BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH GIÁO TRÌNH MÔN HỌC TOÁN KINH TẾ NGHỀ KẾ TOÁN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số /QĐ TCGNB ngày thán[.]
BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH GIÁO TRÌNH MƠN HỌC: TỐN KINH TẾ NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số: /QĐ-TCGNB ngày…….tháng….năm 20 Trường Cao đẳng Cơ giới Ninh Bình Ninh Bình, năm 2021 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin phép dùng ngun trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: MA TRẬN Các khái niệm ma trận Các dạng ma trận Các phép tốn tuyến tính ma trận CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC 11 Định thức ma trận vuông 11 Tính định thức cấp thấp theo định nghĩa 11 Các tính chất định thức 12 Các phương pháp tính định thức .13 CHƯƠNG 3: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO .19 Khái niệm ma trận nghịch đảo .19 Ma trận phụ hợp ma trận vuông .19 Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo 19 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo 21 CHƯƠNG 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 24 Dạng tổng quát 24 Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính 24 Hệ Cramer .25 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính 26 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Tốn kinh tế biên soạn sở tiếp thu nội dung kinh nghiệm giảng dạy mơn Tốn kinh tế nhiều năm qua yêu cầu ứng dụng quản lý kinh tế theo xu hướng hội nhập Giáo trình tập thể giáo viên tổ mơn kế tốn doanh nghiệp biên soạn, hội đồng thẩm định Trường Cao đẳng Cơ giới Ninh Bình xét duyệt Để phù hợp với nội dung kiến thức khung chương trình đào tạo mới, chúng tơi biên soạn giáo trình Nguyên lý thống kê gồm chương: Chương : Ma trận Chương : Định thức Chương : Ma trận nghịch đảo Chương : Hệ phương trình tuyến tính Mặc dù tập thể nhóm biên soạn có nhiều cố gắng q trình biên soạn, song khơng thể tránh khỏi khiếm khuyết Nhóm biên soạn mong nhận đóng góp ý kiến đóng góp chân thành bạn đọc Tập thể tác giả Phạm Thị Hồng Đỗ Quang Khải An Thị Hạnh GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Tốn kinh tế Mã số mơn học: MH 16 Thời gian môn học: 45 giờ; (Lý thuyết: 18 giờ; Thực hành, thảo luận, tập: 25 giờ; Kiểm tra: giờ) Vị trí, tính chất mơn học: - Vị trí: Mơn học bố trí giảng dạy sau mơn học chung - Tính chất: Là mơn học giúp người học vận dụng tốt môn học chuyên môn nghề Mục tiêu môn học: - Về kiến thức: + Trình bày kiến thức kinh tế học cơng cụ tốn học để xây dựng mơ hình tốn kinh tế; + Trình bày mối liên hệ định tính, định lượng biến số kinh tế nhiều lĩnh vực sử dụng phương pháp như: Phân tích cân bằng, phân tích tối ưu, quy hoạch tuyến tính, thống kê tốn - Về kỹ năng: + Xây dựng mơ hình tốn kinh tế phân tích mơ hình; + Giải tốn quy hoạch tuyến tính, xác suất thống kê toán; + Kiểm định giả thuyết thống kê toán - Về lực tự chủ trách nhiệm: Có phẩm chất đạo đức, kỷ luật tốt, có ý thức tự rèn luyện để nâng cao trình độ Nội dung mơn học: CHƯƠNG 1: MA TRẬN Mã chương: TKT01 Giới thiệu: Trang bị cho người học kiến thức chung ma trận, dạng ma trận, phép tốn tuyến tính ma trận, phép cộng, trừ nhân ma trận Mục tiêu: - Trình bày khái niệm ma trận; - Trình bày dạng ma trận; - Trình bày phép tốn tuyến tính ma trận; - Tính phép cộng, phép trừ phép nhân ma trận; - Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận, xác Nội dung chính: Các khái niệm ma trận 1.1 Khái niệm ma trận Khái niệm: Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Một ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp m x n Khi cho ma trận ta viết bảng số bên dấu ngoặc trịn dấu ngoặc vng Ma trận cấp m x n có dạng tổng quát sau: [ a 11 a 21 … a m1 a12 a22 … a m2 … … … … ] ( a1n a 11 a2n a 21 … … a mn a m1 a 12 a 22 … a m2 … … … … a 1n a 2n … a mn ) Ta dùng chữ in hoa: A, B, C, … để đặt tên ma trận Để gán tên cho ma trận A ta viết: [ a 11 a A = …21 a m1 a12 a22 … a m2 … … … … a1n a2n … a mn ] (1.1) Các số ma trận gọi phần tử Ở dạng tổng quát (1.1), phần tử nằm dòng i cột j ký hiệu aij Ta dùng ký hiệu A = [ a ij ] (1.2) để nói A ma trận cấp m x n mà phần tử nằm dòng i cột j ký hiệu aij Cách viết (1.2) tương đương với cách viết (1.1) dùng nói đến ma trận tổng quát Khi cấp ma trận phần tử xác định số ta thường sử dụng cách viết dạng (1.1) Ví dụ: [4 -5 -1 A=0 ] Là ma trận cấp x Đối chiếu với ký hiệu tổng quát phần tử A a11 = 4, a12 = -5, a13 = 3, a21 = 0, a22 = 2, a23 = -1 1.2 Ma trận Khái niệm: Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi Để nói hai ma trận A B ta viết A = B 1.3 Ma trận không ma trận đối Ma trận khơng ma trận có tất phần tử Ma trận đối ma trận A ma trận cấp mà phần tử số đối phần tử tương ứng ma trận A Ma trận đối ma trận A ký hiệu –A Ví dụ: Ma trận đối ma trận [4 -5 -1 A=0 ma trận: [- -A= -3 -2 ] ] Các dạng ma trận 2.1 Ma trận vuông Ma trận vuông ma trận có số dịng số cột Một ma trận vng có số dịng số cột n gọi ma trận vuông cấp n Ma trận vng cấp n có dạng tổng qt sau: [ a 11 a A = …21 a n1 a 12 a 22 … a n2 … … … … a 1n a 2n … a nn ] Trong ma trận vng A đường chéo thứ nối góc bên trái với góc bên phải gọi đường chéo chính, đường chéo thứ hai gọi đường chéo phụ Vị trí phần tử aij so với đường chéo xác định theo số i, j sau: aij thuộc đường chéo i = j aij nằm phía đường chéo i < j aij nằm phía đường chéo i > j 2.2 Ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận vuông có phần tử nằm phía đường chéo Có loại ma trận tam giác : [ [ a 11 … a 12 a 22 … … … … … a 1n a 2n … a nn a 11 a 21 … a n1 a 22 … a n2 … … … … 0 … a nn ] ] 2.3 Ma trận đường chéo, ma trận vô hướng ma trận đơn vị Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo Ma trận đường chéo cấp n có dạng : [ a 11 … 0 a 22 … … … … … 0 … a nn ] Trường hợp đặc biệt, a 11 = a22 = … = ann ma trận đường chéo gọi ma trận vô hướng Ma trận đường chéo có tất phần tử thuộc đường chéo gọi ma trận đơn vị Mỗi cấp ma trận vng có ma trận đơn vị ký hiệu chữ E : [ E= … 0 … … … … … 0 … ] 2.4 Ma trận dịng ma trận cột Ma trận có dòng (ma trận cấp x n) gọi ma trận dòng Tương tự, ma trận có cột (ma trận cấp m x 1) gọi ma trận cột Các phép tốn tuyến tính ma trận 3.1 Phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số Cho ma trận cấp m x n : A = [ a ij ] m x n , B = [ b ij ] m x n Khái niệm: Tổng hai ma trận A B ma trận cấp m x n, ký hiệu A + B xác định sau: A + B = [ a ij +b ij ] m x n Tích hai ma trận A với số α ma trận cấp m x n, ký hiệu αA xác định sau: αA = [ αa ij ] m x n Chú ý phép cộng ma trận áp dụng cho ma trận cấp (có số dịng số cột nhau) Nói cách khác thì: Cộng hai ma trận cấp có nghĩa cộng phần tử vị trí tương ứng với Nhân ma trận với số α có nghĩa nhân phần tử ma trận với α Ví dụ: Cho [4 -5 -1 A=0 Ta có: [5 -3 -4 A+B= 5 ] ] ; [ 12 3A = 3.2 Phép trừ ma trận [1 -2 B = -3 -15 -3 ] ] Hiệu ma trận A ma trận B xác định thông qua phép cộng sau : A – B = A + (-B) Ví dụ : Cho [4 -5 -1 A=0 Ta có: [3 -7 A - B = A + (-B) = - -1 ] [1 ; -2 B = -3 ] ] 3.3 Phép nhân ma trận với ma trận Xét hai ma trận : A = [ a ij ] m x p , B = [ b ij ] p x n Trong số cột ma trận A số hàng ma trận B Người ta gọi tích AB ma trận C = [ c ij ] m x n với cij hàng i A nhân với cột j B Ví dụ 1: ] [ 4.2+(-5).3+3.0 -24 -7 = ] [ 0.2+2.3+(-1).0 11 ] [ -5 -1 A=0 [ 4.1+(-5).5+3.(-1) AB = 0.1+2.5+(-1).(-1) Ví dụ 2: Cho ma trận: [ -2 A=2 -1 -3 ] ; Ma trận AB ma trận cấp x 4: [ c11 c 12 c13 a 14 AB = c21 c 22 c23 c 24 c31 c 32 c33 c 34 ] ; -1 B=5 [ ] -5 B = -1 -5 -1 ] Để tính phần tử thuộc hàng thứ AB ta lấy hàng thứ A nhân với cột B: c11 = 3.0 + 1.1 +(-2).(-5) = 11 c12 = 3.2 + 1.3 +(-2).(-1) = 11 Các phương pháp tính định thức 4.1 Phương pháp khai triển 4.1.1 Khái niệm phần bù đại số Cho định thức cấp n : | a 11 … a1j … … … d = a i1 … a ij … … … a n1 … a nj … … … … … | a 1n … a in … a nn Xóa dịng thứ i cột thứ j (dịng cột chứa phần tử a ij) định thức d ta định thức cấp n -1, ký hiệu Mij Khái niệm : Định thức Mij gọi phần bù Aij = (-1)i+j Mij gọi phần bù đại số phần tử aij định thức d Chú ý phần bù đại số phần tử a ij phần bù Mij gán dấu (+) (i+j) số chẵn gán dấu (-) (i+j) số lẻ Ví dụ : Cho định thức : | | -2 -1 d= Phần bù đại số phần tử thuộc dòng thứ định thức cho là: |4 2| = - |3 2| = 4 = + |3 -1| = -13 A11 = (-1)1+1 M11 = + -1 = 10 A12 = (-1)1+2 M12 A13 = (-1)1+3 M13 4.1.2 Quy tắc khai triển định thức Định thức cấp n tổng tích số phần tử dòng (hoặc cột) với phần bù đại số phần tử Ví dụ 1 : Tính định thức : | -3 d1 = -2 13 1 -1 | -1 Khai triển định thức d1 theo dòng thứ ba ta được : d1 = (-2)A31 + 5A32 + 0A33 + 0A34 = (-2)M31 + 5(-M32) | | | | 2 2 - -3 -1 -1 -1 = (-2) = (-2).8 – 5.(-48) = 224 Nhận xét: Trên ta chọn hàng thứ ba để khai triển định thức d có mặt phần tử hàng làm giảm hẳn khối lượng tính tốn Để tính định thức cấp n, nói chung ta phải tính n định thức cấp n – Để việc tính tốn khỏi cồng kềnh, ta nên biến đổi cho hàng (hoặc cột) cịn lại phần tử khác 0, sau khai triển theo hàng (hoặc cột) Bằng cách ta tính định thức cấp n thông qua định thức cấp n – Ví dụ 2: Tính định thức | -2 d2 = -1 -3 -4 -1 -1 | -2 -5 Trước hết ta biến đổi cho cột thứ ba lại phần tử khác a53 = - Để thực điều ta cộng vào hàng thứ hai hàng thứ tư tích hàng thứ năm, theo thứ tự, với (-4) Theo tính chất định thức, định thức khơng thay đổi qua hai phép biến đổi đó, đó: | -2 d2 = -9 -1 18 -3 0 0 -1 -1 13 -7 | -5 -10 Khai triển định thức theo cột thứ ba ta được: | -2 d2 = (-1)A53 = - 14 -9 -1 18 -1 13 -7 | -5 -10 Tiếp theo ta lại biến đổi định thức cấp cho cột thứ lại phần tử khác a21 = Cộng vào hàng thứ nhất, hàng thứ ba, hàng thứ tư tích hàng thứ hai, theo thứ tự, với 2, với (-3), với (-2), ta được: | d2 = - 0 -13 -9 26 36 25 13 -34 -33 | 17 -26 -24 Khai triển định thức theo cột thứ ta được: | | -13 25 17 d2 = - A21 = 26 -34 -26 36 -33 -24 Đến đây, ta tính định thức cấp để kết Tuy nhiên, ngại tính số lớn, ta biến đổi tiếp tục Lấy cột thứ ba cộng vào cột thứ nhất, sau cộng vào dịng thứ ba tích dịng thứ với (-3), ta được: | | | | 25 17 25 17 -34 -26 -34 -26 d2 = = 12 -33 -24 -108 -75 Khai triển định thức cuối theo cột thứ ta được: |-34 | -26 d2 = -108 -75 = (2550 – 2808) = - 1032 4.2 Phương pháp biến đổi dạng tam giác Định thức dạng tam giác tích phần tử thuộc đường chéo Ví dụ: Tính định thức | d= -2 2 -1 | -5 3 -3 Để biến đổi dạng tam giác, trước hết ta cộng vào hàng thứ hai, hàng thứ ba, hàng thứ tư hàng thứ năm tích hàng thứ nhất, theo thứ tự, với (-2), (-1), (-3) (-1) Sau phép biến đổi ta được: | d= 0 -2 11 15 -4 -1 -7 -5 -2 -3 -2 | -5 13 18 Tiếp theo, để tránh phải tính phân số ta cộng vào hàng thứ hai, hàng thứ tư hàng thứ năm, theo thứ tự, tích hàng thứ ba với (-1), (-2) (-1) Kết là: | d= 0 -2 -1 -1 -3 -1 -5 -3 -2 | -5 6 -4 Bây cộng vào hàng thứ ba hàng thứ tư, theo thứ tự, tích hàng thứ hai với (-1), ta được: | d= 0 -2 -1 0 -3 -19 -2 -3 -20 | -5 48 -1 -4 Tiếp theo, cộng vào hàng thứ ba hàng thứ tư tích hàng thứ năm, theo thứ tự, với 19 2, sau đổi chỗ hàng thứ ba hàng thứ năm, ta được: | -2 -1 0 | -2 -1 0 d=- 0 -3 0 -3 -20 | -5 -4 -9 -28 Cuối cùng, cộng vào hàng thứ năm tích hàng thứ tư với 5, ta định thức tam giác: d=- 0 -3 0 -3 | -5 -4 -9 -73 Theo quy tắc tính định thức dạng tam giác ta được: d = - 1.(-1).1.4.(-73) = -292 16 BÀI TẬP CHƯƠNG Tính định thức sau: |13547 | | | | | 13647 28423 28523 | | | | 1 1 10 10 20 1 1 27 16 64 17 1 1 1 1 1 4 4 ... tính 26 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Tốn kinh tế biên soạn sở tiếp thu nội dung kinh nghiệm giảng dạy mơn Tốn kinh tế nhiều năm qua yêu cầu ứng dụng quản lý kinh tế theo xu hướng hội nhập Giáo trình... Về kiến thức: + Trình bày kiến thức kinh tế học cơng cụ tốn học để xây dựng mơ hình tốn kinh tế; + Trình bày mối liên hệ định tính, định lượng biến số kinh tế nhiều lĩnh vực sử dụng phương pháp... - Về kỹ năng: + Xây dựng mơ hình tốn kinh tế phân tích mơ hình; + Giải tốn quy hoạch tuyến tính, xác suất thống kê toán; + Kiểm định giả thuyết thống kê toán - Về lực tự chủ trách nhiệm: Có phẩm