 140 34 (-) 75 19 22 23 (-) 70 21 0 12 16 (-) 90 27 70 22 24 75 85 (-) 15 90 10 125 175 816 21 0 14 21 (-) 50 24 12. .. 5: Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 14 21 12 23 (cij) ? ?24 19 22 32 ? ?22 11 34 16 (ai )  125 175 21 0; 34 15 27  (bj )  120 140 75 85 90 Giải 76 vj ui 24 bj 27 120 140 22 32 15 75...  y1 2y2 3y3 max y1  y2  y3  y  y  y 1  2y1 3y2 2y3 1  y2 0, y3 0 ? Lập toán đối ngẫu toán sau: f (x) 2x1 x2 8x3 max 7x1 4x2 2x3  28 3x x 3x 10  2x1 3x2 x3