M TS Ơ HÌNH TI ƯU TRONG KIN HT
1. M"t s d/ng phương trình sai phân
1.1. Khái ni mv phương trình sai phân
Ví d 1. Xét bi!n kinh t! y = y(t) ph, thu(c vào bi!n đ(c l)p t (có th'
coi t là bi!n th2i gian ch7ng h n) v8i bi'u th5c c, th' sau: y(t) = y(0)e0,02t.
ðE th/ c&a hàm y = y(t) ñư3c cho trên hình VI.1. Trong ví d, này, ta
gi" s+ t nh)n các giá tr/ liên t,c.
Trong nhi1u bài toán phát sinh tD th$c t!, m(t cách h3p lí hơn, t ñư3c gi" s+ là chC nh)n các giá tr/ r2i r c t∈{0, 1, 2, ...}. V)y có th' vi!t m i quan h% ph, thu(c gi>a y và t như sau: yt = y(t), ∀t∈{0, 1, 2, ...}, trong
đó yt là giá tr/ c&a bi!n y t i th2i ñi'm t. ∆ =yt yt 1+ −ytñư3c g-i là sai phân c p m t c a y. Chúng ta s@ đi xây d$ng khái ni%m phương trình sai
phân. ðây là m(t khái ni%m có 5ng d,ng r(ng rãi trong kinh t!, đi1u
khi'n h-c, cơng ngh% kĩ thu)t.
Ví d 2. Xét m(t vài phương trình sai phân sau:
a) ∆ =yt 2(∀t = 1, 2, …)⇔yt = +2 yt 1− . Hình VI.1 y(t) y(0) y t O
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh t ..
Ta có: y1 = 2 + y0, y2 = 2 + y1 = 4 + y0 , … Tóm l i, tD ñi1u ki%n t
y 2
∆ = chúng ta đã tìm đư3c hàm: yt = 2t + y0, ∀t = 1, 2, … ðE th/ c&a yt ñư3c cho trên hình VI.2.
b) Cho∆ = −yt 0,1yt. Ta có yt+1 = yt + (–0,1)yt = 0,9yt . Do đó:
y1 = 0,9y0, y2 = (0,9)2y0, ... V)y yt = (0,9)ty0, ∀t = 1, 2, … ðE th/ c&a yt
đư3c cho trên hình VI.3.