(BQ) Giáo trình Các phương pháp Toán kinh tế dành cho sinh viên hệ đào tạo chính quy, và có thể có ích cho những ai muốn tìm hiểu và vận dụng các phương pháp toán kinh tế trong nghiên cứu và hoạt động thực tiễn trong lĩnh vực quản lý và kinh doanh. Giáo trình kết cấu gồm 6 chương và chia thành 2 phần, phần 2 trình bày những nội dung về: bài toán vận tải; một số bài toán ứng dụng của quy hoạch động; một số mô hình của lý thuyết điều khiển dự trữ;... Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG IV BÀI TỐN VÂN TẢI 4.1 MƠ HÌNH TỐN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 4.1.1 Nội dung Cần vận chuyển loại hàng hoá từ m trạm phát (các kho, xí nghiệp sản xuất, ) ký hiệu Ax, A2, Am vởi khả cung cấp tương ứng ax, a2, ,am đơn vị hàng tới n trạm thu (các trung tâm tiêu thụ), ký hiệu Bx, B2, ,Bn vởi nhu cầu tiêu thụ tương ứng bx, b2, , bn đơn vị hàng Biết cước phí vận chuyển áơn vị hàng hố từ trạm phát Aj đến trạm thu Bj Cy (i = 1, 2, ,m; j = 1, 2, ,n) Giả thiết cước phí vận chuyển sô không phụ thuộc vào lượng hàng vận chuyển, nghĩa chi phí vận chuyển cung đường định tỷ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển Tuy nhiên thực tế giả thiết thực Để đơn giản giả thiết rằng: 1=1 j=i nghĩa tổng khả cung cấp trạm phát tổng nhu cầu trạm thu 145 Nhiệm vụ đặt xây dựng phương án vận chuyển hợp lý nhất, tức xác định lượng hàng cần vận chuyển từ trạm phát đến trạm thu cho: a Mỗi trạm phát phát hết hàng, trạm thu nhận đủ hàng yêu cầu b Tổng chi phí vận chuỵển nhỏ Chúng ta ký hiệu Cjj cước phí vận chuyển đơn vị hàng hoá từ trạm phát Aj đến trạm thu Bj (i = 1, 2, ,m; j= 1, 2, , n) Ký hiệu Xjj (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) lượng hàng chưa biết phải vận chuyển từ Ai đến Bj Như sơ biến tốn vận tải m.n Từ giả thiết cho ta thấy: a Từng trạm phát phải phát hết khả cung cấp có trạm thu phải nhận đủ theo yêu cầu Nói cách khác biến Xý- cần phải thoả mãn m + n phương trình (ràng buộc)X11 + x12 + •••• + xln = al X21 + x22 + •••■ + x2n xml + X21 + X11 = a2 xm2 +•••+ xmn n + xml = bl + x22 + + xm2 = b2 x12 x2n +••■+ xmn xln (4.1) (4.2) bn b Tổng chi phí vận chuyển (hàm mục tiêu) (4.3) i=i j=l cần đạt giá trị cực tiểu 146 c Các biến Xjj không âm (suy từ thực tế, vận chuyển lượng hàng hoá âm), tức là: Xjj > (i=l, 2, , m ; j = 1,2, , n) (4.4) d ỉ ai=ỉ bj (điểu kiện cân thu phát) (4.5) i=i j=i Tởi ta phát biểu mơ hình tốn học tốn vận tải sau: 4.1.2 Mơ hình tốn học Tìm mxn số thực {Xjj} thoả mãn điều kiện sau: Ề CjjXjj -> i=l j=l ỉ Xij = Si (i=l,2, ,m) (4.1a) bj 0=1,2, .,n) (4.2a) j=l Ề Xụ = i=l Xjj > (i=l, 2, , m ; j=l, 2, , n) (4.4a) Vối giả thiết: ¿ bj (cân thu phát) (4.5) i=i j=i Nhận xét: Bài toán vận tải toán q hoạch tuyến tính dạng tắc Vì định nghĩa (phương án, phương án cực biên, phương án tối ưu, sở phương án cực biên, véctơ biến sở, véctơ biến phi sỏ, ) 147 định lý qui hoạch tuyến tính áp dụng cho tốn vận tải đương nhiên giải phương pháp đơn hình Nhưng cấu tạo đặc biệt tốn vận tải, người ta xây dựng sơ phương pháp khác giải đơn giản tiện lợi mà duới trình bày phương pháp thơng dụng để giải tốn vận tải - phương pháp vị 4.3 MƠ TẢ BÀI TỐN DƯỚI DẠNG BẢNG Trước nghiên cứu tính chất riêng phương pháp giải toán vận tải, ta chuyển thành dạng bảng sau: Ta xây dựng bảng gồm m hàng, n cột Mỗi hàng đặc trưng cho trạm phát, cột đặc trưng cho trạm thu - Hàng ghi tên trạm thu Bj nhu cầu bj tương ứng (j = 1, 2, ,n) - Cột đầu ghi tên trạm phát Aj khả cung cấp aj tương ứng (i = 1, 2, ,m) - Trong bảng giao hàng i cột j gọi ô (ij), đặc trưng cho đoạn đưòng nôi trạm phát Aị với trạm thu Bj nên ô ta ghi Cjj Mỗi (ij) cịn tương ứng với biến Xịj, đồng thời tương ứng với véctơ Ajj (hệ sô biến Xịj hệ ràng buộc la 4.2a) Như liệu toán vận tải thể bảng 4.1 gọi bảng vận tải 148 Bảng 4.1 Thu Phát\ Aựa-i) B1 b2 Bn (bi) (b2) (bn) C11 C12 X11 A2(a2) X12 C22 C21 Cm1 Xm1 Xin C2n X22 X21 Mam) cin Cm2 Xm2 X2n Cmn Xmn Nếu bảng thay cho cước phí vận chuyển ta ghi khoảng cách tính theo km trạm, thay cho tổng chi phí vận chuyến tổng số km cần vận chuyển 4.2 CÁC TÍNH CHẤT BẢN CỦA BÀI TỐN VẬN TẢI Ngồi tính chất chung tốn qui hoạch tuyến tính, tốn vận tải cịn có tính chất riêng phát biểu 149 Định lý 4.1 Bài tốn vận tải cân thu phát có phương án cực biên ưu Chứng minh Đặt d = ỉa.-ỉ bj , xác định hệ thống sô {Xjj} 1=1 sau* j=l aịbj Xjj = d (1=1, 2, m J J —1, 2, , n), Rõ ràng Xịj > (Vij), : s = bjS^ = «ij = i=l f 0-1,2, ,n) i=l a i=l Như |Xjj : Xÿ = bj (i=l,2, ,m) ai°i (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) j phương án tốn Hơn Cịì > (Vij), Xjj > V(ij) nên: CÿXjj > nghĩa hàm mục tiêu bị chặn dưởi i=i j=l khơng Do đó, theo tính chất tốn qui hoạch tuyến tính, tốn vận tải có phương án hàm mục tiêu bị chặn chắn có phương án tốt có phương án cực biên tơt Nhìn vào hệ ràng buộc (4.1) (4.2) ta thấy ma trận hệ sô ẩn có dạng 150 1 A Véctơ Ajj hệ số ẩn Xjj có thành phần thứ i (m+j) (m + n - 2) thành phần khác 0 Aii - thứ tự i - thứ tự m+j = O J - thú tự m+n Véctơ cột Ajj viết: Ajj = Ej + Ej+m (4.6) Trong Ej Ej+m hai véctơ đơn vị (m + n) chiều tương ứng có thành phần thứ i thứ j + m Khơng khó khăn ta chứng minh ma trận A có hạng m + n -1 Nói cách khác hệ (4.1) (4.2) có 151 (m + n -1) ràng buộc độc lập, tức phương trình hệ (4.1) (4.2) hệ (m 4- n -1) phương trình cịn lại (hiển nhiên với giả thiết cân thu phát) chẳng hạn ta cộng phương trình (4.1) trừ vào tổng (n-1) phương trình đầu (4.2) ta nhận phương trình cuối (4.2) Như ta phát biểu tính chất hai tốn vận tải: Ma trận hệ số A hệ ràng buộc (4.1) (4.2) có hạng (m +n -1) Từ liên hệ với định nghĩa phương án cực biên tốn quy hoạch tuyến tính ta suy ra: - Phương án cực biên tốn vận tải có khơng m + n - thành phần dương - Phương án cực biên toán vận tải gọi khơng suy biến có m + n -1 thành phần dương gọi suy biến có m + n -1 thành phần dương - Mỗi phương áñ cực biên ứng với sở gồm m + n -1 véctơ Ajj độc lập tuyến tính Trong trường hợp phương án cực biên không suy biến Xo = {Xij(0)} có sở hệ (A¡j : x¡j > 0} gồm m + n -1 véctơ độc lập tuyến tính Trở lại bảng vận tải ta thấy ô (ij) véctơ Ajj ẩn Xjj có tương ứng -1 (ĩj) gọi chọn có lượng hàng phân phối Xjj > gọi ô loại Xÿ = Như phương án cực biên có khơng q (m +n -1) chọn 152 Phương án cực biên gọi không suy biến có m + n -1 chọn suy biến có m + n -1 ô chọn Đê thấy rõ tính độc lập hay phụ thuộc hệ véctơ (Ajj} gắn với phân bố ô tương ứng vởi chúng bảng vận tải ta xét hệ véctơ sau: Ah Ajz ’ • • • ’ \jk Ají tất số thứ (chỉ số hàng) sô thứ hai (chỉ sô cột) xuất hai lần Nếu ta cho tương ứng véctơ với ô bảng vận tải ta thấy hàng bảng có khơng có tương ứng với véctơ Tương tự cột bảng Nếu nối Ô tương ứng bảng với hệ véctơ (4.7) đoạn nằm ngang thảng đứng nhận chu Hình 4.1 Như vịng tập hợp bảng vận tải mà nằm hàng (cùng cột) với đứng trưốc nó, đồng thời nằm cột (cùng hàng) với ô đứng sau 153 Tứ định nghĩa ta thấy hàng cột mà vòng qua có hai thuộc vịng, tổng số vịng sơ chẵn bốn Có thể mơ tả vịng dạng bảng sau: (iiJi); (Í1J2); Ơ2jạ);-(ifcjfc); (ikJi) Định lý 4.2 Điều kiện cần đủ để tập hợp cho có chứa vịng hệ véctơ {Ajj} tương ứng phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Điêu kiện càn ■ ■ • > AkjJ phụ thuộc tuyến tính đủ (vì hệ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính) Theo (4.6) ta có: A:u-h: — Aị j + A¿ ;+ + Aj~kJkj — Aị j = (Ej*1 + E Jl+rn j ) — ”2^2 ~kh (E:h + EjJ2-1H) + (E;*2 + EjJ2-m/) + + (EjK + E:Jk-in ) — (E; + EjJl-m') = v ‘k Chứng tỏ hệ véctơ: { i, A1 j2 A2j2 • • •, \jk AkJ1 phụ thuộc tuyến tính Điêu kiện đủ Giả sử tập hợp ô cho tương ứng với hệ véctơ {Aý-} phụ thuộc tuyến tính, ta phải chứng minh tập hợp cho có chứa vịng 154 y giá trị trung bình nhu cầu thời gian nghiên cứu: X ỹ = X yp(y) y=0 Đôi với giá trị ưu X = X ta có: Z(x ) > Z(x + 1) hay Z(x ) - Z(x + 1) > (6.45) Đồng thòi: Z(x ) > Z(x - 1) hay Z(x ) - Z(x - 1) > (6.46) Từ hệ thức (6.44) ta có: Z(x) - Z(x+1) = (Cp - Cz)P(y < x) + (Cn - cp) Z(x - 1) - Z(x) = (Cp - Cz)P(y < X - 1) + (Cn - Cp) Từ (6.45) (6.46) trị tối ưu X = X*, ta có: P(y s X - 1) < Từ ta có: P(y < X* - 1) < Cp - G" < P(y < X*) cp - cz Đặt Cu =Cp - Cn, Cr = Cn - Cz, đó: Cp - Cz = (Cp - Cn) + (Cn - Cz) = Cu + Cr 266 Từ ta suy C" - < P(y < X ) P(y < X* - 1) < (6.47) (Ju + (Jr Hệ thức (6.47) cho ta xác định giá trị tối ưu X = X Hệ thức vừa tìm hồn tồn trùng với kêt tìm cách lập luận cực tiểu hố chi phí 6.4.2 Trường hợp liên tục Trong số trường hợp yêu cầu thực tế ngun nhân tính tốn mà coi lượng hàng dự trữ nhu cầu biến liên tục Khi để xác định giá trị tối ưu sử dụng cơng cụ tính tốn giải tích giả sử rằng: Lượng hàng mua vào để dự trữ X nhu cầu y loại hàng hố biến liên tục Giả sử f(y) mật độ xác suất nhu cầu thịi gian nghiên cứu Khi tiền lãi trung bình thu mua X hàng hố để dự trữ có dạng: Z(x) = Cp fyf(y)dy + Cp fxf(y)dy + Cz f (x - y)f(y)dy - Cnx o X (6.49) Giá trị tối ưu X = X tìm từ phương trình cách tìm cực đại hàm Z(x) Khi tính đạo hàm sử dụng cơng thúc Lepnít sau: 267 (P(x) Cho R(x) = I r(x,y) dy a(x) dx = = c^dy + r[xAx)1^ - Trở lại với hàm Z(x) ta có: ux = Cp.xf(x) + cp[ £ f(y) dy - xf(x)J + cz £ f(y) dy - Cn X = CP [1 - £ f(y)dy] + Cz £ f(y) dy - Cn = Cp - Cn- (Cp - Cz)£ f(y) dy = Cp - Cn - (Cp - Cz)F(x) Giá trị tối ưu X tìm từ phương trình =0 =>F(x” = ứng với X ta có: d2Z(x) dx2 = -(Cp-Qffr** < x = X* Nên X cho ta giá trị cực đại tiền lãi trung bình Z(x) Ví dụ 6.8 Để phục vụ nhân dân dịp tết, cửa hàng đặt mua sỏ sản xuất loại hàng tết với giá 4.000đ 268 đơn vị hàng Hàng đặt mua lần vặ giao đầy đủ tháng trước tết bán với giá 5.500đ đơn vị hàng dịp tết Hàng thừa lại sau tết phải bán hạ giá 3.000đ đơn vị Theo dự đốn nhu cầu loại hàng dao động khoảng từ 1000 đến 1500 đơn vị; biến nhu cầu nhận giá trị từ 1000 đến 1500 coi đồng khả Bài toán đặt là: cửa hàng nên đặt mua đơn vị hàng loại để tổng tiền lãi hy vọng thu lởn Giải Ta xác định hàm độ xác suất: f(y) = 1000 < y < 1500 với V Ế [1000; 1500] cn = 4000, Cp = 5500, Cz = 3000 Giá trị X xác định từ phương trình: 269 X 1000 => (x* - 1000) = 500 X I = 300 => X = 1000 + 300 = 1300 đơn vị Tiền lãi trung bình ứng với X = 1300 là: 1300 Z(x*) = 5500 J 1000 1300 + 3000 1500 00 + 5500 X 130ơJ J1300 ¿rdy + 00 (1300 - y)^dy - 4000 X 1300 = 17.250.000đ 1000 500 6.4.3 Mơ hình nhu cầu biến ngẫu nhiên xác định không đầy đủ Trong thực tế, thưịng gặp tốn điều khiển dự trữ, định lượng hàng mua để dự trữ thời gian tới, ta biết phần thông tin nhu cầu tương lai giả sử rằng: Ta hàm phân phối xác suất nhu cầu mà biết số đặc trưng (chẳng hạn kỳ vọng, phương sai ) Để định ý ta giả thiết biết kỳ vọng |1 độ lệch quân phương Khi nghiên cứu lý thuyết xác suất, biết nhiều đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất khác có kỳ vọng phương sai 270 câu hỏi đặt là: Vởi xác suất biến ngẫu nhiên y khác với kỳ vọng |1 vượt kơ Theo bất đẳng thức Tsêbưsép ta có: p{ I y - p I > kơ Ị < Ậ k Trong y đại lượng ngẫu nhiên có luật phân bơ bất kỳ, p giá trị trung bình (kỳ vọng), độ lệch quân phương k số Bất đẳng thức Tsêbưsép khảng định rằng: xác suất để nhu cầu thực tế y khác với giá trị trung bình nhiều kơ nhỏ Ví dụ 6.9 Cho p = 300, = 40, chi phí bảo quản đơn vị hàng thòi gian nghiên cứu cb = 20 Thiệt hại gây không đủ hàng để đáp ứng nhu cầu không phụ thuộc vào lượng hàng thiếu số c = 3200 Chúng ta cần xác định lượng hàng dự trữ tối ưu cho thòi gian tới với giả thiết kỳ kế hoạch tới dự trữ thiếu không mua bổ sung Gọi N(x) tổng chi phí tạo dự trữ ứng với lượng hàng dự trữ X, đó: N(x) = cb X + c P(y > x) (6.51) 271 P(y > x) xác suất yêu cầu thực tế y vượt lượng hàng dự trữ X Ta có P(y > x) = p(y) y=x+l y biến ngẫu nhiên ròi rạc P(y > x) = f(t)dt y biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất f(y) đây, ta khơng biết hàm phân phối xác suất nhu cầu nên cách tính tốn tiến hành không thực Việc biết giá trị trung bình p độ lệch quân phương cho phép sử dụng bất đảng thức Tsêbưsép để tính P(y > x) Với mục đích đó, biểu thị X với dạng: X = p + kơ p số biết, k số chưa biết Ta có: P(y > x) = P(y > p + kơ) = P{y - p > kơ} < < p{ I y - H I > kơ Ị Sử dụng đánh giá phương trình (6.51), ta nhận được: N(x) = N(p + kơ) = cb.x + C.P(y > x) < cb(p + kơ) + 272 c k2 Hàm N(p + kơ) thực chất hằm k, ký hiệu N(k) N(k) = cbn + cb.ơk + ậ Xk Từ phương trình ta dễ dàng tìm k = k làm cực tiểu hàm N(k) dN(k) „ 2C dk =cb°'^ Cho Vì dk = => k- = cb.ơ d2N(k) 6C , — = ^ > với k * dk2 k4 Nên vởi k = k hàm N(k) đạt cực tiểu Trở lại ví dụ * Từ đó: X* = 1¡2 X 3200 20 X 40 _ p + k*ơ = 300 + X 40 = 380 273 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bellman, R.: Dynamic Programming Princeton, N.Y.1957 Bellman, R - Dreyfus,s.: Applied Dynamic Programming Princeton University Press 1962 Dantzig,G,B.: Linear Programming and Extensions Princeton, Princeton University Press 1963 Gass,s,J.: Linear Programming Methods and Applications, 2, ed /New York, McGraw - Hill 1958 Korda, B.: Matematicke’ metody V ekonomii, SNTL, Praha 1967 Ryzikov,J,I.: Upravlenije zapasami, Nauka, Moskva, 1969 Trần Túc: Bài giảng quy hoạch tuyến tính, Hà nội 1997 Walter, J.a kol.: Operacní vyzkum, SNTL,Praha, 1973 274 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương I: Cơ sở tốn quy hoạch tuyến tính 1.1 Véc tơ 1.2 Các phép tính véc tơ 1.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.4 Hạng hệ véc tơ 11 1.5 Các không gianvéctơ 13 1.6 Ma trận 16 1.7 Ma trận khối 19 1.8 Các phép tính ma trận 21 1.9 Hạng ma trận 28 1.10 Ma trận nghịch đảo 30 1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính 32 1.12 Định lý tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính 40 1.13 Biến đổi véctơ 45 1.14 Tập lồi 52 Chương II: Bài toán quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình 59 275 2.1 Định nghĩa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát, dạng chuẩn dạng tắc 59 2.2 Minh hoạ hình học tốn quy hoạch tuyến tính 64 2.3 Phương án cực biên Các tính chất tốn quy hoạch tuyến tính 66 - 2.4 Phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính 77 2.5 Tìm phương án cực biên 107 Chương III: Bài toán đối ngẫu 112 3.1 Thiết lập toán đối ngẫu 112 3.2 Các định lý đối ngẫu 119 3.3 Quy tắc suy nghiệm toán đối ngẫu 129 3.4 Ý nghĩa kinh tế cặp toán đối ngẫu 133 3.5 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 136 Chương IV: Bài tốn vận tải 145 4.1 Mơ hình toán học' toán vận tải 145 4.2 Các tính chất tốn vận tải 149 4.3 Thuật toán giải toán vận tải 157 4.4 Các trường hợp đặc biệt 175 Chương V: Một số toán ứng dụng quy hoạch động 184 5.1 Các trình định với tham số 184 5.2 Các q trình định với nhiều tham sơ 200 5.3 Bài tốn dự trữ tơi ưu hệ thơng kho 202 276 5.4 Bài toán dự trữ vởi nhu cầu xác định phân bố không 210 Chương VI: Một số mơ hình lý thuyết điều khiển dự trữ 216 6.1 Khái niệm chung 216 6.2 Điều khiển dự trữ trường hợp nhu cầu cố định 223 6.2.1 Mơ hình dự trữ giản đơn (mơ hình wilson) 223 6.2.2 Mơ hình trường hợp dự trữ bổ sung dần 230 6.2.3 Mơ hình trường hợp giá hLng biến đổi theo khôi lượng hàng đặt mua 234 6.2.4 Dự trữ nhiều sản phẩm 238 6.3 Điều khiển dự trữ trưòng hợp nhu cầu ngẫu nhiên 6.3.1 Trong trưòng hợp cho trước hệ số mạo hiểm 246 249 6.3.2 Điều khiển dự trữ trường hợp kiểm tra theo chu kỳ 255 6.4 Điều khiển dự trữ giai đoạn 260 6.4.1 Bài toán với nhu cầu biến ngẫu nhiên rời rạc 261 6.4.2 Trường hợp liên tục 267 6.4.3 Mơ hình nhu cầu biến ngẫu nhiên xác định không đầy đủ 270 277 Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc PHẠM VÀN AN Tổng biên tập NGUYỄN NHƯ Ý Biên tập nội dung: PHẠM BẢO KHUÊ Người sửa in: PHÍ THỊ VĂN In 3000 Cơ sở in Đại học Sư phạm - Nhà xuất ĐHQG Hà nội Giấy phép xuất số 961/CXB-9 Cục xuất cấp ngày 13 tháng 10 năm 1998 In xong nộp lưu chiểu tháng - 1999 Giá: 15.000đ ... g2(X2) + f-|(x-x2) X2 X [0] [3] 5 [7] [10] 12 [13] 12 15 15 [17] [19] 18 [19] 22 22 22 25 25 26 x2(x) 0 10 13 17 19 23 11 11 14 14 14 [19] [19] 16 [19] 21 21 19 21 [23 ] 24 23 24 24 25 [27 ] 27 ... [14] 13 [17] [17] 16 19 [21 ] 19 [23 ] [23 ] [23 ] [27 ] [27 ] 25 11 15 18 21 25 11 14 18 21 24 15 18 20 22 [23 ] [23 ] 25 [27 ] 26 24 f3(x) x3(x) 0,1 11 14 17 0,1 21 23 0,1 ,2, 6,7 27 0,1,6 Bảng 5.5 191 Để... la 4.2a) Như liệu toán vận tải thể bảng 4.1 gọi bảng vận tải 148 Bảng 4.1 Thu Phát Aựa-i) B1 b2 Bn (bi) (b2) (bn) C11 C 12 X11 A2(a2) X 12 C 22 C21 Cm1 Xm1 Xin C2n X 22 X21 Mam) cin Cm2 Xm2 X2n Cmn