60 Chương 3 BÀI TOÁN TỐI ƢU 1 CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1 1 Cực trị 1 Định nghĩa Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại aDf nếu tồn tại một lân cận V(a) nào đó của điểm a, V(a) Df''''[.]
Chương BÀI TOÁN TỐI ƢU CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Cực trị Định nghĩa Hàm số y = f(x) đƣợc gọi đạt cực đại (cực tiểu) a Df tồn lân cận V(a) điểm a, V(a) Df' , cho f(x) < f(a) (f(x) > f(a)), x V(a) \ a Các giá trị cực đại, cực tiểu đƣợc gọi chung cực trị Cực trị hàm số mang tính chất địa phương, đƣợc xét lân cận V(a) Điều kiện cần Định lý Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị a y'(a) = không tồn y'(a) Những điểm mà y'(a) = đƣợc gọi điểm dừng Các điểm dừng điểm mà khơng tồn đạo hàm đƣợc gọi điểm ngờ (có cực trị) Cho nên muốn tìm cực trị, ta cần xét tập hợp điểm ngờ Điều kiện đủ a Định lý (Điều kiện đủ thứ 1) Giả sử hàm số y = f(x) xác định liên tục V(a), có đạo hàm (hữu hạn) V(a) (có thể trừ a) a điểm ngờ Nếu f '(x) đổi dấu từ + sang - x chuyển qua a hàm số đạt cực đại x=a, Nếu f '(x) đổi dấu từ - sang + x chuyển qua a hàm số đạt cực tiểu x=a b Định lý (Điều kiện đủ thứ 2) Giả sử f '(a) = f”(a) = = f(n-1)(a) = f(n)(a) (nN n2) Khi đó: Nếu n số chẵn hàm số y = f(x) đạt cực trị x=a: Hàm số đạt cực đại x=a f(n)(a) < Hàm số đạt cực tiểu x=a f(n)(a) < Nếu n số lẻ hàm số y = f(x) không đạt cực trị x=a 1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Xét hàm số y = f(x) [a,b] Nếu hàm số liên tục [a,b], theo Weierstrass, hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ [a,b] Các điểm điểm ngờ (a,b) đầu mút a b Vì để tìm giá trị lớn (maxy), giá trị nhỏ (miny) hàm số [a,b], ta xét tập giá trị hàm số điểm ngờ (a,b) f(a), f(b) Sau đó, tập giá trị vừa tìm đƣợc, ta chọn maxy miny Ví dụ Tìm maxy, miny y = x4 - 2x2 + [-2, 2] 60 Ta tìm điểm dừng (-2, 2) Cho y' = hay 4x3 - 4x = ta có x1 = 0, x2 = - 1, x3 = x1, x2, x3 (-2; 2) Tính: f(-2) = 9; f(2) = 9; f(1) = 0; f (-1) = f(0) = 1; Vậy maxy = miny = 1.3 Bài toán tối ƣu Bài toán tối ƣu kinh tế tốn tìm cực đại cực tiểu hàm kinh tế Các hàm đƣợc gọi hàm mục tiêu Chẳng hạn cần tìm cực tiểu hàm chi phí C, tìm cực đại hàm lợi nhuận , Cực tiểu giá thành Xét hàm C = C(Q) hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản phẩm Khi hàm giá thành P(Q) = AC(Q) = C(Q) Cần tìm mức sản xuất Q thích hợp, để hàm Q giá thành đạt cƣc tiểu Muốn tìm điểm dừng Qo , ta giải phƣơng trình P'(Q) = C(Q) [C'(Q).Q - C(Q)] = C '(Q) = MC(Q) = P(Q) (*) Q Q Nhƣ nghiệm Q0 (*) hoành độ giao điểm hai đƣờng MC(Q) P(Q) Sử dụng điều kiện đủ để xét giá trị Qo có phải điểm làm cho P đạt cực tiểu hay không Cực đại lợi nhuận Hàm lợi nhuận đƣợc tính hiệu hàm tổng doanh thu R hàm tổng chi phí C: R C Trên thị trƣờng cạnh tranh R = p.Q C = C(Q) (p giá bán đơn vị sản phẩm, Q số lƣợng sản xuất bán đƣợc thị trƣờng) Ta có = p.Q - C(Q) Khi cần tìm mức sản xuất Q để hàm đạt cực đại Chú thích =0 đƣợc gọi điểm hòa vốn Nếu >0 sản xuất có lãi, 0) Khi hàm chi phí cận biên MC(Q) = C ' = 3Q2 - 24Q + 60 Hàm giá thành P(Q) = AC(Q) = C Q2 12Q 60 Q P’= 2Q - 12 P’= 2Q - 12 = Q = P"= 2, P”(6) > Vậy Q = P đạt cực tiểu P(6) = 62-12.6+60 = 24 Ta có: MC(6) = 3.62 -24.6 + 60 = 24 61 Điểm A(6, 24) (điểm cực tiểu P(Q)) giao điểm hai đồ thị hàm P(Q) hàm MC(Q), hay đồ thị MC(Q) qua điểm cực tiểu P(Q) CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHƠNG CĨ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN 2.1 Khái niệm cực trị điều kiện cần Giả sử hàm số w = f(x1, x2, ,xn) xác định, liên tục có đạo hàm riêng liên tục theo tất biến độc lập miền D = { M(x1, x2, ,xn): ai< xi< bi, i = 1, 2, , n Định nghĩa Ta nói hàm số w = f (x1, x2, , xn) đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) điểm M x1 , x , , x n D tồn số >0 đủ nhỏ cho bất đẳng thức f(x1, x2, ,xn) < f( x1 , x , , x n ) ( f(x1, x2, ,xn) > f( x1 , x , , x n ) ) đƣợc thỏa mãn điểm M(x1, x2, ,xn) M x1 , x , , x n miền D có khoảng cách d(M, M ) < Định lý Điều kiện cần để hàm số w = f(x1, x2, ,xn) đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm M(x1 , x , , x n ) D điểm tất đạo hàm riêng cấp triệt tiêu: w 'xi fi x1 , x , , x n i 1, 2, , n (1) Điểm M thỏa mãn điều kiện (1) đƣợc gọi điểm dừng hàm số 2.2 Điều kiện đủ Trƣờng hợp hàm số biến số a Giả sử Mo(xo,yo) điểm dừng hàm số w = f(x, y) điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp liên tục Xét định thức: 62 D= a11 a12 a 21 a 22 a11a 22 a12a 21 a11 f xx" (x o , yo ), a12 f xy" (x o , y o ), a 21 f yx" (x o , y o ), a 22 f yy" (x o , y o ) Định lý Nếu D > a11> hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực tiểu điểm Mo(xo, yo), Nếu D > a11< hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực đại điểm Mo(xo, yo), Nếu D < hàm số khơng đạt cực trị điểm Mo(xo, yo) Chú ý Với giả thiết nêu trên, ta ln có a12 = a21 Do đó, D = a11 a22 - a12 > a11.a22> Vậy a11 a22 có dấu nhƣ b Ví dụ Ví dụ Tìm cực trị hàm số w = 8x3 + 2xy - 3x2 + y2 Trƣớc hết ta tính đạo hàm riêng cấp cấp 2: w 'x 24x 2y 6x, w 'y 2x 2y w "xx 48x 6, w "xy w "yx 2, w "yy Các điểm dừng hàm số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình: w 'x 12x y 3x ' x y w y 3 Hệ phƣơng trình có nghiệm (x=0, y=0) (x= , y ) Theo định lý điều kiện cần, hàm số đạt cực trị điểm Ta sử dụng định lý điều kiện đủ để kiểm tra lần lƣợt điểm Với x = y = ta có: a11 =- 6, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = (-6) 2-22 =-16 < Vậy điểm hàm số khơng có cực trị 1 , y ) ta có a11 = 10 > 0, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = 20 - > 3 1 Vậy, theo định lý điều kiện đủ, hàm số đạt cực tiểu điểm ( , ) 3 1 1 Dễ dàng tính đƣợc wmin = w , 27 3 Tại điểm (x = 63 Trƣờng hợp hàm số n biến số a Giả sử M x 1, x , , x n điểm dừng hàm số w = f(x1, x2, , xn) điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp liên tục Lập ma trận H vuông cấp n với phần tử đạo hàm riêng cấp hai w điểm dừng M (Ma trận H có tên gọi ma trận Hess hay Hessian) a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n H= a n1 a n a nn aij = 2w (x1 , x , , x n ) f ij (x1 , x , , x n ) x i x j Với k = 1, 2, , n ta gọi Hk định thức tạo thành từ k dòng đầu k cột đầu ma trận H: a11 a 12 a1k Hk = a 21 a 22 a 2k a k1 a k a kk Các định thức H1, H2,., Hn đƣợc gọi định thức ma trận H Định lý Nếu Hk> với k = 1, 2, , n (Hn = |H| ) hàm số w = f(x1, x2, , xn) đạt giá trị cực tiểu điểm M x1 , x , , x n Nếu (-1)k Hk> với k = 1, 2, , n hàm số w = f(x1, x2, ,xn) đạt giá trị cực đại điểm M x1 , x , , x n b Ví dụ y2 z 2 4x y z Tính đạo hàm riêng cấp cấp hai: w x Tìm cực trị hàm số x 0, y 0, z y2 y z2 2z ' w 1 , wy , w 'z , 4x 2x y y z2 ' x w " xx y2 2z 2 " , w yy , w "zz , 2x 2x y y z w"xy w"yx 64 y 2z , w "xz w "zx 0, w "yz w "zy 2x y Giải hệ phƣơng trình w x w y w z = với x > 0, y > 0, z > ' Ta đƣợc nghiệm: x = ' ' , y = 1, z = Thay giá trị vào đạo hàm riêng cấp ta có: a11 = 4, a22 = 3, a33 = 6, a12 = a21 = - 2, a13 = a31 = 0, a23 = a32 = -2 2 H = 2 2 2 Các định thức chính: H1 = > 0, 2 0, H2 = 2 Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu x = 1 2 2 H3 2 2 32 0 2 , y = 1, z =1 wmin = w ,1, 1 2.3 Bài toán tối đa lợi nhuận Bài tốn: Tìm giá trị tối đa hàm lợi nhuận: = f(x1, x2, ,xn) Các biến độc lập x1, x2, ,xn đƣợc gọi biến chọn, tức ta phải lựa chọn giá trị thích hợp chúng để mục tiêu đặt đƣợc thực cách tốt Trƣờng hợp hãng cạnh tranh túy sản xuất loại sản phẩm Mục tiêu hãng thu lợi thuận tối đa sở áp dụng hợp lý yếu tố đầu vào lao động vốn (với giả thiết yếu tố khác giữ nguyên) Vì hãng cạnh tranh túy nên hãng phải chấp nhận giá thị trƣờng, kể giá đầu vào giá đầu Gọi p giá thị trƣờng loại sản phẩm hãng sản xuất, w L wK giá thuê đơn vị lao động giá thuê đơn vị vốn Nếu Q = f(L, K) hàm sản xuất hãng hàm lợi thuận có dạng: = p.f(L, K) - (wLL + wKK) p.Q = p.f(K, L) tổng doanh thu wLL + wKK tổng chi phí Điều kiện cần cực trị trƣờng hợp là: f f p w L p wK L L K K hay 65 p f w L L (2) Điều kiện (2) có nghĩa điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa hãng phải sử dụng yếu tố đầu vào mức mà giá trị tiền sản phẩm cận biên lao động giá thuê đơn vị lao động giá trị tiền sản phẩm cận biên vốn giá thuê đơn vị vốn Điều kiện đủ cực đại trƣờng hợp là: 2 2f 2 2f p 0, p 0 L2 L2 K K 2 2 L2 K 2 2 f f p 2 L K LK 2f LK Do p > nên điều kiện tƣơng đƣơng với điều kiện QLL< 0, QKK< QLL QKK - Q LK 0 0 (3) (4) ta dùng ký hiệu QLL 2f 2f , Q , KK L2 K QLK 2f 2f QKL LK KL (với giả thiết hàm sản xuất có đạo hàm cấp liên tục) Chú ý Điều kiện (3) biểu quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần Tuy nhiên, riêng lợi suất thu đƣợc giảm dần chƣa đảm bảo lợi nhuận tối đa, mà phải tính đến điều kiện (4) Hàm lợi nhuận không đạt giá trị cực đại điểm thỏa mãn điều kiện cần giá trị tuyệt đối QLK lớn so với giá trị tuyệt đối QLL QKK (khi QLL QKK - Q 2LK 0) Điều có nghĩa là, lợi suất thu đƣợc giảm dần điểm dừng, lợi nhuận tối đa chƣa đạt đƣợc thay đổi yếu tố đầu vào lại ảnh hƣởng mạnh tới sản phẩm cận biên yếu tố đầu so với ảnh hƣởng sản phẩm cận biên yếu tố đầu vào Trƣờng hợp hãng cạnh tranh túy sản xuất loại sản phẩm a Giả sử tổng chi phí đựơc tính theo số lƣợng sản phẩm đƣợc sản xuất: C = C(Q1 , Q2) Q1 số lƣợng sản phẩm thứ Q2 số lƣợng sản phẩm thứ hai Do tính chất cạnh tranh, hãng phải chấp nhận giá thị trƣờng sản phẩm Với p 1, p2 giá thị trƣờng loại sản phẩm hãng sản xuất, hàm tổng lợi nhuận có dạng: = p1Q1 + p2Q2 - C(Q1, Q2) Bài toán đặt trƣờng hợp chọn cấu sản xuất (Q1 , Q ) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn b Ví dụ Giả sử hàm tổng chi phí hãng C = 6Q 12 3Q 22 4Q1Q giá sản phẩm p1= 60, p2 = 34 Tìm mức sản xuất Q1 Q2 để hãng thu đƣợc lợi nhuận lớn 66 Giải Hàm tổng lợi nhuận hãng = 60Q1 + 34Q2 - 6Q 12 3Q22 4Q1Q2 Điều kiện cần: Q 60 12Q1 4Q 34 4Q 6Q Q Q1 Q Ta lại có: 11 2 2 12, 6, 22 Q12 Q22 Điều kiện đủ 1122 12 0, 12 2 4 Q1Q2 11 đƣợc thỏa mãn với Q1 Q2 , lợi nhuận lớn hãng sản xuất đơn vị sản phẩm thứ đơn vị sản phẩm thứ hai Trƣờng hợp hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm a Giả sử hàm tổng chi phí hãng C = C(Q1, Q2) Vì hãng độc quyền nên lựa chọn giá p1, p2 cho sản phẩm giả sử lƣợng cầu sản phẩm phụ thuộc vào giá sản phẩm mà cịn phụ thuộc vào giá sản phẩm khác, tức Q1 = f(p1, p2), Q2 = g(p1, p2) Từ hệ rút p1 = D1(Q1, Q2) p2 = D2(Q1, Q2) Hàm tổng lợi nhuận = p1Q1 + p2Q2 - C(Q1, Q2) = D1(Q1, Q2).Q1 + D2(Q1, Q2) Q2 - C(Q1, Q2) Hãng cần chọn giá bán (p1 , p ) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn Trƣớc hết cần xác định đƣợc mức sản xuất (Q1 , Q ) để đạt tối đa, sau tìm đƣợc (p1 , p ) b Ví dụ Giả sử hàm tổng chi phí hãng C Q12 5Q1Q Q 22 hàm cầu loại hàng hóa Q1 = 14 - 1 p1 ; Q2 = 24 - p Giải: Trong ví dụ lƣợng cầu loại sản phẩm phụ thuộc vào giá loại sản phẩm đó, có nghĩa loại hàng hóa hãng độc quyền sản xuất khơng có quan hệ với Đảo ngƣợc hàm cầu cho, ta có: p1 = 56 - 4Q1, p2 = 48 - 2Q2 Do hàm tổng lợi nhuận là: 67 p1Q1 p Q Q12 5Q1Q Q 22 (56 4Q1 )Q1 (48 2Q )Q Q12 5Q1Q Q 22 = 56Q1 + 48Q2 - Q12 3Q 22 5Q1Q Bài toán đặt lựa chọn p1, p2 để hàm tổng lợi nhuận đạt cực đại Giải toán cực trị ta xác định đƣợc mức sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa Q1 96 40 , Q2 , 35 từ xác định giá bán ̅̅̅ ̅̅̅ ; ̅̅̅ ̅̅̅ CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Ta xét toán cực trị hàm số w = f(x1, x2, ,xn) với biến chọn x1, x2, xn độc lập với nhau, tức giá trị biến số không ảnh hƣởng đến biến số khác Trên thực tế, nhiều ta phải lựa chọn phƣơng án tối ƣu bối cảnh biến chọn chi phối lẫn điều kiện ràng buộc định 3.1 Cực trị có điều kiện với hai biến chọn phƣơng trình ràng buộc Bài tốn Tìm cực trị hàm số w = f(x, y) (1) với điều kiện g(x, y) = b (2) Điều kiện (2) cịn đƣợc gọi ràng buộc Với có mặt phƣơng trình ràng buộc (2), miền biến thiên cặp biến chọn (x, y) bị thu hẹp Phƣơng pháp trực tiếp a Nếu từ (2) ta biểu diễn y dạng y= (x) tốn cực trị có điều kiện (1)-(2) quy tốn cực trị tự hàm số biến số x: w = f x, (x) F(x) Phƣơng pháp vừa nêu đƣợc gọi phương pháp trực tiếp b Ví dụ Tìm cực trị hàm số: w = xy + 2x (3) với điều kiện 8x + 4y = 120 (4) Từ hệ thức (4), ta rút y = 30 - 2x Do loại bớt biến số y biểu diễn hàm mục tiêu (3) dƣới dạng hàm số biến số x: w = x(30-2x) + 2x = 32x - 2x2 (5) Dễ dàng thấy hàm số (5) đạt giá trị cực đại x = 8, y = 30 - 16 = 14 Vậy hàm số (3), với điều kiện (4) đạt giá trị cực đại x = 8, y = 14 Phƣơng pháp nhân tử Lagrange 68 a Trong phƣơng pháp trực tiếp nêu trên, ta xem hai biến chọn biến độc lập biến phụ thuộc vào Hơn nữa, ràng buộc (2) phức tạp việc áp dụng phƣơng pháp để loại bớt biến phụ thuộc gặp khó khăn Lagrange đề phƣơng pháp (Phương pháp nhân tử Lagrange) cho phép đƣa toán cực trị có điều kiện tốn cực trị tự mà giữ vai trị bình đẳng biến chọn b Xuất phát từ hàm mục tiêu (1) điều kiện (2) ta lập hàm số, gọi hàm Lagrange: L = L(λ, x, y) = f(x,y) + λ[b - g(x, y)] (6) Hàm số (6) có thêm biến chọn , gọi nhân tử Lagrange Chú ý với tất điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện (2), hàm mục tiêu w đồng với hàm số L Có thể chứng minh đƣợc rằng: Nếu hàm số (1) với điều kiện (2) đạt cực trị điểm (x0, y0) tồn số λ0 cho ba số thực = λ0, x = x0, y = y0 thỏa mãn hệ phƣơng trình: L b g x, y g L f x x x g L f y y y (7) Nhƣ vậy, điều kiện cần để hàm số (1) với điều kiện (2) đạt cực trị quy điều kiện cần để hàm số Lagrange (6) đạt cực trị không điều kiện Điều lý thú phƣơng trình đầu hệ điều kiện (7) điều kiện ràng buộc tốn cực trị có điều kiện c Ví dụ Trở lại tốn tìm cực trị hàm số (3) với điều kiện (4) Hàm số Lagrange trƣờng hợp L = xy + 2x + λ(120 - 8x - 4y) Để tìm điều kiện cần, ta giải hệ phƣơng trình L 120 8x 4y L y 8 x L y x 4 Hệ phƣơng trình cho nghiệm nhất: λ = 2, x = 8, y= 14 Vậy hàm số (3) với điều kiện (4) đạt cực trị điểm (x=8, y=14) Để có đƣợc kết luận cuối cực trị ta phải dùng điều kiện đủ để kiểm tra 69 ... x = y = ta có: a11 =- 6, a 12 = a21 = 2, a 22 = 2, D = (-6) 2- 22 =-16 < Vậy điểm hàm số khơng có cực trị 1 , y ) ta có a11 = 10 > 0, a 12 = a21 = 2, a 22 = 2, D = 20 - > 3 1 Vậy, theo định lý... a 22 = 3, a33 = 6, a 12 = a21 = - 2, a13 = a31 = 0, a23 = a 32 = -2 ? ?2 H = ? ?2 ? ?2 ? ?2 Các định thức chính: H1 = > 0, ? ?2 0, H2 = ? ?2 Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu x = 1 ? ?2. .. p2 = 48 - 2Q2 Do hàm tổng lợi nhuận là: 67 p1Q1 p Q Q 12 5Q1Q Q 22 (56 4Q1 )Q1 (48 2Q )Q Q 12 5Q1Q Q 22 = 56Q1 + 48Q2 - Q 12 3Q 22 5Q1Q Bài toán đặt lựa chọn p1, p2