Giáo trình toán kinh tế

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI GIÁO TRÌNH MƠN HỌC: TỐN KINH TẾ NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG (LIÊN THÔNG) Ban hành kèm theo Quyết định số: / QĐ-CĐCG ngày … tháng năm 2022 Trường cao đẳng Cơ Giới Quảng Ngãi, năm 2022 (Lưu hành nội bộ) TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin phép dùng nguyên trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm LỜI NĨI ĐẦU Tốn học kinh tế hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với Kinh tế nguồn cảm hứng cho toán học thực khả tiềm mình, cịn tốn học cơng cụ giúp cho việc phân tích, giải vấn đề kinh tế cách chặt chẽ, hợp lý hiệu Toán kinh tế việc nghiên cứu để mô tả vấn đề kinh tế dạng mơ hình tốn học thích hợp từ góc độ tốn học tìm lời giải cho mơ hình đó, từ giúp nhà kinh tế tìm giải pháp tối ưu cho tốn kinh tế Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập mơn Tốn kinh tế cho sinh viên hệ Cao đẳng, chúng tơi biên soạn giáo trình Giáo trình khơng sâu vào vấn đề lý luận kỹ thuật toán học phức tạp mà tập trung trình bày nội dung thuật tốn lý thuyết tối ưu tuyến tính Nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ giáo trình có đầy đủ ví dụ cụ thể mơ tả tình huống, hướng dẫn tỉ mỉ tồn q trình giải vấn đề Nội dung giáo trình gồm chương: Chương 1: Đại số tuyến tính Chương 2: Phương pháp đơn hình toán đối ngẫu Chương 3: Toán xác suất Chương 4: Thống kê tốn Mặc dù có nhiều cố gắng, giáo trình chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong bạn đọc góp ý để sách ngày hoàn thiện Quảng Ngãi, ngày tháng năm Tác giả Võ Đình Hiển Chủ biên MỤC LỤC GIÁO TRÌNH LỜI NÓI ĐẦU Tên mơn học: Tốn kinh tế CHƯƠNG 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 12 Vectơ n chiều phép tính 13 1.1 Định nghĩa 13 1.2 Các phép toán vectơ 13 1.3 Độc lập phụ thuộc tuyến tính 14 Ma trận 15 2.1 Các khái niệm 15 2.2 Các phép tính ma trận 16 Định thức 17 3.1 Cách xác định giá trị định thức 17 3.2 Tính chất định thức 18 Ma trận nghịch đảo 18 4.1 Định nghĩa 18 4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo 18 Hệ phương trình tuyến tính 19 5.1 Khái niệm 19 5.2 Phương pháp giải 20 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TỐN ĐỐI NGẪU 23 Các khái niệm, tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính 24 1.1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 24 1.2 Bài tốn qui hoạch tuyến tính dạng đặc biệt 25 1.3 Phương án cực biên 28 1.4 Các tính chất chung tốn qui hoạch tuyến tính 30 Phương pháp đơn hình 30 2.1 Nội dung sở phương pháp 30 2.2 Thuật toán phương pháp đơn hình 32 2.3.Thuật toán mở rộng 34 Bài toán đối ngẫu 36 3.1 Định nghĩa 37 3.2 Sơ đồ viết toán đối ngẫu 38 CHƯƠNG 3: TOAN XAC SUẤT 41 Giải tích tổ hợp 43 1.1.Tính giai thừa, hốn vị 43 1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp 43 Phép thử, loại biến cố xác suất biến cố 44 2.1.Phép thử 44 2.2 Biến cố 44 2.3 Xác suất biến cố 45 Đinh nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê xác suất 45 3.1 Định lí cộng xác suất 45 3.2 Định lý nhân xác suất 46 3.3 Công thức Bernoulli 48 3.4 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 48 3.5 Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 50 CHƯƠNG 4: THỐNG KÊ TOÁN 53 Cơ sở lý thuyết mẫu 54 1.1 Khái niệm 54 1.2 Các phương pháp mô tả tổng thể 56 1.3 Các tham số đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 59 Ước lượng tham số 60 2.1 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai xác suất 60 2.2 Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số P biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không – 62 2.3 Ước lượng kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 62 2.4 Ước lượng phương sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 63 Kiểm định giả thuyết thống kê 63 3.1 Khái niệm 63 3.2 Kiểm định trung bình tổng thể 63 3.3 Kiểm định giả thuyết phương sai tổng thể 64 3.4 Kiểm định tỷ lệ tổng thể 64 GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Tốn kinh tế Mã số mơn học: MH 14 Thời gian môn học: 75 (Lý thuyết: 49 giờ; Thực hành, thí nghiệm, thảo luận, tập: 22 giờ; Kiểm tra: giờ) I VỊ TRÍ, TÍNH CHẤT CỦA MƠN HỌC: - Vị trí: Là mơn học sở nghề kế toán doanh nghiệp, bố trí học song song với mơn kinh tế vi mơ - Tính chất: Là mơn học tự chọn Với vai trị mơn học độc lập, xây dựng phát triển học thuyết kinh tế quản trị kinh doanh, giúp người học vận dụng tốt môn chuyên môn nghề II MỤC TIÊU MÔN HỌC: - Kiến thức: A1 Vận dụng kiến thức kinh tế học cơng cụ tốn để xây dựng, mơ hình A2 Phân tích mối liên hệ định tính, định lượng biến số kinh tế nhiều lĩnh vực sử dụng phương pháp như: phân tích cân bằng, phân tích tối ưu, quy hoạch tuyến tính, thống kê tốn - Kỹ năng: B1 Xây dựng mơ hình tốn kinh tế phân tích mơ hình B2 Làm tốn quy hoạch tuyến tính, xác suất thống kê toán - Năng lực tự chủ trách nhiệm C1 Có phẩm chất đạo đức, kỷ luật tốt, có ý thức tự rèn luyện để nâng cao trình độ Chương trình khung nghề kế tốn doanh nghiệp Số tín Mã MH, MĐ Tên mơn học, mô đun I MH 01 MH 02 MH 03 MH 04 MH 05 MH 06 Các môn học chung/đại cương Chính trị Pháp luật Giáo dục thể chất Giáo dục quốc phòng - An ninh Tin học Ngoại ngữ (Anh văn) 1 1 1 II Các môn học, mô đun đào tạo 35 Thời gian đào tạo (giờ) Trong Tổng Lý Thực Kiểm số thuyết hành tra 180 63 107 10 45 26 16 15 30 27 30 15 14 30 19 30 12 16 720 320 362 18 chuyên môn nghành, nghề MH Anh văn chuyên ngành 60 40 16 MH Tài doanh nghiệp 45 30 12 MĐ Kế toán doanh nghiệp 30 25 MĐ 10 Thực hành kế toán doanh nghiệp thương mại 85 80 MH 11 Kế toán quản trị 60 30 26 MH 12 Kiểm toán 30 15 13 MĐ 13 Thực tập nghề 95 95 MH 14 Toán kinh tế 75 49 22 MH 15 Kinh tế vĩ mô 45 30 12 MH 16 Kinh tế phát triển 45 25 17 MH 17 Quản lý ngân sách 45 25 17 MH 18 Kế toán thương mại dịch vụ 60 26 30 MH 19 Quản trị văn phòng 45 25 17 Tổng cộng 41 900 383 459 38 Chương trình chi tiết mơn học Thời gian (giờ) Số TT Tên chương, mục Tổng Lý Thực Kiểm số thuyết hành tra 10 12 I Đại số tuyến tính II Phương pháp đơn hình tốn đối 20 ngẫu III Tốn xác suất 20 15 IV Thống kê toán 25 16 Cộng 75 49 22 Điều kiện thực mơn học: 3.1 Phịng học Lý thuyết/Thực hành: Đáp ứng phòng học chuẩn 3.2 Trang thiết bị dạy học: Projetor, máy vi tính, bảng, phấn, tranh vẽ 3.3 Học liệu, dụng cụ, mơ hình, phương tiện: Giáo trình; máy tính… 3.4 Các điều kiện khác: Người học tìm hiểu thêm tốn thực tế Nội dung phương pháp đánh giá: 4.1 Nội dung: - Kiến thức: Đánh giá tất nội dung nêu mục tiêu kiến thức - Kỹ năng: Đánh giá tất nội dung nêu mục tiêu kỹ - Năng lực tự chủ trách nhiệm: Trong trình học tập, người học cần: + Nghiên cứu trước đến lớp + Chuẩn bị đầy đủ tài liệu học tập + Tham gia đầy đủ thời lượng môn học + Nghiêm túc trình học tập 4.2 Phương pháp: Người học đánh giá tích lũy mơn học sau: 4.2.1 Cách đánh giá - Áp dụng quy chế đào tạo Liên thông quy ban hành kèm theo Thơng tư số 09/2017/TT-BLĐTBXH, ngày 13/3/2017 Bộ trưởng Bộ Lao động – Thương binh Xã hội - Hướng dẫn thực quy chế đào tạo áp dụng Trường Trọng số Cao đẳng Cơ giới sau:Điểm đánh giá + Điểm kiểm tra thường xuyên (Hệ số 1) 40% + Điểm kiểm tra định kỳ (Hệ số 2) + Điểm thi kết thúc môn học 60% 4.2.2 Phương pháp đánh giá Phương pháp Phương pháp Hình thức Chuẩn đầu Số Thời điểm đánh giá tổ chức kiểm tra đánh giá cột kiểm tra Thường xuyên Viết/ Tự luận/ Sau Phát vấn Trắc nghiệm/ A1, A2, B1, B2, C1 A1, A2, B1, B2, C1 Sau A1, A2, B1, B2, C1 Sau 75 Vấn đáp Định kỳ Kết thúc môn học Viết / Trắc nghiệm Vấn đáp thực hành Tự luận/ Trắc nghiệm/ thực hành Tự luận/ Trắc nghiệm/ thực hành 4.2.3 Cách tính điểm - Điểm đánh giá thành phần điểm thi kết thúc mô đun chấm theo thang điểm 10 (từ đến 10), làm tròn đến chữ số thập phân - Điểm mô đun tổng điểm tất điểm đánh giá thành phần mô đun nhân với trọng số tương ứng Điểm mô đun theo thang điểm 10 làm tròn đến chữ số thập phân Hướng dẫn thực môn học 5.1 Phạm vi, đối tượng áp dụng: Đối tượng Cao đẳng (liên thơng) kế tốn doanh nghiệp 5.2 Phương pháp giảng dạy, học tập môn học 5.2.1 Đối với người dạy * Lý thuyết: Áp dụng phương pháp dạy học tích cực bao gồm: Trình chiếu, thuyết trình ngắn, nêu vấn đề, hướng dẫn đọc tài liệu, tập cụ thể, câu hỏi thảo luận nhóm… * Thực hành: - Phân chia nhóm nhỏ thực tập thực hành theo nội dung đề - Khi giải tập, làm Thực hành, thí nghiệm, tập: Giáo viên hướng dẫn, thao tác mẫu sửa sai chỗ cho nguời học - Sử dụng mô hình, học cụ mơ để minh họa tập ứng dụng hệ truyền động dùng điện tử công suất, loại thiết bị điều khiển * Thảo luận: Phân chia nhóm nhỏ thảo luận theo nội dung đề * Hướng dẫn tự học theo nhóm: Nhóm trưởng phân cơng thành viên nhóm tìm hiểu, nghiên cứu theo yêu cầu nội dung học, nhóm thảo luận, trình bày nội dung, ghi chép viết báo cáo nhóm 5.2.2 Đối với người học: Người học phải thực nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu kỹ học nhà trước đến lớp Các tài liệu tham khảo cung cấp nguồn trước người học vào học môn học (trang web, thư viện, tài liệu ) - Sinh viên trao đổi với nhau, thực thực hành báo cáo kết - Tham dự tối thiểu 70% giảng tích hợp Nếu người học vắng >30% số tích hợp phải học lại mơ đun tham dự kì thi lần sau - Tự học thảo luận nhóm: Là phương pháp học tập kết hợp làm việc theo nhóm làm việc cá nhân Một nhóm gồm 2-3 người học cung cấp chủ đề thảo luận trước học lý thuyết, thực hành Mỗi người học chịu trách nhiệm số nội dung chủ đề mà nhóm phân cơng để phát triển hoàn thiện tốt toàn chủ đề thảo luận nhóm - Tham dự đủ kiểm tra thường xuyên, định kỳ - Tham dự thi kết thúc môn học - Chủ động tổ chức thực tự học Tài liệu tham khảo: [1]- TS Nguyễn Duy Thuận, ThS Phi Mạnh Ban, TS Nông Quốc Chinh Giáo trình Tốn cao cấp A1- NXB ĐH Sư Phạm- ĐH-2003; [2]- TS Đỗ Văn Nhơn, ThS Nguyễn Mạnh Cường, Giáo trình Tốn cao cấp A2- NXB ĐH Quốc Gia TP HCM- 2008; [3]- Ngô Thiện, Đặng Thành Danh, Giáo trình Tốn Cao cấp C1- ĐH Nơng Lâm TP HCM- 2010; 10 CHƯƠNG 4: THỐNG KÊ TOÁN Mã chương: MH 14- 04 Giới thiệu: Trang bị cho người học kiến thức chung khái niệm mẫu đại lượng tính tốn mẫu, phân biệt với tổng thể nghiên cứu Các kiến thức phần lý thuyết xác suất cần nắm vững để áp dụng này, đặc biệt kiến thức phân phối Chuẩn phân phối Không – Mục tiêu: - Tìm tham số đặc trưng tổng thể; - Vận dụng quy luật phân phối số thống kê đặc trưng mẫu để ước lượng tham số biến ngẫu nhiên kiểm định giả thuyết thống kê; - Rèn luyện tác phong làm việc nghiêm túc tỉ mỉ, cẩn thận, xác Phương pháp giảng dạy học tập chương - Đối với người dạy: Sử dụng phương pháp giảng giảng dạy tích cực (diễn giảng, vấn đáp, dạy học theo vấn đề); yêu cầu người học nhớ giá trị đại lượng, đơn vị đại lượng - Đối với người học: Chủ động đọc trước giáo trình trước buổi học Điều kiện thực học - Phòng học chun mơn hóa/nhà xưởng: Phịng học chun mơn - Trang thiết bị máy móc: Máy chiếu thiết bị dạy học khác - Học liệu, dụng cụ, nguyên vật liệu: Chương trình mơn học, giáo trình, tài liệu tham khảo, giáo án, phim ảnh, tài liệu liên quan - Các điều kiện khác: Khơng có Kiểm tra đánh giá học - Nội dung:  Kiến thức: Kiểm tra đánh giá tất nội dung nêu mục tiêu kiến thức  Kỹ năng: Đánh giá tất nội dung nêu mục tiêu kĩ  Năng lực tự chủ trách nhiệm: Trong trình học tập, người học cần: + Nghiên cứu trước đến lớp + Chuẩn bị đầy đủ tài liệu học tập 53 + Tham gia đầy đủ thời lượng môn học + Nghiêm túc trình học tập - Phương pháp:  Điểm kiểm tra thường xuyên: điểm kiểm tra (hình thức: hỏi miệng)  Kiểm tra định kỳ lý thuyết: cột kiểm tra hình thức: Viết/trắc nghiệm)  Kiểm tra định hành: khơng có Nơi dung Cơ sở lý thuyết mẫu 1.1 Khái niệm Ta đề cập khái niệm thống kê toán, thuật ngữ, ký hiệu tiếp tục sử dụng mục sau 1.1.1 Biến ngẫu nhiên gốc Thống kê toán nghiên cứu tượng kinh tế – xã hội dựa thông tin thu từ đối tượng nghiên cứu vấn đề nghiên cứu Từ vấn đề nghiên cứu, ta có khái niệm đối tượng nghiên cứu, dấu hiệu nghiên cứu, đại lượng nghiên cứu Ví dụ Nghiên cứu hài lòng sinh viên học Đại học Kinh tế Quốc dân (ĐHKTQD) với phương pháp giảng dạy giảng viên trường, đối tượng nghiên cứu sinh viên học trường Dấu hiệu nghiên cứu hài lòng Tuy nhiên hài lòng khái niệm trừu tượng, phải thể qua đại lượng đánh giá Có hai cách thể đánh giá: Cách 1: lấy ý kiến ý kiến có hai loại, Khơng hài lịng Hài lịng, hai kiểu đánh giá thể qua đại lượng Không – giá trị ứng với trường hợp Khơng hài lịng giá trị ứng với trường hợp Hài lòng Đại lượng – đại lượng nghiên cứu Cách 2: đặt thang điểm từ đến với số lớn thể hài lòng nhiều Như cách đánh giá thể qua đại lượng với giá trị rời rạc Mức điểm đại lượng nghiên cứu Ví dụ (Ví dụ tình huống) Người quản lý cửa hàng quan tâm đến số tiền mà khách hàng chi tiêu cửa hàng Khi đối tượng nghiên cứu khách hàng, dấu hiệu nghiên cứu trường hợp đại lượng nghiên 54 cứu, số tiền khách hàng chi Số tiền khách hàng chi khơng giống nhau, coi đại lượng gần liên tục Qua ví dụ thấy vấn đề nghiên cứu quy đại lượng số Đại lượng có hai giá trị trường hợp Hài lịng hay Khơng hài lịng, có số hữu hạn giá trị, có vô hạn giá trị Trong ngôn ngữ Lý thuyết xác suất, đại lượng biến ngẫu nhiên, gọi Biến ngẫu nhiên gốc Định nghĩa: Đại lượng nghiên cứu Với vấn đề nghiên cứu, biến ngẫu nhiên gốc đại lượng nghiên cứu, nhận giá trị ngẫu nhiên tùy đối tượng nghiên cứu Với ví dụ 1, theo cách đánh giá biến ngẫu nhiên gốc X = {0 ; 1}; với cách đánh giá biến ngẫu nhiên gốc X = {1 ; ; ; ; 5} Với ví dụ 2, biến ngẫu nhiên gốc số tiền khách hàng chi, xét khách hàng có chi tiền, nên X = (0; +) 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu Để có thơng tin đối tượng, có hai phương pháp nghiên cứu nghiên cứu Tổng thể nghiên cứu Mẫu Nghiên cứu tổng thể: nghiên cứu toàn đối tượng theo dấu hiệu nghiên cứu xác định Ưu điểm nghiên cứu tổng thể thông tin đầy đủ, xác, trọn vẹn Tuy nhiên nghiên cứu tổng thể có hạn chế sau: - Phải trả chi phí lớn kinh tế thời gian số lượng phần tử tập hợp toàn lớn - Có thể dẫn tới phá hủy toàn tập hợp nghiên cứu Chẳng hạn nghiên cứu thời gian hoạt động thiết bị điện tử dây chuyền sản xuất đồ hộp Khi áp dụng phương pháp dẫn tới phá hủy toàn thiết bị điện tử sản phẩm đồ hộp - Có tập hợp mà ta khơng thể nghiên cứu tồn khơng thể có đầy đủ thơng tin Chẳng hạn nghiên cứu ô nhiễm nước dòng sông mà muốn lấy thơng tin tồn nước dịng sơng khơng khả thi Với ví dụ hài lịng sinh viên ĐHKTQD, thơng tin tổng thể thu thập với hỗ trợ phòng đào tạo đơn vị khác, nhiên, có nhiều trường hợp sinh viên xin bảo lưu mặt trường, khơng muốn trả lời, nên khó có tồn thơng tin từ tồn sinh viên 55 Bên cạnh nhiều sinh viên cịn khơng trả lời thật, nên thơng tin thu dù nhiều chưa phải thông tin tổng thể Với ví dụ mức chi khách hàng, quan tâm đến khách hàng mua hàng với hệ thống tốn đại, có đầy đủ hóa đơn khách Tuy nhiên có giai đoạn chưa áp dụng thiết bị đại thơng tin khơng lưu trữ, thơng tin lý xóa Tuy nhiên việc quan tâm đến mức chi khách hàng tổng thể khơng cách khách hàng mua, mà cịn mua Khi tổng thể điều tra Trên thực tế, đa số trường hợp nghiên cứu toàn tổng thể khơng khả thi Khi ta sử dụng phương pháp nghiên cứu mẫu Nghiên cứu mẫu: nghiên cứu phận, từ tổng thể nghiên cứu ta lấy tập nghiên cứu phần tử tập từ kết luận cho tồn phần tử tập hợp nghiên cứu Phương pháp thường áp dụng thực tế ưu điểm sau: - Tính khả thi: tổng thể khơng thể điều tra tồn phải chọn mẫu - Chi phí tốn so với điều tra toàn tổng thể - Khả bị trùng lặp thấp, khơng phải điều tra tồn nên bỏ qua số phần tử - Lượng thông tin thu thêm phần tử điều tra có tính giảm dần - Nếu mẫu lấy ngẫu nhiên khoa học thơng tin đảm bảo tính xác Với ví dụ ta xây dựng mẫu điều tra số sinh viên dựa lớp chuyên ngành, lớp tín cấu mơn học để thu thập thơng tin Với ví dụ 2, thơng tin từ ví dụ tình đầu học mẫu Vấn đề thống kê tốn dùng thơng tin từ Mẫu trả lời cho câu hỏi đặt tổng thể Tổng thể điều ta cần biết, muốn biết hầu hết trường hợp kinh tế – xã hội, thông tin tổng thể biết Thông tin mẫu có lại khơng đầy đủ hồn hảo Nếu ta chờ có thơng tin tổng thể định khơng thực Khi buộc phải dùng thông tin từ mẫu để định tổng thể, cho xác có Thống kê toán thực yêu cầu 1.2 Các phương pháp mô tả tổng thể 56 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa tổng thể: Tổng thể tập hợp phần tử đồng theo dấu hiệu nghiên cứu định tính định lượng Số phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể, ký hiệu N; N vơ Ví dụ Tổng thể đánh giá sinh viên đại học hệ học ĐHKTQD, N 20 nghìn (số liệu Phịng Quản lý đào tạo) Tổng thể mức chi khách hàng mua cửa hàng, N vô Tổng thể số vốn đăng ký doanh nghiệp thành lập năm 2013, N 76955 (con số Tổng cục Thống kê công bố) Tổng thể giá vàng bán cửa hàng địa bàn Hà Nội năm 2013, N lớn, coi vơ có nhiều cửa hàng, có nhiều ngày bán, ngày giá lại thay đổi, giá bán cho người mua khác khác nhau, giá bán bán với tổng khối lượng khác khác Khi nghiên cứu tổng thể dấu hiệu nghiên cứu tổng thể định lượng định tính, có hai loại biến tương ứng biến định lượng biến định tính Biến định lượng: biến số, thể số đo phần tử tổng thể nghiên cứu Ví dụ: Cân nặng, chiều cao, tuổi, thu nhập… Khi biến ngẫu nhiên gốc tổng thể đại lượng đo lường đó, có đơn vị đơn vị đại lượng đo lường Biến định tính: biến chất lượng, thể tính chất khơng lượng hóa phần tử tổng thể nghiên cứu Ví dụ: Giới tính người lao động (nam, nữ), loại tốt nghiệp sinh viên (giỏi, khá, trung bình), Hình thức sở hữu doanh nghiệp (nhà nước, tư nhân, nước ngồi…) Biến định tính cịn phân làm hai loại nhỏ biến định danh biến thứ bậc Với yếu tố định tính có nhiều trạng thái, thường đặt mã hóa để chuyển hóa thành số Chi tiết phân loại mã hóa xem giáo trình Trong chương trình mơn học này, ta xét loại biến định tính có hai trạng thái: Có Khơng có tính chất đó, ví dụ xét giới Nam Không phải nam, 57 tốt nghiệp loại Giỏi loại Giỏi, sở hữu Tư nhân Khơng phải sở hữu tư nhân Do gán cho trường hợp Có cho trường hợp Khơng có biến ngẫu nhiên gốc có dạng Khơng – Như với tổng thể có kích thước N, biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể viết dạng: X = {x1, x2,…, xN} với xi giá trị có, i = 1,2,…, N Nếu dấu hiệu nghiên cứu định tính xi 1.2.2 Mô tả tổng thể Khi biến ngẫu nhiên gốc X gồm phần tử {x1, x2,…, xN}, việc liệt kê tất phần tử dài số lượng phần tử lớn Nếu ta không quan tâm phần tử gắn với giá trị mà quan tâm đến độ lớn phân bố giá trị X, việc liệt kê đủ N số không cần thiết Khi ta cần xét số khác 1.2.3 Các tham số đặc trưng tổng thể Cũng giống nghiên cứu biến ngẫu nhiên, nghiên cứu tổng thể ta xét số giá trị đặc trưng để phán đốn, phân tích, nhận xét Định nghĩa Tham số tổng thể: Các đại lượng tính đại lượng nghiên cứu tổng thể, hay biến ngẫu nhiên gốc, phản ánh khía cạnh tổng thể, gọi tham số tổng thể, gọi tắt tham số Có nhiều loại tham số, ta tập trung vào tham số Trung bình tổng thể, Phương sai tổng thể, Độ lệch chuẩn tổng thể, Tỷ lệ tổng thể Định nghĩa Trung bình tổng thể: Trung bình tổng thể, ký hiệu m, trung bình cộng tất giá trị biến ngẫu nhiên gốc tổng thể Phương sai tổng thể : Nếu trung bình tổng thể cho biết giá trị bình quân đại lượng tổng thể, cần đo biến động phần tử tổng thể, ta cần đại lượng để đánh giá, phương sai tổng thể Định nghĩa Phương sai tổng thể: Phương sai tổng thể, ký hiệu  , tính theo cơng thức Độ lệch chuẩn tổng thể Định nghĩa: Độ lệch chuẩn tổng thể, ký hiệu  , bậc hai phương sai tổng thể: 2  2 Độ lệch chuẩn có đơn vị đơn vị X Tương tự phương sai, độ lệch chuẩn thước đo phân tán, dao động, đồng đều, ổn định biến ngẫu nhiên Độ lệch chuẩn lớn tổng thể phân tán, độ lệch chuẩn nhỏ tổng thể đồng 58 Ví dụ Nếu nghiên cứu hai khu vực A B, với biến ngẫu nhiên gốc X thu nhập hộ gia đình, mA , mB trung bình tổng thể khu vực A khu vực B Nếu mA > mB nói thu nhập trung bình khu vực A cao khu vực B, ngắn gọn khu vực A có thu nhập cao khu vực B (bỏ bớt chữ trung bình) Nếu 2A 2B phương sai tổng thể khu vực A khu vực B, 2A 2B nói thu nhập khu vực B đồng khu vực A, hay thu nhập khu vực A phân tán khu vực B Cũng nói xét thu nhập khu vực B bình đẳng khu vực A Tỷ lệ tổng thể Định nghĩa : Tỷ lệ tổng thể (hay gọi tần suất tổng thể) dấu hiệu A, ký hiệu p, tỉ số số phần tử tổng thể mang dấu hiệu kích thước tổng thể 1.3 Các tham số đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 1.3.1 Phương pháp chọn mẫu Để phản ánh tổng thể cách xác nhất, người nghiên cứu mong muốn mẫu phải có tính đại diện tốt Để có mẫu đại diện tốt cho tổng thể người ta thường phải tiến hành xây dựng mẫu theo quy định chọn ngẫu nhiên phần tử mẫu Một mẫu gọi mẫu ngẫu nhiên Có nhiều phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên để thỏa mãn tính đại diện tốt cho tổng thể phù hợp với mục tiêu nghiên cứu: - Mẫu ngẫu nhiên đơn; - Mẫu ngẫu nhiên hệ thống; - Mẫu chùm; - Mẫu phân tổ; - Mẫu nhiều cấp Trong nội dung giảng, ta không sâu vào phương pháp lấy mẫu Sinh viên đọc thêm giáo trình Ta sâu vào khái niệm mẫu ngẫu nhiên mục sau 1.3.2 Mẫu ngẫu nhiên mẫu cụ thể Trong mục có đề cập khái niệm mẫu ngẫu nhiên Hiểu cách đơn giản, mẫu phận nhỏ tương đối so với tổng thể, rút từ tổng thể để điều tra Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên tức để phần tử 59 tổng thể có khả điều tra nhau, hay xác suất để phần tử bị chọn lần chọn Vì lần chọn mẫu lấy phần tử, phần tử có khả bị chọn nhau, nên chúng độc lập với nhau, phần tử lần chọn có đặc tính Vì kỳ vọng, phương sai đại lượng nghiên cứu với phần tử chọn giống Để lấy mẫu gồm n phần tử, hay gọi mẫu kích thước n, cần thực n lần chọn ngẫu nhiên Nếu lần chọn phần tử, đại lượng nghiên cứu phần tử X, X ngẫu nhiên giống lần Từ ta có định nghĩa mẫu ngẫu nhiên Định nghĩa Mẫu ngẫu nhiên: Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2,…, Xn thành lập từ biến ngẫu nhiên X tổng thể có phân phối với biến ngẫu nhiên gốc X Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2,…,Xn) Do lần lấy phần tử cho mẫu, biến ngẫu nhiên X nhau, kỳ vọng phương sai chúng E(X1) = E(X2) = … = E(Xn) = E(X) = m V(X1) = V(X2) = … = V(Xn) = V(X) = σ2 Mẫu ngẫu nhiên mẫu lấy cách trừu tượng, chưa thực Khi thực chọn n phần tử cách thực sự, số Nếu lần chọn giá trị X1 = x1; lần chọn thứ hai X2 = x2,…, Xn = xn với x1, x2,…, xn số, ta có mẫu điều tra, gọi mẫu cụ thể, gồm n số, số liệu Định nghĩa Mẫu cụ thể: Mẫu cụ thể n số thực (x1, x2,…, xn), kết thực phép thử mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) Ký hiệu mẫu cụ thể w = (x1, x2, … , xn) Mỗi số gọi quan sát Do mẫu kích thước n có n quan sát Như vậy: - Mẫu ngẫu nhiên n biến ngẫu nhiên, ký hiệu viết hoa - Mẫu cụ thể số liệu gồm n số cụ thể, ký hiệu viết thường Ước lượng tham số 2.1 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai xác suất 2.1.1 Ước lượng điểm: Giả sử tổng thể có tham số Θ, sau khảo sát mẫu ta tính thống kê, dựa vào thống kê để đưa số T thay Θ gọi ước lượng điểm Θ 60 - Không chệch: hiểu cách đơn giản ước lượng không chứa sai số hệ thống, tức khơng thiên phía đưa giá trị bé Θ khơng thiên phía đưa giá trị lớn Θ - Hiệu quả: ước lượng có tính chất, chọn ước lượng có phương sai nhỏ - Vững: tăng dung lượng mẫu n lên vơ hạn ước lượng dần đến Θ (dần đến theo xác suất) - Chắc hay bền: khơng thay đổi nhiều mẫu có số liệu nhỏ hay lớn Nếu chọn ước lượng tốt phương diện thì, tùy theo mục đích, chọn ước lượng thỏa mãn số tiêu chuẩn nhiều tiêu chuẩn đưa Ví dụ: - Khi có phân phối chuẩn N(μ;σ2) ước lượng nhiều mặt trung bình cộng phương sai mẫu σ2 - Khi có phân phối nhị thức B(n,p) ước lượng tốt tham số p tần suất 2.1.2 Ước lượng khoảng Đây cách tiếp cận có nhiều ứng dụng ngành khoa học địi hỏi phải thường xun xử lí số liệu sinh học, y học, hóa học, kinh tế… Theo cách tiếp cận sau tính thống kê mẫu quan sát, ta đưa khoảng [a;b] chứa tham số Θ Cận a cận b tính theo quy tắc cụ thể dựa thống kê dựa mức độ tin cậy P Sau chọn mẫu, ta đưa khoảng tin cậy [a; b], Θ [a; b] khoảng tin cậy đưa đúng, Θ ngồi khoảng [a; b], khoảng tin cậy đưa sai Như khoảng tin cậy sai, xác suất P, xác suất sai a = – P, hiểu đơn giản tính khoảng tin cậy theo quy tắc đưa trung bình 100 trường hợp, P.100 trường hợp có khoảng tin cậy Khơng sâu vào lý thuyết, ta đưa quy tắc ước lượng tham số cho ba trường hợp: - Ước lượng kỳ vọng μ phân phối chuẩn biết phương sai σ2 Các bước cần làm để ước lượng μ: + Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng Chọn mức tin cậy γ (α = – γ gọi mức sai cho phép hay mức ý nghĩa) 61 + Dùng bảng tích phân hàm Laplace để tính giá trị tới hạn , tức giá trị u cho: + Ước lượng m theo bất đẳng thức kép: Lưu ý: hàm phân phối chuẩn trị u cho: chuẩn tính , tức giá Giá trị số sách cho bảng phân vị 2.2 Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số P biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không – TH1: Khi n đủ lớn (n>30): thay σ công thức (1) độ lệch chuẩn hiệu chỉnh s TH2: Khi n < 30 Các bước cần làm để ước lượng m: + Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng Tính phương sai mẫu + Dùng bảng phân phối Student, tính giá trị tới hạn , tức giá trị t cột α, dòng n – + Ước lượng m theo bất đẳng thức kép: Ví dụ: Để ước lượng suất giống ngô, người ta theo dõi 25 mảnh ruộng Sau thu hoạch (đơn vị tạ/ha) Giả thiết suất ngô phân phối chuẩn Mức tin cậy P = 0,95 Ta có: Tra bảng phân phối Student ta được: t(24; 0,05) = 2,064 Vậy khoảng ước lượng suất trung bình giống ngơ: Hay: 2.3 Ước lượng kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn Một tổng thể gồm loại cá thể với số lượng lớn, tỉ lệ loại A p (chưa biết) Lấy ngẫu nhiên cá thể, coi xác suất thể loại A p Lấy ngẫu nhiên n cá thể, có m cá thể loại A Nếu n lớn (n > 100): + Lấy mẫu kích thước n, đếm tần số (m) xuất cá thể loại A, tính tần suất 62 + Dùng bảng tích phân hàm Laplace để tính giá trị tới hạn , tức giá trị u cho: + Ước lượng m theo bất đẳng thức kép: 2.4 Ước lượng phương sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn Theo (1), nửa chiều dài khoảng ước lượng: Nếu muốn ước lượng đạt độ xác ε phải lấy L ≤ ε Từ đó: Kiểm định giả thuyết thống kê 3.1 Khái niệm Khi thực nghiên cứu định lượng (quantitative research), phải cố gắng trả lời câu hỏi nghiên cứu (research questions) hay giả thuyết đặt Một phương pháp đánh giá giả thuyết thông qua thủ tục gọi kiểm định giả thuyết (hypothesis testing) mà đơi cịn gọi kiểm định ý nghĩa thống kê (significance testing) Ví dụ: hai giáo viên mơn thống kê, Tom Jerry, muốn sử dụng phương pháp tốt để giảng dạy cho sinh viên Mỗi giáo viên giảng dạy lớp gồm 50 sinh viên Trong lớp Tom, sinh viên phải thực tiểu luận bên cạnh việc tiếp thu lớp Tom nghĩ việc làm tiểu luận phương pháp dạy quan trọng môn thống kê, Jerry tin tưởng tốt sinh viên tập trung lắng nghe tiếp thu lớp Đây năm mà Tom cho sinh viên làm tiểu luận, cô ta mong muốn việc làm tiểu luận giúp sinh viên nâng cao hiệu học tập 3.2 Kiểm định trung bình tổng thể Cũng tương tự toán ước lượng khoảng, ta xét toán kiểm định với tổng thể phân phối Chuẩn Xét biến ngẫu nhiên gốc tổng thể phân phối chuẩn X ~ N(μ ;  ) với tham số tổng thể chưa biết, hay  chưa biết,  trung bình tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu Ta kiểm định giả thiết tham số , với việc so sánh với số thực 0 cho trước Các chứng minh trình bày giáo trình, ta áp dụng công thức để thực kiểm định đưa kết luận phù hợp với trường hợp 63 Ví dụ Xem xét trọng lượng loại (tính gam), người ta tiến hành cân thử số lấy ngẫu nhiên, đựợc số liệu cho bảng Trọng lượng (gam) 25 – 27 27 – 29 29 – 31 31 – 33 33 – 35 35 – 37 Số tương ứng 3 Biết trọng lượng đại lượng có phân phối chuẩn (a) Tiêu chuẩn đặt cho trọng lượng trung bình 30g Với mức ý nghĩa 5%, nói loại đạt tiêu chuẩn hay khơng? (b) Mùa vụ trước trọng lượng trung bình loại 29g Với mức ý nghĩa 5% nói trọng lượng trung bình tăng lên khơng? 3.3 Kiểm định giả thuyết phương sai tổng thể Giả sử tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn, X ~ N( , 2), tham số 2 đặc trưng cho độ phân tán/độ biến động/độ ổn định/độ đồng tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu, chưa biết Ta kiểm định giả thuyết mối quan hệ phương sai tổng thể 2 với số 20 cho trước Sử dụng mẫu kích thước n với phương sai mẫu S2 , độ lệch chuẩn S Ví dụ 2: Với số liệu ví dụ phần trên, cân thử 25 thấy trọng lượng trung bình mẫu 30,48 gam, phương sai mẫu 8,4267 gam2 , độ lệch chuẩn mẫu 2,903 gam Biết trọng lượng đại lượng phân phối chuẩn (a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định ý kiến cho phương sai trọng lượng gam2 Nếu mức ý nghĩa 2% kết luận có thay đổi khơng? (b) Mùa vụ trước trọng lượng có độ phân tán gam, với mức ý nghĩa 5% nói mùa vụ trọng lượng đồng không? 3.4 Kiểm định tỷ lệ tổng thể Tỷ lệ tổng thể, hay gọi tần suất tổng thể kí hiệu p Từ yêu cầu thực tế đặt ra, ta đưa đến việc kiểm định giả thuyết mối quan hệ tham số p với số p0 cho trước Ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n, từ xác định tần suất mẫu f Ví dụ Tổng điều tra khu vực năm trước cho thấy có 10% dân số độ tuổi trưởng thành khơng biết chữ Năm điều tra ngẫu nhiên 400 người có 22 người độ tuổi trưởng thành khơng biết chữ Với mức ý nghĩa 5%: (a) Nhận xét ý kiến cho tỷ lệ mù chữ không giảm so với năm trước (b) Phải 64 tỷ lệ mù chữ cịn 3%? (c) Có thể cho tỷ lệ mù chữ giảm cịn 5% hay khơng? 65 CÂU HỎI BÀI TẬP Xem xét trọng lượng loại (tính gam), người ta tiến hành cân thử số lấy ngẫu nhiên, đựợc số liệu cho bảng Trọng lượng (gam) 25 – 27 27 – 29 29 – 31 31 – 33 33 – 35 35 – 37 Số tương ứng 3 Với số liệu trên, cân thử 25 thấy trọng lượng trung bình mẫu 30,48 gam, phương sai mẫu 8,4267 gam2 , độ lệch chuẩn mẫu 2,903 gam Biết trọng lượng đại lượng phân phối chuẩn (a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định ý kiến cho phương sai trọng lượng gam2 Nếu mức ý nghĩa 2% kết luận có thay đổi khơng? (b) Mùa vụ trước trọng lượng có độ phân tán gam, với mức ý nghĩa 5% nói mùa vụ trọng lượng đồng không? Trọng lượng trứng cho số liệu sau: X- Trọng lượng Số 25- 30 30- 35 35- 40 40- 45 45- 50 15 17 40 18 10 Bằng khoản tin cậy đối xứng, ước lượng trọng lượng trng bình trứng với độ tin cậy 95% lượng trứng đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]- TS Nguyễn Duy Thuận, ThS Phi Mạnh Ban, TS Nơng Quốc Chinh Giáo trình Tốn cao cấp A1- NXB ĐH Sư Phạm- ĐH-2003; [2]- TS Đỗ Văn Nhơn, ThS Nguyễn Mạnh Cường, Giáo trình Tốn cao cấp A2- NXB ĐH Quốc Gia TP HCM- 2008; [3]- Ngô Thiện, Đặng Thành Danh, Giáo trình Tốn Cao cấp C1- ĐH Nơng Lâm TP HCM- 2010; [4]- Nguyễn Huy Hồng (chủ biên) Giáo trình Lý thuyết Xác suất thống kê ứng dụngĐH Tài chính- Marketing TP HCM- 2021; [5]- PGS-TS Nguyễn Cao Văn; TS Trần Thái Ninh Giáo trình Lý thuyết Xác suất thống kê- NXB Thống kê, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân- 2021 67