Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: Mơ hình Tốn kinh tế Họ tên sinh viên: Phan Hồng Ngọc MSSV: 030136200401 Lớp học phần: AMA305_211_D01 THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): 20 trang (bằng chữ): hai mươi trang YÊU CẦU - Trình bày rõ ràng, súc tích - Số trang tối đa 20 Tiểu luận sử dụng font chữ Time New Roman cỡ chữ 13; mật độchữ bình thường, giãn dịng 1,5 line; lề 3,5cm; lề 3cm;lề trái 3,5cm; lề phải 2cm - Các tập Câu phải đầy đủ nội dung Câu cần có nhiều ý nhỏ a), b), - Điểm cao dành cho có hệ thống tập đa dạng, có tính thực tế, có liên quan đến lĩnh vực kinh tế, trình bày rõ ràng logic - Bài viết sinh viên nhất, khơng chép hình thức với sinh viên khác, có bị trừ điểm 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com BÀI LÀM Phần I : Mơ hình tốn kinh tế phương pháp mơ hình phân tích kinh tế Câu Trình bày ngắn gọn nội dung kiến thức về: a Hệ số co giãn, hệ số tăng trưởng, hệ số thay b Mơ hình tối thiểu hóa chi phí doanh nghiệp sản lượng cho trước, mơ hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước c Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp a) *Hệ số co giãn: + Để đo tỉ lệ thay đổi tưởng đối ( tức thời) biến nội sinh với thay đổi tưởng đối biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co giãn riêng Hệ số co giãn biến Y theo biến Xi X = X0 ký hiệu 𝜀 (X0) định nghĩa công thức: 𝜀 = Hệ số cho biết X = X0 , biến Xi thay đổi 1% Y thay đổi % Nếu 𝜀 (X0) > Xi , Y thay đổi hướng ngược lại + Nếu muốn đo lường thay đổi tương đối Y tất biến ngoại sinh thay đổi ( tương đối) theo tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung Hệ số co giãn chung (toàn phần): 𝜀 (X ) = ∑ 𝜀 (X ) Hệ số cho biết X = X0 tỉ lệ % thay đổi Y tất biến Xi thay đổi 1% *Hệ số tăng trưởng: Nếu trường hợp mô hình có biến ngoại sinh biến thời gian, biến động biến nội sinh theo thời gian đo hệ số tăng trưởng Hệ số tăng trưởng biến đo tỷ lệ biến động biến theo đơn vị thời gian Cho Y = F (X1 , , Xi , , Xn, t) với t biến thời gian hệ số tăng trưởng Y là: 𝑟 = + Nếu Y = F(X1(t), X2(t), , Xn(t)) thì: 𝑟 = ∑ 𝜀 𝑟 *Hệ số thay thế: Giả sử X = X0 có Y = F(X0) = Y0 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Cho biến Xi , Xj biến đổi Xk (k ≠ 𝑖, 𝑗 ) khơng đổi hệ số thay hai biến tỉ lệ thay đổi hai biến cho Y = Y0 (tức Y không đổi) = + Nếu < Xi thay cho Xj (X = X0) hệ số thay + Nếu > Xi, Xj bổ sung cho (X = X0) và hệ số bổ sung + Nếu = Xi , Xj thay bổ sung cho X = X0 Tỉ lệ cho biết ta thay đổi đơn vị yếu tố j cần thay đổi yếu tố i tương ứng để giữ nguyên Y b) * Mơ hình tối thiểu hóa chi phí doanh nghiệp sản lượng cho trước: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp Q = F(X1, X2,…,Xn) giá yếu tố w1, w2,…, wn Q0 mức sản lượng dự kiến sản xuất Ta có tốn: z = ∑ 𝑤 𝑋 => Min Với điều kiện: F(X1, X2,…,Xn) = Q0 *Mơ hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước: Gọi K kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua yếu tố với mức X1, X2,…,Xn để sản xuất giá yếu tố w1, w2,…, wn Mức sản lượng tương ứng: Q = F(X1,X2,…,Xn) Ta có toán: Max Q = F(X1,X2,…,Xn) Với điều kiện: ∑ 𝑤 𝑋 = 𝐾 Giải toán ta có điều kiện cần sau: = ,i≠𝑗 c) Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp: Ký hiệu TR(Q) doanh thu doanh nghiệp cung ứng tiêu thụ thị trường sản lượng Q + Doanh thu biên: MR(Q) = 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com + Doanh thu trung bình: AR(Q) = + Gọi TC(Q) chi phí tương ứng để sản xuất sản lượng Q + Gọi lợi nhuận là: 𝜋(𝑄) = TR(Q) – TC(Q) Xác định sản lượng tối đa hóa lợi nhuận ta có tốn 𝜋(𝑄) → max Điều kiện cần tối ưu = (*) Nếu doanh nghiệp canh tranh hoàn hảo: Giá bán p biến ngoại sinh nên TR(Q) = pQ Và (*) trở thành p = MC(Q) Nếu doanh nghiệp độc quyền: Giá bán phụ thuộc vào mức cung tức p = p(Q) Ta có: TR = P(Q).Q nên MR = p(Q) + Và (*) thành: p(Q) + 𝑄 = MC(Q) 𝑄 Câu Cho ví dụ tập cụ thể có nội dung trình bày Câu 1, sau giải chi tiết tập *Hệ số co giãn: a) Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 – 2Q2 + 10Q +36 Q = 10 Tính hệ số co giãn TC theo Q Q = 10 giải thích ý nghĩa kinh tế b) Cho hàm sản xuất Q(K,L) = 120K1/3L2/3 Tính hệ số co giãn Q theo (K,L) nêu ý nghĩa kinh tế a) Giải = 3Q2 – 4Q + 10 Ta có: 𝜀 = = (3Q2 – 4Q + 10) 𝜀 (Q = 10) ≈ 2,88 > 𝜀 = 2,88 có ý nghĩa Q = 10 sản lượng tăng 1% tổng chi phí tăng 2,88% b) 𝜀 = 𝜀 = -2/3 2/3 = 120 K L // = = 120. K1/3L-1/3. // = 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com =1 𝜀 = 𝜀 + 𝜀 = + Điều có nghĩa: vốn K lao động L tăng 1% sản lượng Q tăng lên 1% *Hệ số tăng trưởng: a) Thu nhập quốc dân (Y) quốc gia có dạng: Y = 0,48 K 0,4L0,3NX0,01 Trong đó: K vốn, L lao động NX xuất ròng Cho hệ số tăng trưởng NX 4%, K 3%, L 5% Xác định hệ số tăng trưởng Y b) Giả sử dân số tăng theo mơ hình P(t) = P(0)2 bt tiêu dùng dân cư tăng theo mơ hình C(t) = C(0)eat Tính hệ số tăng trưởng dân số tiêu dùng dân cư Giải a) Ta có: 𝜀 = 0,4; rK = 𝜀 = 0,3; rL = 𝜀 = 0,01; rNX = Vậy hệ số tăng trưởng Y là: rY = 𝜀 rK + 𝜀 rL + 𝜀 rNX = 0,4.3 + 0,3.5 + 0,01.4 = 2,74% b) Hệ số tăng trưởng dân số: 𝑟 = 𝑟 = () () () () = = () = () () () bln2 =a *Hệ số thay thế: a) Cho hàm sản xuất Y(t) = 5K0,6L0,3 K, L vốn lao động Tính hệ số thay K cho L điểm (K,L) = (1,1) nêu ý nghĩa hệ số b) Cho hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q= K(L+5); K,L vốn lao động với Tính hệ số thay yếu tố K,L điểm (K,L) = (40; 135) nêu ý nghĩa hệ số Giải a) Ta có: Y(t) = 5K0,6L0,3 Hệ số thay K cho L là: 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com .,,, =– =– ., , , Tại điểm (K,L) = (1,1) = -2 =– Khi lao động tăng đơn vị Khi đó, để sản lượng khơng đổi vốn giảm đơn vị b) = L + 5; =– = =K – = –2/7 Vậy lao động tăng đơn vị giá vốn giảm 2/7 đơn vị * Mơ hình tối thiểu hóa chi phí doanh nghiệp sản lượng cho trước Hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Q = K0,75L0,5 ( Q sản lượng, K vốn, L lao động), giá vốn pK = 30, giá lao động pL = mức dự kiến sản xuất Q0 = 2048 a Tìm mức sử dụng K, L để chi phí tối thiểu b Phân tích tác động giá vốn, lao động tới tổng chi phí thời điểm chi phí tối thiểu c Phân tích thay đổi tổng chi phí sản lượng tăng lên 2% thời điểm Q chi phí tối thiểu Giải a) Vấn đề dẫn tới tốn: Tìm K, L để: TC = 30K + 5L => Min Với điều kiện: F(K,L) = K0,75.L0,5 = 2048 Phương án tối ưu nghiệm hệ: = K0,75 L0,5 = 2048 = K = 256 K0,75.L0,5 = 2048 L = 1024 Vậy mức sử dụng để tối thiểu chi phí là: K* = 256 L* = 1024 b) Tác động giá vốn, giá lao động tới hàm TC thời điểm tối ưu: * = K = 256 > Kết luận : Tại thời điểm tối ưu = L * = 1024 > - Nếu tăng giá vốn lên đơn vị tổng chi phí tăng lên 256 đơn vị - Nếu tăng giá lao động lên đơn vị tổng chi phí tăng lên 1024 đơn vị c) Chi phí biên thời điểm tối ưu: 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ∗ , ,.( ) (∗ ), MC(Q0) = * = =5 Chi phí trung bình thời điểm tối ưu : AC(Q0) = ( ) Hệ số co giãn hàm tổng chi phí theo sản lượng: 𝜀 = () () = = .. = Kết luận: Tại thời điểm Q0 tăng sản lượng lên 2% tổng chi phí tăng lên 0,8% *Mơ hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước: Một nhà sản xuất cần yếu tố K L để sản xuất X Biết người chi khoản tiền TC = 15000 để mua hai yếu tố với giá tương ứng p K = 600 pL = 300 Hàm sản xuất cho Q = 2K(L – 2) a) Tính mức sử dụng vốn lao động để sản lượng tối đa b) Tính hệ số thay yếu tố K,L thời điểm tối ưu? Nêu ý nghĩa hệ số đó? Giải a) Q = 2K(L – 2) TC = 600K + 300L = 15000 = PKK + pLL = 15000 = K = 12 600K + 300L = 15000 L = 26 Vậy để sản lượng tối đa K = 12, L = 26 b) ) = 2L - 4; =– = = 2K – = –1/2 Vậy lao động tăng đơn vị giá vốn giảm 1/2 đơn vị *Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp: Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm là: Q1 = 25 – 0,5P1; Q2 = 30 – P2 Hàm tổng chi phí doanh nghiệp TC = 𝑄 + 2𝑄 𝑄 + 𝑄 + 20 a) Xác định mức sản lượng Q1, Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com b) Tính hệ số co giãn chung tổng chi phí mức sản lượng tìm câu a giải thích ý nghĩa kết tính c) Giả sử hai mặt hàng bị nhà nước đánh thuế với mức thuế t (đơn vị tiền) đơn vị sản lượng mức sản lượng để lợi nhuận cực đại phụ thuộc vào t nào? Hãy phân tích tác động t đến mức sản lượng làm cho lợi nhuận đạt cực đại Giải a) Q1 = 25 – 0,5P1 P1 = 50 – 2Q1 Q2 = 30 – P2 P2 = 30 – Q2 Doanh thu TR = P.Q = P1Q1 + P2Q2 = 50Q1 – 2𝑄 + 30Q2 - 𝑄 Lợi nhuận 𝜋 = TR – TC = 50Q1 – 2𝑄 + 30Q2 - 𝑄 - 𝑄 − 2𝑄 𝑄 − 𝑄 − 20 𝜋 = −3𝑄 − 2𝑄 + 50Q1+ 30Q2 − 2𝑄 𝑄 − 20 Điều kiện để lợi nhuận đạt cực đại: 𝜋 = -6Q1 + 50 – 2Q2 = Q1 = = -4Q2 + 30 – 2Q1 = Q2 = Xét điểm dừng, ta có: = – = A; A=–6 Vậy doanh nghiệp đạt cực đại mức sản lượng Q1 = 7, Q2 = ứng với mức giá P1 = 36, P2 = 26 = 1,716 b) 𝜀 = 𝜀 + 𝜀 = ( 2Q1 + 2Q2) + (2Q2 + 2Q1) = Tại mức sản lượng Q1 = 7, Q2 = 4, Q1 Q2 tăng 1% tổng chi phí tăng 1,716% c) 𝜋(Q1; Q2) = (P1Q1 + P2Q2) – (𝑄 + 2𝑄 𝑄 + 𝑄 + 20) - t(Q1 +Q2) 𝜋 = -6Q1 + 50 – 2Q2 – t = Q1 = + 0,3t 𝜋 = -4Q2 + 30 – 2Q1 – t = Q2 = -17,5 - t 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 𝑄(𝑡) = 0,3 > 0; 𝑄 (𝑡) = – đơn vị giảm < Khi t tăng đơn vị Q1 tăng 0,3 đơn vị Q2 Phần II : Bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT) Câu Trình bày ngắn gọn nội dung kiến thức về: a Bài toán QHTT (Mục đích giải, khái niệm, dạng tốn QHTT, tính chất tốn QHTT) b Bài toán đối ngẫu ứng dụng toán đối ngẫu vào việc giải tốn QHTT a) *Mục đích giải toán QHTT: Các nhà quản lý doanh nghiệp thường xuyên phải định lựa chọn giải pháp, phương án hành động trước canh tranh khốc liệt thị trường Mặc dù bị ràng buộc, bị hạn chế hàng loại điều kiện liên quan tới tiềm doanh nghiệp, điều kiện thị trường hoàn cảnh tự nhiên, xã hội khả lựa chọn lớn Nếu tất yếu tố (các biến số) liên quan tới khả năng, mục đích định lựa chọn có mơi quan hệ tuyến tính hồn tồn sử dụng mơ hình QHTT để mơ tả, phân tích tìm lời giải cho vấn đề lựa chọn tối ưu nhà quản lý *Khái niệm: Một tốn quy hoạch tuyến tính mơ hình tốn tìm cực tiểu (min) cực đại (max) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc bất đẳng thức đẳng thức tuyến tính Giải tốn QHTT tức tìm phương án tối ưu (nếu có) *Các dạng tốn QHTT: Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn số x1, x2, , xn có dạng: f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn => max (min) ≥ ai1x1 + ai2x2 + + a1nxn ≤ bi ( i = 1;2; ; m) = ≥ xj ≤ 0; (j = 1;2; ;n) 𝑡ù𝑦 ý (1) (2) (3) Khi đó: (1) hàm mục tiêu (2) hệ ràng buộc (3) hệ ràng buộc dấu 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com (2) (3) gọi chung hệ ràng buộc toán Phương án: Phương án toán vectơ n chiều x = ( x1, x2, , xn) thỏa hệ ràng buộc toán Tập X tất phương án toán gọi tập phương án Phương án x thỏa ràng buộc với dấu “=” ta nói x thỏa chặt ràng buộc Ngược lại, x thỏa ràng buộc với dấu “>” “ (max) - tập phương án tốn có phương án tối ưu Hệ quả: Nếu tốn có phương án cực biên có phương án tối ưu có phương án cực biên tối ưu Nếu tốn QHTT dạng tắc có phương án tối ưu có phương án cực biên phương án tối ưu Tính hữu hạn số phương án cực biên toán Số phương án cực biên tốn quy hoạch tuyến tính hữu hạn b) Bài toán đối ngẫu ứng dụng toán đối ngẫu vào việc giải toán QHTT *Bài toán đối ngẫu: Hai toán (P) ( 𝑃) sau gọi cạp bài toán đối ngẫu: 11 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài toán gốc ( đối ngẫu) Bài toán đối ngẫu ( gốc) ∑ 𝑐 𝑥 ⟶ max ∑ 𝑎 ∑ 𝑏 𝑦 ⟶ ≤0 ) ≥ ( i = 1, 𝑚 yj 𝑡𝑢𝑦 𝑦 ≤ ≥ 𝑥 bi ( i = 1, 𝑚 ) = ≤0 xj ≥ ( j = 1, 𝑛) 𝑡𝑢𝑦 𝑦 ≤ ∑ 𝑎 𝑦 1, 𝑛) ≥ ci ( j = = *Ứng dụng toán đối ngẫu vào việc giải tốn QHTT: a Các tính chất định lý đối ngẫu: Định lý 1: Đối với cặp toán đối ngẫu (P) (𝑃 ), xảy ba trường hợp sau: i) Cả hai khơng có phương án ii) Cả hai có phương án, lúc cà hai có phương án tối ưu, giá trị hai hàm mục tiêu hai phương án tối ưu iii) Một hai tốn khơng có phương án, cịn lại có phương án Khi có phương án khơng có phương án tối ưu (và hàm mục tiêu khơng bị chặn) Hệ 1: Nếu hai tốn có phương án tối ưu tốn có phương án tối ưu 0 Hệ 2: Điều kiện cần đủ để phương án X toán (P) (Y ) toán (𝑃 ) tối ưu là: f(X0) = 𝑓 (Y0) Định lý 2: (Độ lệch bù yếu) Điều kiện cần đủ để phương án X0 toán (P) (Y0) toán (𝑃 ) tối ưu là: 𝑥 (∑ 𝑎 𝑦 − 𝑐 ) = 𝑦 (∑ 𝑎 𝑥 − 𝑏 ) = - (j = 1, 𝑛) ) (i = 1, 𝑚 Nhận xét: Vậy tích thừa số khác thừa số Hệ quả: Nếu cặp ràng buộc lỏng phương án tối ưu tốn ràng buộc đối ngẫu chặt phương án tối ưu toán b Các ứng dụng: 12 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sử dụng tính chất định lý đối ngẫu, dặc biệt phần Định lý Hệ định lý xử lý tình mà khơng thiết phải giải toán Khảo sát tồn phương án, phương án tối ưu Phân tích tính chất tối ưu phương án xác định tập phương án tối ưu Phân tích so sánh tĩnh: Phân tích, đánh giá nguồn lực sử dụng kinh tế xác định giá tính tốn nguồn (xác định giá mở) Câu Cho ví dụ toán thực tế thực u cầu sau cho tốn: a Lập mơ hình tốn QHTT cho tốn thực tế (gọi toán (P)) b Giải toán QHTT (P) phương pháp đơn hình c Viết tốn đối ngẫu toán (P) giải định lý đối ngẫu Theo hợp đồng ký, nhà máy sản xuất giấy phải cung cấp 240 giấy loại A 120 giấy loại B Nhà máy có dây chuyền sản xuất giấy Các chi tiết lần sử dụng dây chuyền sản xuất sau: Dây chuyền I: Chi phí triệu Sản xuất giấy loại A giấy loại B, đồng thời tạo chất thải Dây chuyền II: Chi phí 12 triệu Sản xuất giấy loại A giấy loại B, đồng thời tạo chất thải Dây chuyền III: Chi phí 10 triệu Sản xuất giấy loại A giất loại B, đồng thời tạo chất thải Được biết, lượng chất thải trình sản xuất khơng vượt q 200 Nhà máy muốn thực hợp đồng với tổng chi phí sản xuất thấp a) Hãy lập toán ứng với mơ hình b) Giải tốn QHTT (P) phương pháp đơn hình c) Viết tốn đối ngẫu toán (P) giải định lý đối ngẫu Giải a) Gọi x1, x2, x3 số lần áp dụng dây chuyền sản xuất I, II, III Theo ý nghĩa thực tế, ta có xj ≥ xj số nguyên (j = 1,3) Lấy đơn vị tiền triệu đồng ta tính tổng chi phí sản xuất f(x) = 6x1 + 12x2 + 10x3 ⟶ 𝑚𝑖𝑛 Điều kiện số giấy loại A, B phải sản xuất được: 13 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com A: x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 240 B: x1 + 3x2 + x3 ≥ 120 Điều kiện số chất thải tạo trình sản xuất: 2x1 + 5x2 + x3 ≤ 200 Vậy mơ hình tốn học cho tốn tốn quy hoạch tuyến tính (P) f(x) = 6x1 + 12x2 + 10x3 ⟶ 𝑚𝑖𝑛 x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 240 x1 + 3x2 + x3 ≥ 120 2x1 + 5x2 + x3 ≤ 200 xj ≥ 0, (j = 1,3 ) b) Đưa tốn dạng tắc: f(x) = 6x1 + 12x2 + 10x3 ⟶ 𝑚𝑖𝑛 x1 + 2x2 + 4x3 – x4 = 240 x1 + 3x2 + x3 − 𝑥 = 120 2x1 + 5x2 + x3 + 𝑥 = 200 xj ≥ 0, (j = 1,6 ) Đưa toán dạng chuẩn: f(x) = 6x1 + 12x2 + 10x3 + M(x7 + x8) ⟶ 𝑚𝑖𝑛 x1 + 2x2 + 4x3 – x4 + x7 = 240 x1 + 3x2 + x3 − 𝑥 + 𝑥 = 120 2x1 + 5x2 + x3 + 𝑥 = 200 xj ≥ 0, (j = 1,8 ) x2 x3 x4 x5 x6 𝜆 [4] -1 0 60 120 -1 120 x6 200 0 200 f(x) -6 -12 -10 0 380 5 -1 -1 60 1/4 1/2 -1/4 0 Hệ Phương x1 Hệ ẩn án số M x7 240 M x8 10 x3 120 14 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com M x8 60 3/4 [5/2] 1/4 -1 24 x6 140 7/4 9/2 1/4 31,11 f(x) 600 -7/2 -7 -5/2 0 60 3/4 5/2 1/4 -1 10 x3 48 1/10 -3/10 1/5 - 12 x2 24 3/10 1/10 -2/5 - x6 32 2/5 0 -1/5 9/5 - f(x) 768 -7/5 0 -9/5 -14/5 0 0 0 0 Phương án tối ưu giá trị toán mở rộng là: 𝑥∗= (0, 24, 48, 0, 0, 32, 0, 0) f(𝑥∗ ) = 768 Vì ẩn giả 𝑥∗ hệ số ước lượng ẩn khơng âm nên tốn gốc có phương án tối ưu x* = (0, 24, 48, 0, 0, 32) giá trị tối ưu f(x *) = 768 c) f(x) = 6x1 + 12x2 + 10x3 ⟶ 𝑚𝑖𝑛 x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 240 (1) x1 + 3x2 + x3 ≥ 120 (2) 2x1 + 5x2 + x3 ≤ 200 (3) xj ≥ 0, (j = 1,3 ) (4) ⟶ (6) Bài toán đối ngẫu (𝑃 ) 𝑓(y) = 240y1 + 120y2 + 200y3 ⟶ 𝑚𝑎𝑥 y1 + y2 + 2y3 ≤ (7) 4y1 + y + y3 ≤ 10 (9) 2y1 + 3y2 + 5y3 ≤ 12 (8) y1 ≤ (10) y2 ≤ (11) y3 ≥ (12) Các cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (𝑃 ): (1) (10); (2) (11); (3) (12); (4) (7); (5) (8); (6) (9) Giả sử y* = (y1, y2, y 3) phương án tối ưu toán (𝑃 ) 15 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ta thấy x * thỏa lỏng ràng buộc (3), (5), (6) nên y * thỏa chặt ràng buộc (12), (8), (9) y3 = 2y1 + 3y2 + 5y3 = 12 4y1 + y2 + y3 = 10 Giải hệ ta thu nghiệm y* = ( ; Vậy y* * = ( ; ; 0) ; 0) phương án tổi ưu toán (𝑃) f(y*) = 768 Một đội sản xuất dự định dùng 31 sào đất để trồng bắp cải, cà chua, đậu, khaoi tây, hành Các số liệu cho bảng sau: Tài Dự trữ Bắp cải Cà chua Đậu Khoai tây Hành nguyên 65 55 23 26 35 Lao động 2080 (công/ sào) Chi phí 1824 38 22 31 63 50 (ngàn đồng/ sào) Lời ( ngàn 376 128 104 177 310 đồng/sào) a) Bài tốn đặt cho nhà sản xuất tìm phương án sản xuất với tổng lời lớn b) Giải toán QHTT (P) phương pháp đơn hình c) Viết tốn đối ngẫu tốn (P) giải định lý đối ngẫu Giải a) Gọi x1, x2, x3, x4, x5 tương ứng số sào đất để trồng bắp cải, cà chua, đậu, khoai tây, hành (xj ≥ 0, j = 1, ,5) - Tổng lời thu là: f(x) = 376x1 + 128x2 + 104x3 + 177x4 + 310x5 - Do số lượng lao động chi phí khơng thể vượt qua số lượng có nên: Lao động: 65x1 + 55x2 + 23x3 + 26x4 + 35x5 ≤ 2080 Chi phí: 38x1 + 22x2 + 31x3 + 63x + 50x5 ≤ 1824 - Tổng số sào đất có: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 31 Tìm x = (x1, x2, x3, x 4, x5) cho: f(x) = 376x1 + 128x2 + 104x3 + 177x4 + 310x5 ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 31 65x1 + 55x2 + 23x3 + 26x4 + 35x5 ≤ 2080 16 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 38x1 + 22x2 + 31x3 + 63x4 + 50x5 ≤ 1824 xj ≥ 0, (j = 1, ,5) b) Đưa tốn dạng tắc: f(x) = 376x1 + 128x2 + 104x3 + 177x4 + 310x5 ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 31 65x1 + 55x2 + 23x3 + 26x4 + 35x5 + x6 = 2080 38x1 + 22x2 + 31x3 + 63x4 + 50x5 + x7 = 1824 xj ≥ 0, (j = 1, ,5) Đưa toán dạng chuẩn: f(x) = 376x1 + 128x2 + 104x3 + 177x4 + 310x5 – Mx8 ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x8 = 31 65x1 + 55x2 + 23x3 + 26x4 + 35x5 + x6 = 2080 38x1 + 22x2 + 31x3 + 63x4 + 50x5 + x7 = 1824 xj ≥ 0, (j = 1, ,5) Hệ số -M 0 Hệ ẩn x8 x6 Phương x1 án 376 x2 128 x3 104 x4 177 x5 310 x6 x7 𝜆 31 2080 55 23 26 35 0 31 32 [1] 65 x7 f(x) 1824 38 22 31 63 50 48 -50 -88 -225 1 -273 -51 -31 -1 -1 -1 -1 0 -1 376 x1 31 1 1 0 x6 65 -10 -42 -39 -30 0 x7 646 -16 -7 25 12 f(x) 12172 222 223 185 48 1 0 0 0 0 Vậy tốn mở rộng có PATƯ 𝑥∗= (31, 0, 0, 0, 0, -130, 646, 0) f(𝑥∗) = 11656 Vì ẩn giả x8 = nên tốn xuất phát có PATƯ x* = (31, 0, 0, 0, 0, 65, 646) f(x*) = 12172 c) f(x) = 376x1 + 128x2 + 104x3 + 177x4 + 310x5 ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 31 65x1 + 55x2 + 23x3 + 26x4 + 35x5 ≤ 2080 (1) 38x1 + 22x2 + 31x3 + 63x4 + 50x5 ≤ 1824 (2) xj ≥ 0, (j = 1, ,5) (3) ⟶ (7) 17 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài toán đối ngẫu (𝑃 ) 𝑓(y) = 31y1 + 2080y2 + 1824y3 ⟶ 𝑚𝑖𝑛 y1 + 65y2 + 38y3 ≥ 376 (8) y1 + 55y2 + 22y3 ≥ 128 (9) y1 + 26y2 + 63y3 ≥ 177 (11) y1 + 23y2 + 31y3 ≥ 104 y1 + 35y2 + 50y3 ≥ 310 y2 ≥ (13) (10) (12) y3 ≥ (14) Các cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (𝑃 ): (1) (13); (2) (14); (3) (8); (4) (9); (5) (10); (6) (11); (7) (12) Giả sử y* = (y1, y2, y 3) phương án tối ưu toán (𝑃 ) Ta thấy x* thỏa lỏng ràng buộc (1), (2), (3) nên y * thỏa chặt ràng buộc (13), (14), (8) y2 = y3 = y1 + 65y2 + 38y3 = 376 Giải phương trình ta thu nghiệm y* = (376; 0; 0) Vậy y* * = (376; 0; 0) phương án tổi ưu toán (𝑃 ) f(y*) = 11656 Một người có số tiền 100 tỷ đồng dự định đầu tư vào loại hình sau đây: • Gửi tiết kiệm khơng kỳ hạn với suất 6,5%/năm • Gửi tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8,7%/năm • Mua tín phiếu với lãi suất 10%/năm • Đầu tư vào bất động sản với lãi suất 18% Để tránh rủi ro, người định đầu tư theo dẫn nhà tư vấn đầu tư sau: • Số tiền mua tín phiếu khơng vượt q tổng số tiền đầu tư vào loại hình • Đầu tư 30% tổng số tiền vào gửi tiết kiệm có kỳ hạn mua tín phiếu • Tỷ lệ tiền gửi tiết kiệm không kỳ hạn tiền tiết liệm có kỳ hạn khơng q 1/3 a) Hãy lập mơ hình tốn xác định số tiền đầu tư tối ưu để người đạt lợi nhuận cao nhất, theo dẫn nhà đầu tư b) Giải tốn QHTT (P) phương pháp đơn hình 18 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com c) Viết toán đối ngẫu toán (P) giải định lý đối ngẫu Giải a) Gọi x1, x2, x3, x4 ( đơn vị: tỉ đồng) số tiền đầu tư vào gửi tiết kiệm không kỳ hạn, gửi tiết kiệm có kỳ hạn, mua tín phiếu, bất động sản Tổng số tiền đầu tư: x1 + x2 + x + x4 = 100 Theo lời khuyên từ nhà đầu tư: x1 + x2 – x3 + x4 ≥ x2 + x3 ≥ 30 3x1 – x2 ≤ Tổng số tiền lãi thu năm là: 0,065x1 + 0,087x2 + 0,1x3 + 0,18x4 Vậy mơ hình tốn học cho tốn tồn quy hoạch tuyến tính: f(x) = 0,065x1 + 0,087x2 + 0,1x3 + 0,18x4 ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 = 100 x1 + x2 – x3 + x4 ≥ x2 + x3 ≥ 30 3x1 – x2 ≤ xj ≥ 0, j = 1,4 b) Đưa tốn dạng tắc: f(x) = 0,065x1 + 0,087x2 + 0,1x3 + 0,18x4 ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 = 100 x1 + x2 – x3 + x4 – x5 = x2 + x3 – x6 = 30 3x1 – x2 + x7 = xj ≥ 0, j = 1,7 Đưa toán dạng chuẩn: f(x) = 0,065x1 + 0,087x2 + 0,1x3 + 0,18x4 – M(x8, x9, x10) ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 + x8 = 100 x + x – x + x – x + 𝑥 = x2 + x3 – x6 + x10 = 30 3x1 – x2 + x7 = xj ≥ 0, j = 1,10 19 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Hệ ẩn x8 x9 Phương x1 án 0,065 x2 0,087 x3 0,1 x4 0,18 x5 x6 x7 𝜆 100 [1] 1 1 -1 1 -1 0 0 100 - -M x10 x7 F(x) x1 -0,065 -5 1 -1 -0,087 -0,1 -2 -1 1 0 -0,18 -2 0 0 0 0 -1 1 - 0,06 -M -M 30 0 -130 100 x9 x10 x7 F(x) 30 6,5 0 0 0 -2 -0,022 Hệ số -M -M -2 -1 -0,035 -1 0 -1 0 -1 -1 0 0,065 0,065 0,065 0,115 -30 0 ∗ Vậy toán mở rộng có PATƯ 𝑥= ( 100, 0, 0, 0, 0, 0, 0, , 0, 30) Bài toán xuất phát khơng có PATƯ tồn ẩn giả x10 = 30 > c) f(x) = 0,065x1 + 0,087x2 + 0,1x3 + 0,18x4 ⟶ max x1 + x2 + x3 + x4 = 100 x1 + x2 – x3 + x4 ≥ x2 + x3 ≥ 30 3x1 – x2 ≤ xj ≥ 0, j = 1,4 Bài toán đối ngẫu (𝑃 ) 𝑓(y) = 100y1 + 30y3 ⟶ 𝑚𝑖𝑛 y1 + y2 + 3y3 ≥ 0,065 y1 + y2 + y3 – y4 ≥ 0,087 y1 - y2 + y3 ≥ 0,1 y1 + y2 ≥ 0,18 y2 ≤ y ≤ 0, y ≥ Vì tốn (P) khơng có phương án tối ưu nên theo định lý độ lệch bù yếu tốn (𝑃 ) khơng có phương án tối ưu 20 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... giải toán Khảo sát tồn phương án, phương án tối ưu Phân tích tính chất tối ưu phương án xác định tập phương án tối ưu Phân tích so sánh tĩnh: Phân tích, đánh giá nguồn lực sử dụng kinh tế. .. mở) Câu Cho ví dụ toán thực tế thực yêu cầu sau cho tốn: a Lập mơ hình toán QHTT cho toán thực tế (gọi toán (P)) b Giải toán QHTT (P) phương pháp đơn hình c Viết tốn đối ngẫu toán (P) giải định...BÀI LÀM Phần I : Mơ hình tốn kinh tế phương pháp mơ hình phân tích kinh tế Câu Trình bày ngắn gọn nội dung kiến thức về: a Hệ số co giãn, hệ số tăng trưởng, hệ số thay b Mơ hình tối thiểu hóa
Ngày đăng: 10/08/2022, 10:41
Xem thêm:
