Chương 3
ỨNG DỤNG BÀI TỐN QUY
HOẠCH TUYỂN TÍNH
Dựa trên kết quả nghiên cứu lý thuyết tối ưu tuyến tính, phương pháp đơn hình và đơn hình đối ngẫu cĩ thể ứng dụng rất nhiều trong thực tế cuộc sống Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số bài
tốn kinh điển mà đến nay vẫn được ứng dụng rộng rãi
3.1 Bài tốn vận tải
Ở chương 2, phần 2.1.3, ta đã biết rằng bài tốn vận tải là một mơ
hình tối ưu tuyến tính, bởi vậy cĩ thể dùng phương pháp đơn hình để giải
nĩ Ngồi việc giải quyết vấn đề vận chuyển hàng hĩa, bài tốn cĩ thể
áp dụng trong các tình huống khác như truyền tải thơng tin, phân phối
nguồn lực lao động, Cĩ thể nĩi bài tốn vận tải là một dạng QHTT
đặc biệt cĩ nhiều ứng dụng trong thực tế nhất
3.1.1 Khái niệm và tính chất của bài tốn vận tải Bài tốn uận tdi: Tim x = (z¡;) để
fla) = » » Cj#j —> mắn (3.1)
Trang 2với các điều kiện: nụ = 8, t= 1 im (3.2) » =Ùj, Jj =1,7" (3.3) ty 20, = |, mg j = l¡Đ (3.4) trong đĩ,
e c,; > 0 la chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hĩa từ điểm phát
thứ ¿ (P;) đến điểm thu thứ 7 (7)
e 2; là lượng hàng được vận chuyển từ điểm phát thứ ¿ đến điểm thu thứ 7
nm 2
e 5` Z¿; = a¡ > 0 là lượng hàng hĩa mà điểm phát P; sẵn sàng cung j=l
cấp
e ` z¿; —= b¡ > 0 là lượng hàng hĩa mà điểm thu T; cĩ nhu cầu tiêu ¿=1
thụ
Ta luơn giả định:
¡) Việc vận chuyển hàng hĩa từ điểm phát đến điểm thu khơng qua
điểm trung gian và khơng được kết hợp vận chuyển
ii) Mơ hình vận tải luơn thỏa mãn điều kiện cân bang thu phat, tic là, lượng hàng phát đi đúng bằng lượng hàng cần ở các điểm
thu:
3 a = > b; (3.5)
Trang 3144 3.1 Bài tốn Uuận tải
7m
- Nếu > a; > y b; (phát lớn hơn thu) thì ta lập điểm thu giả (tồn kho) thứ n+ 1, với lượng thu vào là
bay = S a; — 3 b; va cước phí đ;„+¡ = 0, V = 1,1m
j=l
- Néu > a, < > b; (phát nhỏ hơn thu) thì ta lập điểm phát giả (ghi ng) thứ m + 1, với lượng phát ra là
Qn-L1 => by ¬› a; và cước phi p41; = 0, VJj =1,n
j= i=1
Như vậy ta luơn luơn tạo ra được điều kiện cân bằng thu phát cho một bài tốn vận tải
Bài tốn van tdi cé tinh chất sau day:
Dinh ly 3.1 (Sự tồn tại phương án tối uu) Bai tốn uận tải thỏa mãn điều kiện cân bằng thu phát luơn cĩ phương án tối tru
CHỨNG MINH
7n, a; b;
bat $= Š "ai = 3 bị > 0 Ta thấy z¿; =
Khi đĩ,
» %¡j — » : J = 3 (s, > s2 = b;, 3 = 1,? i= i i=1
+3 = 3 2 = (a3 n) 4 =a; t= 1,m
J=1 j=1
Như vậy bài tốn luơn cĩ phương ấn
Hơn nữa, từ (3.2), (3.3), do a¿, b; hữu hạn và khơng âm nên 0 < z;; < mãn{a;, b;}, do đĩ miền ràng buộc (tập các phương án) bị chặn
Vậy bài tốn vận tải luơn cĩ phương án tối ưu O
it
Dinh ly 3.2 Ma tran A = (a;;) cé hang bing m+n-—1
CHỨNG MINH Hệ điều kiện (3.2), (3.3) được viết tường minh như
Trang 4
Lip beet Lin | | | | =a,
| | \ 1 2 a 2n, i | = a 1 I | I ` | \ | 1 | \ | | | I | I m1 =Ẹ 8# # SE Tư 1 am \ | l |
T11 + 1 Loy poets 1 Ban '=
1 \ ! |
112 1+ +22 Am 2m2 1 = bạ
I | | |
1 \ | Ị
| 1 l \
Lin | + Lon! os | Imn! = bn
Ma trận A = (Aj;) = (aij) c6 cap (m+n) x (m.n), trong đĩ cột A¡; (ứng với biến z¡;) chỉ cĩ hai số 1 ở hang thứ ¡ và hàng thứ zn + 7, cồn lại là số 0
A¿ = (0 0 10 1 0 07
t 1h
hang tha 7 m+]
Giả sử cộng n phương trình cuối rồi trừ đi tổng của các phương trình thứ 2 đến thứ m ta được phương trình thứ nhất Một cách tổng quát,
ta cĩ mỗi vectơ dịng của ma trận 4 là tổ hợp tuyến tính của các vectd đồng cịn lại Do đĩ cĩ tối đa ?m -+ z — 1 vectơ dịng của ma trận 4 độc
lập tuyến tinh Vay hang(A) = m+n-—1 O
Ta cĩ hệ quả quan trọng sau:
Hệ quả 3.1 Mỗi phương ún cục biên bài tốn uận tải cĩ khơng quá m+n—1 toa độ đương
Ta giả sử bài tốn vận tải khơng suy biến, tức là mọi phương án cực biên cĩ đủ m + m= — 1 tọa độ dương
Để thuận lợi trong thực hành, ta biểu diễn bài tốn dưới dạng bảng,
goi lA bang phân phối uận tải (hay bảng van tdi), xem bang 3.1
Ơ giao ở hang i và cột 7, kí hiệu là ơ (2, 7), biểu thị tuyến đường
vận chuyển từ điểm phát P; đến điểm thu 7; Mỗi hàng tương ứng với
một điểm phát, mỗi cột tương ứng với một điểm thu Các a¿ là lượng
cung ở điểm phát thứ ¿, ¿ = 1, ,rm; các b; là lượng cầu ở điểm thu thứ j, 7 = 1, ,n Luong hang van chuyển #;; ghi ở gĩc trên bên trái của ơ
Trang 5
146 3.1 Bài tốn uận tải
Bảng 3.1: Bảng phân phối vận tải
Thu „ bị by, Phat +11 T17 Lin a4 C11 C17 Cin Z1 Lij Lin ay Ci Cig Cin Zm1 Limi Zmn am Cm1 Cmj Cmn
Đối với bảng vận tải, ta cĩ sự tương ứng 1 - 1: ứng với mỗi ơ (¿, 7) là
một œ¿;, một z;; Mỗi phương án z = (+¿;) của bài tốn tương ứng một
tập hợp các ơ (chứa các z;;) của bảng
Định nghĩa 3.1
a) O (i, 7) c6 23 > 0 gợi là ơ chọn Các ơ khơng chọn gọi là ơ loại
Goi G là tập các ơ chọn:
G={(,7)|z„ >0}, |G[<m+m— 1
Như uậu, một phương an cực biên khơng suy bién c6 m+n—1 6 chon, túc là |G| = m + wT— 1 Tu gọi Œ là tập hợp ơ cơ sở của phương án cực bién do
Ngược lại, các phương án suạ biến nếu số ơ chon nhé honm+n-—1,
túc là |G[ < mm + — 1
b) Một tap hợp các ơ chọn trong đĩ 2 ơ liên tiếp luơn nằm trên cùng một hàng hoặc một cột 0à khơng cĩ 3 ơ liên tiếp nằm trên cùng một hàng
ha một cột, được got la mét day chuyeén
Ki hiéu mét day chuyén T:
(21,51), (41,52), (ta, 52), (ta, 93), +5 (dssIs)> (4s) Js41) (3.6)
hodc
Trang 6Một dâu chuyền T` gọi là khép kín nếu j;¡\ = js hoặc i¿‡\ = 12 Khi
đĩ T' được go? là một chu trình
Nếu cĩ thể chọn ra một tập con thực sự của một tập hợp K các ơ chọn để lập thành một chu trành thà ta nĩi lÍ cĩ chúa chu trình Hơn
mữa, nếu K lập thành chu trình, thà ta nĩi tập K cĩ chúa chu trành con
Ví dụ 3.1 Hình a), b) là dây chuyền, các hình e), d), e) là chu trình
a) b) 6) 4) e)
Hình 3.1: Minh họa dây chuyền và chu trình bài tốn vận tai Nhận xét 3.1 Từ định nghĩa ta thấy tại mỗi hàng hoặc mỗi cột mà
chu trình đi qua chỉ cĩ hai ơ Do đĩ số ơ của một chu trình luơn là một
số chin khơng nhỏ hơn 4
Định lý 3.3 Hệ 0ectơ {Aj} của bài tốn uận tải là độc lập tuyến tính
khi va chi khi céc 6 tuong ứng uĩi các 0ectd nàu khơng tạo thành chu trình
Hé qua 3.2 Vecto x la một phương an cực biên của bài tốn khả uà chỉ
khả tập hợp Œ các ơ chọn tương ứng khơng lập thành chu trình
Định lý 3.4 Cho phương án cực biên + với tập Œ gồm m + n — ]
ơ chọn khơng lập thành chu trình Kh¿ú đĩ, uới mỗi ơ (p, q) ¢ G, tap hop G' = GU {(p, q)} chita mét chu trờnh T` duy nhất Dồng thời nếu (r, s) €7 thiG” =G' \ {(r, s)} gồm đứng m.+ n — 1 ơ khơng tạo thành
chu trinh
Trang 7148 3.1 Bài tốn uận tải
ơ khơng tạo thành chu trình Bổ sung vao G 6 chon (3, 1) ý GŒ ta được Œ!'=GU{(, 1)} Khi đĩ, Œ' chứa một chu trình gồm 6
T = {(5,1), (5,2), (1,2), (1,4), (3,4), (3, i)}
3.1.2 Tìm phương án cực biên xuất phát của bài tốn vận tải Cho bài tốn vận tải (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) thỏa mãn điều kiện cân bằng thu phát Việc đầu tiên để giải bài tốn, cần tìm phương án cực biên xuất phát sau đây là hai phương pháp hiệu quả nhất
Phương pháp cước phí nhỏ nhât
Trong bảng phân phối vận tải 3.1 chỉ điền cước phí œ¿; ta gọi là bảng
cước phí, ta tìm các ơ chọn của phương án cực biên ban đầu như sau:
Bước 1 Chọn ơ (ø, g) sao cho c„¿ = mớn{«; : V(¿,7)} Nếu cực tiểu đạt tại nhiều ơ thì ta chọn một 6 bat ki trong số các ơ đĩ Sau đĩ phân phối một lượng hàng lớn nhất cĩ thể từ P; dén 7;, tức là x ‘pq Min{ ap, bạ}
e Nếu Z„„ = Gy thi dat bà = bạ — Tpạ
⁄ _ ` 4e Po _
e Nêu ø„„ = b„ thì dat a, = ay — Lyq
Ghi aj, bf, tudng ting vao canh 6 ap, bg, chting sé dudc st dung thay cho a„, b„ trong việc phân phối hàng ở những lần sau đĩ
Bước 2 Xĩa các ơ trên hàng, cột đã hết khả năng phân phối Tiếp tục
trổ lại bước 1, với những ơ chưa bị "xĩa"
Bằng cách thực hiện các bước như trên cho tới lúc "xĩa!" hết các
ơ Sau một số hữu hạn lần thực hiện việc "chọn" và "xĩa" ta được
một phương án cực biên #° = (#¡7)„xø-
Ví dụ 3.2 Tìm phương án cực biên của bài tốn vận tải cho bởi bảng 3.2
dưới đây
Giải: Trong bảng 3.2, ta thấy cước phí nhổ nhất e3 = ca = 1
Trang 8Bảng 3.2: Bảng cước phí vận tải 1 Thu | 99 40 55 60 35 Phát 70 5 6 1 4 9 45 4 7 3 2 7 35 3 3 5 8 2 60 7 1 4 Ạ 5
Bảng 3.3: Tìm phương án cực biên ban đầu của bài tốn vận tải bằng
phương pháp cước phí nhỏ nhất 15 bj ¬ we ae 1> MS 20 AD) ĐỒ 60 oo tị _ ) 6 1 1 9 qr dỗ 4 7 3 ~ 2 7 35 35 3 3 5 8 2 20 60 a | ỉ 1 4 1 )
a’, = Q, — 213 = 15 (ghi ở bên cạnh ơ ai) Ở cột 3, các ơ cịn lại hết khả năng phân phối nên bị xĩa (6 bi tơ màu cột 3) (bằng 3.3)
Tiếp tục xét ơ (chưa bị xĩa) cĩ cước phí nhỏ nhất trong bang, ta
chọn œ¿ = 1 Phân phối lượng hàng Z4; = mmzn{ax, bạ} = bạ = 40, đặt al, = a4 — 42 = 20 (ghi ở bên cạnh ơ øx) Xĩa các 6 khơng cịn khả năng
phân phối ở cột 2 (các ơ bị tơ màu cột 2)
Trong các ư cĩ cước phí nhỏ nhất của bảng cịn lại, chọn ơ (2, 4)
Trang 9150 3.1 Bài tốn uận tải
bụ = bạ — 324 —= 15 (ghi ở trên 6 bạ) Xĩa các 6ư khơng cịn khả năng phan
phối ở hàng 2 (các 6 bị tơ mầu hàng 2)
Trong các ơ chưa bị xĩa cịn lại, chọn 6 (3, 5) cĩ c35 = 2 Phan phối
luong hang 135 = min{a3, bs} = 35, các ơ cịn lại ở hàng 3 và cột 5 đã
hết khả năng phân phối nên bị xĩa Tiếp tục chon 6 (1, 4) cĩ ey4 = 4 Phan phéi lugng hang 214 = min{a}, Ù¿} = 15, xĩa các 6 cịn lại ở hàng
1 và cột 4 Bảng cịn lại duy nhất ơ (4, 1) chưa bị xĩa, ta phân phối lượng hang x4, = a, = b; = 20
Kết quả được các ơ chọn của phương án cực biên ban đầu như trong
bảng 3.3
Vậy bài tốn cĩ phương án cực biên ban đầu:
0 0 55 15 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 55 20 40 0 0 0 Giá trị hàm mục tiêu ƒ(z°) = 455 Phương pháp Vogel
Phương pháp Vogel chỉ khác phương pháp cước phí nhỏ nhất ở cách
chọn 6 để phân phối hàng Cu thé:
Bước 1 Dối với mỗi hàng và mỗi cột của bảng cước phí, ta tính chênh lẹch giữa giá trị cước phí nhỏ nhất với giá trị cước phí nhỏ nhì trên hàng và trên cột đĩ
Chọn hàng hay cột cĩ chênh lệch lớn nhất Nếu cĩ nhiều hàng (hay nhiều cột) như thế thì chọn một hàng (một cột) tùy ý trong số đĩ Phân phối lượng hàng lớn nhất cĩ thể vào ơ cĩ cước phí nhỏ nhất trên hàng (cột) đã chọn Giả sử ơ được chọn là (p, g), khi đĩ #„„ = min{à, Ùạ}
Bước 2 "Xĩa" các ơ trên hàng p, hoặc/và cột g đã hết khả năng phân
phối Tiếp tục trổ lại bước 1, với những ơ chưa bị "xĩa"
Trang 10Ví dụ 3.3 Tìm phương án cực biên ban đầu của bài tốn vận tải ở ví
dụ 3.2
Giải Bằng phương pháp Vogel, ta tìm được phương án cực biên ban
đầu như bảng 3.4
Bảng 3.4: Tìm phương án cực biên ban đầu của bài tốn vận tải bằng
phương phap Vogel
b; 20 40 55 60 35 aj 70 15 55 5 6 1 4 9} 333115 As 5 40 4 7 3 2 7| 111224 35 35 3 3 5 8 2|11x 60 40 20 £ 1 4 4 513303x 111111 25x |222x|22222x äx 15 0 55 0 0 5 0 0 40 0 :
Theo đĩ, ta cĩ #° = Giá trị hàm mục tiêu 0 0 0 0 55
0 40 0 20 0
f(x?) = 420
Chú ý 3.2 a) Trường hợp nếu phương án cực biên suy biến, tức là z° khơng cĩ đủ m-+ø— 1 tọa độ dương (tương ứng khơng đủ mm +-?T— 1
ơ chọn), thì ta bổ sung thêm một số ơ chọn vào tập 6 chọn sao cho tập 6 chọn được bổ sung khơng chứa chu trình Dé phân biệt với các 6 chon và ơ loại, ta gọi các 6 bổ sung này là 6 chon 0, trong đĩ giá
trị hàng phân phối z;; = 0
Trang 11152 3.1 Bài tốn uận, tải
thì điểm phát thứ ¡ phát hết hàng, đồng thời điểm thu thứ 7 nhận đủ
hàng Và như thế 6 bước 2 ta cần xĩa đồng thời các ơ trên cả hang i
và cột 7
Để tránh phương án suy biến, ta cần xử lí như sau: thay vì chọn 6 cĩ cước phí nhỏ nhất trong bảng (hoặc trong hàng/cột cĩ chênh lệch
cước phí lớn nhất), ta chọn ơ cĩ cước phí nhỏ thứ nhì để phân phối
lượng hàng lớn nhất cĩ thể, nếu vẫn xảy ra hiện tượng trên, ta chọn 6
cĩ cước phí nhỏ thứ ba Diều này đảm bảo rằng: mỗi lần xĩa các ơ
khơng cịn khả năng phân phối, ta chỉ xĩa được các Ơ trên một hàng
hoặc trên một cột
Sau khi đã tìm được phương án cực biên ban đầu, ta cần tìm phương
án tối ưu của bài tốn Để làm được điều đĩ, ta cần sử dụng phương
pháp đặc thù sau đây
3.1.3 Phương pháp thế vị giải bài tốn vận tải Cơ sở lý luận của phương pháp
Cho bài tốn vận tải (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), ta cĩ bài tốn đối ngẫu
như sau:
n
» đạ tị -E ` b;v; > max (3.8) i=1
j=l
với các điều kiện:
Ui + U; < C7, _— 1,1m} = 1,n (3.9)
trong đĩ 1; là biến đối ngẫu ở hàng ¿, o; là biến đối ngẫu ở hàng j + m
Ta cũng gọi 1¿, ø; tương ứng là các ¿hế vi cha diém phat i, diem thu j
Kí hiệu
Aj; = Uj + Uj — Cig (3.10) gọi là các ước lượng ứng với cơ sở của phương án dang xết
Định lý 3.5 (Dấu hiệu tối ưu) Nếu tại phương ứn cục biến z tồn tại
các số tị, v; sao cho A;; =0 tai 6d chon va Aj; < 0 vdi mor (i, 7), thix
Trang 12CHUNG MINH Theo định lí độ lệch bù yếu (chương 2), ta cĩ phương án ø tơi ưu khi và chỉ khi tồn tại y = (ui, vj), i = 1,m, 7 = 1,n thỏa
mãn
tị +} 0 Š cự, - VỆ,3)
uz + VU; = đ¿j, VỚI (, 7) cĩ #¿j > 0 (3.11)
Diều đĩ cĩ nghĩa là z tối ưu khi và chỉ khi A¿; < 0, với mọi (¿, 7) và
A;; = 0 tai 6 chon LI
Dinh lý 3.6 Nếu tại phương án cục biên +°, tồn tại A„y > 0 thà xây dựng được phương án cực biên mdi x} tét hon 7°
CHỨNG MINH Giả sử Œ là tập hợp mm + — 1 ơ chọn của 2° R6 rang (r, k) # G Theo định lí 3.4 thì
Gt =GU {Ứ, k)}
cĩ một chu trình 7' duy nhất Ta đánh số thứ tự các ơ trên 7' kể từ ơ
(r, k) là số 1, khi đĩ 7' gồm các ơ mang số thứ tự lẻ, kí hiệu là 7” và các ơ mang số thứ tự chẵn, kí hiệu là 7”
Chọn
tog = cằm Be > 0 (3.12) Đưa ơ (z, k) vào làm ơ chọn của xz’ va 6 (p, q) ra khdi tap 6 chon Dùng phép biến đổi
ig = 12 Lij + Lng) (¿, 7) c1 (3.13)
Lij , Tpạ; (, 7) € T”
dễ dàng kiểm tra lại z' = (z¿,) là phương án Hơn nữa, theo định lí 3.4 thi Gy = G; \ {(p, g)} gồm rn + œ= — 1 ơ khơng lập thành chu trình, tức là +! là phương án cực biên
Đồng thời
ƒ(') = ƒ@9) — #,uAs
Vì z„„ > 0 và A„„ > 0, nên ƒ(z!) < ƒ(z?) L
Chú ý 3.3 a) Việc chứng minh các định lí 3.5 và 3.6 cĩ thể suy ra trực
Trang 13154 3.1 Bài tốn Uận tải nêu của bài tốn vận tải Vì lẽ đĩ, cĩ thể coi phương pháp thế vị là trường hợp đặc biệt của phương pháp đơn hình
Dé tìm các thế vị wu, 0; trong định lí 3.5, ta cần giải hệ phương trình Aj =0 © uị + 0j = cụ, với (,7) € G
Hé nay c6 m+n ấn và m + — 1 phương trình độc lập nên hệ cĩ vơ
số nghiệm phụ thuộc tham số Ta chỉ cần một nghiệm riêng của hệ
Đơn giản nhất là cho một ấn bằng 0 (thường chọn ẩn tham gia nhiều trong các phương trình của hệ) Từ đĩ suy ra cdc an con lai
b)
Chẳng hạn, với mm = 3,0m = 4 và cho phương án cực biên với các 6 chọn như trong bảng dưới đây Ta cần giải hệ phương trình:
1 Uj — C7; VỚI ? —= 1,3, 7 = 1,4 #11 — 3 4112 —= OD tị Cy = 5 C12 —= 10 Lo3 = 4 Loa = 3 U2 C93 = 5 Coq = 1 231 = 5 234 = 4 u 3 C3, = 2 C34 = 1 1 v2 U3 U4
Dat uw, = 0, suy ra vy
Ug = Up = —5, 0ạ = 10, từ đĩ C31 — U1 C24 — V4 e) Trong trường hợp ở định lí 3.6, chọn Nc = max Ags Aiz>0
khi đĩ đưa ơ (r, &) vao lam 6 chon
Thuật tốn thê vị
—3, U4 = C34 — Ug = A, —3, U3 = C93 — UQ = 8
nếu cĩ nhiều A;; > 0, thì thơng thường
(3.14)
Bước 1 Xây dựng phương án cực biên xuất phát #° với rm + ø= — 1 ơ
Trang 14Tìm các thé vi uj, v; sao cho A;; = 0 tai (2,7) 6 chon
Tính các ude lugng Aj; = u; + vj — cj; tai (7,7) 6 loai Buéc 2 Kiểm tra moi Aj; < 0 khơng?
Nếu cĩ lKết luận: z° tối ưu
-+- Nếu khơng Chuyển sang bước 3
Buée 3 Chon A,, = max A;;, dua 6 (7, k) vao tap 6 chon
4>
Lập chu trình 7, xác định 7", 7”
Bước 4 Tìm z;„ = ( lận %;;, đưa (p, g) ra khỏi tập ơ chọn
17)€T”
Buĩc ð Xây dựng +! theo cơng thức biến đổi (3.13), tức là:
Giữ nguyên các 6 khơng thuộc chu trình 7'
Thêm vào ơ lẻ (trên 7”), đồng thời bớt đi ở ơ chan (trén T”) một lượng bằng #„„
Bước 6 Gần z° := z!, quay lại bước 1
Ví dụ 3.4 Giải bài tốn vận tải ở ví dụ 3.2 bằng phương pháp thế vị
Giải
Phương án cực biên ban đầu (khơng suy biến) của bài tốn được cho như trong bằng 3.5
Bài tốn đã thỏa mãn điều kiện cân bằng thu phát Tìm các thế vị, bằng cách cho = 0, lần lượt tìm được các thế vị cịn lại theo cơng
thite: u; = dự — tu¿ Và tu — Cig — Uj
Ta dude: v3 = C13 — Uy = 1; vs = Ci5 — Uy = 9, suy ra
Ug = C35 — Us = —7; U4 = Cay — V5 = —Ả
Suy ra
VU, = C13 — U3 = 10; vo = Cyn — U4 = 9;
U4 = C44 — U4 = 8; Uy = Co4 — U4 = —6
Tính các ước lượng A;;, điền vào gĩc trên bên phải của mỗi ơ của
Trang 15156 3.1 Bài tốn uận tải
Bảng 3.5: Bảng phân phối vận tải ứng với phương án cực biên ban đầu
b; 20 40 55 60 35 a; 70 55 15 5 6 1 4 9 45 45 4 7 3 2 7 35 20 15 3 3 5 8 2 ao 40 15 5 ve 1 4 4 5
Bảng 3.6: Điều chỉnh phương án ban đầu bằng phương pháp thé vi
b; 20 40 55 60 35 G¿ 5 — 4 “0 aed oh G62 8! L15, LƠ 6 1 4 19 | =0 45 ` 1 4 - 7 _ | 4 3 2 : 17 Un = —6 | — — — I 35 20 J ———=——kL_—————-Ì-—-—-—-_— + 115, 3 a 5 8 2 | ug=—7 60 — | 40 — 115 5 7 1 4 4 5 | ug = —4 V1, = 10 | v9 = 5] vg =1 |] vu =8 | vs = 9
Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:
Từ bảng 3.6, ta thấy cĩ A+¡, A4 dương nên phương án cực biên đang
xét chưa tối ưu
Tìm phương án tối ưu:
Trang 16T = {(1,1), (1,5), (3,5), (3, 1)}-
Chu trình 7 gồm các ơ lẻ là 7” = {(1,1), (3,5)}, va các 6 chan 1a
T" = {(1,5), (3, 1}
Do min{215, 231} = 215 = 15, loai 6 (1, 5) ra khdi tap ơ chọn cơ sở
Bảng 3.7: Phương án tối ưu của bài tốn van tai 1
b; 20 40 50 60 35 ay 70 15 | 55 - a 5 6 1 4 GF] uw, =0 0 = Ms a A5 45 4 7 3 2 đại tu = —Ì 35 5 = ạ ~ | 30 3 3 5 8 2 | tg =—2 60 | 40 115 5 4 b U4 = 1 „=9 a =0 v3 = Ì V4 = 3 Un =A
Phương án mới cĩ tập 6 chon nhu bang 3.7 Việc tìm các thế vị, tính
các ước lượng cho thấy phương án mới đã tối ưu (A;; < 0, V(i,7)) Vay bài tốn cĩ phương án tối ưu là
15 0 55 0 0 0 0 0 45 0
5 0 0 0 30
0 40 0 15 5
tại đĩ chi phí vận tải nhé nhat fin = 420
)
Ví dụ 3.5 Giải bài tốn vận tải khơng cân bằng thu phát sau (bảng 3.8)
Giải Do tổng phát nhỏ hơn tổng thu nên ta thêm vào một điểm phát giả với lượng phát aạ = 2 và cước phí œ; = 0, 7 = 1, 2, 3 Khi đĩ với
Trang 17158 3.1 Bai todn van tai Bảng 3.8: Bảng cước phí vận tải 2 Thu 15 25 12 Phat 20 3 30 1 4 4
Bảng 3.9: Phương án cực biên ban đầu với một điểm phát giả và hệ thống
thế vị b; 15 25 12 Qj 20 = | 8 12 3 5 2 Uy = 5 30 15 15 x 4 4 Ug = (2) - |? 0 0 : 0 3 — 0 v= —3 vo = 0 v3 = —3
Từ phương án cực biên ban dau (bang 3.9), ta tim hệ thong thé vi va ước lượng của mọi ơ như đối với bài tốn vận tải cân bằng thu phát Chú
ý là các ơ ở hàng phát giả khơng thể tham gia vào việc chọn ơ bổ sung
(để phân phối lượng hàng lớn nhất cĩ thể), nhưng cĩ thể tham gia vào
tập 6 chọn cơ sở của phương án cực biên ban đầu Ỏ bảng 3.9, ta thấy
Ai; <0, V(i,j) nén phương án là tối ưu Để ý là z;¿ = 2 > 0 cho thấy
chỉ cĩ điểm thu thứ 2 thu khơng đủ Với phương án tối ưu tìm được,
0 8 12
4 =
15 15 07
Trang 183.1.4 Một số bài tốn ứng dụng của bài tốn vận tải Bài tốn phân phối nguồn lực lao động
Bài tốn phân phối là bài tốn quy hoạch tuyến tính cĩ hệ ràng buộc
giống như hệ ràng buộc của bài tốn vận tải nhưng với yêu cầu làm cực
đại hàm mục tiêu Mơ hình tốn học: Tìm z = (z;;) để
f(z) = » » Cj2¿j —} Thú (3.15) i=1 j=l
với các điều kiện:
3=: 4=1,m (3.16) j=1 » =bj, j=1,n (3.17) z=l tg 20, = 1,đm8y = 1, (3.18) trong đĩ,
e c¿; > 0 là năng suất của nguồn lực lao động (con người, tiền vốn, )
a Zs 2s a
thứ 7 được phân bổ vào hạng mục thứ j
e z„; là lượng nguồn lực thứ i cần phân bổ vào hạng mục thứ j
nr
x x “4 ⁄ 2 x a
e Li; = a; > 0 là lượng nguơn lực thứ ¿ cĩ sẵn để phân bồ cho 1
©,
các hạng mục
™m
e S` z;¡; = Ù; > 0 là lượng nguồn lực tối đa được phân bổ vào hạng i=l
mục thứ 7
Trang 19160 3.1 bài tốn uận tải
Phương pháp giải
Dể tìm phương án tối ưu cho bài tốn phân phối, ta cĩ thể áp dụng
phương pháp thế vị như giải bài tốn vận tải Tuy nhiên cần điều chỉnh
cho phù hợp như sau:
z 3? ed om ~ & x 5
Buéc 1 Kiem tra diéu kién cin bằng nguồn lực Bước 9 Tìm phương án cực biên ban đầu:
Trên bảng năng suất, chọn ơ cĩ năng suất cao nhất và phân
bổ lượng nguồn lực lớn nhất cĩ thể được Sau đĩ xĩa bổ các ơ khơng cịn khả năng phân bổ trên dịng hoặc cột chứa ơ đĩ
Lặp lại việc "chọn" và "xĩa" sau một số hữu hạn lần để được phương án cực biên ban đầu Đối với phương pháp chọn Vogel cũng điều chỉnh tương tự
Bước 3 liễm tra tiêu chuẩn tối ưu: Tìm hệ thống thé vi u;, v;, tinh cdc
ước lượng A¿; giống như bài tốn mịn
+ Néu Aj; > 0, Vi = 1,m, } = 1,m= thì phương án đang xét là toi uu Két ludn va tinh Idi nhuan 16n nhat
+ Nếu tồn tại A¿; < 0 thì phương án đang xét chưa tối ưu
Chuyển sang bước 4
Bước 4 Diều chỉnh phương án cũ để được phương án mới tối ưu hơn: Giả sử ơ (r, k) cĩ Az = mn{A¿; < 0} Khi đĩ,
+ Ơ Ứ, k) được bổ sung vào tap 6 chọn cơ sổ và lập thành chu
trình 7' Gọi 7" là tập các ơ lẻ, 7” là tập các ơ chấn của chu trình
+ ƠÚ, q) cĩ #„„ = ere {z„ > 0} bị loại ra khỏi cơ sở i,j )€T”
Quay lại bước 3
Sau một số hữu hạn lần lặp lại các bước, ta tìm được phương án tối
> ue Z
ưu của bài tốn
Ví dụ 3.6 Một xưởng sẩn xuất cĩ 50 cơng nhân chia thành 3 nhĩm
Trang 20bổ vào các cơng việc (coi năng suất của mỗi người trong một nhĩm là như nhau) được cho trong bảng 3.10
Bảng 3.10: Thơng tin năng suất lao động theo vị trí cơng việc
Cơng việc | I |HI |HI |IV
Cơng nhân 1011218 120
Nl 15 2131512
N2 18 3 | 1
N3 17 5 4 | 4
Tìm phương án phân cơng lao động sao cho tổng năng suất dat được
là cao nhất
Giải Ta cĩ bài tốn thỏa mãn điều kiện cân bằng nguồn lực Bây giờ xác định phương án cực biên ban đầu cho bài tốn bằng phương pháp
"năng suất lớn nhất"
Ta thay c¡a = cai = 5 là hai năng suất lớn nhất trong bang, chon 6
(1, 5) và phân bổ lượng cơng nhân z¡¿ = 8 Xĩa các ơ cịn lại trên cột 3 Lặp lại việc chọn và xĩa, cuối cùng ta được phương án cực biên như bang 3.11
Bang 3.11: Tìm và điều chỉnh phương ấn cực biên ban đầu của bài tốn phân phối lao động
Trang 21162 3.1 Bài tốn uận tải
Trong bảng 3.11, tính các thế vị và các ước lượng ứng với phương
ấn cực biên ban đầu Với quy ước: nếu A¿; > 0 thì điền dấu + ở
gĩc trên bên phải của ơ, các ơ chọn ta khơng điền ước lượng Do chi c6 Ag, = —1 < 0, nên ta bổ sung ơ chọn (2, 1), thiết lập chu
trình 7 = {(2, 1), (2, 4), (3, 4), (3, 1)} bao gồm tập ơ lễ của chu trình T’ = {(2,1), (3,4)} và tập ơ chẵn của chu trình 7” = {(2,4), (3,1)} Do
2a = mởn{2x, #34} = 6, nên ơ (2, 4) bị loại ra khỏi tập 6 chon Dén
đây ta đã thiết lập được phương án mới bằng việc điều chỉnh phương án
cũ như bảng 3.12
Bảng 3.12: Phương án phân cơng tối ưu lao động để tổng năng suất đạt
cực đại by 10 12 8 20 ay 15 _ 2 718 8 5 i 2 | 2m 0 18 6 12 2 Z 3 4 3 1 | uw =0 l7 4 - T13 5 1 4 U3 = 2 y=3 Vg =A4 v3 = 5 v4 = 2
Đối với phương án mới, tiếp tục kiểm tra dấu hiệu tối ưu Tìm các
thé vị, tính ước lượng tại mỗi ơ của bảng 3.12 ta được: A;; > 0, W, 7
Phương án đã tối ưu
Vậy phương án phân cơng lao động tối ư u là 0 0 8 7 z= |6 12 0 0,
4 0 0 1ä
Trang 22Bài tốn ơ cầm
Trong thực tế ta thường gặp tình huống điểm thu (hạng mục) thứ j khơng thể nhận hàng (nguồn lực) của điểm phát (nhĩm nguồn lực) thứ
¿, khi đĩ ơ (2,7) được gọi là ơ cấm Bài tốn vận tải hay bài tốn phân
phối cĩ thêm yêu cầu trên được gọi là bà¿ ốn ơ cắm Muốn tìm phương án tối ưu của bài tốn vận tải cĩ ơ cấm (i, 7), ta coi cước phí vận chuyển
ở ơ cấm là vơ cùng lớn Khi đĩ trong phương án vận chuyển tối ưu sẽ khơng cĩ hàng từ điểm phát 7; đến điểm thu 7; Trên bang vận tải, quy
ước cudc phi ¢;; = M > 0 đủ lớn Cịn đối với bài tốn phân phối cĩ 6 cấm (2,7) thì quy ước năng suất œ;; = —M, với Ä⁄ là số dương đủ lớn Ví dụ 3.7 Giải bài tốn vận tải ở ví dụ 3.5, biết rằng điểm thu 7; phải nhận đủ hàng
Giải Diễm phát thứ 2 phải thu đủ hàng tức là trong phương án tối ưu của bài tốn phải cĩ #1s + a¿ = 25 Nĩi cách khác, điểm phát gid P;
khơng thể phân phối tai 6 (3,2), và caạ = Ä > 0, lớn tùy ý Trong khi
tổng phát nhỏ hơn tổng thu nên cĩ thể coi các điểm phát phải phát hết hàng, vì vậy một trong hai điểm thu thứ nhất và thứ 3 khơng thu đủ Lượng hàng "ghi nợ" này sẽ được phân phối vào ơ (3, 1) hoặc ơ (3, 3) khi
bài tốn đạt phương án phân phối tối ưu
Bang 3.13: Phương án cực biên của bài tốn vận tải cĩ ơ cấm
b; 15 25 12 Uj a; 3 5 2 0 30 15 15 1 4 4 —] 2 M 3 2 M—83 0 M 0 M—5
Từ phương án cực biên đã cĩ được ở bảng 3.9, kiểm tra điều kiện tối
Trang 23164 3.1 Bài tốn uận tải
Tìm hệ thống thế vị: cho ạ = Ư, suy ra 0s = Cịa — tị = 5, v3 = C13 — Uy = 2 Te dé ug = Coq — vg = —1, ug = G32 — 0y = M — 5 và V1 = Co, — Ug = 2
Tinh các ước lượng của phương án cực biên đang xĩt, ta thấy phương án chưa tối ưu, vì bảng cĩ Az¡ = Aas = M—3 >0 Bổ sung ơ (3, 1) vào
tap 6 chon để lập chu trình 7' = {(3,1), (3,2), (2,2), (2,1)} (bảng 3.13)
Từ đĩ ta lập phương án mới như ở bằng 3.14
Bảng 3.14: Phương án tối ưu của bài tốn vận tải cĩ ơ cấm
b; 15 25 12 Ui đ¿ 3 5 2 0 30 13 17 vơ 1 4 4 | -l (2) 2 3— M 0 0 M Q | —2 VU; 2 5 2
Với phương án mới được điều chỉnh, kiểm tra thấy rằng mọi ước lượng
đều khơng âm Vậy ta cĩ phương án tối ưu (bảng 3.14):
08 12
B= ;
138 1/7 0
tại đĩ cước phí nhỏ nhất bằng 145
Bài tốn vận tải cĩ hạn chê khả năng thơng qua
MO)»
Bài tốn cĩ dạng: Tìm x = (a;;) d
n
m
Trang 24với các điều kiện: n ) Lig =A, 1=1,m jg=1 m À xij = Bb; , 3 = 1,” 1 0< 23 <dy, i=1,m; j=1,n
Bài tốn này chỉ khác bài tốn vận tải (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) ở điều
kiện biến bị chặn trên Ta gọi đ;; là kha nang thong qua, biéu thi lượng
hàng tối đa cĩ thể chuyển từ điểm phát thứ ¡ đến điểm thu thứ 7
Bài tốn hạn chế khả năng thơng qua là một dạng đặc biệt của bài tốn QIHTT và cĩ câu trúc tương tự bài tốn vận tải, nên cĩ thể điều
chỉnh phương pháp thế vị để giải
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Bước 4
1m phương án cực bién ban đầu: Với phương pháp cước phí nhỏ
nhất, xác định #„¿ = min{aj, b;, d;}
Nếu khơng phân phối hết hàng, ta lập điểm phát giả a„¡¡, điểm
thu giả bp41, với Om41 = bn41 = 3 là lượng hàng thừa chưa được
phân phối Các ơ cấm được coi cĩ cước phí ă > 0 lớn tùy ý,
cĩ khả năng thơng qua vơ hạn Ơ (m + 1,ø -+- 1) eĩ cước phí Cm 1,a+ì = 0 Lúc này, các ơ được phân phối lượng hàng z¿¡: - Nếu 0 < 24; < dj; thi (i,7) goi 1A 6 loai 1 (6 chon)
- Néu 2;; = 0 (khéng ghi vao 6) thi (i, 7) goi là 6 loai 2 - Nếu 2;; = d;; thi (4,7) goi 1a 6 loai 3
Tim hé thống thé vi Với chú ý rằng: nếu số ơ loại 1 nhỏ hơn
n + mz„— 1 thì ta chọn thêm một số ơ loại 2 hoặc loại 3 sao cho
tập 6 chọn được bổ sung khơng chứa chu trình
Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu: Tính các Ag = tg Ftp Gy Néu Ai; < 0 vdi moi 6 loai 1, loai 2 va A;; > 0 vdi moi 6 loại 3 thi
phương án đang xét tối ưu Ngược lại, chuyển sang bước 4 Xơụ dựng phương án mới: Ơ (r, k) được bỗ sung vào tập 6 chon
để phân phối lượng z„„¿ lớn nhất cĩ thể là: ơ loại 2 cĩ ước lượng
Trang 25166 3.1 Bai todn van tai
theo, xác định chu trình 7' và 7", T”:
- Nếu 6 (r,k) bổ sung vào là ơ loại 2 thì (r, k) € 7” và mọi (¡, 7) € 7” mang dấu dương (+) (điều chỉnh tăng);
- Nếu ơ (r, k) là ơ loại 3 thì (r, k) € 7” và mọi (2, j) € T” mang dấu âm (—) (điều chỉnh giảm) Lượng điều chỉnh được xác định như sau:
gq = min{z;; : (i,j) 1&6 mang dau 4m (—)} go = min{d;; — xj; : (i,j) 1A 6 mang dau duong (+)} Nếu bài tốn cĩ 2m4inyi = $ thi ta bỏ hàng điểm phát giả, cột
điểm thu giả
Nếu bài tốn cĩ phương án tối ưu với lượng hàng #„11„¡1i < # thì bài tốn gốc khơng cĩ phương án tối ưu
Ví dụ 3.8 Cho bài tốn vận tải với khả năng phân phối hàng bị han chế (giá trị để trong ngoặc) được cho trong bảng 3.15 Xác định phương
án tối ưu để ham chi phi dat giá trị nhỏ nhất
Bảng 3.15: Bảng cước phí bài tốn vận tải hạn chế khả năng phân phối
Thu b¡: 30 bạ: 25 ba: 45 Phát œø¡: 20 (10) 2| (5) 3|(15) 6 a3: 30 (15) 51(15) 2|1(10) 1 a3: 50 (15) 1] (15) 4|(25) 4
Giải Bài tốn cĩ tổng lượng phát bằng tổng lượng thu, đã cân bằng
thu - phát
Phương án cực biên ban đầu tìm được bằng phương pháp cước phí nhỏ nhất (bang 3.16)
Ta thấy điểm phát hàng 3 thừa và điểm thu cột 3 thiếu cùng một lượng là 5 đơn vị hàng Do đĩ ta lập điểm phát giả a¿ và điểm thu giả
Trang 26Bảng 3.16: Phương án cực biên ban đầu của bài tốn vận tải hạn chế
khả năng phân phối
Thu by: 30 bo: 25 bs: 45 bạ: 5 Phat 20 10 5 [5] Œ1: : (10) 2|(6) 3|(5) 6 M 30 [5] 15 10 Ga: T (5) 5 |(15) 2 |(10) 1 M 15 [5] 25 [5| a3: 50 (5) 1|(5 4 | (25) 4 M 5 Q4: 5 | M M M 0
(1, 2) để tập ơ cơ sở đủ + — 1 = 7 6 chọn và tập ơ chọn này khơng chứa chu trình
Tìm hệ thống thế vị và tính các ước lượng (bang 3.17):
Bảng 3.17: Điều chỉnh phương án cực biên của bài tốn hạn chế khả năng
phân phối vận tải
bị: 30 bạ: 25 ba: 45 bạ: 5 Uz 10 5 [5] 4 —1 ay: 20) „4 |) » 2S aS See as 1 (10) 2 | (5) 1 3 | (5) !'6 |(©) M 0 [5] l5 | 10 | 8 2 ag: 30 | (15) 5 | (15) 1 2} (10) '1](o) M 3 es 15 [5] ' | 25 ¡3 |[5]} _ %7 7 (a5) 1 | (asyt 4| (25) ¡4 |()' M 1 ï —4 3| [5] | | 2M-7
4 9 (se) M1 (co) M | (co) 7 M +o | M6
v; 2 3 6 M-1
Trang 27
168 3.1 Bài tốn uận tải
Uy = C21 — Vy = 3, Us = €39 — Vo = 1, U4 = Caz — U3 = M—6,% = C34 — UZ = M — I1
Tính các ước lượng, ta thấy ơ (4, 4) là ơ loại 2 cĩ ước lượng dương lớn nhất, do đĩ phương án chưa tối ưu Dồng thời bổ sung ơ (4, 4) vào
tập 6 chon cũ để xây dựng phương ấn mới Tai bang 3.17, lap chu trình
T = {(4,4), (3,4), (3,2), (1,2), (1,3), (4,3)}, trong đĩ
T’ = {(4,4), (3,2), (1,3)}, 7” = {(3,4), (1,2), (4,3)}
Vi 6 bổ sung (4, 4) 18 6 loai 2, mang d&u (+) nén điều chỉnh tăng Xác định lượng điều chỉnh q = min{zxj; : (4,7) € T”} = 5 Cac 6 thuộc 7T” điều chinh gidm lugng q, các ơ thuộc 7” điều chỉnh tăng lượng g (vẫn
đảm bảo khả năng thơng qua tại các ơ tương ứng), các ơ cịn lại giữ
khơng đổi
Bảng 3.18: Phương án tối ưu của bài tốn hạn chế khả năng phân phối
vận tải TÌM | 2 a0 | b:25 | bạ:45 | ay Phát 2-20 10 [10] (10) 2] (5) 3|(5) 6|0 [5] 15 4|10 8 as: 30 (15) 5] (15) 2] (0) 1] 3 15 2| [10| 25 3 a3: 90 (15) 1] (15) 4] (25) 4] 4 Đj 2 3 6
Do #44 = 5 nén ta xĩa hang 4 và cột 4 Tính lại hệ thống thế vị đối
với phương án mới ở bảng 3.18, kiểm tra các ước lượng ta thấy A;; < 0 với mọi Ơ loại 1, loại 2, A¿; > 0 với mọi ơ loại 3 Vậy phương án mới đã
Trang 283.2 Bài tốn sản xuất đồng bộ 3.2.1 Một số khái niệm
Giả sử cĩ ra máy khác nhau Ä⁄;, Mạ, , Á⁄„ tham gia sẵn xuất n chỉ
tiết khác nhau Œ), ;, ,C„„ Các bộ chỉ tiết sẽ lắp ráp thành các sản phẩm hồn chỉnh Năng suất máy thứ ¿ (số chi tiết/1 đơn vị thời gian) sản xuất chi tiết thứ 7 là œ¿; Giả thiết rằng:
- Mỗi loại máy chỉ cĩ 1 chiếc;
- Mỗi sản phẩm cần 1 chi tiết mỗi loại, tức là mỗi bộ ø chỉ tiết khác
nhau nêu trên sẽ tạo thành 1 sản phẩm Như vậy số sản phẩm tạo ra,
trong 1 đơn vị thời gian bằng số chỉ tiết Œ; nào đĩ được sẵn xuất ra ít nhất trong số ø loại chi tiết được sản xuất trong cùng một đơn vị thời
gian đĩ
Hãy bố trí thời gian sử dụng các máy sản xuất sao cho số sản phẩm đủ bộ (đồng bộ) sẩn xuất được là nhiều nhất
Bây giờ ta xây dựng mơ hình tốn học của bài tốn sản xuất đồng
bộ :
Gọi z¡¿; là số phần thời gian (trong một đơn vị thời gian) mà máy thứ i san xuất chỉ tiết thứ 7, khi đĩ ta cĩ:
TL
z¡„; > 0 và 3) ¿;¡ <S 1, Vi = 1,2, ,m, j = 1,2, ,m
j=l
Số chỉ tiết 7 sản xuất được bởi máy ¿ là œ#¿;, V2 = 1,m, do đĩ tổng số chi tiết j sản xuất được bởi tất cả các máy là:
71 ⁄Ƒ = * C;72117; V7 => 1,n i=1 Số sản phẩm đủ bộ là: Z =mịjn {Z;} = mịn t5 ¬ 3 3 w=1 m m Do đồ Z < `» C¡72Z¡7 › Vj=1,n => ¬» ØŒụ + Ø < 0, VJj = 1,n =1 ¿=1
Trang 29170 3.2 Bài tốn sẳn xuất đồng bộ
Tìm Z và ma trận X = (Z¡7)mxø dé
fiZ,X)=2= min{Ồ ` CigLig} 4 Max (3.19) =
với các điều kiện:
3`; <1, Vị = 1,m | (3.20) j=l Z— ` cụ*y <0, Vj =1,n (3.21) t=] Z>30,z„ >0, Vi=1,m, Vj = 1,1m (3.22)
Bài tốn quy hoạch tuyến tính cĩ dạng (3.19), (3.20), (3.21), (3.22)
b
3
với giả thiết c„ > 0, V¿ý = 1,m, 7 = 1,m được gọi là bài tốn sẩn xuất
đồng bộ
Ma trận X = (Z;;)„x„ và Z thỏa mãn các ràng buộc (3.20), (3.21),
(3.22) được gọi là phương án của bài tốn sản xuất đồng bộ
Phương án mà tại đĩ hàm mục tiêu đạt cực đại đại gọi là phương ấn
tối ưu của bài tốn
Với bất kì ma trận X = (Z¡)„x„ thỏa mãn các ràng buộc (3.20), (3.22) cũng cho tương ứng một họ phương án với Z xác định như sau:
0<#Z< mịn {Z;},
ẤT ⁄ Z
trong đĩ phương 4n X ma Z = mịn {Z;} = min { > Ci5Xiz } 1 tot nhat
Jj J i=1
Ta coi ma trận X = (Z;;)„x„ thỏa mãn các ràng buộc (3.20), (3.22) là một phương án của bài tốn sản xuất đồng bộ với Z được hiểu là
2 = tâm {Z;}
Để thuận tiện cho việc xây dựng phương pháp giải bài tốn san xuất
đồng bộ, ta đặt giả thiết c„ > 0, với mọi ¡, 7, nghĩa là mỗi chỉ tiết 7 phải được sản xuất bởi ít nhất là một máy và mỗi máy ¿ phải sản xuất được ít nhất một loại chi tiết
Trang 30e Nếu máy loại ¿ cĩ ¿¿ chiếc tham gia vào quá trình sản xuất thì ta coi chỉ cĩ một chiếc máy loại này, với năng suất được quy ước:
= lu Vj = I,n
/
ij
e Nếu cĩ k; đơn vị chỉ tiết 7 cấu thành nên mỗi sản phẩm đồng bộ
thì ta coi như chi tiết 7 chỉ cĩ một đơn vị, với năng suất được quy
ước: Cig 5 C= Vi = 1,m 3
Do đĩ, về lý thuyết ta chỉ cần nghiên cứu phương pháp giải bài tốn sản xuất đồng bộ như đã nêu ở trên là đủ
Bài tốn (3.19), (3.20), (3.21), (3.22) được viết dưới dạng tường minh như sau: ƒ(Z,X)= Z=min{ồ) œ;+¡} —> maz jo =1 (ary te +2Lin < Limi _** +Zmn < 4 —eu%11 son m1] +Z << —CinXLin Tử —CmmŸmww + Z < | 220, 2320, V i= I,m, join
Bai tốn đối ngẫu của bai todn san xuất đồng bộ: Tim céc s6 u = (wu) viv = (v;), 4 =1,m, j =1,n de
™m
g(u, v) = » uz; > min (3.23) i=1 ui — Cv; 20, Vi=1l,m,j=1,n (3.24) nm 2ø; >1 (3.25) j=1 u¿ > 0, 0 20, Vi=1,m, Vj =1,n (3.26)
Các cặp điều kiện đối ngẫu của bài tốn:
Trang 31172 3.2 Bai ton san xuât đồng bộ
Bài tốn đỗi ngẫu
1=1 Lig 20 uj — cv; >0,Vi=1m, j = 1,1 Z>0 Sou S`„ u¡ >0, Vị = 1,1m j=l =>) tytiy + Z <0 vj >0, Vj =1,n
Để thuận tiện, ta thường biểu diễn bài tốn sản xuất đồng bộ dưới dạng bảng như sau: Cy C; Ch M T11 T17 Lin m 1 1 CỊ1 C17 Cin
M Lit Lig Lin u
i i Cit C¡7 Cin m1 Linj mà Mu Um Cm1 Cmj Cmn Vy Vv; Un
3.2.2 Tính chất của bài tốn sản xuất đồng bộ
Định lý 3.7 Đài tốn sản xuất đồng bộ luơn cĩ phương án tối uu
4, < 1 Ớ <<
CHUNG MINH Nhan thay X = (2;;) với 7, = —, Vi=1,m,j=1,n n 3 thỏa mãn các điều kiện (3.20) - (3.22) Vì vậy bài tốn sản xuất đồng bộ
luơn eĩ phương ấn
Trang 32bị chặn trên bởi Ở trên tập phương án, nên bài tốn cĩ phương án tối
ưu L]
Định lý 3.8 7rong phương an tối ưu của bài tốn sdn xuất đồng bộ thì
Z luơn dương
CHUNG MINH Theo gia thiét c;; > 0, Vi = 1,m, 7 = 1,n, dong thoi mỗi sản phẩm thứ ¡¿ phải được sẵn xuất trên ít nhất một máy ÿ, nên với
mỗi 7 đều tồn tại j để z¿„; > 0 Do đĩ
nm
L= min{ Z;} = min{), đ#z} > 0 i=l
LÌ
Định lý 3.9 Trong bài tốn sản xuất đồng bộ, bạng của ma tran hé 36
các ràng buộc chếnh là mm + n
CHUNG MINH Ky hiéu d; 1a véc to dong thi i của ma trận Ả với i= 1,m-+n, ta chiing minh hé m+n vecto dong này độc lập tuyến tinh
Xét đẳng thức sau:
aydy + Ady +++: + Amindmin = 9, trong dé 0 1& vecto khéng mn + 1 chiéu
Giả sử ai #0, ta cĩ thể giả sử œ¡ = 1 (vì nếu khơng, ta chỉ việc chia,
cả hai vế của đẳng thttc trén cho a, # 0) Từ thành phần thứ nhất của đẳng thức trên ta cĩ 1 — Am41C11 = ƠÚ, suy ra œ„¡¡ > 0, tương tự ta cĩ „+; > 0, VJj = 2,n Từ thành phần cuối cùng (thứ m.n +1) của đẳng œm„+ = 0 Do đĩ tổng các số dương bằng 0, vơ lý Mas thức trên ta cố 1 G, ll Vậy ơi = 0 Lập luận tương tự, ta cĩ œ¿ = 0, i = 2,m
Mặt khác từ ø thành phần đầu tiên của đẳng thức suy ra œ„¡; = 0, Vj =1,n
Nhu vay, a; = 0, Vi = 1,m + œ hay hệ {d, dạ, , d„} độc lập tuyến
tính L]
Định lý 3.10 Nếu hệ thống số {(u¿, 0j) : ¿ = 1,m, j = 1,n} là phương án của bài tốn đối ngẫu thà u¿ > 0, ¡¿ = 1,1m
CHÚNG MINH Từ điều kiện đối ngẫu (3.25), (3.26) suy ra tồn tại v; > 0, két hợp với điều kiện (3.24) và cj > 0, W¿ = 1,7m, j = 1,7, ta
Trang 33174 3.2 Bài tốn sẳn xuất đồng bộ
Nhận xét 3.2 Nếu X* = (: E5) xn và {(u*, 0°): ¿= 1,mn, j = 1,m} là
phương ấn tối ưu của bài tốn gốc và bài tốn đối ngẫu thì
mr nm ee =lmva À3) 0 = j=1 j=l Theo định lí 3.8, định lí 3.10 và định lí độ lệch bù yếu, ta cĩ thể chứng minh nhận xét này Định lý 3.11 Nếu hệ thống số {(u, 07): ¿ = 1, Uy
an tối ưu của bài tốn đối ngẫu thà 0 >0, Vj
,j =1,n} là phương
CHUNG MINH Gia sti ngudc lai tdn tai v*, = 0, vi uf > 0, Vi = 1,m, nén u* — cjj,v%, > 0, Vi = 1,m Theo dinh ly d6 lệch bù yếu thì phương án tối ưu của bài tốn gốc phải thỏa mãn zj, = 0, Vi = 1,m, do đĩ
chi tiết 7o khơng cĩ, bức là Z = 0, mâu thuẫn với định lý 3.§ Vậy
0 >0, Vj =1,m O
Hệ quả 3.3 Nếu X* = (BE din va {(u*, v*): i=1,m,7 =1,n} la ij
phương đn tối ưu của bài tốn gốc uà bài tốn đối ngẫu thà
— 2 eg + Z*=0,Vj=1,n
Cĩ nghĩa là, nếu +* là phương án tdi uu thi sd céc chi tiét sdn xuất ra phải bằng nhau: Z\ = 2a = = Zp
Định lý 3.12 Nếu hệ thống số {(u¡, 9¿) : ¿ = 1,m, j = 1,n} là phương
án cực biên của bài tốn đối ngẫu th Š ` 0; = 1
a)
CHUNG MINH Gia sit {(uj, vj) : 4 = l,m, j = 1,n} 1& phương án
cực biên của bài tốn đối ngẫu mà khơng thỏa mãn )> v; = 1 Khi dé
3
nĩ phải thỏa mãn chat m+n rang buộc độc lập tuyến tính dạng:
t¿ — C¿7Ù7 — 0, với Vi € tị, Vj = Ji, va UK = 0, với Vk = Jo
trong đĩ ïị, J¡, J; là tập chỉ số nào đĩ thỏa mãn
C {1,2, ,m}; Ji, Jo C {1,2, ,m„} và J\ U J¿ = Ø Hệ trên cĩ duy nhất một nghiệm tầm thường:
Trang 34Điều này mâu thuẫn với định lý (3.10) nĩi rằng 1u; > 0, Vi = I,m
Vay D> 0; = 1 L]
j=l
Chú ý 3.4 Dịnh lí 3.12 vẫn đúng trong trường hợp tồn tại ¢;; = 0, chỉ
cần:
max{ cis } >0, V7 = 1,n và max{ ci; } > 0, Vi = 1,m
Nhận xét 3.3 Giả sử (u¿, 0;) là phương án tùy ý của bài tốn đối ngẫu r A = 1, ta sẽ trực tiếp suy ra phương án (ut, 0;) thỏa mãn
» œ; = 1 nhờ phép biến đổi tỉ lệ sau: =1 S 1 nr Sov 921
trong đố À = < 1 Khi đĩ giá trị hàm mục tiêu mới là:
do Ui gự
07" = Du = ou = AY y= ol i,
wy OY;
j=l Ẵ j=1
tức là phương án {(¿, ø;)} tốt hơn phương án cũ Tuy nhiên, ta sẽ coi
hai phương án này là tương đương nhau theo nghĩa từ phương án này
trực tiếp suy ra được phương án kia nhờ một phép biến đổi tỷ lệ, vì vậy
ta cố coi chúng như chỉ là một phương án
Tổng quát hơn, các phương án {(¿, vj): 2 = 1,7n, j = 1,n} chỉ khác
nhau một thừa số nhân thì được coi như là một phương án
Từ định lý 3.11 và định lý 3.12, để tìm phương án tối ưu của bài
tốn đối ngẫu ta chi can tim nĩ trong số các phương án của bài tốn đối ngẫu làm thỏa mãn chặt m -E ø — I ràng buộc độc lập tuyến tính dạng
dạ — đu = 0 (mỗi dịng và mỗi cột đều phải cĩ ít nhất một ơ (2,7) mà
th; — C;7Uj7 = 0)
Trang 35176 3.2 Bài tốn sản xuất đồng bộ
độc lập tuyến tính dạng tuạ — GUj = Ú khả va chỉ khá nĩ khơng chúa chu trành
Do vậy, phương án thỏa mãn chặt mm +» — 1 ràng buộc độc lập tuyến tính wu; — œz0; = 0 được gọi là phương án cực biên suy rộng của bài tốn
đối ngẫu (3.23) - (3.26), với giá trị hàm mục tiêu tương ứng là:
Mỗi phương án cực biên suy rộng của bài tốn đối ngẫu được gọi là hệ thống nhân tử của bài tốn sản xuất đồng bộ, các số „¿ được gọi là
nhân tử của dịng ¿, các số 0; được gọi là nhân tử của cột 7
3.2.3 Phuong pháp nhân tử giải bài tốn sản xuất đồng bộ
Tìm phương án cực biên suy rộng ban đầu
Trên bảng năng suất, tìm ư cĩ năng suất lớn nhất Giả sử 6 đĩ là ơ
(r,k), ta cho nhân tử cột k là ø¿ = 1, nhân tử của các dịng và các cột khác được tính theo các bước sau:
Bước 1 Nếu cột k đã cĩ nhân tử, dị theo cột ấy, tìm ư cĩ năng suất cao nhất trên những dịng chưa cĩ nhân tử, giả sử là ơ (p, k), viết
nhân tử cho dịng p theo cơng thức:
Up = mma#z{e„;9;, với mọi cột j đã cĩ nhân tử} (3.27)
Ơ tương ứng với tích lớn nhất này được lấy làm ơ chọn
Bước 2 Nếu dồng p đã cĩ nhân tứ, đị theo dịng ấy, tìm ơ cĩ năng suất
cao nhất trên những cột chưa cĩ nhân tử, giả sử là ơ (p, g), viết
nhân tử cho cột g theo cơng thức:
Ui be 39% pg PPS yi 2
Vg = min 2 : với mọi dịng ¿ đã cố nhân tử) (3.28)
Cig
Trang 36Ấp dụng nguyên tắc trên sau một số hữu hạn bước lặp ta tìm được
hệ thống mm -L „ SỐ ¿, 0, ¿ = 1,7m, j = 1,7m và ?m +?» — 1 6 chọn (vì mỗi
ơ chọn ứng với mệt nhãn tứ, riêng Ơ (z, k) ứng với hai nhân tử ø; = 1 và, u„ —= c„„) Các 6 chọn này đảm bảo khơng tạo thành chu trình Trong
bảng ta đánh dấu các ư chọn bằng dấu "*"!,
Chú ý rằng, nếu cực đại (3.27) hoặc cực tiểu (3.28) đạt tại nhiều ơ
thì cĩ thể lấy tùy ý một trong các 6 đĩ làm ơ chọn
Dinh ly 3.14 Hé thing m+n 86 (uj, vj): i = 1,1m, j = 1,n tầm được theo phương pháp trên là một phương án cực biên của bài tốn đối ngẫu
CHỨNG MINH Từ các bước xác định 1, 0; ta cĩ
tu — €0; > Ư, uị > Ư, 0j >0, ¿ = 1,1m, 7 = 1,n,
con tai cac 6 chon thi u; — jv; = 0
Ngoai ra cting theo phudng phap trén, cac 6 chon khơng tạo thành chu trình Ta cũng cĩ số 6 chọn bao giờ cũng là ?m » — 1 Do đĩ hệ
théng m+n sd {(uj, vj): ¡ = 1,1m, j = 1,m} thỏa mãn e n— 1 phương trình độc lập tuyến tính, vì vậy hệ thống số tìm được theo phương pháp
trên lập thành một phương án cực biên của bài tốn đối ngẫu L] ]l«í hiệu tập các ơ chọn là G, khi đĩ
tị — CjUj 20S (i, 7) ợ G (3.29)
u¿ > Ũ, 0 > 0= 1,1m, j = 1,1m (3.31) Ví dụ 3.9 Tìm hệ thống nhân tử của bài tốn sẩn xuất đồng bộ cho
Trang 37178 3.2 Bài tốn sản xuất đồng bộ
Giải Quan sat bang trên, ơ (3, 1) cĩ năng suất cao nhất với cai = 4ð,
cho nhân tử cột 0¡ = 1
Trên cột 1, ơ (3, 1) cĩ năng suất cao nhất trên các dịng chưa cĩ nhân tử nên uạ = 45.1 = 45, đạt tại ơ (3,1) nên lay 6 (3,1) làm ơ chọn như
trong bảng 3.19 Bảng 3.19: Bằng ơ chọn và hệ thống nhãn tử 18 40 * |20 = 120 31 16 39 -#( [sưa = TÌỔ 45 *|15 *|9 *|ua=45 Y= 1) v=3 |] v3 =5
Trên dịng 3, ơ (3, 2) cĩ năng suất cao nhất trên các cột chưa cĩ
45 2
nhân tử nên vp = Tg = 3, đạt tại ơ (3, 2) nên lay 6 (3, 2) lam 6 chon Trên cột 2, ơ (1,2) cĩ năng suất cao nhất trên các dịng chưa cĩ nhân
tử nên uy = maz {18.1; 40.3} = 120, dat tai 6 (1, 2) nên lấy ơ (1, 2) làm
6 chon
Trên dịng 1, ơ (1, 3) cĩ năng suất cao nhất trên các cột chưa cĩ
- (120 45 j
nhan tit nén v3 = min Solas 5, dat tai 6 (3, 3) nén lay 6 (3, 3)
lam 6 chon
Trên cdt 3, 6 (2, 3) 14 6 duy nhat ứng với dịng chưa cĩ nhân tử nên ug = maz {31.1, 16.3, 22.5} = 110, dat tai 6 (2, 3) nén lay 6 (2, 3) lam
6 chon
Nhu vay ta d& xAc dinh duoc hé théng nhan ttt (uj, v;), cting 1a phương án cực biên suy rộng của bài tốn đối ngẫu với bài tốn đã cho
Xây dựng hệ thơng ước lượng và tiêu chuẩn tơi ưu
Trang 38ngẫu theo các phương trình sau: nig = 0, W(i,j) EG (3.32) So ay =1, Via Tm (3.33) j=l — » C¡77¡7 -+ L = 0, Vj = 1,? (3.34) ¿=1 m ` z ¬ Us anf Ti (3.34) ta cd Z = D> e243, Vj = 1,n, ma cy; = — ở các ơ chọn, i=1 Uj
Li; = 0 6 cdc 6 loại nên
™m Ui 1 ™m n n m
Z=)) 25 = — D0 uty, Vi =1n > DyZ= (duty i=1 V5 ) U5 i= 1 j=1 j=1 i=1 \i
=> ZỀ}1;=Š)u¿ (do (3.33)) + Z = — = w j=l i=l > Uj ay J=1
Khi cĩ Z ta tính tiếp z;; theo các phương trình (3.32), (3.33), (3.34)
m
bà Py
Néu 2;; > 0, V(i,7) thi hé théng nhân tử tương ứng là phương án tối ưu của bài tốn đối ngẫu, do đĩ ma trận X = (z;;) là phương án tối ưu của bài tốn sản xuất đồng bộ đã cho
Nếu tồn tại ư chọn (2, 7°) mà z;s; < 0 thì hệ thống nhân tử tương
ứng chưa phải là phương án tối ưu của bài tốn đối ngẫu Trong trường hợp này ma trận X = (z;;) được gọi là giả phương án của bài tốn sản
xuất đồng bộ, các #¿;, ¿ = l,?m, j = 1,1% được gọi là hệ thống ước lượng
của phương án cực biên của bài tốn đối ngẫu Điều chỉnh phương án
Trang 39180 3.2 Bai tốn sản xuất đồng bộ
Nguyên tắc điều chỉnh: nhần tử nào bị điều chỉnh thì được nhân với
A, nhân tử nào khơng bị điều chỉnh thì giữ nguyên À gọi là bệ số điều
chỉnh Hàng (cột) cĩ nhân tử bị điều chỉnh gọi là hừng (cột) điều chẳnh và đánh dấu "+-" vào hàng (cột) đĩ Hàng (cột) nào khơng điều chỉnh
được đánh dấu "—"
Giả sử hệ thống nhân tử (phương án cực biên suy rộng) mới là
(u;, vj) Khi dé
520, Vj) Ở)
/
tị — C;7U
Theo nguyên tắc điều chỉnh, nếu ơ (¿, 7) cĩ
® u¿ = uị và 0; = v; thi điều kiện (*) được thỏa mãn;
® u¿ = Àu; và 0; = Àu; thì điều kiện (*) thỏa mãn với mọi À > 0; e ¿ — Àu¿ và 0; = 0¿ thì (*) được thỏa mãn khi và chỉ khi À > 1
tt;
eu, = uj va v; = Av; thi (*) dude thỏa mãn khi À <
Ci D7
Ta thuc hién diéu chinh nhu sau:
Bước 1 Tìm ơ đưa ra (¿°, 72) mà #;s;ø < 0 Hàng 2° bị điều chỉnh Đánh
dấu " " cho hàng ?° và đánh dấu "—"' cho cột 7°
Bước 2 Trên hàng ¿ cĩ dấu " !", ta đánh dấu " ! cho các cột cĩ 6 chon nằm trên hàng này và chưa được đánh dấu
Buĩc 3 Trên cột 7 cĩ đánh dấu " "_, ta đánh dấu " " cho hàng nào cĩ ơ chọn nằm trên cột này và chưa được đánh dấu
Trang 40Xác định hệ số điều chỉnh:
A= min | a , V(i, 7) ex}
C¿7Ù7
M1
Giả sử À = mmửn { } Khi đĩ ơ (2, 7!) được đưa vao tap 6 chon
C¿171U21
Dã thấy rằng mm + ø= — 1 6 chon mới khơng chứa chu trình Người ta đã chứng minh được rằng phương án cực biên suy rộng mới tốt hơn phương ấn cực biên suy rộng cũ (với giả thiết bài tốn đối ngẫu khơng suy biến
thì À > 1)
Thuật tốn nhân tử giải bài tốn sản xuất đồng bộ
Buĩc 1 Xây dựng phương án cực biên suy rộng ban đầu của bài tốn
đối ngẫu là œÌ = (u;, 9;) với tập ơ chọn G Buéc 2 Kiém tra tiêu chuẩn tối ưu
Từ phương án cực biên suy rộng ! = (u;,0;) ta thực hiện các thao tác sau: Su, - Tính Z= = Tm! »- j=l - Xác định giả phương 4n X! = (z¡;) từ hệ Lig = 0; Ví, j) # G » Lig = Lwes l,m j=l » C¿7Z¡j — Z, V7 = lyn a=1
-++ Nếu z;; > 0, V(¿,7) thì giả phương an X! 1a phương án cực biên tối ưu của bài tốn sản xuất đồng bộ
+ Nếu tồn tại z„; < 0 thì chuyển sang bước 3
Bước 3 Diều chỉnh chỉnh phương án cực biên suy rộng (uj, 0;) (giả sử 6 đưa ra khỏi G là (2°, 7°) vì cĩ #;s; < 0):
- Tìm tập hợp K;
th “Mi
- Tim A= min { exh =