Giáo trình giải tích 1 phần 2 ts vũ gia tề

Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Phép tính tích phân phép tính thứ hai giải tích Chúng ta tiếp cận khái niệm tích phân xác định xuất phát từ phép tính giới hạn khác hăn với phép tính tích phân bát định phép tính ngược đạo hàm Tuy nhiên định lý phép tính vi phân tích phân cho ta thấy liên hệ chặt chẽ hai loại tích phân khác Qua thây nên tảng phép tính tích phân phép tính vi phân 4.1 KHÁI NIỆM VÈ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4.1.1 Định nghĩa tích phân xác định Cho ƒ/: [a.b]—>R.a/ hữu hạn không phụ thuộc vào phân hoạch [a.b] không phụ thuộc vào bắt kỳ cách chọn ứng với phân hoạch định gọi tích phân b xác [7œ định / nói [ah] Kí hiệu tích phân xác định / khả tích [ab] Nhu vay: al [fends = lim 97 1(E,)dx, Trong kí hiệu trên: z đ ƒ dâu lây tích phân (4.1) a z Ỉ lây tích phân từ a đến b, a cận b cận tích phân x biến lấy tích phân, / (x) hàm dấu tích phân đr vi phân biến lấy tích phân Định nghĩa Riemanmn phát biêu tơng quát nên tích phân xác định gọi tích phân Riemann (mặc dù trước Cauchy dùng định nghĩa cho hàm số liên tục) Chương 4: Phép tính tích phán 217 Danh từ tích phân (integral) xuất phát từ chữ La-tinh integer có nghĩa nguyên Bernoulli đặt Kí hiệu ff (x) ae Leibnitz dùng , [fae Fourier ding Chủ ý: a Chúng ta thấy ý nghĩa hình học tích phân xác định sau: tích Nếu /(x)>0 [¿.?] thi tong Riemann chinh tổng diện hình ƒ(,).¡=0.n—1 chữ nhật có kích thước tương ứng Ax,và Đó diện tích hình bậc thang, gan diện tích hình thang cong giới hạn trục Ox đường cong Œ, hàm số duong thing x=a, x=h bh Nhu vay [fends diện tích hình thang cong mơ tả trên, ta kí hiệu hình thang [a.b.C, | (hình 4.1) xy y Hinh 4.1 218 Giáo trình Giải tích | b Nếu /(x) khả tích [ø.b] tích phân h h [ƒ/(x)áx= [Z0)4r Bởi vé phải giới hạn dãy tổng Riemann a-l Ø, => /(6)AI, hai đêu thực phân hoạch [a.P] với ¡x0 hàm số / Như tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân e Người ta định nghĩa “ h h a fy (x)dx theo céng thirc: ji [f(odx = — [fod (4.2) Dac biét: [fdr =0 (4.3) 4.1.2 Điều kiện tồn A Điều kiện cần Dinh ly 4.1: Néw f kha tich trén [a,b] thi_f bi chan [a,b] Chứng mình: Ta lý luận phản chứng sau: Giả sử /không bị chặn trên, lập dãy {ø,} dần đến +œ cách lấy điểm ¿ lân cận không bị chặn Vậy / bị chặn / Chứng tỏ không tồn giới hạn hữu hạn ø, tương tự / m M efÑ cho m< ƒ(x) R phân hoạch (x,) xác định Cho /: Dat m, = Inf (As M, = Sup(f), Xi fetal /=0.n—] (¡= m) Chương +4: Phép tính tích phản Người ta gọi nel s= 3) mAx, DI 219 ad §= > M_Ax, =o la tơng Darboux trên, hay tổng tích phân tổng tích phân ƒ ứng với phân hoạch Vì m< /({)0.x€ [4.4] bao gid ta tìm điểm M (c, f(c)) dé hình chữ nhật có kích thước b - a ƒ(c)có diện tích điện tích hình thang cong [a.b.C, } xem hinh 4.2 B Dinh Ij tong quát giá trị trung bình Định ly 4.9: Cho f, gkha tich trén [a,b], a < b, g(x)20 hode g(x)