Giáo trình toán kinh tế phần 2

- GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Chương BÀI TỐN VẬN TẢI CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 1.1 Nội dung kinh tế dạng toán học toán vận tải 1.1.1 Nội dung kinh tế toán Giả sử cần vận chuyển loại hàng hóa từ m trạm phát, ký hiệu A i (i = 1, m ) Lượng hàng cần chuyển trạm A i tương ứng (đơn vị hàng), tới n trạm cần thu hàng, ký hiệu B j (j = 1, n ), lượng hàng cần thu trạm B j tương ứng bj (đơn vị hàng) Giả sử cước phí vận chuyển từ trạm phát hàng A i tới trạm thu B j cij (đơn vị tùy theo qui ước) m Giả thiết > 0, bj > 0, cij  ( i  1, m, j  1, n ) n  a i   b j  Q (bài toán i 1 j1 cân thu phát) Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hố cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ đồng thời thoả mãn nhu cầu thu phát hàng (các trạm phát, phát hết hàng trạm thu, thu đủ hàng) 1.1.2 Mơ hình tốn học toán Xác định kế hoạch vận chuyển hàng nghĩa xác định lượng hàng cần chuyển từ trạm phát tới trạm thu tương ứng Gọi xij lượng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát A i tới trạm thu B j (xij  0, i = 1, m , j = 1, n ) n Mọi trạm phát, phát hết hàng nên ta có:  x ij  a i , i  1, m j 1 m Mọi trạm thu, thu đủ hàng nên ta có:  x ij  b j , j  1, n i 1 m n Như tổng chi phí vận chuyển là:   cijx ij , đòi hỏi phải cực tiểu i 1 j 1 Khi mơ hình tốn học toán là: - 59 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - m n f (X)   cij x ij  (3.1) i 1 j1 n  x ij  a i , (i  1, m) (3.2) j 1 m  x ij  b j , ( j  1, n ) (3.3) i 1 xij  (i = 1, m , j = 1, n ) (3.4) Trong ma trận X = (xij)m.n gọi ma trận phân phối hàng cần phải tìm Hàm f(X) gọi hàm mục tiêu tổng chi phí vận chuyển Hiển nhiên (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) mơ hình tốn học tốn qui hoạch tuyến tính dạng tắc Chú ý: Bài tốn vận tải (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) viết dạng tường minh sau: c11x11 + c12x 12 + … + c1nx 1n + c 21x 21 + c22x22 + … + c2nx2n + … + cm1x m1 + cm2xm2 + … +c mnx mn  x11 + x 12 + … + x 1n = a1 x 21 + x22 + … + x2n = a2 ………………………………………………………………… x m1 + xm2 + … +x mn = am x11 + x21 + ………… … x12 + xm1 + x22 + ……………… = b1 + xm2 = b2 …………………………………………………………… + x1n + x2n + ……………… + xmn = bn Theo đó, ma trận ràng buộc A tốn (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) là: - 60 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - 11   00   00 A  10   01    00  n 00 00   11 00    00 11  10 10  01 01    00 00  n   m      n   n Nhận thấy ma trận A chia làm 2m khối: m khối m dịng đầu khối ma trận cấp m.n có dịng có phần tử 1, dòng khác phần tử 0; khối thứ k có dịng thứ k với k = 1, m Còn m khối n dịng sau khối ma trận đơn vị cấp n Gọi Aij cột hệ số ẩn xij , ta có Aij véc tơ cột thứ j nhóm cột thứ i ma trận A, ta ln có Aij = Ei + E m + j,  i = 1, m, j  1, n , Ek ma trận cấp (m.n, 1) có phần tử hàng thứ k 1, phần tử khác Định nghĩa 3.1 Mọi toán qui hoạch tuyến tính có dạng tốn học (3.1) (3.2) m n (3.3) (3.4) với giả thiết > 0, bj > 0, cij  ( i  1, m, j  1, n );  a i   b j  Q i 1 j1 gọi tốn vận tải cân thu phát Ngồi tốn vận tải cân thu phát hay toán dạng đóng ta có hai tốn vận tải khơng cân thu phát hay toán dạng mở sau: m +) n    b j : i 1 j1 m n f (X)   cijx ij  i 1 j1 n x ij  a i ,(i  1,m) j1 - 61 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - m  x ij  b j , ( j  1, n ) i 1 xij  (i = 1, m , j = 1, n ) m +) n    b j : i 1 j1 m n f (X)   cijx ij  i 1 j1 n  x ij  a i , (i  1, m) j 1 m x ij  b j ,( j  1, n) i 1 xij  (i = 1, m , j = 1, n ) Định nghĩa 3.2 Ma trận X = (xij)m.n thoả mãn hệ điều kiện (3.2) (3.3) (3.4) toán vận tải cân thu phát gọi phương án toán hay phương án phân phối hàng Ký hiệu tập hợp phương án toán D Định nghĩa 3.3 Phương án X thoả mãn yêu cầu (3.1) hàm mục tiêu f(X) gọi phương án tối ưu Đặt: X ma trận cột gồm m.n thành phần: X = (x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n … xm1 xm …xm n) c, C ma trận dòng gồm m.n thành phần: C = (c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n … cm1 cm …cm n), B ma trận cột gồm m + n thành phần: B = (a1 a2 … am b1 b2 … bn) A = (aij)(m + n)(m.n) ma trận hệ số ẩn (3.2) (3.3) Khi dạng (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) có dạng ma trận sau: f (X )  CX  AX  B - 62 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - X0 1.2 Mơ hình bảng tốn vận tải 1.2.1 Bảng vận tải Ngồi cách mơ tả toán dạng tổng quát, đặc thù lớp tốn vận tải, ta mơ tả toán dạng bảng để thuận lợi cho việc tìm lời giải tốn Bảng 3.1 T P A1: a1 A2: a2 … Am: am B1 : b B2 : b … Bn : b n c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n … … … … cm1 cm2 … cmn Bảng 3.1 gọi bảng vận tải Khơng tính dịng đầu (ghi lượng hàng trạm thu), cột đầu (ghi lượng hàng trạm phát) bảng có m dịng, n cột m.n ô Mỗi cột tương ứng cho trạm phát, dòng tương ứng cho trạm thu Ơ nằm dịng i, cột j ký hiệu (i, j) Góc bên trái (i, j) ta ghi giá cước cij, góc bên phải ghi giá trị xij lượng hàng vận chuyển từ trạm Ai đến trạm Bj, ý ta ghi giá trị xij vào ô (i, j) xij > gọi ơ chọn; xij = ta bỏ trống vị trí (trừ trường hợp đặc biệt) gọi ơ loại Ký hiệu C(X) = {(i, j): xij > 0} 1.2.2 Vịng tính chất Định nghĩa Một tập hợp gồm k ô (k  4) bảng vận tải đánh số thứ tự 1, 2, …, k (xem ô ô ô cuối cùng) gọi vòng - 63 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - chúng thỏa mãn điều kiện: hai ô liên tiếp phải nằm dịng hay cột khơng có ba liên tiếp nằm dịng hay cột Vòng thường ký hiệu V biểu diễn: V = {(i1, j1), (i1, j2), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( ip, j1)} V = {(i1, j1), (i2, j1), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( i 1, jp)}, với ik  ik + 1, j k  j k + 1,  k = 1, 2, …, p Ví dụ 1: Ta có vòng Bảng 3.2 sau: V = {(1,2), (3, 2), (3, 3), (5, 3), (5, 5), (1, 5)} Bảng 3.2 (1) (2) (6) (3) (4) (5) Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy số ô hàng cột mà vịng qua hai ơ, tổng số có mặt vịng ln số chẵn phải có bốn ô Định nghĩa 3.5 Một tập hợp ô mà từ lấy số để tạo thành vịng tập hợp gọi có chứa vịng Định lý 3.1 Cho K tập hợp ô bảng vận tải (Aij): (i, j)  K (3.5) Tập hợp K có chứa vịng họ (3.5) họ véc tơ phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Cần: Giả sử K chứa vịng V có dạng: V = (i1, j1), (i1, j2), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( ip, j 1) Vì Aij = Ei + Em + j nên rõ ràng ta có: - 64 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Ai j 1  Ai j  Ai j2   A i p jp  Ai j p  0, đẳng thức chứng tỏ họ (3.5) họ véc tơ phụ thuộc tuyến tính Đủ: Giả sử họ (3.5) phụ thuộc tuyến tính, ta có:   ijA ij  , (3.6) (i , j)K với hệ số ij  Từ (3.6) ta có:   (E ij i (3.7)  E m j )  (i, j)K Giả sử  i j 1  Khi số hạng  i j A i 1 thứ i1 m + j  i j 1 j 1   i j (E i  E m  j ) có hai thành phần 1 1  Để làm triệt tiêu thành phần thứ i1 số hạng vế trái (3.6) phải chứa số hạng có thành phần thứ i1 khác khơng Giả sử số hạng thứ i1j2:  i j A i j  Lại xuất thành phần thứ m + j2 khác Để làm triệt tiêu thành phần vế trái (3.6) phải chứa số hạng có thành phần thứ m + j2 khác Giả sử số hạng :  i j A i 2 j2  Lại xuất thành phần thứ i2  v.v…Vì vế trái (3.6) tổng hữu hạn nên cuối để làm triệt tiêu thành phần thứ m + i1 (xuất lúc đầu) vế trái (3.6) phải chứa số hạng có thành phần thứ m + i1 khác Giả sử số hạng  i j A i p j p  Đồng thời với việc chọn số hạng khác khơng ta chọn tập hợp ô tương ứng là: (i1, j 1); (i1, j 2); (i2, j 2); …; (ip, j p); (ip, j 1) tập hợp vịng tập (3.5) Vậy (3.5) chứa vịng 1.3 Tính chất tốn vận tải cân thu phát Định lý 3.2 Bài toán vận tải cân thu phát (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) ln có phương án tối ưu Chứng minh: Áp dụng định lý 1.8, ta cần toán có phương án hàm mục tiêu f(X) bị chặn tập phương án Thật vậy: - 65 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - m n Giả sử X = (xij)  D, cij  0, xij  i, j nên f ( x )    cij x ij  Như i 1 j 1 với X  D, hàm f(x) bị chặn D Đặt x ij0  aib j Q m x ij  a i ,i  1,m ; x n i 1 j 1 ( a i   b j  Q) Đặt X0 = (x0ij)m.n Khi ta có: , i  1, m; j  1, n n m ij  b j , j  1, n ; x0ij  0, i = 1, m , j = 1, n i 1 j1 Vậy X0 phương án tốn Ta có điều phải chứng minh Định lý Trong toán vận tải với dạng ma trận hạng ma trận ràng buộc A rankA = m + n - Chứng minh: Ta có tổng m dịng đầu ma trận A tổng n dòng sau ma trận A (1, 1, …, 1) Suy m + n dịng A phụ thuộc tuyến tính, rankA  m + n -1 Ta chứng minh m + n -1 dòng A kể từ dịng thứ hai độc lập tuyến tính Thật vậy: Gọi Di dòng thứ i ma trận A, xét đẳng thức sau: mn   i Di  (3.8) i2 Vế trái (3.8) véc tơ gồm m.n thành phần, ta xét n cột đầu Khi mn từ (3.8) ta có   i d ij  , j  1, n ; mà dij = i = m + j; dij = i  m + j i  m 1 Do  i  0, i  m  j, j  1, n Hay  m + j = 0, j = 1, n Khi ta có m (3.8)   i Di  i2  (2, 2, …, 2, 3, 3, …, 3, …, m, m, …, m) =  k = 0, k  2, m  k = 0,  k  2, m  n Vậy m + n – dòng sau A độc lập tuyến tính, hay rankA = m + n – - 66 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Từ kết này, ta thấy giải tốn vận tải phương pháp đơn hình bỏ dịng hệ ràng buộc Định lý 3.4 Giả sử X = (xij) m.n phương án toán vận tải cân thu phát (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) Khi điều kiện cần đủ để X phương án cực biên C(X) khơng chứa vịng Chứng minh: Theo định lý 1.6 phương án X tốn tắc phương án cực biên {Aij : xij > 0}độc lập tuyến tính, mà {Aij : xij > 0} = {Aij : (i, j)  C(X)}, theo định lý 2.1 họ độc lập tuyến tính C(X) khơng chứa vịng Từ định lý ta có hệ sau: Hệ 3.1 Mọi tập hợp gồm nhiều m + n – ô bảng vận tải m.n có chứa vịng Hệ 3.2 Điều kiện cần để phương án X phương án cực biên số thành phần dương thực không vượt m + n – Định nghĩa 3.6 Phương án cực biên X toán vận tải (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) gọi phương án khơng suy biến có đủ m + n – thành phần dương thực sự, khơng phương án gọi suy biến Định nghĩa 3.7 Giả sử X phương án cực biên J tập hợp gồm m + n – khơng chứa vịng đồng thời J chứa ô ứng với thành phần dương thực X Khi J gọi hệ ô chọn sở phương án cực biên X Từ định nghĩa ta có, phương án cực biên X khơng suy biến C(X)  J hệ ô sở X Nếu X suy biến C(X)  J X có nhiều hệ sở khác THUẬT TOÁN THẾ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 2.1 Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát 2.1.1 Phương pháp cước phí bé - 67 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Phương pháp ln ưu tiên phân phối cho có cước phí nhỏ bảng Nội dung phương pháp sau: Trên bảng vận tải, ta tìm có cước phí nhỏ nhất, phân vào lượng hàng lớn Khi có dịng hay cột thỏa mãn nhu cầu (nghĩa trạm phát tiêu thụ hết hàng trạm thu nhận đủ số hàng so với nhu cầu), xóa bỏ dịng hay cột lặp lại cơng việc cịn lại, sau số hữu hạn bước lặp ta thu ma trận X = (xij)m.n Tập hợp giá trị {x ij}, i = 1, m , j = 1, n thu từ cách tìm phương án tốn, chúng thoả mãn ràng buộc Hơn cịn phương án cực biên Thật vậy, theo cách phân phối, chọn có xij > Giả sử tập chọn có số tạo thành vịng có dạng: V = {(i1, j1), (i1, j2), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( ip, j1)} Khi có trường hợp sau xảy ra: - Hoặc yêu cầu trạm phát A i thoả mãn, hàng i1 bị loại khỏi bảng, ô (i1, j2) phân phối - Hoặc yêu cầu trạm thu B j thoả mãn, hàng j1 bị loại khỏi bảng, ô (ik, j1) phân phối - Hoặc yêu cầu trạm phát A i trạm thu B j thoả mãn, hàng 1 i1 cột j1 bị loại khỏi bảng, ô (i1, j2) ô (ik, j1) phân phối Vậy X phương án cực biên toán vận tải cân thu phát Ví dụ 3.1: Tìm phương án cực biên toán vận tải sau (Bảng 3.1) phương pháp cước phí nhỏ - 68 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Đưa ô (i2, j2) vào tập ô chọn thay cho ô (i1, j1) - Xây dựng hệ thống nhân tử w2 = (ui' , v 'j ) cách: + Hoặc ui'  ui , v 'j   v j hàng i hay cột j có chữ λ + Hoặc tính lại từ đầu cách đặt nhân tử vj = cột j đó, sau tính ui, vj theo cơng thức ui – aijvj = với (i, j )  H Ta có phương án cực biên w2 tốt w1 Gán w2 = w1 quay trở lại bước Sau hữu hạn bước lặp ta tìm phương án tối ưu Chú ý: + Trường hợp tốn đối ngẫu suy biến, gặp λ =1, ta áp dụng thuật tốn bình thường kết không cho phương án cực biên suy rộng mà chuyển sang sở khác phương án Điều làm xuất hiện tượng xoay vịng Tuy nhiên thực tế tính toán dễ dàng thoát khỏi tượng xoay vịng + Khi λ đạt nhiều khác dấu hiệu tốn suy biến, ta chọn ngẫu nhiên vào làm chọn Ví dụ 4.2: Tìm phương án tối ưu toán sản xuất đồng với phương án cực biên suy rộng xây dựng ví dụ Bảng 4.4 50 60 100 * 96 * 99 70 45 * 70 72 57 * 80 65 * 40 41 u1 = 100 * (-) * 25 u3 = 75 38 u4 = 95 (+) v1 = 5/3 V2 = u2 = 100 λ v3 = 25/24 v4 = 100/41 λ - 114 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - u i Z i 1 v  100  100  75  95  60,19 /   25 / 24  100 / 41 j j 1 Nhận thấy cột có chọn (2, 4) nên x24 = Z/a24 > Trên hàng có ô chọn (2, 1) (2, 4) nên x21 + x24 = Suy x21 = - x24 < 0, ghi dấu (-) vào ô (2, 1) bảng Ta chuyển sang điều chỉnh phương án x21 < nên u2 phải sửa, dóng theo dịng gặp chọn (2, 4) nhân tử cột v4 phải sửa Dóng theo cột khơng gặp ô chọn nữa, nhân tử khác giữ nguyên (những nhân tử phải sửa ta viết thêm chữ λ vào cạnh bên để đánh dấu bảng trên)    100 75 95  41 , ,  A = {(1, 4), (3, 4), (4, 4)}, λ =  100 100 100  40  40  25 38  41 41 41  Cực tiểu đạt ô (1, 4) (4, 4) Lấy ô làm ô chọn thay ô (2, 1) bị loại, chẳng hạn ô (4, 4), ghi dấu (+) vào ô (4, 4) bảng Xây dựng bảng với hệ thống ô chọn mới, hệ thống nhân tử theo hai cách: Hoặc ui'  ui , v 'j   v j hàng i hay cột j có chữ λ, tính lại từ đầu cách đặt nhân tử cột vj = Bảng 4.5 50 100 * 96 60 99 70 * 40 u1 = 100 41 45 * 70 72 57 * 80 65 V2 = v3 = 25/24 v4 = 5/2 v1 = 5/3 * * - 115 - 25 u2 = 102,5 u3 = 75 38 * u4 = 95 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - u i Ta có Z  i 1 v  100  102,5  75  95  60 /   25 / 24  / j j 1 x12 + x13 = x24 = x31 + x33 = x41 + x44 = 45x31 + 57x41 = 60 100x12 = 60 96x13 + 72x33 = 60 41x24 + 38x44 = 60 Giải hệ ta tìm được: x24 = 1; x44 = 0,5; x41 = 0,5; x31 = 0,7; x33 = 0,3; x13 = 0,4; x12 = 0,6 Do xij ≥ nên phương án tối ưu cần tìm toán cho  0,6 0,4   0  *  X   0,7 0,3    0,5   0,5 với số sản phẩm đủ sản xuất nhiều fmax= 60 - 116 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - II BÀI TỐN TRÒ CHƠI MA TRẬN MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Ví dụ trị chơi ma trận + Quy tắc chơi: Hai đối thủ P Q chơi, người có viên bi trắng (T) viên bi xanh (X) Cùng lúc (bằng hiệu lệnh đó) người lấy viên bi đặt lên bàn + Cách trả tiền: Q trả cho P đồng hai viên bi chọn màu, – đồng (nghĩa P trả cho Q đồng) hai viên bi chọn khác màu Trong trường hợp đầu ta nói P thắng, Q thua; trường hợp sau ta nói Q thắng, P thua Trò chơi tiếp tục Số tiền trả hay – biểu thị số thu nhập hay số tổn thất P P mong muốn làm cực đại số thu nhập nên P gọi người chơi max, Q mong muốn làm cực tiểu số thu nhập đối thủ P (hay cực tiểu số tổn thất mình) nên Q gọi người chơi + Ma trận trò chơi: thể bảng 4.6 Bảng 4.6 Q S N S -1 N -1 P  1  Ma trận A =   gọi ma trận thu hoạch hay ma trận thắng  1  hay ma trận trả tiền P Ví dụ dạng trò chơi ma trận hay gọi trò chơi đối kháng hai đối thủ với tổng (số thu hoạch người số tổn thất người kia) 1.2 Bài tốn trị chơi ma trận Định nghĩa 4.3 Trò chơi ma trận trò chơi xác định ma trận m hàng, n cột A = (aij)mxn với aij số thực tùy ý cho trước Ma trận A gọi ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền) Phần tử aij biểu thị mức độ - 117 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - thắng (chẳng hạn số tiền mà Q phải trả cho P, thắng aij > 0, thua aij < 0,hịa aij = 0) P P chọn cách chơi thứ i, Q chọn cách chơi thứ j Đối với người chơi P A ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền), ngược lại người chơi Q - A ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền) Định nghĩa 4.4 Với i = 1, 2, …, m, véc tơ đơn vị thứ i X = (0, 0, …, 1, …, 0)   m với số tọa độ thứ i, gọi chiến lược đơn thứ i P Véc tơ chiến lược thứ i biểu thị việc người chơi P chọn hàng i ma trận A Để đơn giản, thay nói chiến lược đơn thứ i ta nói chiến lược i Tương tự, Với j = 1, 2, …, n, véc tơ đơn vị thứ j X = (0, 0, …, 1, …, 0)   n với số tọa độ thứ j, gọi chiến lược đơn thứ j Q Véc tơ chiến lược thứ j biểu thị việc người chơi Q chọn hàng j ma trận A Để đơn giản, thay nói chiến lược đơn thứ j ta nói chiến lược j Chú ý trò chơi ma trận, thông tin cách chơi đối thủ cần giữ kín Ở lần chơi, đối thủ không chọn cố định chiến lược đơn ( hàng, cột) cụ thể mà lựa chọn phối hợp hàng (cột) theo tỷ lệ (xác suất) Vì thế, ta đến khái niệm chiến lược hỗn hợp Định nghĩa 4.5 Véc tơ X = (x1, x2, …, xm) với xi  0,i  1, m x1 + x2 + …+ xm = 1, xi biểu thị xác suất để P chọn cách chơi thứ i, gọi chiến lược hỗn hợp P Tương tự, Véc tơ Y = (y1, y2, …, yn) với yj  0, j  1, n y1 + y2 + …+ yn = 1, yj biểu thị xác suất để Q chọn cách chơi thứ j, gọi chiến lược hỗn hợp Q 1.3 Hàm thu hoạch P - 118 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - Khi P chọn chiến lược hỗn hợp X = (x1, x2, …, xm) Q chọn chiến lược hỗn hợp Y = (y1, y2, …, yn) phần thắng P (cũng phần thua Q) tính sau: Nếu Q chọn chiến lược đơn thứ (cột A) kỳ vọng thắng m a P là: a11x1 + a21x2 + … + am1xm = x i1 i i 1 Nếu Q chọn chiến lược đơn thứ hai (cột A) kỳ vọng thắng m P là: a12x1 + a22x2 + … + am2xm = a i2 xi i 1 … Nếu Q chọn chiến lược đơn thứ n (cột n A) kỳ vọng thắng P m là: a1nx1 + a2nx2 + … + amnxm = a in xi i 1 Do Q chọn chiến lược hỗn hợp Y = (y1, y2, …, yn) nên kỳ vọng thắng P là: m m m n  m  E(X, Y) = y1  a i1x i + y2  a i2 x i + … + yn  a in x i =    a ijx i y j i 1 i 1 i 1 j1  i 1  Định nghĩa 4.6 Hàm thu hoạch hay số thu hoạch P số thực n E(X, Y) =  m     a ijx i y j , j1  i 1  X = (x1, x2, …, xm) Y = (y1, y2, …, yn) tương ứng chiến lược hỗn hợp P Q Ví dụ 4.3: Xét trò chơi cho ma trận chữ nhật (m = 3, n = 4): 1 3  5     1    1 Xét cặp chiến lược X =  2 1 1  Y =  4 1 1  Tính số thu 4 hoạch P? - 119 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Q chọn cột 1: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  2,5 Q chọn cột 2: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  2,25 Q chọn cột 3: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  Q chọn cột 1: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  2, 25 Vậy số thu hoạch P là: E(X, Y) = 2,5  /  2, 25  /   /  2,25  /  2, 25 ĐIỂM YÊN NGỰA VÀ CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU 2.1 Điểm yên ngựa Xét trò chơi cho ma trận trả tiền A = (aij) Nếu P chọn chiến lược đơn thứ i P tin nhận số thu hoạch a ij j Do P chọn chiến lược đơn nên P chọn chiến lược đơn làm cực đại số thắng cuộc, nghĩa P chọn i cho a ij lớn Bằng cách chọn j chiến lược đơn này, P bảo đảm thắng max a ij i j Tương tự, Q chọn chiến lược đơn j, Q tin số tiền phải trả (tổn thất) nhiều max a ij Như Q cách chọn chiến lược đơn làm cực tiểu số tổn i thất Bằng cách chọn chiến lược đơn Q giữ cho P thắng nhiều (Q thua nhất) m ax a ij j i Định nghĩa 4.7 Nếu ma trận trả tiền A thỏa mãn điều kiện: max a ij = m ax a ij = ahk = v, i j j i ta nói trị chơi ma trận có điểm yên ngựa giá điểm yên ngựa phần tử ahk = v Khi trị chơi có điểm n ngựa ahk, P thắng v, P chọn chiến lược đơn h Q thua nhiều v, Q chọn chiến lược đơn k Khi h chiến lược tối ưu cho P k chiến lược tối ưu cho Q Ví dụ 4.4: Cho trò chơi với ma trận trả tiền - 120 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - 1  5 1    3 3   Ta có: a1j = a11 = a13 = 1, a 2j = a23 = 0, a 3j = a33 = j j j max a ij = = a33 i j m ax a i1 = a21 = 5, m ax a i2 = a22 = 4, m ax a i3 = a33 = 2, m ax a i4 = a34 = i i i i m ax a ij = = a33 j i Vậy giá điểm yên ngựa a33 = = v, ứng với cặp chiến lược đơn X = (0, 0, 1) Y = (0, 0, 1, 0) Ta nhận xét a33 vừa phần tử nhỏ hàng 3, vừa phần tử lớn cột Bất điểm yên ngựa có tính chất Tổng qt, ta có ahk = v giá điểm yên ngựa h chiến lược đơn tối ưu P k chiến lược đơn tối ưu Q Tuy nhiên khơng phải trị chơi ma trận có điểm yên ngựa, nghĩa có chiến lược đơn tối ưu Vì ta đến khái niệm chiến lược hỗn hợp tối ưu 2.2 Chiến lược tối ưu Định nghĩa 4.8 Nghiệm trò chơi ma trận cặp chiến lược hỗn hợp X  (x1 , x , , x m ), Y  (y1 , y , , y n ) số thực v, ký hiệu E( X , Y , v) cho: a E( X , Y ) = v, b E( X , j)  v với chiến lược đơn j = 1, 2, …, n, c E(i, Y ) = v với chiến lược đơn i = 1, 2, …, m X , Y tương ứng gọi chiến lược tối ưu P Q, v gọi giá trò chơi Định nghĩa cho thấy P chọn cách chơi theo tỷ lệ cho chiến lược tối ưu X dù Q chơi nào, P ln thắng v Cũng vậy, Q - 121 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - chọn cách chơi theo tỷ lệ cho chiến lược tối ưu Y dù P chơi nào, Q thua nhiều v Giá v dương, âm Định lý 4.9 ( Định lý minimax) Mọi trò chơi ma trận với phần tử dương, hàm thu hoạch E(X, Y) tồn giá tối ưu, hay ta có max E( X ,Y )  m ax E( X ,Y ) = v X Y Y X Nhận xét: 1) Mọi trò chơi ma trận, với aij > 0, có nghiệm ( X , Y , v) thỏa mãn E(X, Y ) ≤ E( X , Y ) = v ≤ E( X ,Y), với cặp chiến lược hỗn hợp X, Y 2) Nếu ma trận trả tiền A có phần tử âm ta thay ma trận Ap = (aij + p), với aij + p > 0, cách chọn p = – min{aij: aij < 0} Người ta chứng minh chiến lược tối ưu hai trò chơi ứng với ma trận trả tiền A Ap nhau, đồng thời vp = v + p > 2.3 Trò chơi đối xứng 2.3.1 Định nghĩa Trò chơi đối xứng trị chơi có ma trận trả tiền A thỏa mãn điều kiện sau: a) A ma trận vuông cấp n; b) aii = 0,với i; c) aij = -aji, với i, j Ma trận A với tính chất a, b, c gọi ma trận đối xứng lệch Ví dụ 4.5: Trị chơi dân gian: “One – Two -Three” (đọc chệch Oẳn tù tì) trị chơi ma trận với tập chiến lược đơn giống cho hai đấu thủ: lần chơi, người chơi giơ tay hiệu chọn “Giấy” “Búa” “Kéo” với quy ước: Giấy thắng Búa, Búa thắng Kéo, Kéo thắng Giấy Ma trận trả tiền có dạng: - 122 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Bảng 4.7 Q Giấy Búa Kéo Giấy -1 Búa -1 Kéo -1 P 2.3.2 Tính chất trị chơi đối xứng +) Nếu X = Y E(X, Y) = 0, nghĩa hai người chơi sử dụng chiến lược kỳ vọng thắng họ +) Giả sử chiến lược tối ưu hai người X Y Khi X = Y v = E( X , Y ) = 0, nghĩa giá trò chơi đối xứng Chiến lược tối ưu cho trò chơi “Giấy – Búa – Kéo” X = Y = (1/3, 1/3, 1/3) với giá v = PHƯƠNG PHÁP TÌM CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU CHO BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN 3.1 Đưa trò chơi ma trận tốn quy hoạch tuyến tính Xét trị chơi ma trận A = (aij)mxn Theo định nghĩa định nghĩa tốn P tìm véc tơ X = (x1, x2, …, xm) số v cho a11x1 + a21x2 + … + am1xm ≥ v (cộng theo cột 1), a12x1 + a22x2 + … + am2xm ≥ v (cộng theo cột 2), … a1nx1 + a2nx2 + … + amnxm ≥ v (cộng theo cột n), x1 + x2 + … + xm = 1, xi ≥ 0, i = 1, 2, …, m Bài tốn Q tìm véc tơ Y = (y1, y2, …, yn) số v cho a11y1 + a12y2 + … + a1nyn ≤ v (cộng theo hàng 1), a21y1 + a22y2 + … + a2nyn ≤ v (cộng theo hàng 2), … am1y1 + am2y2 + … + amnyn ≤ v (cộng theo hàng m), y1 + y2 + … + yn = 1, yj ≥ 0, i = 1, 2, …, n - 123 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Khơng tính tổng qt, ta giả thiết aij > v > Đặt x i'  y xi ,i  1,m y'j  j , j  1,n Ta có v v x1'  x '2   x 'm  1 y1'  y '2   y'n  v v Ta thấy v số tiền mà P nhận v số tiền mà Q phải trả nên P tìm cách làm cực đại v hay cực tiểu 1/v; cịn Q tìm cách làm cực tiểu v hay cực đại 1/v Vì ta có cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu: Bài tốn P: f1  x1'  x '2   x 'm  a11x1'  a 21x '2   a m1x 'm   ' ' ' a12 x1  a 22 x   a m2 x m    a x '  a x '   a x '  mn m  1n 2n '  x  0,i  1, m  i Bài toán Q: f  y1'  y '2   y 'n  m ax a11y1'  a12 y '2   a1n y 'n   ' ' ' a 21y1  a 22 y   a 2n y n    a y '  a y'   a y '  mn n  m1 m2 '  y  0, j  1, n  j Nhận xét + Hai toán lập thành cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Hơn nữa, rõ ràng hai tốn có phương án nên hai tốn có m n phương án tối ưu  x  max  y'j  X' ' i i 1 Y' j1 v (Số tiền thắng nhỏ P số tiền thua lớn Q) + Chiến lược tối ưu P1 P2 tương ứng là: - 124 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - x i  v  x i' ,i  1, n y j  v  y 'j , j  1,n 3.2 Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho tốn trò chơi ma trận + Xét ma trận A thỏa mãn aij > 0, chưa ta đưa ma trận A ma trận Ap cho aij > 0, cách chọn p = – min{aij: aij < 0};Ap = (aij + p)mxn + Viết cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tương ứng P Q + Giải hai tốn phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu Từ tìm phương án tối ưu cho tốn cịn lại + Từ phương án tối ưu X’ = ( x i' ) Y’ = ( y'j ) cặp toán đối ngẫu ta tìm chiến lược tối ưu X* = (xi) Y* = (yj) P Q với x i  v p  x i' ,i  1, n y j  v p  y 'j , j  1,n , với vp = 1/f1; v* = vp - p Ví dụ 4.6: Tìm chiến lược tối ưu trò chơi ma trận  1  A   2 2   3    Ta thấy – min{ aij: aij < 0} = 3, chọn p = Xét ma trận Ap sau:  4 A p    5 1   Mọi phần tử Ap dương nên vp > Cặp toán đối ngẫu P Q là: (P) f1  x1'  x '2  x 3'  6x1'  2x '2  5x 3'   ' ' ' 3x1  4x  6x   ' ' ' 4x1  2x  x   x '  0, x '  0, x '   (Q) f  y1'  y '2  y3'  m ax - 125 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - 6y1'  3y '2  4y3'   ' ' ' 2y1  4y  2y3   ' ' ' 5y1  6y  y3   y '  0, y'  0, y '   Ta giải tốn (Q) Đưa tốn (Q) dạng tắc sau: f   y1'  y '2  y3'  6y1'  3y'2  4y3'  y '4 1  ' ' ' ' 2y1  4y  5y3  y5   ' ' '  y'6  5y1  6y  y3  y '  0, j  1,6  j Chọn sở {A4, A5, A6} với phương án cực biên xuất phát ta có bảng đơn sau Bảng 4.8 Bảng Cơ sở Hệ số Số Ai ci A4 I Tọa độ xio III -1 -1 0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 0 A5 A6 0 1 1 0 f(X) = -10 II -1 A4 1/2 7/2 7/2 -1/2 A5 1/3 -4/3 4/3 -2/3 -1 1/6 5/6 1/6 0 1/6 F(X) = -1/6 1/6 5/6 0 -1/6 A3 -1 1/7 1 2/7 -1/7 A5 1/7 -8/3 0 -8/21 -6/7 A2 -1 1/7 2/3 -1/21 4/21 A2 - 126 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - F(X) = -2/7 -2/3 0 -5/21 -1/21 Tại bảng III ta thấy j  0,  j = 1,6 nên phương án tối ưu toán (Q) là: Y’ = (0, 1/7, 1/7, 0, 1/7, 0) Suy phương án tối ưu toán (Q) Y’ = (0, 1/7, 1/7) f1 = f1 = 2/7 = 1/vp Ta có Y’ = (0, 1/7, 1/7) thỏa mãn lỏng ràng buộc sau  y '2   ' ,  y3   ' ' ' 2y1  4y  2y3  nên theo định lý lệch bù ta có 3x1'  4x '2  6x 3'   ' ' ' 4x1  2x  x   ' x   x1'  / 21    x '2   '  x  / 21 Phương án tối ưu toán (P) X’ = (5/21, 0, 1/21) Nghiệm trò chơi là: + Chiến lược tối ưu P là: X* = v.X’ = 7/2.(5/21, 0, 1/21) = (5/6, 0, 7/42) + Chiến lược tối ưu Q là: Y* = v.Y’ = 7/2.(0, 1/7, 1/7) = (0, 1/2, 1/2) + Giá trò chơi: v* = vp – p = 7/2 – = -1/2 - 127 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Đơng, Ngơ Văn Thứ, Hồng Đình Tuấn, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [2] Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [3] Phạm Đình Phùng, Nguyễn Văn Q, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế, Nhà xuất tài Hà Nội, 2002 [4] Trần Túc, Quy hoạch tuyến tính, Đại học Kinh tế Quốc dân, 2001 [5] Trần Vũ Thiệu, giáo trình tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 - 128 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN