ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Vectơ n chiều và các phép tính
- Véc tơ là một đoạn thẳng được cấu thành bởi 2 yếu tố là độ dài véctơ và hướng
- Véctơ n chiều là một bộ gồm n số thực được sắp xếp có thứ tự và ký hiệu là
- Mỗi số xj gọi là thành phần hoặc toạ độ thứ j của x x1 gọi là thành phần thứ 1 x2 gọi là thành phần thứ 2
xn gọi là thành phần thứ n
- Véctơ 0 là véctơ mà tất cả các thành phần đều bằng 0
- Véctơ đối của véctơ X là - X = (- x1, - x2, , - xn )
- Véctơ bằng nhau: 2 véctơ có cùng thành phần được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một
Như vậy, 2 véctơ bằng nhau là 2 véctơ có các thành phần giống hệt nhau
- Véctơ hàng là n số thực được sắp xếp theo hàng
- Véctơ cột là n số thực được sắp xếp theo cột
- Véctơ đơn vị là véctơ có 1 thành phần bằng 1 còn các thành phần còn lại đều bằng 0
1.2.1 Phép cộng 2 véctơ có cùng thành phần
Ta gọi tổng của 2 véctơ n chiều X và Y là một véctơ n chiều Z mà các thành phần của nó là tổng các thành phần tương ứng của X và Y, nghĩa là:
Phép cộng véctơ chỉ khả thi khi các véctơ có cùng số chiều, và thực chất nó tương đương với phép cộng các số Do đó, phép cộng véctơ cũng sở hữu đầy đủ các tính chất tương tự như phép cộng của các số.
1.2.2 Phép nhân vectơ với một số
Tích của một vectơ n chiều X với hằng số k được ký hiệu là kX, trong đó các thành phần của kX là các thành phần tương ứng của X được nhân với k Cụ thể, kX = {kxj} (j = 1 đến n).
Thực chất của phép tính này cũng quy về phép tính trên các số
Các tính chất cơ bản của 2 phép tính trên:
- Luật phân bố: k (X + Y) = kY + kX
1.2.3 Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ n chiều X và Y là một số thực, được tính bằng cách tổng hợp các tích của các thành phần tương ứng của chúng, và được ký hiệu là (X, Y).
1.3 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Cho một hệ thống m vectơ n chiều X1 , X2 , , Xm (I)
Ta có đẳng thức vectơ: k1 X1 + k2 X2 + + km Xm = 0 (*) xảy ra khi ta tìm được m số thực k1 ,k2 , , km
- Nếu có ít nhất một số k khác 0 thì Hệ (I) được gọi là phụ thuộc tuyến tính
- Nếu k1 = k2 = = km thì Hệ (I) được gọi là độc lập tuyến tính
Ma trận
Và tồn tại 4 số thực k1 ,k2 , k3, k4 Hệ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?
Ta thấy, ứng với mỗi một k4 thì cho một k1,k2 ,k3 Do đó, có ít nhất 1 k 0 nên hệ phụ thuộc tuyến tính
2.1 Các khái niệm cơ bản
Bảng m và n số thực được xếp thành m hàng và n cột là ma trận cấp m n
Mỗi phần tử trong ma trận được ký hiệu là aij, trong đó i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột Phần tử aii đại diện cho các phần tử nằm trên đường chéo của ma trận.
* Một số ma trận đặc biệt:
- Ma trận 0: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0
- Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m=n) khi đó ta gọi là ma trận vuông cấp n
- Ma trận tam giác: Là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm về một phía của đường chéo đều bằng 0
- Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0
- Ma trận đơn vị: Là ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo đều bằng 1, ký hiệu E
- Ma trận chuyển vị: Nếu ta đổi hàng thành cột và cột thành hàng thì ta dược ma trận chuyển vị của ma trận đã cho
2.2 Các phép tính ma trận
Cho hai ma trận A và B cùng kích thước m × n, tổng của hai ma trận này sẽ tạo ra ma trận C cũng có kích thước m × n Các phần tử của ma trận C được tính bằng cách cộng các phần tử tương ứng của ma trận A và ma trận B.
2.2.2 Phép nhân ma trận với một số thực
Tích của ma trận A = (aij)m×n với một số thực k tạo ra ma trận k.A có cấp m × n, trong đó các phần tử của ma trận mới là các phần tử tương ứng của A được nhân với k Do đó, ta có C = (k.A) = (k.aij)m×n.
* Trường hợp hiệu hai ma trận cùng cấp có thể được coi là phép cộng của một ma trận với ma trận đối của ma trận kia: A - B = A + (-B)
2.2.3 Phép nhân hai ma trận
Phép nhân ma trận A với B tạo ra ma trận C = (cik)m×p, trong đó phần tử cik ở hàng i và cột k được tính bằng tổng các tích của các phần tử ở hàng i của ma trận A với các phần tử ở cột k của ma trận B Cụ thể, công thức tính là: cik = Σ(aij * bjk) với i = 1 đến m và k = 1 đến p.
Phép nhân ma trận có điều kiện là số cột của ma trận đầu tiên phải bằng số hàng của ma trận thứ hai Vì lý do này, phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán.
Định thức
3.1 Cách xác định giá trị định thức
+) Xác dịnh giá trị định thức cấp 2
+) Xác định giá trị định thức cấp 3
+) Xác định giá trị định thức cấp n
- Phần bù: Mij là phần bù của A khi ta xoá di dòng i và cột j của A
- Phần bù đại số của phần tử aij của định thức Alà: Aij = (-1) i+j Mij
Phần bù đại số của A là A21
Ma trận nghịch đảo
+ Cách 1: Khai triển định thức
Ví dụ: Khai triển định thức A
+ Cách 2: Biến đổi định thức về dạng tam giác
3.2 Tính chất của định thức
- Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó
- Nếu có một dòng hoặc một cột gồm toàn số 0 thì giá trị định thức bằng 0
- Nếu có hai dòng hoặc hai cột giống nhau thì giá trị định thức bằng 0
- Nếu có hai dòng hoặc hai cột tỷ lệ với nhau thì giá trị định thức bằng 0
- Nhân một dòng hoặc một cột của định thức với k thì giá trị định thức gấp lên k lần
Khi hoán đổi hai dòng hoặc hai cột của một định thức mà không thay đổi vị trí của các dòng và cột khác, giá trị của định thức sẽ bị đổi dấu.
Khi cộng một dòng hoặc một cột của định thức với một dòng hoặc một cột khác đã được nhân với một số, giá trị của định thức sẽ không bị thay đổi.
- Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n Nếu hạng của ma trận bằng n thì ta nói là ma trận A không suy biến
- Điều kiện để có ma trận nghịch đảo: Ma trận không suy biến Do đó, ma trận vuông A không suy biến nếu A 0
* Định nghĩa: Ma trận A cấp n không suy biến bao giờ cũng tồn tại một ma trận cùng cấp A -1 sao cho: A.A -1 = A -1 A = E
A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo của A và là ma trận nghịch đảo duy nhất
4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo
- Trên các hàng của ma trận này thực hiện các phép biến đổi sơ cấp 2 và 3 biến đổi sao cho A trở thành E, khi đó E sẽ trở thành A -1
Nếu A không thể biến đổi thành E thì ma trận A suy biến và không tồn tại A -1
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
Thành lập ma trận AE và biến đổi như sau:
Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn có dạng: a11x1+ a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2 + + a2nxn = b2 am1x1+ am2x2 +…+ amnxn = bm
+) aij là hệ số của ẩn số xj trong phương trình i (i= 1m; j = 1n)
A = (aij)mn gọi là ma trận hệ số của phương trình
+) B = (b1, b2, …, bm) là vectơ vế phải của hệ phương trình
+) X = (x1, x2, , xn) là vectơ ẩn số của hệ phương trình
+) A = AB là ma trận mở rộng của hệ phương trình
+) Aj là vectơ cột j của ma trận A
Hệ phương trình có thể viết dưới dạng: A.X = B X = A -1 B
- Vectơ X thoả mãn mọi phương trình của hệ gọi là một nghiệm của hệ
- Một hệ có ít nhất một nghiệm gọi là hệ có nghiệm hay hệ tương thích
- Một hệ có một nghiệm duy nhất gọi là hệ xác định hay hệ Cramer
- Một hệ có hơn một nghiệm gọi là hệ vô định hay không xác định
- Một hệ không có nghiệm gọi là hệ vô nghiệm
Hệ có n phương trình n ẩn số thì hệ có nghiệm duy nhất gọi là hệ Cramer dj xj = (j = 1n) d
Định thức của ma trận hệ số được ký hiệu là d Định thức dj được xác định bằng cách thay thế cột thứ j bằng cột số hạng tự do, trong khi giữ nguyên các cột còn lại giống như trong định thức d.
Aj được suy ra từ A bằng cách thay cột j của A bằng B
Ví dụ: Giải hệ phương trình: x + y + 2z = - 1
5.2.2 Dùng phương pháp biến đổi sơ cấp
- Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột cho nhau
- Nhân tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột của ma trận với một hằng số khác 0
- Nhân tất cả các phần tử của một dòng (cột) của ma trận với một hằng số khác 0 rồi cộng vào một dòng (cột) khác
VD1: Giải hệ phương trình:
Thành lập ma trận mở rộng và biến đổi như sau:
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x = (1, -1, 2)
VD2: Giải hệ phương trình: x1 + 2 x2 + 3 x3 – x4 = 8
Thành lập ma trận mở rộng và biến đổi như sau:
Như vậy, phương trình (3) bị loại khỏi hệ Từ phương trình (2) giữ lại ẩn x2, chuyển x3 và x4 sang vế phải làm ẩn tự do, ta được: x2 = 5 - 2 x3 + x4 ; x1 = -2 + x3 - x4
Vậy hệ phương trình có nghiệm tổng quát:
Hệ vô định, cho các ẩn tự do những trị số tuỳ ý, ví dụ: x3 = 1 ; x4 = 2 nghiệm cụ thể ( -3, 5, 1, 2)
1 Phát biểu định nghĩa ma trận nghịch đảo
2 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
4 Giải hệ phương trình sau bằng phương Gauss:
5 Tìm hạng của ma trận
PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
Các khái niệm, tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính
1 1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính
1.1.1 Bài toán khẩu phần thức ăn
Giả sử có một đội sản xuất chăn nuôi 1 loại gia súc, đội có 2 loại thức ăn I,
II Trong 2 loại thức ăn đều có chứa 3 chất dinh dưỡng A, B, C Số đơn vị chất dinh dưỡng trong khẩu phần thức ăn và nhu cầu tối thiểu về số đơn vị chất dinh dưỡng trong khẩu phần thức ăn được cho trong bảng:
Biết rằng: Giá bán của một đơn vị thức ăn I là 1000 đ
Giá bán của một đơn vị thức ăn II là 2000 đ
Để đảm bảo gia súc phát triển bình thường với chi phí thức ăn tối ưu, cần xác định lượng thức ăn cần thiết cho từng loại trong khẩu phần hàng ngày, đảm bảo đáp ứng đầy đủ nhu cầu dinh dưỡng.
Gọi X1, X2 lần lượt là số đơn vị thức ăn loại I, II cần cho khẩu phần thức ăn mỗi ngày (X1, X2 0)
Chi phí về khẩu phần thức ăn là: 1 X1 + 2 X2
Yêu cầu về chất dinh dưỡng A: 2 X1 + 7 X2
Yêu cầu về chất dinh dưỡng B: 5 X1 + 3 X2
Yêu cầu về chất dinh dưỡng C: 1 X1 + 4 X2 Điều kiện phải có: Hàm mục tiêu chi phí nhỏ nhất: X1 + 2 X2 Min
Yêu cầu tối thiểu về chất dinh dưỡng: 2 X1 + 7 X2 16
Để giải bài toán, chúng ta cần xác định giá trị của X1 và X2, đại diện cho khối lượng thức ăn cần thiết nhằm đảm bảo chi phí tối thiểu trong khi vẫn đáp ứng đầy đủ nhu cầu dinh dưỡng cho sự phát triển tối ưu của gia súc.
1.1.2 Bài toán đặt kế hoạch sản xuất
Một nhà máy chuyên sản xuất hai sản phẩm A và B, sử dụng ba loại nguyên liệu I, II và III Số lượng nguyên liệu dự trữ cho từng loại và lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất mỗi sản phẩm được trình bày trong bảng.
Lợi nhuận từ mỗi đơn vị sản phẩm A là 20 và sản phẩm B là 30 Để tối đa hóa lợi nhuận trong điều kiện nguồn nguyên liệu dự trữ có hạn, cần xác định số lượng sản phẩm A và B cần sản xuất Việc này sẽ giúp đạt được lãi suất cao nhất từ các sản phẩm.
Gọi X1, X2 là khối lượng sản phẩm A, B được tạo ra: (X1, X2 0)
Trong khuôn khổ nguyên liệu I: 1 X1 + 3 X2 18
Hai ví dụ trên minh họa mô hình toán học cho các vấn đề thực tiễn Những bài toán này có thể được hiểu là bài toán tìm cực trị của hàm tuyến tính, xác định trên tập hợp nghiệm của hệ thống phương trình và bất phương trình tuyến tính, được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính.
1 2 Bài toán qui hoạch tuyến tính và các dạng đặc biệt
1.2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính và các khái niệm
1.2.1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính
Tìm vectơ X = xj: j = 1n thoả mãn: aijxj = bi (i = 1, m1)
26 aijxj bi (i = m1 + 1, m2) aijxj bi (i = m2 + 1, m) xj 0 (j = 1, p) xj 0 (j = p + 1, q) xj không có điều kiện dấu (j = q + 1, n) Sao cho: f(x) = Cjxj max
- Ràng buộc: Mỗi phương trình hoặc bất phương trình trong hệ điều kiện gọi là một ràng buộc
- Hàm mục tiêu f(x) thể hiện mục tiêu mình cần đạt được
- Phương án: Là một vectơ x nào đó thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là một phương án
Tập phương án là tập hợp tất cả các phương án khả thi của một bài toán, thường được sử dụng để chỉ miền ràng buộc Ký hiệu của tập phương án là D.
Phương án tối ưu, hay còn gọi là phương án tốt nhất, là phương án mang lại giá trị cực trị cho hàm mục tiêu, tức là tại điểm này, giá trị của hàm mục tiêu đạt cực đại hoặc cực tiểu.
- D = : Bài toán không có phương án nên không có phương án tối ưu
+ Không có phương án tốt nhất
+ Có thể tìm được phương án tốt nhất
Một bài toán được coi là giải được khi tồn tại phương án tốt nhất Ngược lại, nếu không có phương án tối ưu, bài toán được xem là không giải được, tức là trị số hàm mục tiêu không bị giới hạn trong tập phương án, dẫn đến trị số hàm mục tiêu có thể giảm hoặc tăng vô hạn.
Tìm vectơ X = xj: j = 1n thoả mãn: aijxj = bi (i = 1, m) xj 0 (j = 1, n)
Sao cho: f(x) = Cjxj max (min)
Hay có thể viết dưới dạng ma trận với hệ ràng buộc: A.X = B
Hệ ràng buộc được chia thành hai nhóm chính: nhóm ràng buộc phương trình và nhóm ràng buộc bất phương trình Trong đó, các ràng buộc bất phương trình sẽ trở thành các ràng buộc về dấu cho các biến, đảm bảo rằng mọi biến đều không âm.
Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính có thể chuyển đổi thành bài toán dạng chính tắc tương đương, trong đó giá trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là giống nhau Từ phương án tối ưu của bài toán này, ta có thể suy ra phương án tối ưu cho bài toán kia.
Từ mệnh đề nhận thấy: Muốn giải được bài toán qui hoạch tuyến tính chỉ cần có một thuật toán giải được bài toán chính tắc là xong
* Cách đưa bài toán về chính tắc:
Nếu ràng buộc i có dạng aijxj bi, ta có thể chuyển đổi thành phương trình bằng cách thêm một biến phụ xi p 0 Cụ thể, bất phương trình sẽ được thay thế bằng: aijxj + xi p = bi với điều kiện xi p 0.
Hệ số của biến xi p trong hàm mục tiêu = 0, tức là f(x) không đổi
- Nếu ràng buộc i có dạng aijxj bi thì thay bất phương trình bằng: aijxj - xi p = bi với xi p 0
- Nếu xj không có điều kiện dấu thì đặt: xj = xj ’ - xj ’’ với xj ’ ; xj ’’ 0
- Nếu xj 0 thì đổi biến: xj ’ = - xj với xj ’ 0
Ví dụ: Cho qui hoạch tuyến tính sau, hãy đưa bài toán về dạng chính tắc
Do X3 không có điều kiện dấu nên đặt X3 = X3 ’ - X3 ” với X3 ’, X3 ” 0
Bài toán qui về dạng:
Bài toán quy hoạch tuyến tính chuẩn là một dạng đặc biệt của bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc, với đặc điểm nổi bật là sự xuất hiện của ma trận đơn vị trong ma trận hệ số các ràng buộc.
Ví dụ: Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau:
X1, X2, X3, X4, X5 0 Hàm mục tiêu: f(x) = 4 X1 + 5 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 Max Đây là bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn với ma trận hệ số các ràng buộc là:
Biến X3, X4, X5 được gọi là biến cô lập với hệ số bằng 1 Bài toán chính tắc có vế phải không âm, và mỗi phương trình chứa một biến số với hệ số bằng 1, đồng thời biến này không xuất hiện trong các phương trình khác.
Phương án cực biên là giải pháp đáp ứng đầy đủ n ràng buộc độc lập tuyến tính Khi phương án cực biên thỏa mãn chính xác n ràng buộc, nó được gọi là phương án cực biên không suy biến Ngược lại, nếu phương án này thỏa mãn hơn n ràng buộc, thì được gọi là phương án cực biên suy biến.
- Một ràng buộc ở dạng dấu đẳng thức (=) được gọi là ràng buộc chặt
- Một ràng buộc ở dạng dấu bất đẳng thức thực sự ( ; ) gọi là ràng buộc lỏng
- Một phương án khi thay vào một ràng buộc mà nó thoả mãn dấu đẳng thức thì ta nói phương án đó thoả mãn chặt ràng buộc đó
Phương pháp đơn hình
2.1 Nội dung và cơ sở của phương pháp
Trong bài toán chính tắc, nếu tồn tại phương án thì cũng sẽ có phương án cực biên Bắt đầu từ phương án cực biên, chúng ta cần đánh giá xem liệu nó có phải là phương án cực biên tốt nhất hay không Nếu đúng, thuật toán sẽ kết thúc; nếu không, chúng ta sẽ điều chỉnh để tìm ra phương án cực biên mới tốt hơn Do số lượng phương án cực biên là hữu hạn, sau một số bước nhất định, chúng ta sẽ tìm được phương án tốt nhất hoặc xác định rằng bài toán không thể giải quyết vì giá trị hàm mục tiêu không bị chặn trong tập phương án.
2.1.2 Cơ sở của phương pháp đơn hình
Xét bài toán chính tắc:
Tìm vectơ X = xj: j = 1n thoả mãn: aijxj = bi (i = 1, m) (1)
31 xj 0 (j = 1, n) (2) Sao cho: f (x) = Cjxj max (min) (3)
Giả sử hệ phương trình ràng buộc (1) gồm m phương trình độc lập và m n Không làm giảm tính tổng quát vì:
Bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, chúng ta có thể loại bỏ các tổ hợp tuyến tính của những phương trình đồng dạng, giúp cho hệ phương trình chỉ còn lại những phương trình độc lập.
Nếu m = n, hệ phương trình ràng buộc sẽ có một nghiệm duy nhất Điều này dẫn đến việc bài toán có thể không có phương án hoặc chỉ có một phương án duy nhất, do đó việc tìm kiếm phương án tối ưu trở nên không cần thiết.
Hạng của A là m, do đó số vectơ điều kiện Aj độc lập tuyến tính cực đại cũng là m Mỗi phương án cực biên sẽ tương ứng với ít nhất một hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại Từ đó, cơ sở của phương án cực biên X được định nghĩa là hệ vectơ Aj, bao gồm các vectơ có thành phần dương của phương án cực biên x, và được ký hiệu là J.
Như vậy, khi ta nói phương án cực biên x có cơ sở J thì phải hiểu J có 3 nội dung sau (các đặc trưng của một cơ sở J)
J = m, trong đó J là số phần tử của J
Aj: j J) độc lập tuyến tính
- Phương án cực biên không suy biến chỉ có 1 cơ sở duy nhất, đó là các vectơ tương ứng với các thành phần dương
- Phương án cực biên suy biến có nhiều cơ sở khác nhau, phần chung của chúng là các vectơ tương ứng với các thành phần dương
Ký hiệu: Xj (j J) gọi là thành phần cơ sở
Xk (k J) gọi là thành phần phi cơ sở và Xk = 0
Aj (j J) gọi là vectơ cơ sở
Ak (k J) gọi là vectơ phi cơ sở
Ta có công thức: Ak = xjk AJ (4)
Ký hiệu Xk = {xjk} cho thấy rằng Xk có thể được biểu diễn dưới dạng AJ -1.Ak Biểu thức này phân tích b qua cơ sở J, cho thấy thành phần cơ sở của phương án cực biên là hệ số phân tích vectơ b qua cơ sở của phương án cực biên đó.
b = XJ AJ XJ = AJ -1.b ( vectơ hệ số phân tích b qua cơ sở J)
Ta gọi: k = Cj Xjk - Ck là ước lượng của biến Xk theo cơ sở J
Ký hiệu: CJ = Cj: j J k = (CJ, Xk ) - Ck (6)
j = 0 (j J) là ước lượng của các biến cơ sở
Dựa vào các ước lượng này ta sẽ đánh giá được phương án cực biên X Các số liệu trên được thể hiện dưới 1 bảng gọi là bảng đơn hình
2.2 Thuật toán của phương pháp đơn hình
Giả thiết bài toán đã biết 1 phương án cực biên X (0) , cơ sở J0 = 1, 2, , m
* Cách tính f 0 : Lấy vectơ ở cột hệ số nhân vô hướng với vectơ ở cột phương án được f0
* Cách tính k : Lấy vectơ ở cột hệ số nhân vô hướng với vectơ hệ số phân tích ở cột k rồi trừ C
Các bước giải bài toán qui hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình:
Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu của phương án cực biên tương ứng:
- Nếu k 0 (k J0) thì X (0) là phương án cực biên tốt nhất
- Nếu dù chỉ 1k 0 thì X (0) không phải là phương án tối ưu, chuyển sang bước 2
Bước 2: Kiểm tra tính không giải được của bài toán :
- Nếu dù chỉ 1k 0 mà Xjk 0 (j J0) thì f (x) + - trên tập phương án nên bài toán không có phương án tối ưu Thuật toán kết thúc
- Nếu mỗi k 0 mà có tương ứng dù chỉ 1 Xjk 0 (j J0), chuyển sang bước 3
Bước 3: Chọn vectơ đưa vào cơ sở và vectơ loại khỏi cơ sở
- Cách chọn: Tìm max k = s Xs sẽ là ẩn cơ sở mới
- Chọn ẩn bị loại khỏi cơ sở:
Lập tỉ số: với xjs 0
Chọn Min (xjs 0 ) = 0 = xr loại khỏi cơ sở
Thành lập mẫu bảng đơn hình mới:
Trong cột cơ sở thay Xr bằng Xs Trong cột hệ số thay Cr bằng Cs
Dòng r gọi là dòng xoay Cột s gọi là cột xoay Phần tử Xrs được ghi trong dấu Xrs gọi là phần tử trục xoay, chuyển sang bước 4
Để tính toán hàng vectơ đưa vào (Xs) trong bảng mới, ta chia hàng vectơ loại ra (Xr) từ bảng cũ cho phần tử trục xoay (Xrs) Kết quả thu được được gọi là dòng chuẩn.
Để biến đổi một dòng trong bảng đơn hình, cần xác định phần tử thuộc cột xoay trên dòng đó, sau đó đổi dấu phần tử này Tiếp theo, nhân với dòng chuẩn và cộng với dòng cũ để tạo ra dòng mới trong bảng.
Kết quả nhận được một bảng đơn hình mới ứng với phương án cực biên mới Quay trở lại bước 1
Ví dụ: Giải bằng phương pháp đơn hình bài toán qui hoạch tuyến tính sau:
LG: Qui bài toán về chính tắc:
Ta có một phương án cực biên X 0 = (0, 0, 0, 7, 12, 10) với cơ sở J = (A4, A5, A6) Lập bảng đơn hình:
Hệ số Cơ sở PA 1 -3 2 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
k 0 với k J0, do đó bài toán có phương án cực biên tối ưu X = (4, 5, 0) với fmin = -11
Thuật toán đơn hình có khả năng giải quyết bài toán không chính tắc, và khi chuyển đổi về bài toán chính tắc, chúng ta sẽ thu được bài toán chuẩn Bài toán chuẩn này cung cấp ngay một phương án cực biên để bắt đầu.
(Thuật toán đơn hình giải bài toán tổng quát)
Thuật toán đơn hình truyền thống chỉ có khả năng giải quyết các bài toán chính tắc khi đã biết phương án cực biên Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp tổng quát, bài toán chính tắc có thể không có phương án hoặc không có phương án cực biên để bắt đầu Do đó, cần mở rộng thuật toán đơn hình để có thể khảo sát bất kỳ bài toán chính tắc nào Thuật toán đơn hình mở rộng không chỉ cần xác định xem bài toán có phương án hay không, mà còn phải tìm ra phương án cực biên nếu có, từ đó cho phép tiếp tục giải quyết bài toán dựa trên phương án cực biên này.
Luôn giả thiết rằng bi 0 (i = 1n) vì có một bi nào đó âm thì chỉ cần nhân 2 vế của phương trình với (-1)
Xét bài toán chính tắc:
Tìm vectơ X = xj: j = 1n thoả mãn: aijxj = bi (i = 1, m) xj 0 (j = 1, n) Sao cho: f (x) = Cjxj min
Xây dựng bài toán phụ có dạng sau: aijxj + xi g = bi (i = 1, m) xj 0 ; xi g 0 (j = 1, n)
Hàm mục tiêu P(x, x g ) = xi g Min xi g : gọi là ẩn giả thứ i
Bài toán phụ là một dạng bài toán chuẩn có thể giải được do hàm mục tiêu bị chặn dưới Bắt đầu từ việc áp dụng phương pháp đơn hình để giải bài toán phụ, sau một số bước hữu hạn, chúng ta sẽ tìm ra phương án cực biên Tại thời điểm đó, chỉ có hai trường hợp có thể xảy ra.
- TH1: Nếu Pmin 0 thì bài toán xuất phát không có phương án
Nếu Pmin = 0, bài toán chính tắc có phương án và có hai khả năng xảy ra Đầu tiên, nếu trong cơ sở tối ưu của phương án cực biên không có các vectơ ứng với các ẩn giả xi g, ta sẽ đưa f(x) vào và tính toán cho đến khi kết thúc Cuối cùng, bảng đơn hình của bài toán phụ sẽ trở thành phương án cực biên của bài toán chính tắc.
Nếu trong cơ sở tối ưu có một ẩn giả xi g với giá trị bằng 0 trong cột phương án, cần xóa tất cả các cột xj có j < 0 và tiếp tục giải hàm f(x).
Khi xây dựng bài toán phụ, việc chỉ cộng các biến giả vào những phương trình cần thiết là rất quan trọng, nhằm đảm bảo ma trận điều kiện của bài toán phụ có đủ m vectơ đơn vị.
- Một biến giả đã bị loại khỏi cơ sở thì cột tương ứng không cần tính ở các bước tiếp sau
- Đối với bài toán có f(x) Max thì chuyển bài toán về: g(x) = - f(x) Min
- Đối với bài toán phụ thì hệ số xj bằng 0
Ví dụ: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:
Giải: Đưa bài toán về dạng chính tắc:
Ta thấy bài toán chính tắc không phải dạng chuẩn nên thành lập bài toán phụ:
P (x, x g ) = x1 g + x3 g Min Lập bảng đơn hình giải bài toán phụ như sau:
Hệ số Cơ sở PA 3 4 2 2 0 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x1 g x3 g
k 0 với k J0, bài toán có phương án cực biên tối ưu
Bài toán đối ngẫu
Trong mỗi bài toán quy hoạch tuyến tính, người ta xây dựng một bài toán thứ hai theo một quy tắc xác định, được gọi là bài toán đối ngẫu hoặc bài toán liên hợp.
Hai bài toán này có mối liên hệ chặt chẽ, cho phép chúng ta suy luận hành vi của bài toán này từ hành vi của bài toán kia và ngược lại Khi việc nghiên cứu một bài toán trở nên khó khăn, chúng ta có thể chuyển sang nghiên cứu bài toán đối ngẫu của nó.
Cho bài toán dạng chính tắc: aijxj = bi (i = 1, m) (I) xj 0 (j = 1, n) f (x) = Cjxj min
Xây dựng bài toán qui hoạch tuyến tính khác gọi là bài toán đối ngẫu của (I) là: (ĩ): f (Y) = biyi max aijyj Cj (j = 1, n)
* Qui tắc thành lập bài toán đối ngẫu:
- Nếu f (x) min thì f (Y) max và hệ ràng buộc của bài toán đỗi ngẫu có dạng
- Nếu f (x) max thì f (Y) min và hệ ràng buộc của bài toán đỗi ngẫu có dạng
- Ma trận điều kiện trong 2 bài toán là chuyển vị của nhau
- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia
Số ràng buộc trong bài toán này tương đương với số biến số trong bài toán kia, với mỗi ràng buộc của bài toán này tương ứng với một biến số của bài toán kia.
- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc dấu
Cặp bất đẳng thức cùng chỉ số trong hai bài toán được gọi là cặp điều kiện đối ngẫu Trong hai bài toán (I) và (ĩ), có n cặp ràng buộc đối ngẫu với điều kiện xj ≥ 0 tương đương với aijyj ≤ Cj (j = 1, n).
- (I) là bài toán gốc thì (ĩ) là bài toán đối ngẫu
Bài toán đối ngẫu đã được chứng minh là tương đương với bài toán gốc, tức là (I) là đối ngẫu của (ĩ) Do đó, (I) và (ĩ) có thể được xem như một cặp quy hoạch đối ngẫu Việc phân chia giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu chỉ mang tính quy ước.
Để viết bài toán đối ngẫu cho một bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT), cần chuyển đổi bài toán cần viết đối ngẫu thành bài toán chính tắc tương đương Theo quy tắc, bài toán đối ngẫu của bài toán chính tắc tương đương sẽ được coi là bài toán đối ngẫu của bài toán ban đầu.
Ví dụ: Cho bài toán : x1 + 2 x2 - x3 + x4 = 1
2 x1 - 2 x2 + 3 x3 + 3 x4 9 x1 - x2 + 3 x3 - x4 1 xj 0 (j = 1, 4) f (x) = 2 x1 - 3 x2 + 3 x3 - 6 x4 Min Hãy viết bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu
LG: đưa bài toán về dạng chính tắc: x1 + 2 x2 - x3 + x4 = 1
Ta có 6 cặp ràng buộc đối ngẫu sau:
3.2 Sơ đồ viết bài toán đối ngẫu
VD: Hãy viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ ra các cặp điều kiện đối ngẫu: f (x) = 4 x1 - 5 x2 + 6 x3 Min
- x1 + 3 x2 - 4 x3 1 x1 0 x2 0 x3 không có điều kiện về dấu
LG: đưa bài toán về dạng chính tắc: Đặt x2 = - x2 ’ với x2 ’ 0 Đặt x3 = x3 ’ - x3 ” với x3 ’, x3 ” 0
Bài toán chính tắc tương đương có dạng:
Bài toán đối ngẫu: f (y) = 6 y1 + 4 y2 + y3 Max
Bài toán tối ưu hóa có thể được phân thành hai loại: bài toán gốc f(x) với mục tiêu tối thiểu hóa và bài toán đối ngẫu f(y) với mục tiêu tối đa hóa Trong đó, các ràng buộc được thiết lập như aij xj = bi, với yi không có điều kiện dấu, hay aij xj ≥ bi và yi ≥ 0 Ngoài ra, có thể có các điều kiện như aij xj ≤ bi và yi ≤ 0, xj ≥ 0, hoặc aij yi ≤ Cj và xj ≤ 0 Các ràng buộc cũng có thể bao gồm aij yi ≥ Cj và xj không có điều kiện dấu, hoặc aij yi = Cj.
VD: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau: f (x) = - 4 x1 + x2 + 5 x3 + 3 x5 Min
3 x1 + 2 x2 - 3 x4 + x5 24 x1 , x3 , x5 0 Bài toán đối ngẫu có dạng: f (Y) = -15 y1 + 8 y2 + 9 y3 + 24 y4 Max
1 Phát biểu Thuật toán đơn hình ?
2 Cho quy hoạch tuyến tính sau
Hãy đưa bài toán về dạng chính tắc
3 Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình :
Mã chương: MH 14- 03 Giới thiệu:
Chương toán xác suất cung cấp cho người học kiến thức về giải tích, giai thừa, hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp, từ đó áp dụng để giải quyết các bài toán xác suất Điều này giúp người học chứng minh và kiểm chứng các hiện tượng toán học trong thực tiễn.
- Vận dụng toán giải tích tổ hợp để giải các bài toán xác suất
- Vận dụng các quy luật phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên để ước lượng và kiểm định tham số
- Nghiêm túc trong nghiên cứu; cẩn thận,chính xác
Phương pháp giảng dạy và học tập chương 3
Đối với người dạy, việc áp dụng phương pháp giảng dạy tích cực như diễn giảng, vấn đáp và dạy học theo vấn đề là rất quan trọng Điều này không chỉ giúp tạo ra môi trường học tập tương tác mà còn yêu cầu người học ghi nhớ các giá trị đại lượng và đơn vị của các đại lượng một cách hiệu quả.
- Đối với người học: Chủ động đọc trước giáo trình trước buổi học Điều kiện thực hiện bài học
- Phòng học chuyên môn hóa/nhà xưởng: Phòng học chuyên môn
- Trang thiết bị máy móc: Máy chiếu và các thiết bị dạy học khác
- Học liệu, dụng cụ, nguyên vật liệu: Chương trình môn học, giáo trình, tài liệu tham khảo, giáo án, phim ảnh, và các tài liệu liên quan
- Các điều kiện khác: Không có
Kiểm tra và đánh giá bài học
Kiến thức: Kiểm tra và đánh giá tất cả nội dung đã nêu trong mục tiêu kiến thức
Kỹ năng: Đánh giá tất cả nội dung đã nêu trong mục tiêu kĩ năng
Năng lực tự chủ và trách nhiệm: Trong quá trình học tập, người học cần: + Nghiên cứu bài trước khi đến lớp
TOAN XAC SUẤT
Giải tích tổ hợp
1.1.Tính giai thừa, hoán vị
Ta có công thức sau: Pn = n ! ( Đọc là n giai thừa) n! được xác định bằng tích các số tự nhiên từ 1 đến n n! = n.(n-1) (n-2) 2.1
Ví dụ: Trong giờ học giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh bao gồm 10 người xếp thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Ta có số cách xếp được tính theo công thức n! = 10! (cách)
Hoán vị là kết quả sắp xếp có thứ tự n phần tử của tập hợp A sao cho n≥1, mỗi kết quả sắp xếp đó được gọi là một hoán vị
Số các hoán vị được xác định bằng cách liệt kê trong trường hợp số các hoán vị ít
Số các hoán vị được xác định bằng cách dùng quy tắc nhân
Trong đó: Pn là số các hoán vị n số các phần tử trong tập hợp A
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào 4 chiếc ghế theo hàng ngang?
Ta sắp xếp thứ tự cho 4 bạn: P4 = 4!
Giả sử tập hợp A có n phần tử (n≥1).Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
Số các tổ hợp được xác định theo công thức sau:
Trong đó: C k n là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0≤ k ≤ n)
Ngoài ra ta có công thức liên hệ sau: An k = C k n.k
Ví dụ: 1 tổ có 10 bạn, lấy 4 bạn đi dọn vệ sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Ta lấy từ 10 người ra 4 người và không sắp xếp thứ tự
Chỉnh hợp là quá trình chọn k phần tử khác nhau từ n phần tử trong tập hợp A (với n ≥ 1) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định Đây được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp được xác đinh bằng công thức sau đây:
Trong đó A k n là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n)
Chú ý: - Với quy ước 0! = 1 , ta có A k n = n!/ (n - k)!
Ví dụ: Từ các số 2, 3, 5, 7 có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?
Ta lấy từ 4 số (2,3,5,7) ra 3 số và sắp xếp thứ tự:
Phép thử, các loại biến cố và xác suất của biến cố
Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình mà trong đó kết quả không thể dự đoán trước, mặc dù chúng ta đã biết rõ các kết quả khả thi có thể xảy ra.
Một thí nghiệm, một phép đo hay sự quan sát nào đó, được hiểu là một phép thử
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu là Ω (ô mê ga)
Biến cố được hiểu là một tập hợp con của không gian mẫu và nó thường được ký hiệu bằng chữ in hoa A,B,C
Tập rỗng là biến cố không thể xảy ra
Tập Ω (ô mê ga) là biến cố chắc chấn xảy ra
Khi gieo con súc sắc, biến cố không thể xảy ra là việc xuất hiện mặt 7 chấm, trong khi biến cố chắc chắn xảy ra là khi con súc sắc không vượt quá 6 chấm.
2.3 Xác suất của biến cố
Một đặc trưng quan trọng của biến cố trong một phép thử là khả năng xảy ra của nó Câu hỏi đặt ra là liệu biến cố có xảy ra hay không, và xác suất xảy ra của nó là bao nhiêu Để đánh giá khả năng xảy ra này, cần gán cho biến cố một con số hợp lý, được gọi là xác suất của biến cố.
Đinh nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê của xác suất
3.1 Định lí cộng xác suất Đị nh lý 1 : Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất của từng biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố đó
Nếu A, B không xung khắc thì: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
Trong ví dụ này, một người đi chào hàng tại hai địa điểm độc lập Xác suất nhận được đơn đặt hàng tại địa điểm thứ nhất là 0,3, trong khi xác suất tại địa điểm thứ hai là 0,4 Để tính xác suất tổng thể mà người đó nhận được ít nhất một đơn đặt hàng, ta có thể áp dụng công thức xác suất cho các sự kiện độc lập.
- Gọi: C “người đó có nhận được đơn đặt hàng”
A “nơi thứ nhất đặt hàng” P(A) = 0,3
B “nơi thứ hai đặt hàng” P(B) = 0,4
- Ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B) (vì A và B không xung khắc)
Mà P(A.B) = P(A).P(B) (vì A và B độc lập)
Thay số P(C) = P(A + B) = 0,3 + 0,4 – 0,3 × 0,4 = 0,58 Đị nh lý 2 : Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc bằng tổng hai xác suất của hai biến cố thành phần
Nếu A và B xung khắc thì: P(A + B) = P(A) + P(B)
Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần Tính xác suất để xuất hiện nhiều nhất là 2 chấm
- Gọi A "xuất hiện nhiều nhất hai chấm”
A1 "xuất hiện mặt một chấm" => P(A1) = 1/6
A2 "xuất hiện mặt hai chấm" => P(A2) = 1/6
- Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An là xung khắc từng đôi thì:
P(A1 + A2 +…+An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An) Đị nh lý 3 : Tổng các xác suất của một nhóm biến cố đầy đủ bằng 1
Nếu A1, A2,…, An tạo thành nhóm đầy đủ thì:
P(A1) + P(A2) +…+ P(An)=1 Đị nh lý 4: Nếu A và Ā là 2 biến cố đối lập thì
Trong ví dụ này, một người đi chào hàng tại hai địa điểm độc lập Xác suất để địa điểm thứ nhất nhận đơn đặt hàng là 0,3 và xác suất tại địa điểm thứ hai là 0,4 Để tính xác suất người đó không nhận được đơn đặt hàng, ta cần tính xác suất không có đơn từ mỗi địa điểm, sau đó nhân hai xác suất này với nhau Xác suất không nhận đơn từ địa điểm thứ nhất là 0,7 và từ địa điểm thứ hai là 0,6 Do đó, xác suất tổng thể không nhận được đơn đặt hàng là 0,7 x 0,6 = 0,42.
Gọi A ‘‘người đó không nhận được đơn đặt hàng’’ Ā ‘‘người đó có nhận được đơn đặt hàng’’
Ta thấy Ā = C (Theo ví dụ 1 trong phần định lý 1)
3.2 Định lý nhân xác suất
Xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra của biến cố B khi biết rằng biến cố A đã xảy ra, được ký hiệu là P(B | A).
Trong ví dụ này, có một hộp chứa 10 sản phẩm, bao gồm 6 sản phẩm chính và 4 sản phẩm phế phẩm Khi lấy ra hai sản phẩm một cách không hoàn lại, cần tính xác suất để xác định tỷ lệ sản phẩm chính và phế phẩm được chọn.
- Lần thứ hai lấy được chính phẩm biết rằng lần thứ nhất lấy được chính phẩm
- Lần thứ hai lấy được chính phẩm biết rằng lần thứ nhất lấy được phế phẩm Giải: Đặt A “lần thứ nhất lấy được chính phẩm”
B “lần thứ hai lấy được chính phẩm”
Tích của hai biến cố phụ thuộc được tính bằng cách nhân xác suất của một biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại Ví dụ, 6/10 x 5/9 = 1/3 = 0,333.
Nếu A và B là phụ thuộc thì: P(A.B) = P(A).P(B|A)
Trong ví dụ này, một hộp chứa 10 sản phẩm, bao gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Khi thực hiện việc lấy ra 2 sản phẩm theo phương thức không hoàn lại, ta cần tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm.
-Gọi C "Lấy được 2 chính phẩm”
A "Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất”
B "Lấy được chính phẩm ở lần thứ hai"
Do phương thức lấy là không hoàn lại nên A và B là phụ thuộc
Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An là phụ thuộc thì:
P(A 1A2…An) = P(A1).P(A2|A1)…P(An|An–1) Đị nh lý 2: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích các xác suất thành phần
Nếu A và B là độc lập thì: P(A.B) = P(A).P(B)
Trong một hộp chứa 10 sản phẩm, bao gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm, người ta sẽ lấy ra 2 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại Câu hỏi đặt ra là xác suất để lấy được 2 chính phẩm trong quá trình này.
-Gọi C "Lấy được 2 chính phẩm”
A "Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất”
B "Lấy được chính phẩm ở lần thứ hai"
- Do phương thức lấy là có hoàn lại nên A và B là độc lập
Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An là độc lập toàn phần thì:
Từ định lý 1 và 2 ta suy ra:
- Nếu P(B) = 0 và P(A) = 0 thì P(A | B) và P( B | A) là không xác định
- Nếu A và B độc lập và P(A) > 0 ; P(B) > 0 thì: P(A) = P(A.B) / P(B) và P(B) = P (A.B) / P(A)
- A và B độc lập khi và chỉ khi: P(A.B) = P(A).P(B)
- Nếu A và B là độc lập thì A và B , Ā và B, Ā và B cũng độc lập
Lược đồ Bernoulli mô tả n phép thử độc lập với xác suất xảy ra của biến cố A là p Định lý Bernoulli cho phép tính xác suất biến cố A xảy ra đúng x lần trong n phép thử, ký hiệu là P(x | n, p), thông qua một công thức cụ thể.
Ví dụ: Một người đi chào hàng ở 5 nơi độc lập nhau, xác suất mỗi nơi đặt hàng đều bằng 0,4 Tính xác suất để
- Có đúng 1 nơi đặt hàng
- Có đúng 2 nơi đặt hàng
Coi việc chào hàng ở mỗi nơi là 1 phép thử => n = 5
Gọi A “đặt hàng“ thì P(A) = 0,4 trong mỗi phép thử
=> Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 5 và p = P(A) = 0,4
Xác suất để có đúng 1 nơi đặt hàng là:
Xác suất để có đúng 2 nơi đặt hàng là:
P(x = 2 | n = 5;p = 0,4) = C 2 5 (0,4) 2 (1 - 0,4) 3 = 10 x 0,16 x 0,216 = 0,3456 Đặt C ‘‘có nơi đặt hàng’’ => C ‘‘không nơi nào đặt hàng’’
Lưu ý rằng, ngoài việc sử dụng máy tính bấm tay để tính xác suất, đối với các bài toán có n lên đến 12 và p là các giá trị lẻ đến 0,5, bạn có thể tham khảo bảng Phụ lục 1 để tra cứu các xác suất.
3.4 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Hệ n các biến cố A1,A2, , An được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép thử bắt buộc có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra
Trong một hộp có ba màu sắc: xanh, đỏ và vàng, khi chọn ngẫu nhiên một màu, ta định nghĩa các biến cố A, B, C tương ứng với việc chọn màu xanh, đỏ và vàng Các biến cố này tạo thành một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi.
3.4.1 Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử A1,A2, ,An Là hệ đầy đủ các biến cố và P(Ai)>0 với mọi i 1,2 ,n Khi đó với A là biến cố bất kì với P(A)> 0 ta có:
Một xí nghiệp có hai phân xưởng với tỷ lệ phế phẩm lần lượt là 1% và 2% Phân xưởng I chiếm 40% sản lượng, trong khi phân xưởng II chiếm 60% Để tính xác suất chọn ngẫu nhiên một phế phẩm từ kho của xí nghiệp, ta áp dụng công thức xác suất kết hợp giữa tỷ lệ sản xuất và tỷ lệ phế phẩm của từng phân xưởng.
Gọi A1, A2 là biến cố lấy được 1 sản phẩm của phân xưởng I, II thì A1, A2 là nhóm đầy đủ và xung khắc
Gọi A: lấy được một phế phẩm
Giả sử A1,A2, ,An Là hệ đầy đủ các biến cố và P(Ai)>0 với mọi i 1,2 ,n Khi đó với A là biến cố bất kì với P(A)> 0 ta có:
Giả sử lấy ra được 1 phế phẩm, tìm xác suất để phế phẩm là của phân xưởng I?
Ví dụ 2: Có 3 hộp giống nhau: hộp I chứa 20 bi trắng; hộp II chứa 10 bi trắng và
Trong bài toán xác suất này, có hai hộp: hộp I chứa 10 viên bi xanh và hộp III chứa 20 viên bi xanh Khi chọn ngẫu nhiên một hộp và bốc ra một viên bi trắng, ta cần tìm xác suất để viên bi đó đến từ hộp I Để giải quyết, ta cần xem xét xác suất chọn từng hộp và xác suất bốc được viên bi trắng từ mỗi hộp.
Gọi Ak: chọn hộp thứ k ( k = 1,2,3)
Suy ra { Ak } đầy đủ và xung khắc
3.5 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Biến ngẫu nhiên là các biến có giá trị ngẫu nhiên, đại diện cho kết quả của một phép thử Mỗi giá trị x mà biến ngẫu nhiên X nhận được được gọi là một thể hiện của X, đồng thời là kết quả của phép thử, hay còn được hiểu là một sự kiện.
Biến ngẫu nhiên là một hàm ánh xạ từ không gian sự kiện đầy đủ đến một số thực, được ký hiệu là X: Ω↦R.
Biến ngẫu nhiên có 2 dạng:
Rời rạc (discrete): tập giá trị nó là rời rạc, tức là đếm được
Ví dụ như mặt chấm của con xúc xắc
Liên tục (continous): tập giá trị là liên tục tức là lấp đầy 1 khoảng trục số
Ví dụ như giá thuê nhà ở Hà Nội
3.5.2 Quy luật phân phối xác suất
Là phương pháp xác định xác suất của biến ngẫu nhiên được phân phối ra sao
THỐNG KÊ TOÁN
Ước lượng tham số
Trong một tổng thể, khả năng được điều tra của mỗi phần tử là như nhau, tức là xác suất để mỗi phần tử bị chọn trong mỗi lần chọn là đồng nhất Mỗi lần chọn mẫu chỉ lấy ra một phần tử, và các phần tử này độc lập với nhau, có các đặc tính tương đồng Do đó, kỳ vọng và phương sai của đại lượng nghiên cứu cho mỗi phần tử được chọn đều giống nhau Để lấy một mẫu kích thước n, cần thực hiện n lần chọn ngẫu nhiên, trong đó mỗi phần tử được chọn có đại lượng nghiên cứu là X, là ngẫu nhiên và giống nhau ở mọi lần Từ đó, ta định nghĩa mẫu ngẫu nhiên: một mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2,…, Xn được hình thành từ biến ngẫu nhiên X trong tổng thể và có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên gốc X.
Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2,…,Xn)
Do mỗi lần lấy phần tử cho mẫu, biến ngẫu nhiên X đều là như nhau, do đó kỳ vọng và phương sai của chúng đều bằng nhau
Mẫu ngẫu nhiên là mẫu được lấy một cách trừu tượng và chưa được thực hiện Khi thực hiện việc chọn n phần tử, ta thu được một bộ số cụ thể Nếu lần chọn đầu tiên có giá trị X1 = x1 và tiếp tục cho đến Xn = xn, với x1, x2,…, xn là các con số, thì ta có một mẫu đã điều tra, gọi là mẫu cụ thể, bao gồm n con số, hay còn gọi là một bộ số liệu Định nghĩa mẫu cụ thể: Mẫu cụ thể là một bộ n số thực (x1, x2,…, xn), là kết quả của việc thực hiện một phép thử từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn).
Ký hiệu mẫu cụ thể là w = (x1, x2, … , xn)
Mỗi con số gọi là một quan sát Do đó mẫu kích thước n sẽ có n quan sát Như vậy:
- Mẫu ngẫu nhiên là một bộ n biến ngẫu nhiên, ký hiệu viết hoa
- Mẫu cụ thể là một bộ số liệu gồm n con số cụ thể, ký hiệu viết thường
2.1 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất
2.1.1 Ước lượng điểm : Giả sử tổng thể có tham số Θ, sau khi khảo sát mẫu ta tính được các thống kê, dựa vào các thống kê để đưa ra 1 số T thay thế Θ gọi là ước lượng điểm của Θ
Không chệch là khái niệm đơn giản chỉ ra rằng ước lượng không chứa sai số hệ thống, nghĩa là không có xu hướng đưa ra các giá trị nhỏ hơn hoặc lớn hơn giá trị thực Θ.
- Hiệu quả: trong các ước lượng có cùng tính chất, chọn ước lượng có phương sai nhỏ nhất
- Vững: khi tăng dung lượng mẫu n lên vô hạn thì ước lượng sẽ dần đến Θ (dần đến theo xác suất)
- Chắc hay bền: không thay đổi nhiều khi trong mẫu có các số liệu quá nhỏ hay quá lớn
Nếu không thể đưa ra ước lượng hoàn hảo trong mọi khía cạnh, bạn có thể lựa chọn ước lượng đáp ứng một số tiêu chí nhất định tùy theo mục đích sử dụng.
- Khi có phân phối chuẩn N(μ;σ 2 ) thì ước lượng trên nhiều mặt là trung bình cộng và phương sai mẫu σ 2
- Khi có phân phối nhị thức B(n,p) thì ước lượng tốt của tham số p là tần suất
2.1.2 Ước lượng khoảng Đây là cách tiếp cận có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học đòi hỏi phải thường xuyên xử lí số liệu như sinh học, y học, hóa học, kinh tế… Theo cách tiếp cận này sau khi tính các thống kê của mẫu quan sát, ta đưa ra khoảng [a;b] chứa tham số Θ Cận dưới a và cận trên b tính theo 1 quy tắc cụ thể dựa trên các thống kê và dựa trên mức độ tin cậy P
Sau khi chọn mẫu, chúng ta xác định khoảng tin cậy [a; b] Nếu tham số Θ nằm trong khoảng này, khoảng tin cậy được coi là đúng; nếu không, nó sẽ sai Mỗi khoảng tin cậy chỉ có thể đúng hoặc sai, với xác suất đúng là P và xác suất sai là a = 1 – P Điều này có nghĩa là nếu áp dụng quy tắc tính khoảng tin cậy, trung bình trong 100 trường hợp, sẽ có P.100 trường hợp đúng Chúng ta sẽ không đi sâu vào lý thuyết mà sẽ trình bày quy tắc ước lượng tham số cho ba trường hợp cụ thể.
- Ước lượng kỳ vọng μ của phân phối chuẩn khi biết phương sai σ 2
Các bước cần làm để ước lượng μ:
+ Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng Chọn mức tin cậy γ (α = 1 – γ gọi là mức sai cho phép hay mức ý nghĩa)
+ Dùng bảng tích phân hàm Laplace để tính giá trị tới hạn , tức là giá trị u sao cho:
+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:
Lưu ý: nếu hàm phân phối chuẩn là thì tính , tức là giá trị u sao cho: Giá trị này ở 1 số sách còn được cho bởi bảng phân vị chuẩn
2.2 Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số P của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không – một
TH1: Khi n đủ lớn (n>30): thay σ ở công thức (1) bằng độ lệch chuẩn hiệu chỉnh s TH2: Khi n < 30
Các bước cần làm để ước lượng m:
+ Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng Tính phương sai mẫu
+ Dùng bảng phân phối Student, tính giá trị tới hạn , tức là giá trị t ở cột α, dòng n – 1
+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:
Để ước lượng năng suất của một giống ngô, các nhà nghiên cứu theo dõi 25 mảnh ruộng và ghi nhận sản lượng thu hoạch tính bằng đơn vị tạ/ha Giả thiết rằng năng suất ngô tuân theo phân phối chuẩn với mức tin cậy P = 0,95.
Tra bảng phân phối Student ta được: t(24; 0,05) = 2,064
Vậy khoảng ước lượng năng suất trung bình của giống ngô:
2.3 Ước lượng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn
Trong một tổng thể gồm hai loại cá thể với số lượng lớn, tỷ lệ của loại A là p (chưa xác định) Khi chọn ngẫu nhiên một cá thể, xác suất để chọn được loại A là p Nếu lấy ngẫu nhiên n cá thể và trong số đó có m cá thể thuộc loại A, điều này cho thấy sự phân bố của các loại cá thể trong tổng thể.
+ Lấy mẫu kích thước n, đếm tần số (m) xuất hiện cá thể loại A, tính tần suất
+ Dùng bảng tích phân hàm Laplace để tính giá trị tới hạn , tức là giá trị u sao cho:
+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:
2.4 Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn
Theo (1), nửa chiều dài khoảng ước lượng: Nếu muốn ước lượng đạt độ chính xác ε thì phải lấy L ≤ ε Từ đó:
3 Kiểm định giả thuyết thống kê
Khi tiến hành nghiên cứu định lượng, việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu và giả thuyết là rất quan trọng Phương pháp kiểm định giả thuyết, hay còn gọi là kiểm định ý nghĩa thống kê, được sử dụng để đánh giá tính chính xác của các giả thuyết này.
Tom và Jerry, hai giáo viên môn thống kê, đều muốn áp dụng phương pháp giảng dạy hiệu quả cho lớp học của mình Trong khi lớp của Tom yêu cầu sinh viên thực hiện bài tiểu luận để củng cố kiến thức, Jerry lại tin rằng việc lắng nghe trên lớp là cách tiếp cận tốt hơn Đây là lần đầu tiên Tom cho sinh viên làm tiểu luận, và cô hy vọng rằng phương pháp này sẽ nâng cao hiệu quả học tập của họ.
3.2 Kiểm định về trung bình tổng thể
Cũng tương tự bài toán ước lượng khoảng, ta chỉ xét bài toán kiểm định với tổng thể phân phối Chuẩn
Xét biến ngẫu nhiên gốc trong phân phối chuẩn X ~ N(μ; σ²) với các tham số tổng thể chưa biết, trong đó μ là trung bình tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu Chúng ta kiểm định giả thiết về tham số μ bằng cách so sánh với một số thực μ₀ cho trước Các công thức đã được trình bày trong giáo trình, và ở đây chúng ta áp dụng chúng để thực hiện kiểm định và đưa ra kết luận phù hợp với từng trường hợp.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã tiến hành cân trọng lượng của một loại quả cụ thể, với kết quả được ghi lại trong bảng dữ liệu dưới đây Số liệu này được thu thập từ các quả được chọn ngẫu nhiên, nhằm mục đích phân tích và hiểu rõ hơn về đặc điểm trọng lượng của loại quả này.
Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn
(a) Tiêu chuẩn đặt ra cho trọng lượng trung bình của quả là 30g Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói loại quả trên đạt tiêu chuẩn hay không?
(b) Mùa vụ trước trọng lượng trung bình của loại quả này là 29g Với mức ý nghĩa 5% có thể nói trọng lượng trung bình đã tăng lên không?
3.3 Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể
Giả sử trong tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn, X ~ N( ,
Tham số 2 thể hiện độ phân tán, độ biến động, độ ổn định và độ đồng đều của tổng thể trong nghiên cứu, nhưng hiện tại vẫn chưa được xác định.
Chúng ta thực hiện kiểm định giả thuyết để xác định mối quan hệ giữa phương sai tổng thể ² và một giá trị cụ thể ²₀ Để thực hiện kiểm định này, ta sử dụng một mẫu có kích thước n, với phương sai mẫu được tính là S² và độ lệch chuẩn là S.