Các phương pháp toán kinh tế phần 1

ĐẶNG VÀN THOAN CÁC PHỬƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ St giáo dục -1998 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI ĐẶNG VÀN THOAN CÁC PHƯƠNG PHÁP TORN KINH TẾ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1998 thêm "giáo trình tập phương pháp toán kinh tế" se xuất thời gian gàn Đối tượng phục vụ giáo trình sinh viên hệ đào tạo quy Trường Đại học Thương mại, song có ích cho muốn tìm hiểu vận dụng phương pháp toán kinh tế nghiên cứu hoạt động thực tiễn lĩnh vực quản lý kinh doanh Trong trình biên soạn, tác giả nhận ý kiên đóng góp q báu địng nghiệp mơn Tốn Trường Đại học Thương mại Tác già nhận góp ý gợi ý để giáo trình có chất lượng tốt PGS - Tiến sĩ Nguyễn Xuân Tấn (Viện toán học) PTS Nguyễn Xuân Viên (Học viện kỹ thuật quân sự) Tác giả chán thành cảm ơn tất đóng góp chân tình dó Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót nội dung cách diễn giải chương, mục Tác giả mong nhận dược ý kiến nhận xét bạn đọc, để tiếp tục hồn thiện nội dung giáo trình Tân xuất sau Hà Nội, tháng năm 1998 Tác gia CHƯƠNG I Cơ SỞ TOÁN CỦA QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 VÉC Tơ Ta gọi n số thực {xx, x2, xn) -được xếp theo thứ tự định véc tơ n - chiều Nếu xếp theo thứ tự từ xuống ta gọi véc tơ cột ký hiệu: X1 x2 xn Nếu theo thứ tự *T» từ trái sang phải ta gọi * véc tơ hàng ký hiệu X = [xx, x2, , xn] Số Xj (i = 1,2, ,n) gọi thành phần (hay toạ độ) thứ i véc tơ X véc tơ cột hai chiều, [-3, 5, -1, -4] véctơ hàng bơn chiều Ví dụ: Các véc tợ mà sau thường nói tới, véc tơ cột Để véc tơ hàng, ta dùng số T (chuyển vị) ghi góc bên phải, chẳng hạn AT = [-5, 4, 2, 6] Hai véc tơ n chiều X = [xx, x2, ,rXn]T Y = [yx, y2, yn]T gọi thành phần tương ứng chúng nhau, tức X = Y Xị = y¡, Vị = 1,2, ,n Đối vối hai véc tơ n chiều A = [ax, a2, , an]T B = [bi, b2, bn]T Ta ký hiệu A < B (đọc A nhỏ B) xảy đồng thời ax < bx, a2 < b2, , an < bn Ta kí hiệu: A < B ax < bx, a2 < b2( , an < bn Tương tự, đưa ký hiệu: A > B (đọc A lớn B) A > B - Một véc tơ mà tất thành phần 0, ta gọi véc tơ không, ký hiệu 0T = [0, 0, , 0], 1.2 CÁC PHÉP TÍNH VÉC Tơ Phép nhân véc tơ với số thực Ta gọi tích véc tơ n chiều A vởi số thực k véc tơ n chiều, ký hiệu kA, mà thành phần tích sơ k với thành phần ứng véc tơ A Như vậy: k.A = [kax, ka2, , kan]T Nếu ta nhân véc tơ A với -1 ta nhận véc tơ -A, véc tơ mà toạ độ sai khác dấu so với toạ độ A Véc tơ -A gọi véc tơ đối véc tơ A Tổng hai véc tơ Tổng hai véc tơ n chiều AT = [ab a2, , an] BT = [bj, b2, bn] véc tơ n chiều, ký hiệu AT + BT mà thành phần tổng thành phần tương ứng AT BT Như AT + BT = [ai + b1( a2 + b2, , an + bn] Chúng ta định nghĩa hiệu hai véc tơ A B tổng véc tơ A véc tơ -B Như A - B = [ax - b1; a2 - b2, , an - bn] Phép nhân vộc t vi mt s v phộp cng vộỗ t có tính chất sau: a Tính giao hốn A + B = B + A b Tính kết hợp t(kA) = (tk)A; A + (B + C) = (A + B) + c c Tính phân bố (t + k)A = tA + kA; k(A + B) = kA + kB Vởi véc tơ A = [a1; a2, , an] tồn véc tơ đối -A = [-ax, -a2, , -an] A + (-A) = Tích vơ hướng hai véc tơ Ta gọi tích vơ hướng hai vềctơ n chiều X Y số thực, xác định bỏi tổng tích thành phần tương ứng X Y, ký hiệu (X,Y) hay X.Y Như X = [xx, x2, , xn]T Y = [yx, y2, , yn]T (X,Y) = ỈVi i=l Ví dụ: Cho X = [-2, 3, -1, 0]T, Y = [4, -1, 5, 2]T (X,Y) = -8 - - + = -16 Tích vơ hướng có tính chất sau: a (X,Y) = (Y,X) b (kX,Y) = (X,kY) = k(X,Y) c (X + Y,Z) = (X,Z) + (Y,Z) d (X,X) > Dấu = xẩy X = 1.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH Tổ hợp tuyếi* tính véc tơ Cho.m véc tơ n chiều Ax, A2, , Am véc tơ A = kxAx +k2A2+ + kjjAn Vởi kx, k2, , km sô thực, gọi tổ hợp tuyến tính m véc tơ cho hay A biểu diễn tuyến tính qua véc tơ Ax, A2, ,Am Ví dụ- Cho Ax = [-2, 1, 0], A2 = [1, 3, 2], A3 = [4, -1, 1] A = 2AX + 5A2 - 3Ag = [-11, 20, 7] tổ hợp tuyêh tính Ax, A2 A3 - Tổ hợp tuyến tính gọi khơng âm kj > với mọi: i = 1, 2, , m - Ta gọi tổ hợp tuyến tính: klAl + k2A2 + + kmAm tổ hợp lồi nếu: kl + k2 + + km = kị > (i = 1, 2, , m) Các véc tơ Ax, A2, Ajn gọi độc lập tuyến tính tổ hợp tuyến tính chúng véc tơ khơng tất hệ số đệu 0, tức hệ thức kiAi + k2A2 + + kujAnj = (1.1) kx = k2 = km = (1.2) - Nếu hệ thức (1.1) xẩy có hệ số kj khác khơng véc tơ Ax, A2, , Ajn gọi phụ thuộc tuyến tính Điều kiện cần đủ để hệ véc tơ Ax, A2, Aja phụ thuộc tuyến tính có véc tơ hệ biểu diễn tuyến tính qua véc tơ cịn lại Thật vậy, véc tơ Ax, A2, , Anj phụ thuộc tuyến tính hệ thức (1.1) xẩy với hệ số khác không, chẳng hạn kj * 0, khi‘đó từ (1.1) ta có kl ko kj_x kj + x = - ^A!-^A2 -••• "k^-i" 1(^ + tức A¿ tổ hợp tuyến tính véc tơ lại Ngược lại véc tơ hệ, chẳng hạn Ax biểu diễn tuyến tính qua véc tơ cịn lại, nghĩa là: Ax = a2A2 + Œ3A3 + + amAm Ax - a2A2 - a3A3 - - amAm = Với hệ sơ Ax khác khơng Điều chứng tỏ hệ Ax, A2, , Am phụ thuộc tuyến tính Từ đây, ta suy mệnh đề tương tự cho hệ véc tơ độc lập tuyến tính: Điều kiện cần đủ để hệ véc tơ độc lập tuyến tính véc tơ hệ khơng thể biểu diễn tuyến tính qua véc tơ lại Từ định lý trên, ta dễ thấy véc tơ Ax, A2, Am véc tơ khơng hệ phụ thuộc tuyến tính Chẳng hạn Ax = Ax biểu diễn tuyến tính qua véc tơ lại Ax = O.A2 + O.A3 + + O.Ajn Ví dụ: Các véc tơ: AT = [3, 2, -4], B1' = [2, -1, 3], CT = [0, -7, 17] phụ thuộc tuyến tính 2AT - 3BT + CT =0 Nhưng véc tơ AT = [3, 2, -4], BT = [2, -1, 3], DT = [2, 2, 2] độc lập tuyến tính khơng véc tơ chúng biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ 10 1.4 HẠNG CỦA HỆ VÉC Tơ Định nghĩa hệ độc lập tuyến tích cực đại Cho hệ véc tơ (có thể gồm số hữu hạn hay vô hạn véc tơ) Giả sử, hệ có hệ gồm h véc tơ độc lập tuyến tính cho thêm vào véc tơ hệ cho, ta hệ (h + 1) véc tơ phụ thuộc tuyến tính Khi ta nói hệ h véc tơ hệ độc lập tuyến tính cực đại hệ véc tơ cho Ví dụ: Xét hệ gồm ba véc tơ: AT = [1, -2, 3], BT = [4, 2, -1] CT = [6, -2, 51 Ta thấy AT BT hai véc tơ độc lập tuyến tính, nhưnạ c có thê biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ A B : c = 2A + BT, nên hệ độc lập tụ^ến tính cực đại hệ ba véc tơ cho gồm hai véc tơ AT BT - Đối với hệ véc tơ cho, hệ độc lập tuyến tính cực đại có sơ lượng véc tơ Hạng hệ véc tơ Định nghĩa: số lượng véc tơ hệ độc lập tuyến tính cực đại củạ hệ véc tơ, gọi hạng hệ véc tơ Định lý: Nếu hạng hệ véc tơ h véc tơ hệ biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính h véc tơ độc lập tuyến tính hệ cách biểu diễn Chứng minh: Phần định lý hiển nhiên Thật hệ véc tơ có hạng h, nên ta chọn h véc tơ độc lập tuyến tính A1; A2, , Ajj 11