Giáo trình toán kinh tế phần 2 (dành cho hệ cao đẳng chuyên ngành kế toán)

Chương ỨNG DỤNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH Dựa kết nghiên cứu lý thuyết tối ưu tuyến tính, phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu ứng dụng nhiều thực tế sống Trong chương này, nghiên cứu số toán kinh điển mà đến ứng dụng rộng rãi 3.1 Bài toán vận tải Ở chương 2, phần 2.1.3, ta biết tốn vận tải mơ hình tối ưu tuyến tính, dùng phương pháp đơn hình để giải Ngồi việc giải vấn đề vận chuyển hàng hóa, tốn áp dụng tình khác truyền tải thơng tin, phân phối nguồn lực lao động, Có thể nói tốn vận tải dạng QHTT đặc biệt có nhiều ứng dụng thực tế 3.1.1 Khái niệm tính chất tốn vận tải Bài tốn uận tdi: Tim x = (z¡;) để fla) = » i=1 » j=l Cj#j —> mắn (3.1) ÚNG DỤNG BÀI TOÁN QHTT 143 với điều kiện: » ty 20, nụ = 8, t= im (3.2) =Ùj, Jj =1,7" (3.3) = |, mg j = l¡Đ (3.4) đó, e c,; > la chi phí vận chuyển thứ ¿ (P;) đến điểm thu thứ (7) đơn vị hàng hóa từ điểm phát e 2; lượng hàng vận chuyển từ điểm phát thứ ¿ đến điểm thu thứ nm e 5` Z¿; = a¡ > lượng hàng hóa mà điểm phát P; sẵn sàng cung j=l cấp e ` z¿; —= b¡ > lượng hàng hóa mà điểm thu T; có nhu cầu tiêu ¿=1 thụ Ta ln giả định: ¡) Việc vận chuyển hàng hóa từ điểm phát đến điểm thu không qua điểm trung gian không kết hợp vận chuyển ii) Mơ hình vận tải thỏa mãn điều kiện cân bang thu phat, tic là, lượng hàng phát lượng hàng cần điểm thu: a = > b; Chú (3.5) ý 3.1 Trong trường hợp toán chưa cân thu phát ta làm sau: 144 3.1 Bài toán Uuận tải 7m - Nếu > a; > y b; (phát lớn thu) ta lập điểm thu giả (tồn kho) thứ n+ 1, với lượng thu vào bay = S a; — b; va cước phí đ;„+¡ = 0, V = 1,1m j=l - Néu > a, < > b; (phát nhỏ thu) ta lập điểm phát giả (ghi ng) thứ m + 1, với lượng phát by => Qn-L1 j= ¬› i=1 a; cước = 0, VJj =1,n phi p41; Như ta luôn tạo điều kiện cân thu phát cho toán vận tải Bài toán van tdi cé tinh chất sau day: Dinh ly 3.1 (Sự tồn phương án tối uu) Bai toán uận tải thỏa mãn điều kiện cân thu phát ln có phương án tối tru CHỨNG MINH 7n, a; bat $= Š "ai = bị > Ta thấy z¿; = b; Khi đó, J=1 %¡j +3 » i — = j=1 : (s, > i=1 J = = (a3 it » i= b;, s2 = n) 4=a; = t= 1,? 1,m Như tốn ln có phương ấn Hơn nữa, từ (3.2), (3.3), a¿, b; hữu hạn không âm nên < z;; < mãn{a;, b;}, miền ràng buộc (tập phương án) bị chặn Vậy tốn vận tải ln có phương án tối ưu O Dinh ly 3.2 Ma tran A = (a;;) cé hang bing m+n-—1 CHỨNG sau: MINH Hệ điều kiện (3.2), (3.3) viết tường minh UNG DUNG BAI TOAN QHTT Lip beet Lin | | 145 | | | \ I \ \ | | | i I | \ | l a 2n, I T11 + | Loy 112 Lin \ Am | \ Lon! os | +22 + =Ẹ 8# # SE =a, |1 = a ` I m1 poets 1+ I | | | Tư Ban | | | am | '= ! | | Ị \ 2m2 | | l Imn! = bạ = bn Ma trận A = (Aj;) = (aij) c6 cap (m+n) x (m.n), cột A¡; (ứng với biến z¡;) có hai số hang thứ ¡ hàng thứ zn + 7, cồn lại số A¿ = (0 hang tha 10 t 1h 07 m+] Giả sử cộng n phương trình cuối trừ tổng phương trình thứ đến thứ m ta phương trình thứ Một cách tổng quát, ta có vectơ dịng ma trận tổ hợp tuyến tính vectd đồng cịn lại Do có tối đa ?m -+ z — vectơ dòng ma trận độc lập tuyến tinh Vay hang(A) = m+n-—1 O Ta có hệ quan trọng sau: Hệ m+n—1 3.1 Mỗi phương ún cục biên tốn uận tải có khơng q toa độ đương Ta giả sử tốn vận tải khơng suy biến, tức phương án cực biên có đủ m + m= — tọa độ dương Để thuận lợi thực hành, ta biểu diễn toán dạng bảng, goi lA bang phân phối uận tải (hay bảng van tdi), xem bang 3.1 Ô giao hang i cột 7, kí hiệu (2, 7), biểu thị tuyến đường vận chuyển từ điểm phát P; đến điểm thu 7; Mỗi hàng tương ứng với điểm phát, cột tương ứng với điểm thu Các a¿ lượng cung điểm phát thứ ¿, ¿ = 1, ,rm; b; lượng cầu điểm thu thứ j, = 1, ,n Luong hang van chuyển #;; ghi góc bên trái (7, 7), cịn cước phí vận chuyển œ¿; ghi góc bên phải (, ) Quy ước: é¡ = co vận chuyển hàng từ P; đến 146 3.1 Bài toán uận tải Bảng 3.1: Bảng phân phối vận tải Thu „ bị Phat by, +11 a4 T17 C11 C17 Z1 ay Lin Cin Lij Ci Lin Cig Zm1 Cin Limi Zmn am Cm1 Cmj Cmn Đối với bảng vận tải, ta có tương ứng - 1: ứng với ô (¿, 7) œ¿;, z;; Mỗi phương án z = (+¿;) toán tương ứng tập hợp ô (chứa z;;) bảng Định nghĩa 3.1 a) O (i, 7) c6 23 > gợi ô chọn Các ô không chọn gọi ô loại Goi G tập ô chọn: G={(,7)|z„ >0}, |G[ (4s) Js41) (3.6) (ii, 71), (2,71), (2a, 72), (63,73), - (6s, 7s)› (2+1, 2a) (3.7) hodc ỨNG DỤNG BÀI TOÁN QHTT 147 Một dâu chuyền T` gọi khép kín j;¡\ = js i¿‡\ = 12 Khi T' go? Nếu chọn chọn để lập mữa, K thành chu trình một tập chu trành thực ta nói lÍ có lập thành chu trình, ta nói tập K tập chúa hợp chu K trình Hơn có chúa chu trành Ví dụ 3.1 Hình a), b) dây chuyền, hình e), d), e) chu trình a) b) Hình 3.1: Nhận 6) 4) e) Minh họa dây chuyền chu trình tốn vận tai xét 3.1 Từ định nghĩa ta thấy hàng cột mà chu trình qua có hai Do số chu trình ln số chin khơng nhỏ Định lý 3.3 Hệ 0ectơ {Aj} va chi céc tuong toán uận tải độc lập tuyến tính ứng i 0ectd nàu khơng tạo thành chu trình Hé qua 3.2 khả tập hợp Œ Định lý 3.4 Vecto x la phương an cực biên tốn khả chọn Cho tương phương án ứng không cực lập thành chu trình biên + với tập Œ gồm m + n — ] chọn khơng lập thành chu trình Kh¿ú đó, uới (p, q) ¢ G, tap hop G' = GU {(p, q)} chita mét chu trờnh T` Dồng thời (r, s) €7 thiG” =G' \ {(r, s)} gồm đứng m.+ n — khơng tạo thành chu trinh Chu trình 7' nói định lí 3.4 tìm cách chọn tap chon tập hợp G’ Chang hạn, hình 3.1, b) gồm mm + = — = 148 3.1 Bài tốn uận tải khơng tạo thành chu trình Bổ sung vao G chon (3, 1) ý GŒ ta Œ!'=GU{(, 1)} Khi đó, Œ' chứa chu trình gồm T = {(5,1), (5,2), (1,2), (1,4), (3,4), (3, i)} 3.1.2 Tìm phương án cực biên xuất phát toán vận tải Cho toán vận tải (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) thỏa mãn điều kiện cân thu phát Việc để giải tốn, cần tìm phương án cực biên xuất phát sau hai phương pháp hiệu Phương pháp cước phí nhỏ nhât Trong bảng phân phối vận tải 3.1 điền cước phí œ¿; ta gọi bảng cước phí, ta tìm chọn phương án cực biên ban đầu sau: Bước Chọn (ø, g) cho c„¿ = mớn{«; : V(¿,7)} Nếu cực tiểu đạt nhiều ta chọn bat ki số ô Sau phân phối lượng hàng lớn từ P; dén 7;, tức x ‘pq Min{ ap, bạ} e Nếu Z„„ = Gy thi dat bà = bạ — Tpạ ⁄ _ ` 4e Po _ e Nêu ø„„ = b„ dat a, = ay — Lyq Ghi aj, bf, tudng ting vao canh ap, bg, chting sé dudc st dung thay cho a„, b„ việc phân phối hàng lần sau Bước Xóa hàng, cột hết khả phân phối Tiếp tục trổ lại bước 1, với chưa bị "xóa" Bằng cách thực bước lúc "xóa!" hết ô Sau số hữu hạn lần thực việc "chọn" "xóa" ta phương án cực biên #° = (#¡7)„xø- Ví dụ 3.2 Tìm phương án cực biên toán vận tải cho bảng 3.2 Giải: Trong bảng 3.2, ta thấy cước phí nhổ e3 = ca = Chon (1, 3), phân phối lugng hang 213 = min{ay, b3} = b3 = 55, dat ỨNG DỤNG BÀI TOÁN QHTT 149 Bảng 3.2: Bảng cước phí vận tải Thu | Phát 70 45 35 60 Bảng 3.3: Tìm phương 99 40 55 60 35 7 1 4 Ạ án cực biên ban đầu toán vận tải phương pháp cước phí nhỏ tị MS bj ¬ 20 _ 15 ) dỗ 35 20 60 a we AD) ae ĐỒ 1> 60 ~ qr oo 3 | ỉ 35 ) a’, = Q, — 213 = 15 (ghi bên cạnh ô ai) Ở cột 3, cịn lại hết khả phân phối nên bị xóa (6 bi tơ màu cột 3) (bằng 3.3) Tiếp tục xét (chưa bị xóa) có cước phí nhỏ bang, ta chọn œ¿ = Phân phối lượng hàng Z4; = mmzn{ax, bạ} = bạ = 40, đặt al, = a4 — 42 = 20 (ghi bên cạnh øx) Xóa khơng cịn khả phân phối cột (các bị tơ màu cột 2) Trong có cước phí nhỏ có Cog = Phan phối lugng hang 24 bảng cịn lại, chọn (2, 4) = min{ay, b4} = ag = 45, đặt 150 3.1 Bài toán uận tải bụ = bạ — 324 —= 15 (ghi bạ) Xóa 6ư khơng cịn khả phan phối hàng (các bị tô mầu hàng 2) Trong ô chưa bị xóa cịn lại, chọn (3, 5) có c35 = Phan phối luong hang 135 = min{a3, bs} = 35, cịn lại hàng cột hết khả phân phối nên bị xóa Tiếp tục chon (1, 4) có ey4 = Phan phéi lugng hang 214 = min{a}, Ù¿} = 15, xóa cịn lại hàng cột Bảng cịn lại (4, 1) chưa bị xóa, ta phân phối lượng hang x4, = a, = b; = 20 Kết ô chọn phương án cực biên ban đầu bảng 3.3 Vậy tốn có phương án cực biên ban đầu: 0 55 15 0 0 0 0 55 20 40 0 Giá trị hàm mục tiêu ƒ(z°) = 455 Phương pháp Vogel Phương pháp Vogel khác phương pháp cước phí nhỏ cách chọn để phân phối hàng Cu thé: Bước Dối với hàng cột bảng cước phí, ta tính chênh lẹch giá trị cước phí nhỏ với giá trị cước phí nhỏ nhì hàng cột Chọn hàng hay cột có chênh lệch lớn Nếu có nhiều hàng (hay nhiều cột) chọn hàng (một cột) tùy ý số Phân phối lượng hàng lớn vào có cước phí nhỏ hàng (cột) chọn Giả sử ô chọn (p, g), #„„ = min{à, Ùạ} Bước "Xóa" hàng p, hoặc/và cột g hết khả phân phối Tiếp tục trổ lại bước 1, với ô chưa bị "xóa" Bằng cách thực bước lúc "xóa!" hết ơ, cịn lại ö chọn sở phương án cực biên ban đầu ỨNG DỤNG BÀI TOÁN QHTT 151 Ví dụ 3.3 Tìm phương án cực biên ban đầu tốn vận tải ví dụ 3.2 Giải Bằng phương pháp Vogel, ta tìm phương án cực biên ban đầu bảng 3.4 Bảng 3.4: Tìm phương án cực biên ban đầu toán vận tải phương phap Vogel b; 20 aj 70 15 As 40 55 55 60 40 35 9} 333115 7| 111224 35 35 60 40 £ 111111 Theo đó, ta có #° f(x?) = 420 25x = 20 2|11x 513303x |222x|22222x 15 55 0 0 40 0 0 55 40 20 äx : Giá trị hàm mục tiêu Chú ý 3.2 a) Trường hợp phương án cực biên suy biến, tức z° khơng có đủ m-+ø— tọa độ dương (tương ứng khơng đủ mm +-?T— chọn), ta bổ sung thêm số ô chọn vào tập chọn cho tập chọn bổ sung khơng chứa chu trình Dé phân biệt với chon ô loại, ta gọi bổ sung chon 0, giá trị hàng phân phối z;; = b) Trường hợp phương án cực biên suy biến xảy thường có tượng: phân phối lượng hàng lớn vào ô (2, j ) bước HUONG DAN - DÁP SỐ b) -1 |2 211 -1 0|— |2 I 3.2 có hạng Từ ma trận rút gọn, ta suy hệ vecto co sd 1a {(1, 2,3), (—1,1,2)}; dimW = c) -2 1 -2 |}-2 3|— |0 -—4 5| =4 0 có hạng Từ ma trận rút gọn, ta suy hệ vectơ sở {#2 — 2z + 1,—4z +5}; đưn,E = đ) = —i (11,2, — #2,#a = —# 3, %4) +#a Do = H,2;#1 = #ạy —#i + 2) = #1,0;—1;>1J “ za(0,1,—1,1) Rõ ràng hệ {(1,0, —1,—1), (0,1, —1,1)} hệ sinh ¬ — oOo CC — CC F CC CC CC CC CC ;c) B=At= œ C CC O&O OF O&O CO CC FF œ CC 1.17 Đáp số: a) A= CC — CC O&O độc lập tuyến tính, nên sở khơng gian # đứn.Ƒ' = d) (0,3,2, —3) 1.18 Hướng dẫn: a) A số IRạ[z] ma trận A cac vectơ dòng ⁄ » oA As 1 -1l -l A ^ ` có hạng Biên đơi sơ câp ma trận 44 để tìm hạng: -5/7]0 0 -3 0 -l Ta thay hang A bang nén A 1a sinh doc lập tuyến tính, tức sở của, IRa|z] b) Ma trận chuyển từ sở ể sang sở e) Tọa độ f(x) cd sd A: 11 1 —] |2 -1 l1 =5 20 212 Hướng dẫn chương I 1.19 Hướng dẫn: Ta có đ = ổi + 2ð; 353 Vì ƒ ánh xạ tuyến tính nên ƒ(8) = ƒ(ði + 2ã; + 3ð) = ƒ(ð1) + 2ƒ(ða) + 3ƒ (8) = (1,2,0)+2(1,0,—1) +3(0,—2,2) = (3,—4,4) ¬ Tương tự, ƒ(Ø) = (3,8,4), f(F) = (6, -2,—4), f(6) = (21 + a2, 201 — 23, 2a 1.20 — %2) Hướng dẫn: a) gƒ (am, a2, aạ, a4) = g(a + a2, a3, 4) = (a, + a, a3 — a4) b) Imgf = {(a,b)|a,b € R}; Kergf = {(a, —a,b,b)|a,b € R} e) gƒ toàn cấu 1.21 ) ( C1, “eile d 18 —-——e, Trg 20 — —.,——cC Vig) TÚ 20 ) (1,2, Teer 11 (=e, b) 1.1.1 số: Đáp + 31 17 + = ee —,-C ——= 15 —m ig? 28 17 te *) = aP 2o —— T82 — Ta Tg — 1409 — Ta ' 8, 9l xe —a# 1.22 Hướng dẫn: rank(A) = nên muốn hệ có nghiệm rank(B) = 2, tức định thức cấp định thức ma trận bổ sung 2-1 B= 1 -1 -1 —=4 11 —12 phải Xét 1.23 c) 1 a |-1 | =5a— —=4 11 oo Tướng đấm (cx, 7010s 135 =0 Vậy a = 27 cé nghiém —12 a) có 1- 20 —3); 7e1)s b) (Œ, FT d) V6 nghiém 10 19 PMA 59 i HUONG DAN - DAP SO 213 1.24 Đáp số: a) (3e,e,—4e,e); (—3c,e,0,0,0); đ) (3e, —e, e, 2e, 0) 1.25 Hướng b) (—13e, 8e, 11e, 4e); c) : dan: Goi S la không gian nghiệm hệ phương trình a) Hệ nghiệm co ban: (—3,1,—-6,1); dimS = b) Hệ nghiệm ban: (—3,0,—1,2), (2,3,1,0); dims = 1.26 Hướng dẫn: a) Hệ nghiệm bản: (1,—5,0,0,3), (0, 1,0, 1,0); Nghiệm tổng quát: 1 (« + 3737 5a + b+, c¢,b,3a) Cho a = m b =e =0 ta nghiệm riêng: (1,—3,0,0, 2) b) Hệ nghiệm bản: (2,5,0,0,6), (1,—1,0,2,0), (0,1,2,0,0); Nghiệm tổng quát: (5 Cho a = -, 8` b=c=0 Chương 2.1 + 2a + b, § + 5a—b+c,2e, 2b, 6a J ta nghiệm riêng: (1,1,0,0, 1) Hướng dẫn: Gọi z\, z›, zs lượng giấy (tấn) phân xưởng I, I, II] san xuất năm Mơ hình hóa thành tốn QHTT: ƒ() =z¡ +za+ z4 — maz với điều kiện: 1,4; + 1,3; + 1,22 < 1.500.000 0,14, + 0,12%5 + 0,1523 21,22, 23 z < 100.000 2.2 Hướng dẫn: Gọi zị,+›,+a số ghế loại A, B, € sản xuất tháng Mơ hình hóa thành toán QHTTT: f(x) = 1002, + 1302 + 8023 maz 214 Hướng dẫn chương với điều kiện: #+ +1,22a 0, 571 0, 721 0, 723 + +0,7za 0,52 + 0, < + < 600 0,323 < 300 a2 -+ 0,323 < 300 140 11;Z2;23 Z 2.3 Hudng dén: Goi 1,29 An luot 1a sé san phdm A, B san xuat dude Mơ hình hóa thành toán QHTT: f(x) = 6002, + 400022 + maz với điều kiện: 2z¡+0,25za Ax, + 229 371 + %= 21 +429 = 45 = 100 300 = 50 £1,222 2.4 Hướng dẫn: Gọi z\,+a số lít dầu thơ nặng, số lít dầu thơ nhẹ cần mua Mơ hình hóa thành tốn QHTT: f(x) = 3002; + 35022 - với điều kiện: 0,3z¡ +0,32¿ = 45 0,2z¡ +-0,4z¿ = 80 0,3z¡ +0,2z¿ 11;2 2.5 Hướng dẫn: Gọi z4,za,+3 > = 50 số lượng (kg) thức ăn loại T\,T2, 1s cần mua Mơ hình hóa thành tốn QHTT: f(z) = 152, + 12% + 1023 với điều kiện: HUONG DAN - DAP SỐ 215 324 + Ars nh 223 > 160 #¡ + 27a + 323 > 140 1,2, > 0Ö 2.6 Hướng dẫn: Gọi #1, +2, zạ số vốn (nghìn đơ-la) đầu tư vào xí nghiệp A, B, Ta có mơ hình tốn QHTTT sau: f(z) =2,+22+23 với điều kiện: 248,5z + 269, 2za + 238, 423 < 1000 11502; + 114425 + 122473 352, + 4029 + 4323 102%, + 2% +1; 12; 73 < 52000 > 1500 — 1323 > > 2.7 Hướng dẫn: Gọi 11, #2, z3, m4, zs, øs số lần cắt theo mẫu J, II, II, IV, V, VI Ta có tốn QHTT sau: f(t) = T1 + #¿ + - #4 + #g + 21 + #a + a3 > 4000 £5 > 500 #2 + 224 + #4 + 2Zg “+ 326 +11; #2; 3; 4; > —> 3000 V5, Ve > 2.8 Hướng dẫn: Gọi z¡; số hàng hóa cần vận chuyển từ điểm phát i (¢ = 1: Vinh Phic, i = 2: Binh Duong) đến điểm thu (7 = 1: Hà Nội, =2: TP HCM, j = 3: Cần Thơ) Mơ hình hóa thành tốn QHTT: f(z) = 5244 + 7219 + 9243 + 8291 + 72X99 + với điều kiện: 11 -t21a +#s < 100 X91 + #22 + #23 < 140 214, + Xo, > 100 #12 +#›› > 60 #1a -E #as > 80 z >0,¿=1,2, 7= 1,2,3 10293 > 216 Hướng dẫn chương 2.11 Hướng dẫn: Tọa độ phương án cực biên khơng suy biến #° có thành phần dương z;, > 0, thành phần lại 0, ?n, vectơ cột (của ma trận hệ số) tương ứng với z;, > độc lập tuyến tính Để tìm phương án cực biên không suy biến, ta lấy thành phần z; = thay vào hệ ràng buộc (mà #° thỏa mãn chặt) để tìm thành phần dương cịn lại cách giải hệ phương trình a) Gọi # = (#i,#¿,#4) phương án cực biên không suy biến Lay 23 = #1 —#a = Ì xa =ư 0, => Y= đố 2,% z:,z¿ thỏa mãn hệ phương trình: =1 Tương tự, lấy = ta tim dude 2; = 2,73 = va 2, = thi —%2-%3=1 —#2 + a3 — | wa võ nghiệm Vậy có hai phương án cực biên không suy biến 2°? = (2,1,0), 2? = (2,0,1) b) z° = (0,4,6), z! = (8,2,0) e) z° = (2,2,0) d) Khơng có phương án cực biên khơng suy biến 2.12 Dáp số: a) ƒ„„„ = z = (0,1); b) fmar = 12 tai x = (1, 2) E) fee = tai @=—{0,7/3)3 2.13 d) fren = B5ƒT ow = (17/1, 2/9 Đáp số: a) Vô nghiệm tập phương án rỗng; b) Vô nghiệm hàm mục tiêu không bị chặn trên tập phương án; ©) fmaz = z = (t,3— #), với < £ < (có vơ số phương án tối ưu - tượng suy biến kép); d) imac = 57/8 ø = (15/8, 3/4) 2.14 Dép sé:a) finin = —70 tai x = (22/7, 9/7); b) fmin = 287 tai x = (10,0, 0, 63, 8); c) fmin = 45 tai x = (1,3/2,0,0,11/2,0); d) fmin = —18/7 tai x = (0, 6/7); HUONG DAN - DAP S6 2.15 Hướng 217 dẫn:Sử dụng biến giả đưa toán giả M: f(z) + M(X ent) > với điều kiện 357 =1”0jj + #®„‡¡ = bị, Ví = 1,1m z; >0, V7 = 1, ,?+ 1m Tiếp theo áp dụng ot 2;or SO #g+ — #s,o> VỚIvei #s, thuật tốn đơn hình t$a được: a) Đặt + = x = (1,7,0,2); (13/7, 13/7); 2.18 Đáp số: a) Jmm (3/2, 1/5, = 0, —9/2 œ = (1/2, 5,0, 0); 0); ©) fin = 4/3 ø = (8/3, 2/3, 0); (1, 8, 0, 0); 2.19 a) b) fin = 1/2 tai x = d) fin = —7 taiz = Hướng dẫn: g(y) = —6y, + 4y2 + 2y3 maz —y1 + 3y2 + 4y3 4a, to + = 244 23 25= — = 325 —6 > Tập phương án tối ưu toán gốc: z = (#, 0,0, 5# — 2, 2z¡ +2), với z† > — 2.20 Đáp sé: a) fmin = z = (0, 9/4, 1/2); C} ñma = B8/3 2A £ ø = = (4/38, 2/3); (2,0,1); d) fing, b) fmm = (1/5, 11/10, 0, 0); 2.31 Hướng dẫn: a) fnm = £ = (4, 5, 0, 0,0, 1) b) Bài toán đối ngẫu: J3 { Ir Ụ À IN fy + 49a + By3 IN = 90) —ữi + Y2+ 2y3 < —3Yy2 — 5Yy3