M TS Ơ HÌNH TI ƯU TRONG KIN HT
3. Phân tích câ nb ng ñ"ng ñi v*i giá c$ th trư+ng
3.1. B sung v phương trình vi phân tuy n tính c p m t
Phương trình vi phân tuy!n tính c0p m(t có d ng sau:
y’ + u(t)y = w(t). (5.5)
Trong phương trình trên, các hàm u(t) và w(t) là các hàm s đã bi!t, cịn y = y(t) là hàm c9n tìm đ' phương trình đư3c thFa mãn.
Trư ng h p phương trình vi phân tuy n tính c p m t v i h s h ng
y’ + ay = b. (5.6)
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
– Xét phương trình thu9n nh0t tương 5ng
y’ + ay = 0, (5.7) ⇒ dy ay dt = − ⇒ dy adt y = −
∫ ∫ ⇒ lny = -at + c ⇒ yc = Ae–at hay
yc = y(0)e–at (yc ñư3c g-i là hàm bù – complementary function). – Tìm đư3c nghi%m riêng (cịn g-i là tích phân riêng – particular intergal) c&a (5.6) yp = b/a n!u a ≠ 0, cịn n!u a = 0 thì nghi%m riêng là
yp = bt.
– Nghi%m t<ng quát c&a (5.6) có d ng: y = yp + yc.
Tóm l i, cơng th5c tìm nghi%m t<ng qt c&a (5.6) là:
– V8i a ≠ 0 thì yc = Ae–at, yp = b/a nên y = Ae–at + b/a hay y = [ y(0) – b/a ]e–at + b/a.
– V8i a = 0 thì yc = A, yp = bt nên y = A + bt = y(0) + bt.
Ví d 6. B n đ-c có th' t$ gi"i m(t s ví d, sau đ' ơn t)p các cơng
th5c trên:
a) Phương trình dy/dt + 2y = 6 v8i y(0) = 10 có nghi%m y = 7e–2t + 3. b) Phương trình dy/dt + 4y = 0 v8i y(0) = 1 có nghi%m y = e–4t. c) Phương trình dy/dt = 2 v8i y(0) = 5 có nghi%m y = 5 + 2t.
3.2. Phát bi u mơ hình cân b ng đ ng
Xét mơ hình kinh t! th/ trư2ng vi mơ v8i m(t m4t hàng cho b?i h% phương trình sau:
Qd = α – βP (v8i α, β > 0) Qs = – γ + δP (v8i γ, δ > 0).
Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
Cho Qd = Qs s@ tìm đư3c m5c giá cân b*ng: P= α + γ β + δ. (Xem hình V.3)
Khi P(0) P= , th/ trư2ng ñã ? tr ng thái cân b*ng, do đó khơng c9n phân tích ti!p giá c" th/ trư2ng. Khi P(0) P≠ , chúng ta c9n ti!p t,c phân tích đ' bi!t sau m(t th2i gian nh0t đ/nh th/ trư2ng có đư3c đi1u
chCnh đ' đ t t8i tr ng thái cân b*ng hay không.
ð' nghiên c5u v0n ñ1 này, c9n xác l)p ñư3c quJ ñ o th2i gian c&a
giá c" (có th' hi'u đây là đE th/ c&a hàm giá c" P(t)). Do giá c" c&a m4t hàng ln đư3c đi1u chCnh tC l% thu)n v8i th4ng dư c&a c9u so v8i cung, chúng ta có m i quan h% sau: ( d s) dP j Q Q dt = − (v8i j là h*ng s dương) P’ = j(α − βP + γ − δP) ⇒ P’ + j(β + δ)P = j(α + γ).
ðây là phương trình vi phân tuy!n tính c0p m(t v8i h% s h*ng. Theo
cơng th5c đã bi!t ? trên, nghi%m t<ng quát có d ng:
P = Pp + Pc hay P=P 0( )−α + γe− β+δj( )t+P β + δ Q P Q ñư2ng c9u O P đư2ng cung Hình V.3
Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
đây, m5c giá cân b*ng chính là Pp = P= α + γ
β + δ (xem hình V.4). 3.3. Kh o sát tính n đ nh đ ng c a m c giá cân b ng
Pñư3c g-i là m5c cân b*ng liên th2i (intertemporal equilibrium) c&a
giá c". M5c cân b*ng này ñư3c g-i là <n ñ/nh ñ(ng (dynamically stable) do P(t) h(i t, t8i P khi t →∞. Ngoài ra, do Pp = P = const, m5c cân b*ng liên th2i ñư3c g-i là m5c cân b*ng dDng (stationary equilibrium).
P(0) – Pñư3c g-i là sai s ban ñ9u, P(t) – P là sai s gi>a P(t) và P t i th2i ñi'm t.
Chúng ta cũng có th' xét mơ hình th/ trư2ng v8i m(t vài gi" thi!t khác, ch7ng h n mơ hình sau:
Qd = α + βP (v8i α, β > 0) Qs = – γ + δP (v8i γ, δ > 0). L)p lu)n tương t$ như đã bi!t, chúng ta có
( )
j t
P=P(0)−α + γe− δ−β +P δ − β
ð' P = (α + γ)/(δ − β) là m5c cân b*ng dDng theo th2i gian c&a giá c" có tính <n đ/nh đ(ng, chúng ta c9n có đi1u ki%n (δ − β) > 0. ði1u này