Khoa khoa học - Giáo trình Tốn kinh t Lời nói đầu Toán kinh tế môn học khó mà sinh viên trờng cao đẳng, đại học kinh tế phải học bao gồm vấn đề đại số tuyến tính, xác suất thống kê, quy hoạch tuyến tính, đóng vai trò then chốt viƯc rÌn lun t khoa häc, cung cÊp công cụ toán học để sinh viên học môn học khác bậc cao đẳng, đại học xây dựng tiềm lực để tiếp tục học sau Trong trình biên soạn giáo trình ý đến mối quan hệ lý thuyết tập Đối với ngời học toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải sử dụng đợc thành thạo phơng pháp bản, kết lý thuyết giải toán, làm tập trình làm tập hiểu sâu sắc lý thuyết Các khái niệm đại số tuyến tính, xác suất thống kê, quy hoạch tuyến tính đợc trình bày cách xác với nhiều ví dụ minh hoạ Phần lớn định lý đợc chứng minh đầy đủ, ngắn gọn lo gích kiến thức chơng với chơng khác giúp sinh viên tổng hợp kiến thức phục vụ cho việc ôn luyện đợc tốt Giáo trình đợc biên soạn thành chơng - Chơng I : Đại số tuyến tính Toán xác suất - Chơng II: Giới thiệu mô hình toán kinh tế - Chơng III: Phơng pháp đơn hình toán đối ngẫu - Chơng IV: Bài toán vận tải Khi biên soạn giáo trình này, ®· tham kh¶o kinh nghiƯm cđa nhiỊu ®ång nghiƯp ®· giảng dạy môn toán kinh tế Trng Cao ng ngh cơng nghiệp Thanh hố Khoa - Khoa học bn - Giỏo trỡnh Toỏn kinh t nhiều năm trờng cao đẳng, đại học kinh tế Chúng xin chân thành cảm ơn nhà giáo, nhà khoa học đà đọc thảo đóng góp nhiều ý kiến xác đáng Chúng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trờng Cao Đẳng Nghề Công Nghiệp Thanh Hoá, thầy cô giáo Khoa Khoa học đà tạo điều kiện để giáo trình đợc hoàn thành cách khẩn trơng Mặc dù tác giả đà có nhiều cố gắng, song khó tránh khỏi khiếm khuyết Chúng mong nhận đợc ý kiến đóng góp để sách ngày hoàn thin Tháng 10 năm 2010 Tác giả Trng Cao ng ngh cơng nghiệp Thanh hố Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế CHƯƠNG I : ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ XÁC SUẤT A ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH § 1- VÉC TƠ n CHIỀU VÀ CÁC PHÉP TÍNH I Định nghĩa: Cho R trường số thực Ký hiệu R n tích Descartes n R R n = {(a1 , a2 , , an ) | R, i = 1,2,3,…., n} Vectơ với R gọi véc tơ Rn II.Các phép toán véctơ Cho V tập hợp mà phần tử ký hiệu là: a, b, c , K trường mà phần tử ký hiệu k, x, y, z Trên V ta có hai phép tốn • Phép cộng hai phần tử V : +:V ×V V (a, b) a+b Trường Cao đẳng nghề cơng nghiệp Thanh hố Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế • Phép nhân phần tử V với phần tử K : : K V → V (k, a) k.a Với a = (a1 , a2 , , an ), b = (b1 , b2 , , bn ) hai phần tử tùy ý thuộc Rn k phần tử tùy ý thuộc R , ta định nghĩa: • a + b = (a1 , a2 , , an ) + (b1 , b2 , ,bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ), • ka = k(a1 , a2 , , an ) = (ka1 , ka2 , , kan ) Giả sử a, b, c ∈ V , x, y ∈ K điều kiện sau thỏa mãn : (a + b) + c = a + (b + c ) Tồn vectơ θ cho θ + a = a + θ = a ′ ′ ′ Với a có phần tử a cho a + a = a + a = θ a + b = b + a x.(a + b) = x.a + x.b (x + y).a = x.a + y.a (xy).a = x.(y.a) 1.a = a, phần tử đơn vị trường K Khi ta nói V không gian vectơ trường K (hoặc V Kkhơng gian vectơ).Ta nói V khơng gian tuyến tính trường K Chú ý: • Các phần tử V gọi vectơ Phần tử θ gọi ′ vectơ không, a gọi phần tử đối a ký hiệu (−a) Ta viết a + (−β) a − β gọi hiệu hai vectơ a, β Trường Cao đẳng nghề công nghiệp Thanh hoá Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế • Khi K = R (tương ứng K = C ) ta nói V khơng gian vectơ thực (tương ứng khơng gian vectơ phức) • Khi ta nói V khơng gian vectơ, ta ngầm hiểu ta nói đến V với hai phép toán phép cộng hai phần tử V phép nhân phần tử V với phần tử K • Để đơn giản cách viết, từ trở ta ký hiệu phép nhân phần tử x thuộc trường K với vectơ a thuộc V xa thay viết x a III Ví dụ khơng gian vectơ Trong không gian cho trước điểm O cố định Tập tất vectơ hình học khơng gian, có gốc O với phép cộng vectơ phép nhân số thực với vectơ không gian vectơ thực Không gian vectơ gọi khơng gian vectơ hình học ký hiệu E3 Xét trường số thực R trường số hữu tỷ Q Đối với R , tổng hai số thực số thực x ∈ Q , a ∈ R xa ∈ R xa∈ R Tám điều kiện định nghĩa không gian vectơ tính chất quen thuộc số thực Vì R khơng gian vectơ Q Tuy nhiên Q không không gian IV Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cho a1, a2,…………….,an x= a1 + V Một tổ hợp tuyến tính V có dạng: a2+ …………….+ an V Với ,……………., x gọi biểu diễn tuyến tính qua véc tơ a1, a2,…………….,an *) Hệ { a1, a2,…………….,an} gọi phụ thuộc tuyến tính khơng đồng thời cho a1 + a2+ …………….+ an = θ *) Hệ { a1, a2,…………….,an} gọi độc lập tuyến tính a1 + a2+ …………….+ an = θ Trường Cao đẳng nghề công nghiệp Thanh hoá Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế Suy hệ { a1, a2,…………….,an} phụ thuộc tuyến tính có véc tơ tổ hợp tuyến tính véc tơ cịn lại Giả sử tồn Ví dụ: Trong khơng gian R3 xét ba véc tơ ; ; Hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tinh Tuy nhiên hệ {a1; a2} độc lập tuyến tính θ( ; ; 0) § 2- MA TRẬN I.Các khái nim c 1).Định nghĩa1 : Khi ta có m n số ta xếp thành bảng chữ nhật chứa m hàng n cột bảng nh thÕ gäi lµ mét ma trËn cì m n Ký hiƯu : Ma trËn A cì m n lµ A = phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng i cột j Để ký hiệu ma trận ngời ta dùng hai dấu ngoặc vuông nh hay hai dấu ngoặc tròn Để nói A ma trận cỡ m n có phần tử n»m ë hµng i cét j lµ ta viÕt Trường Cao đẳng nghề cơng nghiệp Thanh hố Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế A= Khi m = n , b¶ng sè vuông ta có ma trận vuông với m hàng n cét , ta gäi nã lµ ma trËn cÊp n: A = Các phần tử , , , gọi phần tử chéo Đờng thẳng xuyên qua phần tử chéo đợc gọi đờng chéo Ma trận cấp n viết Trong = i > j đợc gọi ma trận tam giác Ma trận cấp n viết Trong = i < j đợc gọi ma trận tam giác dới Ma trận cấp n viết Trong = i j đợc gọi ma trận chéo Trng Cao đẳng nghề cơng nghiệp Thanh hố Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế VÝ dụ: Bảng số A= Là ma trận cỡ với phần tử =1, =4 , Ví dụ: =2 , =3 =5, =6 Bảng số Là ma trận cỡ với phần tử =5, =7 , =9 Ví dụ: Bảng số Là ma trận cỡ với phần tử =2, =8 , =6 2) Định nghĩa : Ma trận không ma trận mà tất phần tử không Ma trận không ký hiệu Ví dụ: Bảng số A= Là ma trận không cỡ 3) Định nghĩa Hai ma trận A B đợc gäi lµ b»ng nÕu chóng cã cïng cì vµ phần tử vị trí , tøc lµ (a) A = (b) = , B= (cùng cỡ) với i j (các phần tử vị trí nhau) Trng Cao đẳng nghề cơng nghiệp Thanh hố Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế Chó ý tư Ta chØ xÐt c¸c ma trËn thùc , tức phần R II.Cỏc phộp tớnh ma trn Céng hai ma trËn Cho hai ma trËn cïng cì m n A = , B= Tỉng A + B ma trận cỡ m n xác định bëi : A+B= Nh vËy : +) Muèn céng hai ma trân cỡ ta cộng phần tử vÞ trÝ +) A+B=B+A +) A+0= 0+A=A + ) -A = + ) A + (-A) = (-A) + A = + ) A + (B + C = (A + B) + C VÝ dô: + = = Nhân ma trận vơí số Cho ma trËn A = vµ mét sè thùc k ( k R) tích k.A ma trận cỡ m n Xác định kA = Nh : +) Mn nh©n ma tr©n víi mét sè ta nhân tất phần tử ma trận với sè ®ã +) k(A + B) = kA + kB Trường Cao đẳng nghề cơng nghiệp Thanh hố Khoa - Khoa học - Giáo trình Tốn kinh tế +) (k + h) A = kA + hA +) A = A +) A = VÝ dơ: = = Nh©n ma trËn với ma trận Xét hai ma trân có cỡ : A = ,B= Trong ®ã sè cét cđa ma trận A số hàng coả ma trận B tích ma trận A.B ma trận C = có m hàng n cột phần tử đợc tính công thức = ( + + + = tổng tích phần tử hàng i ma trận A với phần tư cét j cđa ma trËn B) VÝ dơ : TÝnh tÝch cña hai na trËn sau +) +) = = = Chó ý : Mn nh©n AB(A bên trái B bên phải ) phải có điều kiện số cột A phải số hàng B Muốn nhân BA(B bên trái A bên phải ) phải có điều kiện số cột B phải số hàng A Do nhân AB đợc Trường Cao đẳng nghề cơng nghiệp Thanh hố 10