Giáo trình toán kinh tế phần 1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – LÊ ĐÌNH THÚY TỐN KINH TẾ Giáo trình dùng cho Sinh viên Kinh tế (Có bổ sung chỉnh lý) HÀ NỘI - 2022 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………………………………7 Chƣơng CÁC MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH……………………………………… 1.1 Các khái niệm …………………………………………………………………… 1.2 Các phép tốn tuyến tính ma trận……………………………………………………10 1.3 Phép chuyển vị……………………………………………………………………………10 ĐỊNH THỨC……………………………………………………………………………… 11 2.1 Khái niệm cách tính……………………………………………………………………11 2.2 Các tính chất định thức….……………………………………………………13 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO……………………………… 14 3.1 Phép nhân ma trận với ma trận…….…………………………………………………… 14 3.2 Ma trận nghịch đảo……………………………………………………………………….16 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH…………………………………………………… 18 4.1 Các khái niệm bản…………………………………………………………………… 18 4.2 Hệ Cramer……………………………………………………………………………… 18 CÁC MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ…….………………….20 5.1 Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ………… …………………………………………… 20 5.2.Mơ hình I/O (Input/Output) Léontief… ……………………………… ………… 21 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương 1………………… ………………………………… 25 BÀI TẬP CHƢƠNG 1………….…………………………………………………………… 26 Chƣơng HÀM SỐ, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ………………………………………………………………….28 1.1 Các khái niệm bản…………………………………………………………………….28 1.2 Các phép tính hàm số…………………….………………………………………….28 CÁC HÀM SỐ THƢỜNG DÙNG…………………………………………………………29 2.1 Các hàm số thƣờng dùng…………………………………………………………………29 2.2 Một số hàm số kinh tế thƣờng dùng …………………………………………………… 30 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ…………………………………………….………………….30 3.1 Hàm số hai biến số……………………………………………………….……………….30 3.2 Hàm số n biến số……………………………………………………….…………………32 3.3 Các hàm số nhiều biến số quan trọng phân tích Kinh tế ………………………… 32 MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG….……………………………………………… 34 4.1 Thị trƣờng loại hàng hóa…….…………………………….…………………………34 4.2 Thị trƣờng nhiều hàng hóa……………………………………………………….……….34 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ…………………………….……….35 5.1 Đạo hàm………………………………………………………………………….……….35 5.2 Vi phân…………………………….…………………………………………….……… 36 5.3 Đạo hàm cấp cao……………………………………………………………….…………37 5.4 Áp dụng Kinh tế………………………………………………………… ……… 37 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ…… .39 6.1 Đạo hàm riêng cấp 1…………………… …… …………………… …………………39 6.2 Vi phân toàn phần cấp 1……………………………… ………………………….…… 41 6.3 Đạo hàm riêng cấp 2………………………………………………………….… ………42 6.4 Áp dụng Kinh tế……………………………………… ………………………… 43 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH………………………………………………………………….46 7.1 Nguyên hàm tích phân bất định………………………………… ……………………46 7.2 Bảng tích phân bản………………………………………………….…………………47 7.3 Tính chất………………………………………………………………….………………47 7.4 Một số phƣơng pháp tính tích phân bất định ……………………………………….……47 7.5 Áp dụng Kinh tế……………………… ………………………………………… 48 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH…………………………………………………………….…….49 8.1 Định nghĩa…………………………………………… ………………………………….49 8.2 Tính chất………………………………………………………………………………….50 8.3 Cơng thức Newton – Leibnitz……………………………………………….……………51 8.4 Một số phƣơng pháp tính tích phân xác định…….………………………………………51 8.5 Áp dụng Kinh tế……………………… ………………………………………… 51 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương 2………… ……………………………………… 54 BÀI TẬP CHƢƠNG 2…………………………….………………………………………… 55 Chƣơng BÀI TOÁN TỐI ƢU CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ…………………………………………………….…60 1.1 Cực trị……………………………………………………………………………….…….60 1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số…… …………………………………….60 1.3 Bài toán tối ƣu…………………………………………………………………………….61 CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CĨ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC VÀ BÀI TỐN TỐI ĐA LỢI NHUẬN……………………………………………………62 2.1 Khái niệm cực trị điều kiện cần…………………………… …………………………62 2.2 Điều kiện đủ……………………….…………………………………….……………… 62 2.3 Bài toán tối đa lợi nhuận…………………………………………………………….……65 CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC………… …… 68 3.1 Cực trị có điều kiện với hai biến chọn phƣơng trình ràng buộc………… …… 68 3.2 Cực trị có điều kiện với n biến chọn phƣơng trình ràng buộc……… ………….71 3.3 Ý nghĩa nhân tử Lagrange…………………………………………… …………… 73 BÀI TOÁN TỐI ƢU VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC………………………… ……… 74 4.1 Cực đại lợi ích tiêu dùng…………………………………………………………….……74 4.2 Tối thiểu chi tiêu………………………………………………………………….………75 4.3 Sản xuất với sản lƣợng tối đa……………………………………………………….…….75 4.4 Sản xuất với chi phí tối thiểu…………………………………………………….……….76 4.5 Hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm nhƣng tiêu thụ hàng hóa hai thị trƣờng riêng biệt………………………………………………………… …….76 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương 79 BÀI TẬP CHƢƠNG 3……………………………………………………….……………… 80 Chƣơng PHÂN TÍCH ĐỘNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN …………………………………………….……………… 83 1.1 Khái niệm chung phƣơng trình vi phân……………………………… ………………83 1.2 Phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một…………………………………………… …… 83 PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LOẠI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT…… 85 2.1 Phƣơng trình phân ly biến số…………………………………………………… ………85 2.2 Các phƣơng trình đƣa đƣợc dạng phân ly biến số ……………………………………86 2.3 Phƣơng trình tuyến tính phƣơng trình Bernoulli…………………… ……………….88 ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ……………………………… ………….91 3.1 Tìm hàm cầu biết độ co dãn cầu theo giá…………………………… ………….91 3.2 Phân tích thị trƣờng ………………………………………………………………………92 MƠ HÌNH TĂNG TRƢỞNG …………………………………………………………… 93 4.1 Mơ hình tăng trƣởng Domar…………………………………………… ……………….93 4.2 Mơ hình tăng trƣởng Solow …………………………………………………………… 94 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương 4….……………………………………… ……… 96 BÀI TẬP CHƢƠNG 4…………………………… ………………………………………….97 TÀI LIỆU THAM KHẢO….… ………………………………………………….…….… 98 PHỤ LỤC Sử dụng Casio fx-570 để tính toán ma trận định thức …………… …………… 99 LỜI NÓI ĐẦU Để giải số vấn đề Kinh tế, nhà kinh tế thiết lập mơ hình kinh tế sử dụng cơng cụ Tốn thích hợp để xử lý mơ hình Giáo trình cung cấp số phương pháp Toán Kinh tế Những kiến thức Toán nêu Giáo trình kiến thức cân nhắc chọn lựa Nguyên tắc chọn lựa ngắn gọn, thiết thực dễ hiểu Chương trang bị kiến thức tối thiểu ma trận, định thức, cách giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn số nhằm hướng tới việc xử lý mơ hình tuyến tính kinh tế Cân thị trường, Cân kinh tế vĩ mô, mơ hình I/O Léontief… Chương Giáo trình tập trung vào việc giải mơ hình kinh tế nhờ kiến thức Giải tích hàm số biến số nhiều biến số Các toán tối ưu hàm mục tiêu đề cập giải cơng cụ Tốn Chương đề cập đến Phân tích động Giáo trình cung cấp kiến thức thật Phương trình vi phân, hướng đến giải số mô hình kinh tế qua việc thiết lập quỹ đạo thời gian Trong Giáo trình đề cập đến việc Phân tích thị trường hai mơ hình tăng trưởng Domar Solow Phần Phương trình sai phân khơng đưa vào nội dung môn học, thời lượng Sau chương có phần Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Bài tập Các tập mang tính gợi ý, có tính điển hình Nhóm biên soạn nhận hỗ trợ tích cực Khoa Tốn Trường Đại học Kinh doanh Cơng nghệ Hà Nội Mặc dù tác giả cố gắng không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận nhận xét góp ý bạn đọc để tiếp tục hồn thiện nội dung hình thức Giáo trình nhằm nâng cao hiệu sử dụng học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 03 năm 2021 Nhóm biên soạn Chương CÁC MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trong số mơ hình tuyến tính quan trọng phân tích kinh tế mơ hình I/O Léontief (hay cịn gọi mơ hình cân đối liên ngành), mơ hình cân kinh tế vĩ mơ, mơ hình cân thị trường nhiều hàng hóa liên quan… ta phải giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn số Cơng cụ để xử lý vấn đề sử dụng kiến thức ma trận định thức Đại số tuyến tính MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH 1.1 Các khái niệm Một bảng số gồm m.n số thực xếp thành m dòng n cột đƣợc gọi ma trận cấp mxn đƣợc ký hiệu nhƣ sau:  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  A = (aij)mxn A   21     a m1 a m2 a mn  Các số aij đƣợc gọi phần tử ma trận A Cụ thể hơn: aij phần tử nằm dòng thứ i cột thứ j ma trận A Hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn đƣợc coi tất phần tử tƣơng ứng chúng đôi nhau: aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n) Ma trận có tất phần tử đƣợc gọi ma trận không Ma trận không cấp mxn đƣợc ký hiệu Omxn đơn giản O Ma trận cấp nxn, tức ma trận có số dịng số cột nhau, đƣợc gọi ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông:  a11 a12 a  21 a 22   a n1 a n a1n  a 2n    a nn  phần tử a 11, a22 , , a nn đƣợc gọi phần tử nằm đường chéo Ma trận đơn vị cấp n đƣợc ký hiệu chữ En ma trận sau: 1 0 En     0      nxn 1.2 Các phép tốn tuyến tính ma trận Cộng hai ma trận cấp Tổng hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn ma trận ký hiệu A + B đƣợc xác định nhƣ sau: A + B = (aij+bij)mxn Nhân ma trận với số Tích ma trận A = (aij)mxn với số  ma trận ký hiệu  A đƣợc xác định nhƣ sau:  A = (  aij)mxn Chú thích: Tích (-1)A đƣợc ký hiệu ma trận –A đƣợc gọi ma trận đối ma trận A Phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số có tính chất sau: a) A + B = B + A b) (A + B) + C= A + (B + C) c) A + O = A d) A + (-A) = O e)  (A + B) =  A +  B f) (  + β)A =  A + βA g) (  β)A =  (βA) A, B, C ma trận cấp,  ,  số thực Phép trừ hai ma trận cấp Phép trừ hai ma trận cấp đƣợc xác định nhƣ sau: A - B = A + (-B) = A + (-1)B Ma trận A - B đƣợc gọi hiệu ma trận A ma trận B 1.3 Phép chuyển vị Cho ma trận  a11 a12 a a 22 A   21   a m1 a m2 a1n  a 2n    a mn  Chuyển dòng ma trận A thành cột với thứ tự tƣơng ứng (khi cột trở thành dòng với thứ tự tƣơng ứng) ta đƣợc ma trận  a11 a A '   12   a1n 10 a 21 a 22 a 2n a m1  a m2    a mn  Trƣờng hợp tổng quát, K  L  1, hay đại lƣợng K L biến động, ta dùng vi phân toàn phần hàm Q để ƣớc tính thay đổi sản lƣợng Ví dụ Trong ví dụ trên, giả sử doanh nghiệp sản xuất múc K = 27 (đơn vị vốn), L = 64 (đơn vị lao động) ngày, để ước tính biến đổi sản lƣợng Q tăng thêm đơn vị vốn (từ 27 lên 29), giảm đơn vị lao động (từ 64 xuống 63) Theo ý nghĩa vi phân hàm biến, ta có (L  1, K  2) : 2/ 1/ 1 K  2 L  Q  dQ  fL dL  fK dK    dL    dK  3 L  3 K  K  27, L 64 229  (1)    1,59 16 144 Có nghĩa mức sản xuất K = 27, L = 64 ngày, doanh nghiệp tăng thêm đơn vị vốn giảm đơn vị lao động, sản lƣợng doanh nghiệp ngày tăng xấp xỉ khoảng 1,59 đơn vị sản phẩm b Đối với hàm lợi ích U = U(x1, x2, ,xn) (đơn vị đo mức độ thỏa mãn mang tính chất quy ƣớc), đạo hàm riêng U  Ui điểm (x1 , x , , x n ) đƣợc gọi lợi ích cận biên x i hàng hóa thứ i ngƣời tiêu dùng Điều có nghĩa sử dụng tuần x1 đơn vị hàng hóa thứ nhất, x đơn vị hàng hóa thứ hai, , x n đơn vị hàng hóa thứ n, mà đƣợc tăng thêm đơn vị hàng hóa thứ i tuần (mức sử dụng hàng hóa cịn lại giữ nguyên) mức độ thỏa mãn ngƣời tiêu dùng tăng thêm xấp xỉ Ui đơn vị Tổng quát, mức sử dụng loại hàng hóa thay đổi khác đơn vị hay đồng thời biến động mức sử dụng vài loại hàng hóa lúc, ta phải ƣớc tính thay đổi lợi ích vi phân hàm U c Đối với hàm chi phí C = C(L,K) C C  CK đƣợc gọi chi phí cận biên  CL K L lao động chi phí cận biên tư Nếu giá thuê đơn vị lao động wL giá thuê đơn vị vốn wK C = wLL + wKK Ta có: CL = C  wL , L CK  C  wK K Điều có nghĩa mức sử dụng yếu tố đầu vào, chi phí cận biên lao động giá thị trƣờng việc thuê đơn vị lao động chi phí cận biên vốn giá thuê đơn vị vốn 45 Đạo hàm cấp quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần Để làm sáng tỏ nội dung quy luật lợi suất thu giảm dần (Law of diminishing returns) ngơn ngữ tốn học, ta xét mơ hình y = f(x) biểu đạt phụ thuộc biến đầu y vào biến đầu vào x, y số lƣợng mà ta muốn thu đƣợc, x số lƣợng mà ta phải bỏ để thu đƣợc y a Quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần Kinh tế nói rằng: Ở mức x lớn lượng gia tăng y ứng với đơn vị gia tăng x nhỏ, tức giá trị y cận biên x giảm dầnkhi x tăng Với hàm biến y = f(x), giá trị y cận biên x f '(x) Quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần cho biết f’(x) giảm x tăng (ở mức x đủ lớn) Vậy hàm số có đạo hàm cấp điều kiện để f '(x) giảm x tăng là: [f’(x)]’ b b a a b  f (x)dx   f (x)dx 49 b b Nếu a = b  f (x)dx  a Ý nghĩa hình học b Nếu hàm y = f(x)  khả tích [a,b]  f (x)dx diện tích hình thang cong a giới hạn đƣờng {y=f(x), y=0, x=a, x=b} thƣờng gọi diện tích đường cong y = f(x) đoạn [a,b] Chú thích Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến tích phân, tức b b a a  f (x)dx   f (t)dt 8.2 Tính chất b b a a  K.f (x)dx  K  f (x)dx  K  const  b b a b a c a b  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx a b  f (x)  g(x) dx   f (x)dx   g(x)dx a (giả thiết tích phân tồn tại) c Nếu f(x)  g(x) [a,b] Nếu f(x)  [a,b] b b a a  f (x)dx   g(x)dx b  f (x)dx  a Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a,b] tồn điểm c  [a,b] cho b  f (x)dx  f (c)  b  a  a Chú thích: Các tính chất 1, 2, 3, a > b 50 8.3 Công thức Newton – Leibnitz Công thức Newton - Leibnitz Nếu F(x) nguyên hàm hàm y=f(x) liên tục [a,b] b  f (x)dx  F(b)  F(a)  F(x) b a a 8.4 Một số phƣơng pháp tính tích phân xác định Sử dụng cơng thức Newton-Leibnitz Nhờ cơng thức Newton-Leibnitz, ta tính tích phân xác định qua việc tìm nguyên hàm F(x) Phƣơng pháp đổi biến Định lý Cho hàm số y = f(x) liên tục [a,b] Nếu hàm số x =  (t):  liên tục [ ,  ] nhận giá trị [a,b],  có đạo hàm liên tục  '(t) [ ,  ],   (  )=a,  (  )= b b  a   f (x)dx   f (t)  '(t)dt Chú thích Trong nhiều trƣờng hợp, ta đặt t =  (x), toán trở nên đơn giản Phƣơng pháp tích phân phần a Định lý Nếu hàm số u (x) liên tục với u'(x), v'(x) [a,b] b  udv  u(x).v(x) | a    b b a   vdu a b Ví dụ: I  x.e x dx   xde x   xe x |  e x dx   xe x  e x    0 0 e 8.5 Áp dụng Kinh tế Xét hàm cầu đảo p = D -1(Q), có đƣờng cầu đƣợc vẽ hình dƣới Hàm cầu thể giá p mà ngƣời tiêu dùng chấp nhận để mua lƣợng hàng hóa Q khác Giả sử thị trƣờng điểm E(Qo,po) Theo lý thuyết đƣờng cầu,diện tích dƣới đƣờng cầu đoạn [OQ0] (diện tích hình thang cong AEIO) số tiền mức sẵn lòng chi tiêu người tiêu dùng mua hết lƣợng Q0 hàng hóa 51 Tuy nhiên, thực tế số tiền mà (tất cả) ngƣời tiêu dùng thực bỏ để mua lƣợng Q0 hàng hóa p0Q0 Số tiền diện tích hình chữ nhật OHEI Nhƣ ngƣời tiêu dùng (khi chấp nhận trả giá cao giá po) đƣợc hƣởng thặng dƣ Tổng thặng dƣ đƣợc gọi thặng dư người tiêu dùng CS Đó phần diện tích AHE Vậy, thặng dƣ ngƣời tiêu dùng Qo CS = D 1 (Q)dQ  p0Qo  Qo  D 1 (Q)  po  dQ Tƣơng tự, xét hàm cung đảo p = S -1(Q) Hàm cung thể giá p mà nhà sản xuất chấp nhận bán ứng với lƣợng hàng hóa Q khác Giả sử thị trƣờng điểm E(Qo,po) Theo lý thuyết đƣờng cung, diện tích dƣới đƣờng cung đoạn [OQ0] (diện tích hình thang cong BEIO) số tiền thu đƣợc mức sẵn lòng chấp nhận nhà sản xuấtđểsản xuất lƣợng Q0 hàng hóa Tuy nhiên, thực tế nhà sản xuất bán đƣợc lƣợng hàng hóa Q0với giá p0 Số tiền thu đƣợc p0Q0, diện tích hình chữ nhật OHEI Nhƣ nhà sản xuất (khi chấp nhận giá bán thấp giá po) đƣợc hƣởng thặng dƣ Tổng thặng dƣ đƣợc gọi thặng dư nhà sản xuất PS Đó phần diện tích BHE Thặng dƣ nhà sản xuất là: PS = p0Qo  Qo S 52 1 (Q)dQ  Qo  p o  S1 (Q)  dQ Ví dụ Trong thị trƣờng cạnh tranh hoàn hảo, cho biết hàm cầu hàm cung đảo: p = D-1(Q) = 131 - Q2 p = S-1(Q) = 50 + Q2 Hãy tính thặng dƣ nhà sản xuất thặng dƣ ngƣời tiêu dùng Giải Lƣợng cân Q0 tìm đƣợc từ phƣơng trình 131 - Q2 = 50 + Q2  Q2 = 81  Q0 = (loại nghiệm âm) Từ giá cân p0 = 104 Thặng dƣ ngƣời tiêu dùng (CS): CS = ∫ =∫ =162 Thặng dƣ nhà sản xuất (PS): ∫ ∫ ( ) Minh họa: 53 Câu hỏi Hướng dẫn ôn tập Chương Giải thích dạng a) hàm cung: Qs = S(p) , p = S-1(Q) b) hàm cầu: Qd = D(p), p = D-1(Q) c) Nêu dạng đồ thị hai hàm số Giải thích hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L) Giải thích hàm doanh thu R = R(Q), hàm chi phí C = C(Q), hàm lợi nhuận Giải thích hàm tiêu dùng C = C(Y) hàm tiết kiệm S = S(Y) Trong trƣờng hợp nhiều biến, giải thích a) Hàm sản xuất Q = f(L, K) b) Hàm chi phí C = C(L, K) = wLL + wKK c) Hàm doanh thu R = R(L, K) 10 d) Hàm lợi nhuận e) Hàm lợi ích U = U(x1, x2,…,xn) f) Hàm cung Qs = S(p, p1,p2, , pn) hàm cầu Qd = D(p, p1,p2, , pn) Thiết lập mơ hình cân thị trƣờng loại hàng hóa dạng tuyến tính Từ tìm lƣợng cân Thiết lập mơ hình cân thị trƣờng nhiều loại hàng hóa dạng tuyến tính Từ tìm lƣợng cân Nêu định nghĩa hàm cận biên Mf(x) hàm kinh tế f(x) Nêu ý nghĩa kinh tế đại lƣợng giá trị cận biên Mf(x0) Nêu định nghĩa hàm bình quân Af(x) hàm kinh tế f(x) Nêu ý nghĩa kinh tế hàm bình quân hàm tổng chi phí C = C(Q) Nêu định nghĩa hệ số co dãn y x Ý nghĩa kinh tế hệ số co dãn 11 Với hàm f nhiều biến f = f(x1,x2,…,xn) , định nghĩa đạọ hàm riêng cấp , đạo hàm riêng cấp 12 Giải thích ý nghĩa giá trị cận biên 13 14 15 16 54 Áp dụng cho hàm sản xuất Q = f(L, K), hàm chi phí C = C(L, K) Nêu Quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần Tìm hàm dự trữ vốn K(t) biết hàm đầu tƣ I(t) Biết hàm cận biên Mf(x), nêu cách tìm hàm tổng f(x) Áp dụng cho doanh thu cận biên, chi phí cận biên, tiêu dùng cận biên Định nghĩa cách tìm thặng dƣ ngƣời tiêu dùng CS, thặng dƣ nhà sản xuất PS Nêu minh họa hình vẽ BÀI TẬP CHƢƠNG Bài Cho mơ hình thị trƣờng loại hàng hóa: Qd = 24 - 2P; Tìm giá lƣợng cân Qs = -5 + 7P Bài Cho mơ hình thị trƣờng hai loại hàng hóa: Qd1 = 18 – 3P1 + P2; Qd2 = 12 + P1 - 2P2; Qs1 = -2 + 4P1 Qs2 = -2 + 3P2 Tìm giá lƣợng cân loại hàng hóa Bài Tìm hàm chi phí bình quân hàm chi phí cận biên biết hàm tổng chi phí a) TC = 3Q2 + 7Q + 12 b) TC = 35 + 5Q - 2Q2 +2Q3 Bài Tìm hàm doanh thu bình quân hàm doanh thu cận biên biết hàm tổng doanh thu TR = 120Q - Q2 Bài Tìm hàm lợi nhuận bình quân hàm lợi nhuận cận biên biết hàm tổng lợi nhuận T = Q2 -13Q +78 Bài Tìm hàm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu: Q = 36 – 2P Bài Tìm hàm chi phí cận biên, cho biết hàm chi phí bình qn AC = 1,5Q +4 + Bài Cho hàm doanh thu TR(Q) = 1200Q -Q2; a) Tìm hàm doanh thu cận biên b) Tại Q0 = 590, Q tăng lên đvị doanh thu thay đổi bao nhiêuđơn vị? c) Tính giá trị doanh thu cận biên Q0 = 610 giải thích ý nghĩa 55 Bài Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q =30√ ; a) Tìm hàm sản phẩm cận biên laođộng b) Tại L0 = 144, L tăng lên đơn vị, sản lƣợng thay đổi bao nhiêuđơn vị? Bài 10 Cho hàm chi tiêu C(Y ) = aY + b; (0 0); a) Tìm hàm xu hƣớng tiêu dùng cận biên b) Nêu ý nghĩa kinh tế hệ số a Bài 11 Cho hàm tổng chi phí TC(Q) = 0,1Q2 + 0,3Q + 100, a) Tìm hàm chi phí cận biên b) Tính chi phí cận biên mức sản lƣợng Q0 = 120 giải thích ýnghĩa Bài 12 Xét hàm cầu loại hàng hóa D = D(P) a) Lập cơng thức tính hệ số co dãn cầu giá P b) Áp dụng với D(P) = 6P - P2, tính hệ số co dãn cầu đối giá P0=5 giải thích ý nghĩa kếtquả Bài 13 Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q = kLα , (k> 0, < α < 1) a) Tìm hệ số co dãn sản lƣợng theo laođộng b) Áp dụng cho Q = 40L0,4, L0 =20 Bài 14 Cho hàm cầu Q = 20 – 5p Tìm hệ số co dãn Q p mức giá p = p = Bài 15 Cho biết hàm cung loại nơng sản Q = a + bP2 (a0) Tìm hệ số co dãn Q P Bài 16 Cho biết hàm cầu loại hàng hóa xuất Q = P-2 Tìm hệ số co dãn cuả Q P Bài 17 Cho hàm sản xuất 56 Q = 30L2/3; L > Tại mức sử dụng lao động bất kì, lao động tăng 10% sản lƣợng thay đổi %? Bài 18 Cho hàm tiêu dùng C(Y) = 0,8Y + 0,2√ + 300 ; Y ≥ a) Tại mức thu nhập Y0 = 169 thu nhập tăng thêm đơn vị mức tiêu dùng thay đổi nhƣ nào? b) Tính MC(Y) Y0 = 144 giải thích ý nghĩa kết nhận đƣợc Bài 19 Ngƣời ta ƣớc lƣợng hàm sản xuất ngày doanh nghiệp nhƣ sau: Q = 80√ √ a) Với K= 25, L=64, cho biết mức sản xuất ngày doanh nghiệp b) Bằng đạo hàm riêng Q, cho biết doanh nghiệp  Sử dụng thêm đơn vị lao động ngày giữ nguyên mức K= 25 sản lƣợng thay đổi bao nhiêu?  Sử dụng thêm đơn vị vốn ngày giữ nguyên mức L= 64 sản lƣợng thay đổi bao nhiêu? c) Nếu giá thuê đơn vị vốn K 12$ giá đơn vị lao động L 2,5$ doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào nêu câu a) doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị K hay L? d) Ƣớc tính thay đổi xấp xỉ sản lƣợng Q doanh nghiệp giảm đơn vị vốn K tăng thêm đơn vị lao động L Bài 20 Một nhà sản xuất có hàm sản lƣợng hàng tuần Q(x, y) = 10.x.√ đơn vị sử dụng x công lao động lành nghề y công lao động phổ thông, với mức x = 30 y = 36 Giả sử nhà sản xuất giảm công lao động lành nghề tăng công lao động phổ thông tuần Dùng vi phân tồn phần, ƣớc tính thay đổi xấp xỉ sản lƣợng Bài 21 Sản lƣợng hàng ngày nhà máy là: Q(x, y) = 0,08 x2 + 0,12 xy + 0,03 y2 đơn vị, với x số công lao động lành nghề, y số công lao động phổ thông Hiện nhà máy sử dụng x = 80 y = 200 ngày Dùng vi phân tồn phần ƣớc tính thay đổi sản lƣợng nhà máy tăng 1/2 công lao động lành nghề công lao động phổ thông Bài 22 Cho hàm sản xuất cận biên lao động MQ(L) = 40L0,5 57 Tìm hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L) biết Q(100) = 4.000 Bài 23 Cho hàm chi phí cận biên mức sản lƣợng Q MC = 8e0,2Q chi phí cố định FC= 50 Tìm hàm tổng chi phí TC Bài 24 Cho hàm doanh thu cận biên mức sản lƣợng Q MR(Q) = 50 – 2Q – 3Q2 Hãy xác định hàm tổng doanh thu hàm cầu sản phẩm Bài 25 Chi phí cận biên mức sản lƣợng Q MC = 32 + 18Q – 12Q2 FC = 43 Tìm hàm tổng chi phí chi phí biến đổi VC Bài 26 Chi phí cận biên mức sản lƣợng Q MC = 12e0,5Q FC = 36 Tìm hàm tổng chi phí Bài 27 Cho biết hàm đầu tƣ I = 40 t3/5 quỹ vốn K thời điểm t=0 75 Tìm hàm quỹ vốn K(t) Bài 28 Cho biết hàm đầu tƣ I = 60 t1/3 quỹ vốn K thời điểm t=1 85 Tìm hàm quỹ vốn K(t) Bài 29 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 70 √ √ K L số đơn vị vốn lao động đƣợc sử dụng hàng ngày a) Với K=64 L=125, cho biết mức sản lƣợng hàng ngày doanh nghiệp b) Nếu doanh nghiệp giữ nguyên mức sử dụng lao động L=125 sử dụng thêm đơn vị vốn sản lƣợng thay đổi bao nhiêu? c) Nếu doanh nghiệp giữ nguyên mức sử dụng vốn K=64 sử dụng thêm đơn vị lao động sản lƣợng thay đổi bao nhiêu? Bài 30 Cho biết hàm cầu p = 42 – 5Q – Q2 giá cân p0 =6 Hãy tính thặng dƣ ngƣời tiêu dùng 58 Bài 31 Trong thị trƣờng cạnh tranh hoàn hảo, cho biết hàm cầu hàm cung mặt hàng A , √ √ Hãy tính thặng dƣ ngƣời tiêu dùng vàthặng dƣ nhà sản xuất 59 ... A* Ta có: A 11 = 3, A12 = 0, A13 = 0; A 21 = -11 , A22 = -5, A23 = 1; A 31 = 2, A32 = 2, A33 = -1 A  *  A 11 A  12  A13 A 21 A 22 A 23 A 31  A32   A33   3 0   ? ?11 2 5 2 ? ?1? ??   Vậy... (1- a 11) x1 - a12 x2 - - a1n xn = b1 -a 21 x1 + (1- a12) x2 - - a2n xn = b2 - an1 x1 - an2 x2 - + (1- ann )xn = bn Hệ phƣơng trình viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau: (E-A).X = B  a 11 a A=  21. .. dƣới dạng hệ phƣơng trình tuyến tính  Qsi = Qdi   i =1, ,n  34 a10 + a11p1 + a12p2 + + a1npn = b10 + b11p1 + b12p2 + + b1npn a20 + a21p1 + a22p2 + + a2npn = b20 + b21p1 + b22p2 + + b2npn