M TS Ơ HÌNH TI ƯU TRONG KIN HT
I(t)dt = 100000dt
∫ ∫ = 300000 USD.
Ví d 5. Tìm giá tr/ hi%n t i c&a m(t dòng ti1n.
Trư8c h!t c9n nh:c l i m(t s công th5c quy ñ<i v1 giá tr/ hi%n t i ñã h-c trong chương IV. G-i V(t) là giá tr/ s@ có đư3c t i th2i ñi'm t trong
tương lai. N!u quy đ<i căn c5 lãi hình thành r2i r c thì giá tr/ hi%n t i c&a V(t) là V0 = V(t)(1 + i)–t v8i i là lãi su0t ngân hàng / chu kỳ th2i gian. Cịn n!u quy đ<i căn c5 lãi hình thành liên t,c thì V0 = V(t)e–rt v8i r là lãi su0t cho m(t chu kỳ th2i gian.
I = I(t) I I O t t0 0 0 I(t)dt K(t ) K(0)= − ∫ t0 Hình V.2
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
Ch7ng h n, n!u sau 8 năm ta s@ nh)n ñư3c m(t kho"n ti1n ñ9u tư là V(8) = 100000 USD, hãy tìm giá tr/ ñ9u tư t i th2i ñi'm hi%n t i V(0)
tương ñương v8i giá tr/ trên cho các trư2ng h3p sau: − Lãi hình thành r2i r c v8i lãi su0t m(t năm là 5%. − Lãi hình thành liên t,c v8i lãi su0t m(t năm là 5%.
Trong trư2ng h3p th5 nh0t ta có V(0) = 100000 × (1 + 5%)-8 = 67683.9362 USD. Còn trong trư2ng h3p th5 hai V(0) = 100000×e–0,05×8 = 67032.0046 USD.
Gi" s+ R(t) là hàm cư2ng đ( doanh thu gây nên dịng doanh thu. Lúc
đó doanh thu tích lũy trong kho"ng th2i gian đ& bé [t, t + ∆t] s@ ñư3c coi
là b*ng R(t)∆t. Quy giá tr/ này v1 th2i ñi'm hi%n t i ta ñư3c R(t)∆te–rt, v8i r là lãi su0t ngân hàng hay cũng chính là tC su0t kh0u hao. B?i v)y, giá tr/ hi%n t i c&a toàn b( doanh thu tích lũy đư3c cho t8i th2i đi'm y
trong tương lai s@ là: V0 =
y
rt 0
R(t)e dt−
∫ . ði1u này có th' đư3c gi"i thích
d$a trên đ/nh nghĩa tích phân xác ñ/nh:
y rt 0 R(t)e dt− ∫ ≈ i n rt i i i 1 R(t )e− t = ∆ ∑ .
Trong bi'u th5c trên, d0u g9n ñúng càng chính xác khi các kho"ng
∆ti (ñư3c coi là b*ng nhau v8i m-i i = 1, 2, ..., n) càng bé và s n các kho"ng [ti, ti + ∆ti] ñư3c chia ra tD kho"ng [0, y] ngày càng l8n.
ð4c bi%t, giá tr/ hi%n t i c&a m(t dòng ti1n (dòng doanh thu) kéo dài
trong y năm v8i cư2ng đ( khơng ñ<i D USD / năm khi bi!t tC su0t kh0u
hao / năm là r s@ là: V0 =y rt ry 0 D De dt (1 e ) r − = − − ∫
V8i D = 3000 USD là cư2ng ñ( doanh thu, y = 2, r = 6%, ta có: V0 = 3000(1 e 0,12)
0,06
−
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
Chú ý. Xét trư2ng h3p dòng doanh thu kéo dài mãi mãi (liên quan
ñ!n b0t ñ(ng s"n, ñ0t ñai ...). Gi" s+ cư2ng ñ( doanh thu là R(t) = D =
const. Lúc đó, t<ng giá tr/ doanh thu t o nên s@ là: 0 rt
0
V =∞∫De dt− =D r .