M TS Ơ HÌNH TI ƯU TRONG KIN HT
1. Khái n im phân tích câ nb ng ñ"ng
1.1. M t s ñnh nghĩa
Các bi!n kinh t! thư2ng nh)n các giá tr/ khác nhau tùy vào th2i
ñi'm c, th' ñư3c xem xét. Ch7ng h n, giá c" c&a m(t m4t hàng nào đó
có tính bi!n đ(ng theo th2i gian, t5c là giá c" là m(t hàm c&a th2i gian: P = P(t). Thu)t ng> “kinh t! ñ(ng” (economic dynamics) dùng ñ' chC
lĩnh v$c phân tích kinh t! mà trong đó m,c tiêu là tìm ra và nghiên c5u các quJ ñ o th2i gian (time path) c&a các bi!n kinh t!, nh*m xác đ/nh
xem các bi!n có h(i t, ñ!n m(t m5c giá tr/ (cân b*ng) nh0t ñ/nh không sau m(t kho"ng th2i gian đ& dài (thư2ng đư3c kí hi%u là t→+∞). Trên hình V.1, ta th0y
t
lim P(t) P
→∞ = và quJ ñ o th2i gian c&a giá c" ti%m c)n d9n t8i m5c giá cân b*ng P. Trong vi%c phân tích kinh t! đ(ng, m5c
giá tr/ cân b*ng c&a bi!n kinh t! không nh0t thi!t ñư3c coi là luôn ñ t
t8i ñư3c, mà chC có th' đ t t8i ñư3c v8i m(t s ñi1u ki%n nh0t đ/nh.
Phân tích cân b*ng đ(ng là m(t lĩnh v$c quan tr-ng c&a phân tích kinh t! đ(ng nh*m tìm ra các đi1u ki%n đó.
M(t cách t<ng quát hơn, có th' nghiên c5u s$ h(i t, c&a quJ ñ o th2i gian c&a bi!n kinh t! t8i m(t quJ ñ o cân b*ng, ch7ng h n quJ ñ o th2i gian x(t) c&a bi!n kinh t! x ti%m c)n d9n t8i m(t quJ ñ o cân b*ng x*(t)
có tính t i ưu theo m(t nghĩa nào đó. Trong khn kh< c&a giáo trình này chúng ta s@ chC ñ1 c)p t8i trư2ng h3p khi x*(t) ≡ x = const. Lúc này ta nói x là m5c cân b*ng liên th2i (cân b*ng theo th2i gian – intertemporal
equilibrium) có tính dDng (stationary) c&a bi!n kinh t! ñư3c xem xét.
N!u v8i m(t s ñi1u ki%n nh0t ñ/nh x(t) h(i t, t8i x thì ta nói x là m5c cân b*ng liên th2i <n ñ/nh ñ(ng (dynamically stable) và có tính dDng,
Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
Trong phân tích cân b*ng đ(ng, y!u t th2i gian hay th2i đi'm là r0t quan tr-ng. Chính vì v)y, các bi!n kinh t! đư3c phân chia làm hai lo i:
– Bi!n liên t,c là hàm s ph, thu(c vào t bi!n thiên m(t cách liên t,c. – Bi!n r2i r c là hàm s ph, thu(c vào t bi!n thiên m(t cách r2i r c t = t0, t1, t2, ...
Trên hình V.1, bi!n giá c" P(t) c&a m(t đơn v/ hàng hóa là bi!n liên t,c, t i mHi th2i ñi'm t, giá m(t ñơn v/ hàng là P(t). Sau m(t th2i gian ñ& dài, giá P(t) s@ <n ñ/nh t8i m5c giá cân b*ng P. C9n chú ý r*ng, trong trư2ng h3p ñang xét quJ ñ o th2i gian P(t) (cịn đư3c g-i là đư2ng bi!n
đ(ng giá c") có tính dao đ(ng xung quanh m5c giá cân b*ng P. Trong m(t s trư2ng h3p khác, ñư2ng bi!n ñ(ng giá c" có th' khơng có tính
dao ñ(ng mà ti%m c)n t8i PtD dư8i lên ho4c tD trên xu ng.
ð' th$c hi%n phân tích cân b*ng đ(ng có th' s+ d,ng các cơng c,
c&a tốn h-c như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân ...
1.2. M t s ng d ng c a phép tính tích phân và phương trình vi phân
Ví d 1. Bài toán tăng trư?ng dân s .
Xét phương trình vi phân:dH t 1/ 2 dH 1
dt dt t
−
= ⇔ = , trong đó H = H(t)
là dân s t i th2i ñi'm t. Gi"i phương trình vi phân trên: dH dt t = ∫ ∫ P(t) O t Hình V.1 P
Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp toán kinh t ..
H(t) 2 t c
⇔ = + , v8i c = H(0) là dân s t i th2i ñi'm t = 0. V)y H(t) = 2 t+ H(0). Cho H(0) = 100 thì H t( )=2 t 100+ . Phương trình
( )
H t =2 t 100+ xác ñ/nh quJ ñ o th2i gian c&a bi!n dân s H(t).
Ví d 2. Bài tốn tìm hàm chi phí bi!t chi phí biên.
Tìm hàm chi phí tồn ph9n C = C(Q) ph, thu(c vào m5c s"n phAm
ñ9u ra, cho bi!t hàm chi phí biên MC = C/(Q) = 2e0,2Q và chi phí c đ/nh FC = 90. Ta có: 0,2Q 0,2Q 0,2Q dC 2e dC 2e dQ dC 2e dQ dQ= ⇔ = ⇔∫ =∫ 0,2Q C 10e k ⇔ = + .
V8i FC = C(0) = 90 thì k = C(0) – 10e0 = 80, nên C(Q) = 10e0,2Q + 80.
Ví d 3. Bài tốn tìm hàm ti!t ki%m bi!t khuynh hư8ng ti!t ki%m biên.
Cho bi!t khuynh hư8ng ti!t ki%m biên MSP (marginal propensity to save) ph, thu(c vào m5c thu nh)p: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y–0,5, v8i Y là thu nh)p và S = S(Y) là hàm ti!t ki%m. Ngoài ra cho bi!t ñi1u ki%n ban
ñ9u S = 0 khi Y = 81. Lúc đó chúng ta s@ có:
dS = (0,3 – 0,1Y–0,5)dY
⇔ S(Y) = ∫(0,3 0,1Y− −0,5)dY= 0,3Y – 0,2Y0,5 + c.
TD ñi1u ki%n S(81) = 0 suy ra c = –22,5. V)y S(Y) = 0,3Y – 0,2Y0,5 – 22,5.
Ví d 4. Bài tốn đ9u tư và hình thành v n.
Xét hàm tích tr> v n: K = K(t) (ñây là khái ni%m tích tr> – stock concept) và hàm I = I(t), cư2ng ñ( ñ9u tư thu9n (ñây là khái ni%m dòng –
flow concept). Ch7ng h n, n!u sau 2 năm (24 tháng) v n tích tr> là 2,4 tri%u
USD thì ta vi!t K(24) = 2,4. Gi" s+ cư2ng ñ( ñ9u tư là 100000 USD / tháng, thì dịng đ9u tư có cư2ng ñ( I(t) = 100000 USD = const.
V n tích tr> K và cư2ng đ( đ9u tư I có m i quan h% cho b?i phương trình vi phân: dK I(t)
Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
v! ph"i là cư2ng ñ( ñ9u tư. Bi!t hàm I(t), có th' tìm đư3c K(t) theo cơng th5c (xem hình V.2): dK= I(t)dt ∫ ∫ ⇒ K = K(t) + c.
Ch7ng h n cho I(t) = 3 t. G-i K(0) là v n tích tr> đư3c t i t = 0 thì K(t) =∫I(t)dt = 2t3/2+ c, trong đó c = K(0). Do đó K(t) 2t= 3/ 2+ K(0).
áp d,ng tích phân xác đ/nh có th' tìm đư3c lư3ng v n tích lũy trong kho"ng th2i gian [a, b] là
b b a a I(t)dt K(t)= =K(b) K(a)− ∫ . N!u cho
I(t) = 100000 USD / tháng = const thì v n tích tr> sau 3 tháng là:
K =
3 3
0 0