CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O TRƯ NG ðA H C NÔNG NGHI P HÀ N I PGS TS NGUY N H I THANH CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH T Giáo trình cho ngành Tin h c Công ngh thông tin HÀ N I, 2008 M CL C Trang L I NÓI ð U CHƯƠNG I M ð U CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH T TRONG KINH T TOÁN 11 11 1.1 Khái ni m v kinh t toán 11 1.2 Phân lo i phương pháp toán kinh t 12 1.3 So sánh kinh t toán v i kinh t lư ng 13 CÁC Y U T C A MƠ HÌNH KINH T TỐN 14 2.1 Khái ni m v mơ hình kinh t 14 2.2 Bi n, h ng s tham s 15 2.3 Các lo i phương trình 16 CHƯƠNG II PHÂN TÍCH CÂN B NG TĨNH 18 PHÂN TÍCH CÂN B NG TRONG KINH T 18 1.1 Khái ni m v tr ng thái cân b ng 18 1.2 M t s ví d v phân tích cân b ng tĩnh 19 CÁC MƠ HÌNH TUY N TÍNH TRONG PHÂN TÍCH CÂN B NG TĨNH 21 2.1 Mơ hình cân b ng th trư ng t ng qt 21 2.2 Mơ hình thu nh p qu c dân 23 2.3 Mơ hình đ u vào – đ u Leontief 25 BÀI T P CHƯƠNG II 30 CHƯƠNG III PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH 34 PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH TRONG KINH T 34 1.1 Khái ni m phân tích so sánh tĩnh 34 1.2 ð o hàm t c ñ bi n thiên c a bi n kinh t 35 1.3 Phân tích so sánh tĩnh mơ hình th trư ng riêng 38 1.4 Phân tích so sánh tĩnh mơ hình thu nh p qu c dân 39 Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t 1.5 Phân tích so sánh tĩnh mơ hình cân đ i liên ngành PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MƠ HÌNH KINH T T NG QUÁT 40 42 2.1 H s co giãn 42 2.2 M t s ví d tìm vi phân tồn ph n đ o hàm hàm n 44 2.3 Mơ hình th trư ng t ng qt 47 2.4 Mơ hình thu nh p qu c dân t ng quát 54 2.5 M t s ñi m h n ch c a phân tích so sánh tĩnh 57 BÀI T P CHƯƠNG III 58 CHƯƠNG IV M T S MƠ HÌNH T I ƯU TRONG KINH T 61 PHÂN TÍCH CÂN B NG THƠNG QUA MƠ HÌNH T I ƯU KHƠNG RÀNG BU C 61 1.1 Mơ hình t i ưu m t bi n khơng ràng bu c 61 1.2 Hàm tăng trư ng t c ñ tăng trư ng c a bi n kinh t 65 1.3 Phân tích cân b ng thơng qua mơ hình t i ưu nhi u bi n khơng ràng bu c 68 PHÂN TÍCH CÂN B NG THƠNG QUA MƠ HÌNH T I ƯU CĨ RÀNG BU C 79 2.1 Phương pháp nhân t Lagrange 79 2.2 ði u ki n ñ t t i tr ng thái cân b ng 83 2.3 C c ñ i hoá hàm tho d ng c a ngư i tiêu dùng 85 HÀM S N XU T VÀ V N ð PHÂN B ð U VÀO T I ƯU 89 3.1 Các tính ch t c a hàm ñ ng c p 89 3.2 Hàm s n xu t d ng Cobb – Douglas 92 3.3 Xác ñ nh t h p ñ u vào v i chi phí t i thi u 96 3.4 Hàm s n xu t d ng CES 100 BÀI T P CHƯƠNG IV 104 CHƯƠNG V PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG 107 KHÁI NI M PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG 107 1.1 M t s ñ nh nghĩa 107 Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp toán kinh t 1.2 M t s vi phân ng d ng c a phép tính tích phân phương trình MƠ HÌNH TĂNG TRƯ NG DOMAR 108 112 2.1 Phát bi u mơ hình 112 2.2 Tìm đư ng cân b ng b n cho mơ hình tăng trư ng Domar 113 PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG ð I V I GIÁ C TH TRƯ NG 114 3.1 B sung v phương trình vi phân n tính c p m t 114 3.2 Phát bi u mơ hình cân b ng đ ng 115 3.3 Kh o sát tính n đ nh ñ ng c a m c giá cân b ng 117 MƠ HÌNH TĂNG TRƯ NG SOLOW 118 4.1 B sung thêm v phương trình vi phân c p m t 118 4.2 Ti p c n ñ nh tính gi i phương trình vi phân phi n c p m t 122 4.3 Phát bi u mô hình tăng trư ng Solow 126 4.4 Phân tích đ nh tính bi u đ! pha 127 4.5 Phân tích đ nh lư ng 129 MƠ HÌNHTH TRƯ NG V I KỲ V NGGIÁ ðƯ C D BÁOTRƯ C 129 5.1 B sung v phương trình vi phân n tính c p hai v i h s h ng 129 5.2 Phát bi u mơ hình 133 5.3 Xác ñ nh ñư ng bi n ñ ng giá ñi u ki n n ñ nh ñ ng 134 MƠ HÌNH KINH T VĨ MƠ V L M PHÁT VÀ TH TNGHI P 139 6.1 Phát bi u mơ hình 6.2 Kh o sát đư ng bi n ñ ng l m phát, giá c th t nghi p 139 140 BÀIT PCHƯƠNG V 143 CHƯƠNG VI ÁP D NG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG 147 M T S D NG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 147 1.1 Khái ni m v phương trình sai phân 147 1.2 Phương trình sai phân n tính c p m t 148 Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t 1.3 Phương trình sai phân n tính c p hai 150 1.4 Kh o sát tính n đ nh c a nghi m c a phương trình sai phân n tính c p m t c p hai 152 PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG TRONG M T S MÔ HÌNH KINH T 154 2.1 Mơ hình Cobweb cân b ng cung c u 154 2.2 Mơ hình th trư ng có hàng t!n kho 155 2.3 Mơ hình th trư ng v i giá tr n 156 MÔ HÌNH THU NH P QU C DÂN V I NHÂN T TĂNG T C SAMUELSON 159 3.1 Phát bi u mơ hình 159 3.2 Kh o sát tính n đ nh đ ng c a mơ hình 160 MƠ HÌNH KINH T VĨ MƠ V L M PHÁT VÀ TH T NGHI P V I TH I GIAN R I R C 163 4.1 Phát bi u mơ hình 163 4.2 Phân tích đư ng bi n đ ng c a giá c l m phát 164 ÁP D NG H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH T 166 5.1 H phương trình vi phân n tính c p m t 166 5.2 H phương trình sai phân n tính c p m t 169 5.3 Mơ hình cân đ i liên ngành đ ng 171 5.4 Mơ hình tương tác l m phát th t nghi p 176 5.5 Bi u ñ! pha hai bi n ng d ng 179 BÀI T P CHƯƠNG VI 185 TÀI LI U THAM KH O 189 Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t L I NĨI ð U Nh"ng v n đ kinh t ho t ñ ng kinh t thư ng r t ña d ng ph c t p Tốn h c m t cơng c h t s c hi u qu giúp cho vi c phát bi u, phân tích gi i quy t v n ñ v y m t cách ch#t ch$ h p lí, mang l i l i ích thi t th c Vi c bi t cách mơ t v n đ kinh t dư i d ng mơ hình tốn h c thích h p, v n d ng phương pháp toán h c đ gi i quy t chúng, phân tích gi i ki m nghi m k t qu ñ t ñư c m t cách logic m t yêu c u c p thi t ñ i v i chuyên gia làm vi c lĩnh v c phân tích kinh t Trong th p k& g n ñây, nhi u gi i Nobel kinh t ñư c trao cho cơng trình có v n d ng m t cách m nh m$ lí thuy t phương pháp tốn h c t i ưu hóa, lí thuy t trị chơi, h phương trình vi phân sai phân, lí thuy t xác su t th ng kê Nhà kinh t h c ngư i Na Uy Trygve Haavelmo, l' nh n gi i thư ng Nobel kinh t năm 1989, ñã t(ng phát bi u: “N u khơng có tốn h c kinh t làm trung tâm cho nghiên c u kinh t h c, mơn khoa h c kinh t có th v)n chưa vư t gi i h n nh"ng nói chuy n chung chung ch ng có k t qu th c s h"u ích nào” Hi n nay, môn h c trang b ki n th c s v kinh t – qu n lí nói chung phương pháp tốn h c áp d ng phân tích kinh t nói riêng đư c ñưa vào gi ng d y nhi u chương trình đào t o đ i h c nư c ð i v i sinh viên ngành Tin h c, Công ngh thông tin Toán – Tin ng d ng, kh i ki n th c v kinh t – qu n lí th c s c n thi t cho cương v làm vi c sau này, ñ#c bi t cương v CIO (Chief Information Officer – Giám ñ c Thơng tin) Trong chương trình đào t o ngành Tin h c c a Khoa Công ngh thông tin, Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i, kh i ki n th c bao g!m T i ưu hóa, Phân tích s li u, Qu n tr h c, V n trù h c Các phương pháp tốn kinh t Giáo trình “Các phương pháp toán kinh t ” v i th i lư ng t( 45 t i 60 ti t ñư c biên so n l n ñ u v i m c đích cung c p cho sinh viên năm th ba ngành Tin h c m t s ki n th c b n v Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t phương pháp toán kinh t (mathematical methods for economics) ñư c ng d ng r ng rãi phân tích mơ hình kinh t (economic models) Qua giáo trình này, sinh viên c n n*m đư c m t s mơ hình kinh t b n, bi t cách v n d ng phương pháp toán kinh t thích h p đ phân tích mơ hình đó, bi t cách rút k t lu n ph n nh b n ch t c a v n ñ kinh t ñư c xem xét T( đó, sinh viên s$ ti p thu đư c v n ñ kinh t b n làm s cho vi c ti p t c t hoàn thi n ki n th c v kinh t vi mơ vĩ mơ Giáo trình giúp cho sinh viên ngành Tin h c, Công ngh Thơng tin, Tốn – Tin ng d ng có m t cách ti p c n h th ng ñ sau có th xây d ng h th ng x lí thơng tin ph n m m tính tốn lĩnh v c Tin h c kinh t Như v y, ưu tiên c a giáo trình t p trung trình bày m t cách logic m t s phương pháp toán kinh t b n ng d ng c a chúng vi c phân tích lo i mơ hình kinh t (các phương pháp khác đư c trình bày h c ph n l i c a kh i ki n th c v kinh t – qu n lí thu c chương trình đào t o ñã ñ c p ñây) ðây m t v n ñ m i so v i giáo trình v Tốn kinh t đư c biên so n gi ng d y t i m t s trư ng ñ i h c nư c Chương I c a giáo trình gi i thi u t ng quan ng*n g n v lĩnh v c Kinh t toán (Mathematical Economics) phương pháp toán kinh t b n thư ng ñư c s d ng lĩnh v c này, gi i thi u v y u t b n c a mơ hình kinh t tốn Chương II đ c p t i khái ni m phân tích cân b ng kinh t bao g!m cân b ng tĩnh cân b ng có m c đích phương pháp đ i s ma tr n đ phân tích m t s mơ hình cân b ng kinh t mơ hình th trư ng, mơ hình thu nh p qu c dân mơ hình đ u vào – đ u Leontief (cịn g i mơ hình cân đ i liên ngành) Các phương pháp toán kinh t phép tính đ o hàm, m t cơng c m nh đ+p c a tốn h c ð nh lí hàm n đư c v n d ng Chương III nh m th c hi n vi c phân tích so sánh tĩnh cho mơ hình th trư ng, mơ hình cân đ i liên ngành mơ hình thu nh p qu c dân t ng quát (bao g!m c th trư ng hàng hóa th trư ng ti n t ) Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t Chương IV xem xét vi c v n d ng m t s phương pháp toán t i ưu b n không ràng bu c ràng bu c d ng ñ ng th c ñ phân tích mơ hình t i ưu kinh t , bao g!m mơ hình th trư ng ñ c quy n phân bi t giá c , mơ hình c c đ i hàm th,a d ng c a ngư i tiêu dùng, mơ hình phân b ñ u vào t i ưu v i d ng hàm s n xu t hi u su t khơng đ i, Cobb – Douglas, CES (H s co giãn thay th khơng đ i) Các phương pháp gi i phương trình h phương trình vi phân sai phân ñư c nghiên c u Chương V Chương VI ñ th c hi n phân tích cân b ng đ ng mơ hình kinh t đ ng mơ hình tăng trư ng Domar, mơ hình tăng trư ng Solow, mơ hình n đ nh đ ng c a giá c th trư ng khơng có ho#c có kỳ v ng giá đư c d báo trư c, mơ hình cân b ng đ ng l m phát – giá c – th t nghi p, mơ hình thu nh p qu c dân Samuelson, mơ hình cân đ i liên ngành ñ ng M t s n i dung c a Chương V Chương VI có th ñư c lư c b t tùy theo th i lư ng mơn h c trình đ ti p thu c a ngư i h c Khi biên so n, chúng tơi ln có m t nguy n v ng vi c trình bày phương pháp tốn kinh t đư c đ c p t i giáo trình ph i đ ng d' hi u, vi c ng d ng phương pháp phân tích d ng mơ hình kinh t ph i ch#t ch$ logic Chính v y, phương pháp tốn kinh t ln đư c trình bày m t cách c th tương đ i hồn ch&nh thơng qua ví d tính tốn mơ hình kinh t t( d' t i khó Ph n t p giúp sinh viên c ng c ki n th c ñã h c th c hành áp d ng phương tốn h c phân tích mơ hình kinh t M t s tài li u ngư i h c có th tham kh o thêm là: Alpha C Chiang, Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 1984; Alpha C Chiang – Kevin Wainwright, Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 2005; Michael W Klein, Mathematical methods for economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hồng ðình Tu n, Lí thuy t mơ hình toán kinh t (dành cho sinh viên ngành toán kinh t tốn tài chính), Nxb Khoa h c Kĩ thu t, 2003; Nguy n Quang Dong – Ngô Văn Th – Hồng ðình Tu n, Giáo trình mơ hình tốn kinh Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp toán kinh t t (dành cho sinh viên ngành kinh t ), Nxb Giáo d c, 2002; Tô C m Tú, M t s phương pháp t i ưu hóa kinh t , Nxb Khoa h c Kĩ thu t, 1997 Trong trình biên so n giáo trình này, tác gi ch y u d a vào tài li u tham kh o b ng ti ng Anh Nh"ng sinh viên có th t h c sâu thêm b ng cách thu th p tài li u liên quan qua nhi u ngu!n, ñ#c bi t Internet vi t ti u lu n “Các phương pháp toán kinh t ” m t mơn h c v m#t lí thuy t ñang ñư c ti p t c phát tri n, v m#t th c hành ngày có nhi u ng d ng r ng rãi h u h t lĩnh v c phân tích kinh t , ch*c ch*n s$ gây cho ngư i h c nhi u h ng thú tìm tịi, sáng t o Khi đ n thăm Vi t Nam, nhà tốn h c kinh t h c Robert Aumann, ngư i nh n gi i thư ng Nobel kinh t năm 2005 nói: “Có m t cơng th c chung ho t ñ ng kinh t t t c m i ngư i s$ giàu có n u m.i ngư i ñ u ñư c làm vi c theo kh s yêu thích c a mình” Trong trình biên so n, r t c g*ng, có l$ tác gi khơng tránh kh,i sai sót Tác gi xin chân thành c m ơn ý ki n đóng góp ch&nh s a b n th o gi ng môn h c c a ñ!ng nghi p sinh viên ngành Tin h c khóa K47, K48, K49 K50 c a Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i, mong ti p t c nh n đư c nhi u góp ý c a gi ng viên sinh viên, ñ cho giáo trình đư c hồn ch&nh hơn, xác sinh ñ ng Hà N i, ngày 19 tháng năm 2008 Tác gi Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t Chương I M ð U Các phương pháp toán kinh t kinh t toán 1.1 Khái ni m v kinh t tốn Khơng gi ng tài cơng hay thương m i qu c t!, kinh t! toán (mathematical economics) không ph"i lĩnh v$c riêng bi%t c&a kinh t! Có th' coi kinh t! tốn m(t cách ti!p c)n nh*m th$c hi%n phân tích kinh t! Trong kinh t! toán, nhà kinh t! s+ d,ng kí hi%u tốn h-c đ' phát bi'u tốn d$a vào đ/nh lí tốn h-c đ' suy lu)n, áp d,ng ti!p t,c phát tri'n phương pháp kĩ thu)t tốn h-c đ' mơ t" phân tích v0n đ1 kinh t! Nhà kinh t! h-c ngư2i Mĩ Paul Samuelson ñư3c coi ngư2i ñ4t n1n móng cho lĩnh v$c nghiên c5u 5ng d,ng kinh t! toán M(t s sách kinh t! h-c ñ i cương hi%n v6n dùng phương pháp hình h-c m4t ph7ng (hay khơng gian hai chi1u) ñ' minh h-a rút k!t lu)n có tính ch0t lí thuy!t Trong đó, đ' nghiên c5u toán kinh t! v8i nhi1u bi!n kinh t! c9n ph"i có s$ hi'u bi!t sâu s:c v1 tốn h-c Kinh t! tốn cho phép mơ t" v0n ñ1 kinh t! c9n kh"o sát v8i công c, tốn h-c đa d ng đ i s ma tr)n phương pháp gi"i h% phương trình tuy!n tính, phép tính đ o hàm tích phân, phương trình vi phân sai phân, phương pháp t i ưu hố, lí thuy!t trị chơi Trong phân tích kinh t!, vi mơ vĩ mơ, phương pháp tốn h-c cịn đư3c g-i phương pháp toán kinh t! (mathematical methods for economics) Hi%n phương pháp tốn kinh t! ngày đư3c s+ d,ng r(ng rãi v8i k!t qu" n 0; < h ≤ 1)  (0 < j ≤ 1) π t +1 − π t = j(p t − πt )  U − U = − k(m − p ) (k > 0) t t +1  t +1 (6.58) Sau kh+ pt s:p x!p l i có h% sai phân sau đây:   πt +1   −(1 − j + jh) jβ   π t      −kh + β k   U  +  −1  U t     t +1    j(α − T)  =   k(α − T − m)  (6.59) Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t N!u m5c cân b*ng dDng tEn t i có th' tìm nghi%m riêng dư8i d ng: π = π t = π t +1 U = U t = U t +1 Thay vào h% (6.59) s@ có: π = m U = [α -T- (1- h)m] β (6.60) ð4t:    −(1 − j + jh) jβ  K =  J=   −1  −kh + βk   Lúc ñ' tìm nghi%m bù c9n xem xét h% phương trình: jβ m   b − (1 − j + jh)   m  0 (bJ + K)   = ⇔  = −bkh b(1 + β k) − 1  n  0  n   ð' h% có nghi%m khơng t9m thư2ng, ta ph"i có: det(bJ + K) = (1 + βk)b2 – [1 + hj + (1 – j)(1 + βk)]b + (1 – j +jh) = hay: b2 + a1b + a2 = v8i a1 = − + hj + (1 − j)(1 + β k) − j(1 − h) a2 = + βk + βk (6.61) Phương trình đ4c trưng (6.61) hồn tồn gi ng v8i phương trình đ4c trưng bi!t t i m,c 4.2 chương Do có th' ti!n hành kh"o sát tính y’ < 0, ñi'm A có khuynh hư8ng chuy'n đ(ng sang ph"i xu ng phía dư8i “h(i t,” v1 đi'm E sau m(t th2i gian đ& dài (t → +∞) Tồn b( quJ ñ o t o nên b?i chuy'n ñ(ng c&a ñi'm A ñư3c g-i m(t ñư2ng dòng (streamline) hay quJ ñ o pha ñư3c bi'u th/ b*ng m(t ñư2ng có mũi tên hư8ng v1 đi'm E hình VI.10b Phân tích m(t cách tương t$ ta th0y: xu0t phát tD đi'm khác nhau, đư2ng dịng đ1u “h(i t,” v1 E Như v)y, n!u fx < 0, fy > 0, gx > gy < 0, mơ hình (6.62) s@ Md) s@ làm tăng t c ñ( l m phát p khơng có tác đ(ng đ!n m5c giá c" P Do vi%c lo i bF s$ dư thDa th/ trư2ng ti1n t% s@ làm cho t c ñ( l m phát 0) Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t Tìm phương trình sai phân đ i v8i pt phân tích tính