CHUONG 5 HAM NHIEU BIEN
5.1 Khái niệm vẻ hàm nhiều biến
Đại lượng biến thiên z được gọi là hàm của hai biến z và nếu theo một qui tắc nào đó mỗi cặp số thực (+, ) của tập hợp 72 tương ứng với duy nhất một giá trị của 2
Các đại lượng biến thiên + và được gọi là đối số hay biến độc lap cua ham Tập hợp chứa trong mặt phẳng Øz được gọi là miền xác định của hàm số
Ki higu ham hai bién z = z(x,y), z = f(x,y), z= pix, y) hoae u = u(x, y) Giá trị của ham tai diém AJ(x,,ỵ) duoc ki hiéu 1a F(®o, Yo) hoac f(A) |
Về mặt hình học mỗi cặp số thực (x,y) xác dinh diém M trén mat phang Oxy, cdn
giá trị của hàm tại điểm đó là cao độ của điểm P(r, u, z(z, )) trong không gian R? Tập hợp các điểm P(z+, ụ, z(+,)) cúa không gian R* mà toạ độ của chúng thoả mãn phương trình z = z(z,ø) được gọi là đồ thị của hàm hai biến Đó là một mặt cong trong khong gian R* ma hinh chiếu vuóng góc của nó lên mặt phẳng Oz chính là
tap hop D Ñ 4 _————— cm Hình 5.1:
Ta lưu ý rằng miền xác định của hàm số z = z(z, ) trong những trường hợp đơn giản nhất là phần hữu hạn hoặc vô hạn của mat phang toa do O:ry được giới han boi một hoặc một số đường cong
Định nghĩa hàm số của r: bién s6 (n > 3) cũng được phát biểu tương tự Đối với hàm của ba biến ta thường kí hiệu ¡ = ƒ(+, ụ,z) hoặc u = F(AL) trong dé M(x, y,z) la
Trang 2điểm thuộc miền xác định của nó Các ví dụ:
Ví dụ 5.1:
1 Cho hàm số f(x,y) = ay + Tim f(y,2), ƒ(~ =9), ƒŒ,2)
š x r+y+2 tlt
2 Cho hàm số ƒ(z,9, z) — z2 +2 + z2 Tìm f(a, r 7a)
3 Cho z = xf (%) Hay tim f vaznéuz=\/1+y¥ khiz =1 +
Giải: 1) Giá trị của hàm ƒ(.z) thu được bàng cách đổi vai trò của a: va ỵ Ta cd x
Myst) = ty +7
2) f(-z, -y) = (—z)(-y) + - =ZU +— = ƒ,U)
3) Độc giả tự giảị 4)z= z/) = z(z,) Cho z = 1 => z(1,) = ƒ(1,9) = ƒ@) = v1+ÿ? Vậy | Ụ | ự “)=/1+S: ƒf—-)= V115 TC „2 Ù\ + =#(~â)=\(è+ơ.: : wh) {| +3
Ví dụ 5.2: Tìm miền xác định và phác hoạ miền xác định của hàm số
l)z=ư 2)z= v1 ~ x2 2 z= = V2z3 ~ 6x2 ~ 32 — 6 3)u= :
Giải: 1) Hàm z = z? + 2 xác dịnh Y(z,) € Ozỵ Đồ thị của z = +” + #” là một paraboloit tron xoaỵ
2) Miền xác định z = \/1 — x? ~ g? là tập hợp nhiing diém (x,y) ma 1 ~ 2? - ˆ>
0 => z2? + 2 < 1L Đó là hình trịn đơn vị đóng (kể cả biên) Đồ thị của hàm số là
3) Miễn xác định: 9 ~ z2 — y2 > 0 => #? + w° < 9 miền trong của hình trịn tâm O(0,0) ban kính bằng 3, không kể biên
4) Miền xác định
Trang 3XS Ú as
"= ; ae
“< „ a
x
Hinh 5.2:
Bat đẳng thức (5.1) xác định phần trong của mặt hypecbonloit hai tầng trong không gian R°
5) Miền xác định trong khong gian R? cia ham đã cho được xác định bởi điều kiện „2 re yf 2 2 2 1“ 2 tg 2 2
l~ a -p et j†jz+
Vậy miền xác định của hàm đã cho là elipxoit đóng (kể cả biên) với các bán trục là ạb,¢
Ví dụ 5.3: Tìm miền xác định của r _—
l)'u = arcsin 5 + /ry 2)u=Ìn viv
¬¬ reỷ
3)u= far+ỷ-14+In(4~- x? - y’) Giải: a) Miền xác định
+
¬ —2<z <2 —2<z<2
2 => hoặc
z >0 r20,y20 +<S0,us0
Miền xác định gồm hai nửa băng vô hạn (xem Hình vẽ 5.3:a) b) Miền xác định được xác định từ
we 2 Ụ >0 ở
_w => z#“- >0 |u| < lai 2 ~ „2 # 0
Từ đó suy ra miền xác dịnh là phần gạch gạch nằm giữa hai đường thẳng = z và ụ = —r (xem Hình vẽ 5.3:b) c) Hàm đã cho xác định nếu
rtỷ-1>0 iy >i
Trang 4Y 1 „ wf ⁄ J, /| Ộ x 2 NV =+N M“ ⁄ z7 ⁄ ss ¿ “ “ “ ° / N “ ` Of ƒ | ` ự | + Lư“ 2 ⁄ 410 ? 2 y ini N | x LY 0] , 7 L⁄ + ⁄ ¿ | ’ N | ⁄ 2 l - “ | N hy Hình 5.3: a Hình 5.3: b 5.2 Giới hạn và liên tục
5.2.1 Gia str ham z= f(M) = f(a,y) x4c dinh trên tap hop D Gia thử Äfo(:zo, 00) là điểm cố định thuộc và z — #ọ, => yọ khi do điểm Àƒ(z.) -+ Älo(rọ 9o) Điều này tương đương với khoảng cách
0(Ä1 Nf) = J (2: — Zo)? + (y — yo)? ¿È*Zg0 —y 0
— W0
Tà có định nghĩa sau đây:
a) Định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ ”e — 6”: Số b được gọi là giới hạn của hàm ƒ(AT) tại điểm Afc khi ă > Alp néu Ve > 0 cho trước, ¡ ồ = ð(€) sao cho VM€D, 0< p(M, My) < 2 thì |[ƒ(AD) - bl <ẹ
b) Định nghĩa giới hạn "theo dãy”
Số b được gọi là giới hạn của hàm f(A) tai điểm 4ạ nếu với mọi dãy Ä1¿ =
(#„,a) € D, Mụ # Mẹ và Mu —> M thì ta có ƒ(M,) => b
Kí hiệu sử
lim ‘(c,y) = lim f(A) = b= lim f(z, "- - ' 9) AIM AM) ma! ớ Hai định nghĩa giới hạn trên đây là tương đương với nhaụ
Chú ý: Ta nhấn mạnh rằng theo dịnh nghĩa, giới hạn của hàm không phụ thuộc vào phương dần ă -> ăạ Do đó nếu ă -+ Äïío theo hai cách khác nhau mà f(A) dan đến các giá trị khác nhau thì khi ă -+ ÄZạ hàm ƒ(A7) khơng có gới hạn
Ví dụ 5.4: Chứng minh rằng
¬
lim (2 + y)sin —sin- = 0
roo ; r y 1>Ua :
Tạ có giới hạn kẹp
{ ˆ 1 ` 1j $ Ị ' i
0< ta + y) sin — sin —|< lxr + 0 € |#i + Jo|
Eo Uy |
Trang 5mà |z| + || = 0 Vậy ta đã chứng minh xong - yoyo aạ Vi du 5.5: Tính các giới hạn sau: 2 V#2+(0q—2)2+1—1
1) lim - ty ) 7 2) lim (1 4 xy) = + xy
ụ¬2 : " + (y- v22
me op _ 1
3) lim ——- 4) lim(x? + y*) sin —
02 +; 2 z—0 +
y0 y —0 b
Giai: a)
lim wit (y= 2) 41-1 = lim :
3£ +(U— 2)?|[v+?+(u—=2)2+1+1] z29/z?+(w-2)2+1 b) lim{(1 + zy)Z9]2 + ty = lim|(1 + zụ)29]% + 9 = e
yỏ _=‹
c) Chuyển sang toạ độ vực # =7ro§ự, =rsinw
ritỷ — r4(costy +sin* y) =r*(costy +sin*y) <r 2
#2? +ụ? r2(cos2 + sin2œ) _,, ứt +t r=vw+z2+? —- 0 Vậy lim— =0 z—0 7 02 + 2 y0 y0 đ) Ta có | il 0 < l(z? +1)sin |< |z?+ ry | —> 0 z—+0 0 ay 13 2 24 ST Vậy lim(x* + y*)sin — = 0
yy
Ví dụ 5.6: Khao sát các giới hạn sau: ; „2 2
vi re
19) hin 5 y 5 r—- 2) lim —*
07 ‘
>¬02 + eg ty
Giai: a) Choy = x -> 0 Vậy
r—0
lim im1— 9: 5 = lim— > =~ l m1
w-+0'2 + 1/2 >0 2.r2 2
yO Choy = /z -> 0,
z—0
3/2
lim = lim — = lim = 0
+0 pẻ ỷ (Ø2 -++ Ø r—0
u=v2—0 TỐ
Trang 6Va ay A ay +2 yo
b) Tuong tự như câu a)
gar Choy=r — 0: hm ———- = rod -—+0 2x2 yer Cho=v+ >0: T0 wr—-0 lim + + /¿Ƒ — =-140: Uu=vz—=0 72 — 4/2 —Ù Vay A lim — + +—0:2 + 4 0 yr
5.2.2 Tinh lién tuc cua hàm số
Hàm z = f(z,y) = ƒ(Aï) được gọi là liên tục tại ă¿ nếu hàm ƒ(ă) xác định tại chính Mạ và trong một lân cận nào đó của điểm Âđq:
+ Tén tại giới hạn lim ƒ (Af)
M— Mo
+ im, FM) = = f (Mo)
Hàm z =-ƒ(A7) liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm A/ ¢ D Diém Äíc được gọi là điểm gián đoạn của hàm z = f(A/) nếu nó hoặc khơng xác định tại Äíạ nhưng vẫn xác định trong một lân cận nào đó của điểm ă¿, hoặc không tồn tại JB, f(M) hoac XD, Ƒ(M) #£ ƒ(Mh)
Cũng như trong trường hợp hàm của một biến số tổng, hiệu, tích của các hàm liên tục hai biến tại Mạ là hàm liên tục tại điểm đó thương của hai hàm liên tục tại Mạ cũng là một hàm liên tục với điều kiện tại điềm Ä/y hàm dưới mẫu số khác khơng Ngồi ra, định lý về tính liên tục của hàm hợp vẫn đúng trong trường hợp | naỵ
Vi du 5.7: Khao sát tính liên tục của hàm số:
{ coste —y)- cos(a + 1) khi (x, y) 4 (0, 0)
Zz f(z, y) = 2z
li khi (cr, y) 4 (0.0) Giải: Ta viết lại hàm đã cho như sau:
sin x ‘sity | : khi (z,y) # (0.0) ;=ƒ(MU) =4 + YU y) # (0.0) 1 khi (z,ø) # (0,0) ing siny 44 #(0,0) Ụ
f(x,y) la ham liên tục theo hai biến tại Ó(0, 0)
Lis bà ty
Trang 75.34 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
5.3.1 Giả sử xét hàm hai biến z = ƒ(z,) xác định trong miền D và điểm M{(z,u) € D Khi cho z một số gia Az đủ bé để sao cho (+ + Az,y) € D thi ham ƒ(z,) nhận gia số A„z = z( + Az,y) — z(z,y) `
Tương tự: A,z = z(x,y + Ay) — z(z,y)
Nếu tồn tại giới hạn A
x + À1,U) —J]\(1;i
lim A | ww f(x,y)
thì giới hạn này được gọt là đạo hàm riêng của hàm f(z y) theo bién x và kí hiệu là
z Oƒ(+.U)
x Ox
-_ Tương tự, nếu tồn tại giới hạn
Q
©œ› » Fr(tsy): 22(t, 9)
im (yt Ay) = fey) lm
A0 Ag
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của ham f(z, y) theo bién y va kf hiéu 1a
öz ؃(e,0)
dy’ ’ filz,y), zy (2,9)
œ5 ‹
Chú ý:
1 Từ định nghĩa trên ta thấy việc tính đạo hàm riêng thực chất là tính đạo ham của hàm một biến khi ta xem biến số kia là hằng số Do đó mọi cơng thức tính dạo hàm của hàm một biến được chuyển sang khi tính đạo hàm riêng 2 Hoàn tồn tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng của hàm từ ba biến trở
lền
9.0.2, Ta xét hàm ¿ = f(x,y) Hiéu Az = f(a + Azv,y + Ay) - ƒ(z,) được gọi la s6 gia toan phan cla ham f(x,y) tai diém M(x, y) € D, trong đó Az, Ay là số gia cua d6i s6 x,y tuong ứng
Ham z = f(x,y) duoc goi 1a kha vi tai diém ă(z,) nếu ta có biểu diễn Af(x,y) = AAr + BAy + O(p)
' ` >= + O(p)
trong đó ((ø) là vô cùng bé bậc cao hơn p = v⁄/z? + g?, tức là lin, ) =Q, A,B p30 p
khong phu thudc vao Ạr, Aỵ
Biểu thức 4Az + BA được gọi là vi phân toàn phần của hàm z = f(x,y) tai diém Ai(r,) và được kí hiệu là
dz(#,) = AAx + BAu
Trang 8Nếu hàm ƒ(z, u) khả vi tại điểm Ä⁄(z,) thì nó liên tục tại điểm đó
Điều kiện cần để hàm z = ƒ(z,) khả vi tại điểm Ä⁄/(z,): Nếu hàm ƒ(z,) khả vi tại điểm A⁄/{z, ) thì tại điểm đó nó có đạo hàm riêng theo mỗi biến
Điều kiện đủ để hàm z = ƒ(z, ) khả vi tại điểm AZ(z,): Nếu tai diém Ăx, y) các
Of(z,y) Of(z,y)
dx ` Oy
điểm M(x,y) thi ham z = f(z, vì khả vi tại điểm đó Vì Az = dr = 2-20, Ay =
dy = y — yo nén
dao ham riéng ton tai va liên tục trong một lân cận nào đó của
oF OF ay
df = + 5%
5.3.3 Bay gid gia sit z = f(x, y) làh hàm khả vi trong miền J2 C ]ˆ, z = w(f,s) y = (£, s) là những hàm khả vi đối với hai biến (/, s) trong miền D và miền giá trị của
các hàm ¿(£, s), /(£, s) chứa trong miền D Khi đó hàm hợp z = z[¿(ứ, s), W(t, s)]
sẽ khả vị theo hai biến (¿, s) và ta có công thức
of _ OF On , Of dy Ot Oz dt dy Ot Of _ Of 0x , Of dy Os Ox Os Oy Os
Cuốị cùng, việc áp dụng vi phân đ để tính gần đúng giá trị của hàm dựa trên đẳng thức gần đúng sau đây
ƒŒ + Äz,u + Auw) ƒ(Œo, 0o) + fe(to, yo)Ax + fy(%o, yo) Aỵ
Các ví dụ:
Ví dụ 5.8: “Tính đạo hàm riêng.của các hàm sau:
z= f(z,y) = x b) z = 12 + Barỷ + Bỷ
> »5y» 49 ` “pes
`) U =#+U— 2z— v+?+2+z? d)u = z2
Giải: a) Khi tính đạo hàm riêng của một hàm theo biến z ta coi các biến còn lại là hằng số Vậy z„ = y2¥4, 2) = 2¥Inỵ
Ð) z¿ = 220 + 3y*, 2 =v?+ 12” + l0 c) la có x i uy =1- #2 +w2+z? - ` Z \/x? + ỷ + 2?
dui = Ủz Uy = 2yz.0¥ Ine, ul = ỷr inẹ _ Ví dụ 5.9: T nh đạo hàm riêng của các hàm sau:
Trang 9J v Ty se ` i
a) z = (sinz)#J với sinz > 0 b) z = arctg— 1 €) z = Ìn(z + v⁄/22 +92) tại M/(1 —1) d)u = : : |: fr+y+2—1 2_ a2 oy 2,29 9 Y e) z= 107 -¥ ƒ) z = ẻ9 +0) + ginˆ ^
Giải: a) Trước hết ta lấy lôga Nêpe hai vế ta được Inz = xylnsinz Dao ham hai
vế theo + ta có ““ = Ìlnsinz + xy cos.r— z sins z, = (sinz)y[nsin r + rcotgz| z/
Tuong tu, ~ = rinsing, z, = (sinz)zInsinz > t b) / iol y zy = m——— — Ụ I ( =) Ụ z,, = in Y C) 1 ‘ r 1
fn = L V1ˆ+ essay) cory Vue +y fed 2
1 1
s0.-t=(qha)| <4 ret ỷ lạ-2) V2
a ] Ụ Ụ
7 m+A/22+924/422+02 (xt fủ + ỷ) f/x? + ỷ
Trang 10e) z= 2210**-¥" In 10, Zy = —2y10* ~% In 10
f)
‘ "m ` 1
y= (1° + 3?+z)e*9#”+#ˆ) + 2 sin J cos 4 Gì vole
, s2 235 1 2 = (89 + 32z)e°eŒ2+9”) + = sin Io ữ « t2 3 ` 2: z„ = (3z + ))e*w +w") — = sin + 2 + Ví dụ 5.10: Cho z = ln(z? — ụ”) Chứng minh rằng lỡz 4 lØz_ z tƠz u - g2 Giải: Ta cé 2U 2ủ ⁄ 24 z2 g2) z„ = In(z* — y*) — F9 ( U) —“ y2 đời + + 2 + Inz? 7 12) 2U ct W9 paỷ y — 2 — 2 — yln(x? — ỷ) 2 7 ỷ ye wv
Vi-du 5.11; Cho z = ysin@ Chứng minh rằng: r?z/ + LYyz = yz
Giải: Lấy lôga Nêpe hai vế ta được
Inz= J iny+ Insin 2
% x 1 = —my+ Ụ cos ¥ (4) + sn- #\N # + Ụ Ụ Ụ = —->Ìn — ->cotg“~ x2 197 và Đà / <a Zz / 2 l 1 J “# ==Iny+—+ =cotg? 2 4 1 + zi z, ( ( , 1 1 1
rt +ưu-" = x? (-4 Iny - Sang") trỆ ln + — + rote! | 2 2 % x? x T cự +
=-UlÌny— yootg +ưwlnư ucotg
È k
—=Ù
Đó là điều phải chứng minh
Trang 11a) z = £" sin? b) z= Vr? +ỷ
Gia: a) zi = = 2re™ sin? ỤU, =e" * sin 2y các đạo hàm riêng này liên tục với mọi
r,y) € R* Vay hàm đã cho khả vi tai moi (x,y) € R?
’ f ye >! ‘
dz = z,da: + z,dy
= 2re™ sin’ ydx + e* sin 2ydy
=e" Qsiny(«sin ydr + cos ydy)
b) z= (ả + 2)! z, = 2ø(12 + 0?)~?3, z! = 2W(+2 + 2)~?'2 các đạo hàm riêng này liên tục tại mọi (z, ) € ÑỶ, ta có
2z 2U
đz(r, 9) = Tana + (z2 + 2)3⁄3 „2+ 2)25 d: 7
Tại các điểm (0.0) các hàm z/, z„ không xác định Vậy nó khơng liên tục tại điểm (0, 0)
Vi du 5.13: Tinh vi phan toàn phần của các hàm sau: a)z= arctgŠ vol xz # 0
r
tà
"
b) z = (sim)? với sinz > 0 ] C)es Gial: a) ự cự l+ 1+ re I Ụ 1 dz: —> dhe sy dy ce uP ữ 1
= ——(irdy — yer) ro Ps Y — YOR;
b) ul = y2(sinx)¥*"! cosa, ý = z(sinz)#?Insin +, = 0(sinz)# Ìnsimz : : ; LÊN ` 2s
du= ude + uydy + uldz
: (sins) Nye cosxde + 2 sine luisinady + y sins Insin rdz|
eluate tỷ tee = dalả 4 g2 + 22) 8P = a 4? +27)", +
TRUONG J0 nh scp PONE YATE COsGe le, 42 4 ;>)-Ÿ7? Ty aRUONG DAI HỌC
GIAO THÔNG VẬN TẢI - Gở SỞ 2
Trang 12đu = —(#ˆ2 + ` + z?)”3/2(xdz + dụ + zdz)
Vi du 5./4: Tinh gan dung gia tri cla su thức
Trang 13Oz Oz Vi du 5.16: a) Cho z = e“sinu với w = +? + Ÿ và u = xỵ Tinh an 8 By
xr Oy Giải: Áp dụng công thức ở phần 5.3.3 ta có
b) Cho hàm z = (1 + z)#,z = uŸ - 0ˆ, =ưư0 Tính Oz
Ou = e“sinu, z =e" cosu Ou Ou Ou _ Ov Ov Ox Oz ar Oz Oy - = 27, — = 2y, Oy £ — Or ma r ~ Y: ~~ Oy L
= e"(2rsinv + ycosuv) =e” (2# sin #U + y cos xy) = € (2usin + zcos 0) = e” ”# (2 sin ø + x cos z0)
Oz Oz Ou’? Ov Giai: Lay loga Népe hai vé, ta c6 Inz = yln(1 + wry)
2 = = y° + —— ,_ y(l+zy)® =e ST vˆ — 47 1 + ri „ Ụ + l+g * l+ụ yl y) z Mr = In(1 + ry) + y $ ` l+#zụ rộ vú ry 2, = (14+ ry)” Inũ + T) + — : l+z/ Tụ — 2u, Ly = ~2U, Yu = 1, Yr =
Vậy theo cơng thức ta có Oz du Oz Ov Oz Ou Oz Ov Oz Ox Øz Öụ dr Ou * Ay Ou Oz Ox | Oz dy Ox Ov Oy av 0Ã + xu)" 2u + (1+ zụ)" ĐẮT + zụ) + zu(1 + zụ)9Ì
y(1 + xy)?" (Qyu + x) + (1 + ry)” In(1 + ry)
~— (0 + ry) Qu + (1 + ry)? In({1 + ry) + 2w(1 + #u)9 1
(1 + +)” (+ = 2e) + (1+ zø)#In(1 + xy) 9.0.4 Nếu z = z(Zz,U), = 9(z) thì
Trang 14Oz dz Vi du 5.17: a) Choz=27°+./y trong do y = sin’? x Tinh —, — | ) /y trong do y Da’? da
, OZ: ~ 5 O 1 = dz Giai; = 322, =
2z By = 2 a 2sinz cosa = sin 27
| — = 377 + ——sin2e = 327 + = = dz 2 1 ¬ sự sin 27
dx 2w 2| sim z]
— _, Oz dz b) Cho z = arctg(x+y), y = In(x + Vz? + 1) Tinh Dr? dae
+ đa Giải: Ta có Oz 1 Oz - 1 đụ — 1 Oc le(r+y)?? Oy 1+(r+g)) dx Vee dz 1 1 1 7.7 —cn + ~ - dự 1+(đ+U)° 1+r+)®vzf+l 1 1 = (= (5 ' )m (x+y) + 1 ) —— ,, x ) a a dz
Vi du 5.18: Cho z = sin*(x + y’), 4 = cos* ty = sin? t Tinh re dt -
dt dxdt Oydt
` / 2 « 1 2 : £ “ 2 ng 9) ,° % -
zi =sin2(rt+y*), 2 = 2ysin2(x+y*), x, =~dcos*tsint, yy = 3 sin’ t cost dz Ozdx LL Ozdy —
dz 9 So ở " «
a sin 2(# + y*).3 cos” tsint + 2y sin 2(r + y’).3 sin? t cos’ t =gin2(+ + ”) sin £ cos £( 3 cos † -† Ơự sìm f)
5.4 Đạo hàm của hàm ấn
õ.4.1 Hàm ẩn của một biến độc lập:
_ Ta xét phương trình
a
F(x, y) = 0 (5.2)
Giả sử đối với z bất kỳ thuộc tập hợp D phuong trinh (5.2) có nghiệm đối với ¿ Do đó với mỗi z € D đều tương ứng với một được xác định-nghiệm của phương trình (5.2) (lưu ý rằng (5.2) có thể có một số nghiệm đối với ¿ nhưng ta sẽ chọn một nghiệm nào đó) Điều đó chứng tỏ trên tập hợp D ta đã xác định hàm = ƒ(z)
Hàm này được gọi là hàm ẩn
Nhu vay ham an y = f(r) duoc xdc định từ phương trình (+, ) := 0 .Vậy
Trang 15F(z,y) =0, Ve e D
“Nếu F(z,) là hàm khả vi của z và y thi dao ham theo z ta cé
| | OF
OF OF dy =0 dy By
Ox Oydx ` dự, - OF
Oy
oy ee OF với giả thiết = # 0
Vi du 5.19- Tinh y/, biét
2 2 roy | b) y+te(rt+y) =0 c) arcte(ry) + e™ ¥ =0 Giải: Cách 1: Đặt 2 2 F(x, y)- =— £150 qˆ be + 2% 2 J)= St: Fe PC BAN , 2£Ù2 br Yr = —a2 3 — ay w và Để `
Cách 2: Từ phương trình — + mẽ 1, coi y = (7z) đạo hàm hai vế theo z ta được a2 b 2a 2U, — , bz 2 T ge 9a — 0, Uy _g2w b) Đật Ƒ(z,1) = + tgí + u) = 0 Fis = i ` GO§8/( +) ¥ COs2(+ + y) dy 1 cos? (ar + y) 7 1
d# cos1{z+)1+ cOs(œ +) — 1+cos(z +) c) Tà giải theo hai cách 2, coi = (+) đạo hàm hai vế theo z ta được
1 (y + xy’) + e*~%(] _ yl) —0
Trang 16ð.4.2 Hàm ẩn của từ hai biến độc lập trở lên |
Tương tự, nếu phương trình F(z, 0, z) = 0 với giả thiết #'(z, , z) là hàm khả vi biến z,,z Xác định z như là hàm của các biến độc lập # và y và P" z 0 thì các dao hàm riêng của hàm ẩn z = z(z, ) được tính theo cơng thúc sau:
Oz È- Ơz Fi ơx P}`0ụ OF!
Vi du 5.20: Tính các đạo hàm riêng của các hàm ẩn z = z(z,y) được xác định từ
các phương trình sau: a)#? +? +z=1 b) z? + z3 — 3zz = a3 c) z3 +3 — z” =sin(zwz) Giải: a) Cách I: F(z,,z) =+z?+°2+z?—~1= Fl =a, Fi =2y, Fl = 22 Oz F,_ ử Ox Fl z a dy FF! z
Cách 2: Coi z = z(z,9), còn z với là các biến độc lập Lấy đạo hàm hai vế theo z của phương trình zˆ + #ˆ + z” = 1 ta được
Ỹ 2 fo 0 / E 27 + 22.z, =0, Z„=—— > w~ Ụ fo Tương tu, z, = _=
b) Dao ham hai vế theo x khi coi z = z(z,y), con +, là độc lập với nhau ta có 2x +32z2z2 — 3Ụz — 3z/ =0
,„ — 32 — 27 Z_.=-—————
* 3z2= JzU Tương tự, đạo hàm hai vế theo 1/ ta được -
Trang 17€) Ta giải bài toán theo cách 2
3z? — 3z?z/, = cos(zz)(z + xg.zz), 3z? — uz cos(zuz)= (3z? + zụ cos(>z))z/
„ 3z? + zụ cos(z)
# 3x? — yz cos(xryz)
3? — 32°21, = GOS(Z)(+2 + rỵ2,,); 3uˆ — zz cos(zuz)= (32? + # cos(Z))Z„
ve 3y° — rz cos(xyz)
Ð 3z? + xụcos(zz)
Vi du 5.21: Phương trình #{z,,z) = 0 xác định một quan hệ hàm giữa ba biến z,ụz Chứng minh rang ©
1) Or Oỵ Ox Oy Oz
Oy Or Oy Oz Oz -
- Or =F ôy F
Giai: a) Néu coix = x(y,z) thi — = —— Connéu coi y = y(z, z) thi — = —— ) (y, 2) ay F ) ụ = Úc, 2z) thì Br
Vay
Ox dy _ Fy Fr 1
OyOr FL FY
| | F"
b) Tương tự nếu cỏi z = z(z+,1/) thì z„ = —T Vậy
Or OyOz FY FL FL 1
OyOz0x FL F! Fi
; rez: Ou Oụ , gs `
Ví dụ 5.22: Cho u = Uưz Tính <<, — biết rằng z = z(z,) được xác định từ ar’ dy
phuong trinh ze” = re” + ở
Gial:
+ + z(Z, 9) ux
y + 2(2,y)
Lay dao ham hai vé theo zx ta duoc
Trang 18Tương tự du (ưz)z~ (1+ z)(œ + z) Oy (y+2) — ấy T #.ấy — (1+2) — #8 ¬ 22, 7 (y+z) — (W—#)zyT— (+) _—_ -(W+z)?
Từ phương trình ze” = ze” + €* ta tính z„, z„
Đạo hàm hai vế theo 7 ta có z„e” + z€Ÿ.z„ = e* + re" _ (x e*(x +1)
7 (z+ 1)
+1 Sek ae GA sẻ
Tương tự 2z = Tư Thay vào biêu thức trên để tính
tly oe +1)
du 77" 4 “2e(z+1) 9 (y+ z)e(z41)-(y— zet(x +1)
97; — (y +z) e(z+1)\(y+2z)?
AỊ HH
du 2£ +) 1) | Oy (y+ 2)? ˆ e*(z Để tet yet He + 1)+z
Vi du 5.23: Cho x = zIn “, Tính đz và đạ
| Ụ
Giai: Coi z = z(x,y) dao ham hai vé theo x, ta duoc
Z 222 1
1=z¿ln“F +z—“°*, zjj=———
ụỤ YY 1+ln—
Ụ Tương tự, đạo hàm hai vế theo ¿ ta có
> „ +! > + + > Zu 4 2e-(%-—=)20, fo ni ee 220, of = ——— , )Ụ Ụ Ụ yỷ 7 Ụ ` ụỤ : : u(1 + Ìm —) 1: # ydx + zd: dz = z,du + zdy = ———; (dr + ~dụ)= Aa I+ln- Ụ y(1 + In -) Ụ Ụ oy, 2 yl
dx = 1,dụ + xidz = ze (~—)dy + (in = + z”—)dz
Ụ ụ zy
==> dr = — ` dụ + (1+In^Ìdz ụỤ ` y’
Trang 195.4.3 Hàm ẩn xác định từ hệ phương trình |
Ví dụ 5.24: Giả sử các hàm u = u(z,y), v = v(x, y) được xác định từ hai phương trình sau
+? +2 — ưu = 0 ry-wtủ=0
/
:
Giải: Đạo hàm hai vế theo z ta có Tìm u,„, u
27 — u,v — uu), = 0 Uy,U + we, = Qa
Ụ= 2U + 20.0 =0 — 2uu,, — 2V.v, = y Từ đó ta tinh |2r ui l | 2r u | U 21
| mm: op |= Tate Yt, |g, | = 20? 2ủ, MT - Quy y | 0UT— 301 )
Suy ra
, - #40 - 0u 4£0 + u
tị 7 == 22 = Qu —— 7 —— 202 + 3ủ R - 3
, by ~ dur 4xu - vy
—3U2 — 2u2 — 22 + Qy2
Vi du 5.25: Tinh dao ham /'(z), z'(z) của các hàm ẩn = y(z),z = z(+) được xác định từ hệ phương trình sau:
rtytz=0
r+yr+22 =]
Giải: Đạo hàm hai vế theo z ta có
Trang 205.5 Đạo ham va vi phan bac cao
5.5.1 Gia sử cho hàm z = z(z,) Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp
một của nó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm z(z, 2)
Kí hiệu |
P28 (02) on ay BA 2 (a2) ¬ 32: = = = 2p = (Z„}, 22, = 32)” Tu = (z,)
83z: - a = lh = (2 O*z 7 é Oz = (ry Ardy — dy \ Ox T “eụ — \“ữ#2" OyOr — ð+ Oy) “ya ~~ Myler
4 Az Fz
Nếu các đạo hàm riêng tồn tại trong một lân cận nào đó và liên tục Ưzơụ` Ơz
tại điểm Ä/(z, y)-thi |
Oz Oz
OxOy — OyOr
tức là việc lấy đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Cũng tương tự, ta có thể định nghĩa đạo hàm riếng cấp cao hơn, chẳng hạn
Öz Ø0 (ỡz
Ơz2?ơu — Øy\0z3/”'
5.5.9 Vi phân của vi phân toàn phần cấp một tại điểm Ä/(z, „) được gọi là vi phân
cap hai d?z(z,y) cla ham z = z(z,y) tai điểm Af(rz,) : đˆz(+.) = d(dz(, 9))
Nếu ham z = z(+,) có các đạo hàm riêng liên tục cấp hai và z là hai biến độc lập thì
d`z = z„„dựˆ + 2z„„drdụ + Ấm yy’
Nếu z và g lại là hàm của hai bién u va v tic la x = z(u,), = 9(u, 0) thì dz = 2 dx? +22" yatdy + 2, h2 +2) d+ z„d°ụ “yy
Nếu z, là hai biến độc lập thì đˆz = d*y = 0
5.5.0 Với những điều kiện ràng buộc hệt như đối với vị phân cấp hai, vi phan -đ*z(z, 0) cấp n tuỳ ý của hàm z(+, ) được dịnh nghĩa theo công thức
` dtd? z)
đ"z =: tu
- 1 ¬
Ví dụ 5.26: Cho u = —====— Chúng minh rang uw‘, + uy, + ul = 0
Yrtyte
Trang 21V37 z2] 3/2
a
Tuong tu, wu, = —Ụ(22 + 0? + z?) *⁄2, u} = ~z.(z? + ỷ + 27) 3⁄2,
u y
=(r 44 2)?2(27? — ỷ — 22)
)
)
s1! Ung = (ả tỷ $27) — 2 5/242 ”/2(22 — g2 — z 2_ 5?
us = (ro tỷ + 2?) ”/2(2z? — ụ° = z!
Thay vào ta có ul, + uy, + ul, = 0
Ví dụ 5.27: Cho là hàm ấn của +, xác định bởi phương trình Ìn w#Ý + 2 = aretg 2
I Tính ự,
Giải: Coi y = (+) đạo hàm hai vế theo z ta có
11.23 + 2w | yy! r pry 7 pl Bets La Š J2 + ^ I 4 re
TAU YY TP tưể py Y NYS YY yy ey op yt UE =
, ft (1 + ý )(x 7 y) ~ (y + „) ~ y’)
y= a \2
(a — y) | |
Ö #7 TU - UỤ ytyy tery -2y + Qay!
(rs y)? (x.y)?
3u + 979 + 2ư apt „tt — 7 Lan Yo 2(x? + ỷ)
(ry) ry)
Vi du 5.28: Chuyén phuong trinh dao ham riêng sau đây sang hệ toa độ cực Ou Ou
Or Oy
Giai: u = u(r, y) = ulrcosỵrsiny] = u(r, y)
Ou Oudr Oudy ðu Oụ
A_ na an nh v CON $2 †Ằ —— SIH v2
Or OxOr OyOr Ịz ® By 7
Ou Oudx „cu Oy Ou Oụ
— = ap Orde Oydo “Tsing > +7 Cos: “Đa “Qụ
Trang 22Từ đó, ta tính
| Ou |
= rcosy panes 2 Ì
| Ov | = sinwu’, — rcosou TTS PCOS! | _ự
| Ou sìn œ | ¥ ¿ cosy sing |
~~ Ị
lộc - 7 |
"
F-rsing upto P Ì = ~TSIHIV, — CO§U, 2 se yg
cosy uy, | ¥
Vay
du sinyu,-—rcosyu, Ôu _ =rsin Wu, — COS YUL,
Ox —T _ ở —r Tà suy ra sin yy ul = cosyeul ——U, cm ? w 7 COS ; Uy = >, oe + sin yur, ¬ , cosỹ- sing , :
=> (COsự +sIu}u,-+ ————t„ = L 7 # Â {rcos,r sim ô *
Vớ dị 5.29: Biến đổi phương trình
dy — #+ dr —U
bằng cách chuyển sang toạ độ cực # = 7cosự =zsin; giải nó Giải: Ta có
da: = cos 2dr — sin @.r.dụ củ = sin @đr + cos rdự
dr
; " , smo— +reosy
dy cosydr-singardg r(cosw + siny) deg cosy + sing de singdr+cosyrdp ricosg- sing) COS2—— - Tsing đt - GÓ8 2 — SỈ 2
dig dr
1n p(cos y — sin yw) T + 7 COS @(COS ~ SIn @}) đự
dr
= cos p(cos vy + sin ) — 7 §in @(G08 ÿ + sin y)
2
2 ` dy „
(SI COS 2 — sin? yo COS” — SIHVCOS)x— =
(ΠVv
- ") :
Trang 23dr —— =T? => dÌnr = dụ => Inr=y¢lnC dig Ụ arctg a> yo Cẻ —-r+> V + + ỷ = Ce + ‘ ] ") 35 => arctg” = s m +) + Cn Vĩ dụ 5.30: Cho phương trình dao động của dây đàn
ry) - £)2.„
Oe Ore
DTP = G Đ„a (a # 0)
u = u(t,c) Hãy thực hiện phép đổi biến u = z - at, v = r+ at đã đưa phương trình trên về phương trình mớị
Giai:
Og — Ovdu „ 0V Ov Je _ 99 Ou Opdov at dudt ava’ dr ~ Oudr ” Ov Or
Oe OY Oy Oe dy Op | OW , 9 = ~ — ( ~a) + ——(| -: a{— , —); = + Ot Ou Ou Ox Ôu Ov oe un " Ou Ong _ ở Oy ở )w | Ov Ou or ot\ dat) 0a la Ot ¬ i ( Oy 92 w ( ) 2 83: = - - w+ —G cứ, _
“ Oudv Oủ ma g Ov? : an
2.¬ 92,2 £2 2 2 8 w ‘ 0 * 0 #
Sal ay 2a tt Ou Ouou Ove
ep — Ø (0Đạ 8 (dg\du 8 (ag dv
Or2 Ox \ Ox) Ou\ Ar) Ox Ou\ Bx ) Ax
oe + oe \(2 sf)
‘Our Oudv J Oủ Ôuôu
Fe 4% đầy
Oủ Jude — Ovẹ
Thể các đạo hàm vừa tính được vào phương trình đã cho ta có
} eo - 9ˆ 2 af Og Ở“u 8*\
“[Š = - 2= = +> = je a Oủ Oude Ov? Oủ Ta +2——+- = Oudu Òủ
Trang 24nếu ƒ(z,1) = €!? Tà có O° f _ xŠe7% dys O° f 8® ` -Ầ ; — Ly / = > vi „ÈU | 3, sty ST (r°®c”), = Sức” +? ye gio
5 màn: = [(xŠe*9), = 8xTe* + xb ye),
U 3+2
= (562° + 82" y)e™ + (82'y + " vy
= (x5 ỷ + 162"y + 562°) = re (z7ỷ + 16xy + 56)
Vi du 5.32: a) Cho ham s6 f(x,y) = x¥ Hay tim vi phan cap hai của hàm ƒ nếu x,y là biến độc lập
b) Tim vi phan cấp hai cua ham f(x + ,+) nếu r, ¿ là biến độc lập Giải: a) Tà có
Of , &f 83Ƒ
Pf = ——sd+”„+ 2 P= gy de st tag ata T ong ng dady + 2 dỷ
al == — 1)xÈ~3: 2 PF yg ye, OF —~- L.Ă
Or yly _ La Oỷ #?(lnz); Oru " (1 +yln +)
- Do đó
a f(x,y) = 0(uT— 1)4 *dạ? h4 280 14+ 0Inz)drdụ + + Hint)? “dy” b) u= f(t, v), t=r+y, v=x2ỵ of 8
Dnt fy, Be = fit fet
8? an T4 EU + ẨM + flv? oe
=/+2/ưu7
ef
0xỡy ` — nữ +2 + y) fe, + xy fe, + + fị
Trang 255.6 Cực trị của hàm nhiều biến
5.6.1 Cực trị (cực trị không điều kiện)
Cho ham z = f(x,y) xac dinh trong mién D va diém (.r9, yp) € Ö ta nói rằng a) Ham z = ƒ(z,1) gọi là đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm 2ƒạ(zo, yo) nếu tồn
tại một lân cận nào đó của điểm (zo,o) sao cho VÄ/(z, ) thuộc lân cận đó ta có ƒ(z,) < ƒ(zo, o) (tương ứng ƒ(z,) > ƒ(xo, 0o))
b) Điểm ă(zo,ạ) € D mà tại đó hàm f(x,y) dat cuc đại hay cực tiểu được gọi
là điểm cực trị của hàm số
c) Những điểm ă(zọ o) € D mà tại đó các đạo ham riêng triệt tiêu J„Êro, ọ) = Ö
fi (£0, yo) = ()
hoặc ít nhất một trong hai đạo hàm riêng khong ton tat duve gor 1a nhiing diém tới hạn (hay điểm dừng) của hàm số z = ƒ(+.)
Điều kiện cần để hàm z = ƒ(z,} có cực trị tại Ä7ăro, Yo):
Định lý: Nếu hàm z = Ƒ(% ) có cực trị tại ăo(zo, ọ) thì Ä/o(+o, 0o) phải là điểm tới hạn của ham f(:r, y)
Điều kiện đủ để có cục trị:
Cho ham z = ƒ(z,) Giả sử tại điểm Ä/o(zo,ạ) € D có J0, Uạ) = 0
fi(20 yo) = 0
và ƒZ | 2 | Pgy#n Ì =A, +] Ltowgal = B U Oroyo) = Œ, Khi đó
Dau cha A = B* AC} Dauctia A! Kết luận tai ‘fy
- - Cuc dai - - Cực tiêu + Khơng có cực trị 0 can phai xét thém
Ví dụ 3.33: Tìm cực trị (Không điều kiện) của hàm z= wr? + 3.rỷ 30.r 18y- Giải: Trước hết ta di tìm những diểm dừng
2, = 3ư? + Sỷ — J0 = 0 „ “— yf? = ]0 ¬ + yo -+4
zy = Ory - 18 == 0 sả 2 r1 = 6 cóc + = +2
Trang 26Giải hệ phương trình này ta được 4 điểm dừng
My(3,1), Mf1,3), Mẵ1,—-3), M4(~3, ~1)
Ta có Á = z7, = B=z„ =Úu, C=zm,= 61, A= B? - AC =36(y’ — 2°)
Khi đó
a) Tại điểm A4,(3,1) ta céd A = 36(1 -9) < 0 va A= 18 > 0 Vay ham dat cuc tiéu tai Ad, (3, 1)
b) Tại điểm A;¿(1,3),: A = B”- AC > 0 nên hàm số không c6 cuc tri tai Av2(1, 3) c) Tai diém Ad3(-1, 3), A = ĐÝ - AŒ = 288 > 0 nên hàm số khơng có cực trị
tại Mạ(—1, —3)
d) Tại điểm Ä74(—3, —1) ta có A = -288 <0, 4 = —18 nên hàm đạt cực đại tại M(—3,— 1)
Vậy ƒcr(3,1) = —72, fco(~3, 1) = 72,
Ví dụ 5.34: Tìm cực trị của hàm số z=ư tụt - 21” + 4e - 2y’
Giải: Trước hết ta đi tìm những điểm dừng
b — 4z + 4 =0
ấy 3 3
- => (z + )—(z+)+(z+)=0 = 4” — 4u + 4c = 0 /) ( y) + ( y)
=> yi ty = (e+ yả - zy + yỷ) = 0 => ụ = —x+ Vậy ta tìm được ba điểm dừng A7¿(0,0), Ady ( 2, V2), Ado(V2, ~ v2) Ta tính các đại lượng
AS oh =127?—4<= 4(322— 1), BE =z2 =4, C= z = 1207-:4= 4(3/” - 1) Tà có
Al y= 4(6 ~ 1) > 0, (Bˆ - 4AC)|, (-v5,v
Vậy tại A/4(— V⁄2, v2) hầm z(z, ) đạt cực tiểụ |
Tương tự tại Ä7¿(⁄2, — v2) hàm z(z, ) cũng đạt cực tiểụ Còn pháị xét tại Ä7ă0.0) A= - 4AC)| lau - 0, 2 — re + ụ - 2(r7 2Y + y’)
Cho M(x,y) + Afo(xo, yo) bang hai cách
Trang 27+) Mặt khác, ta cho Ä(z,1) —> Mo(zo, 9o) theo trục hoành ( = 0): M(z,y) = M(x, 0)
z(+,0) = #` - Qr? = 2? (x? 2)
Nếu cho Ä/(z,0) khá gần Ä¿(0,0) thì z(z,0) =: z (+? 2) < 0 Vậy trong mot
lân cận bé tuỳ ý của điểm A⁄¿(0,0), bao giờ ta cũng tìm được điểm Ä7{z,z) để z(z,z) > 0 và điểm N(z,0) sao cho z(z,0) < 0 Vậy A7ă0,0) không phải là cực tri cua ham z(x,y) |
5.6.2, Cực trị có điều kiện (cực trị bị ràng buộc)
Bây giờ ta xét cực trị của hàm z = ƒ(z, ) trong trường hợp các biến (z, +) không biến thiên tuỳ ý trong miền xác định /) mà chúng bị ràng buộc bởi điều kiện
2(z,w) = Ú (5.3)
Cực trị của hàm z = ƒ(z, ), trong đó (z,) phải thoả mãn (5.3) thì được gọi là cực trị có điều kiện (hoặc cực trị bị ràng buộc) Vi du 5.35: Phân tích số dương a cho trước thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng lớn nhất
Giải: Gọi hai số dương đó là r, Bài tốn quy về tìm cực đại của hàm z = ry thoa mãn điều kiện z + = a hay ự(#, 1) = + - a = 0 Ta có
wt “ Lot ae , q 2 —=1IU—=zy|a- r}S ——————— = _ y= „4 US G7 2 2 a,
Vậy tích lớn nhất khi và chỉ khi ø = a —- # => z = 3 Tóm lai Zmax = + khi a
t= Y= 35:
Vi du 5.36: Tim cuc tri của hàm
z= V1~ #2 - g2
với điều kiện z + — 1 =0
Gial:
z= V/l 2?- ụ2 - (5.4)
œ © =1=0 (5.5)
Ý nghĩa hình học: Phương trình (5.4) là phương trình của mat cau trên tâm (0, 0) bán kính bằng 1 bị cắt bởi mặt pháng (5.5) Vậy giao tuyến của chúng là một đường trịn trong khơng gian Tà phải đi tìm tọa độ của điểm cao nhất, thấp nhất của đường tròn đó so với mặt phang Oxy (z = 0)
Thay y = 1 - z vào (5.4) ta có
fỵ 5 ya / :
z= VYl-2r?-(l-r)= Vr - 2x?
Trang 28Miền xác định của z = z(z) là z — z” >0 => 0< z <1 ¡ 2— 2z
Z_.—=——_—
2/23 2? =—> + — 2
Dấu của z/ phụ thuộc vào dấu của 2 - 4z (xem bảng biến thiên)
Ũ 12 \ Z1N) ạ + Q ¬ 0 12 4 “ \ AX \ Ư () Hình 5.4: l Vậy zcp = —= v2
Phương pháp thừa số Lagrange tìm cực trị có điều kiện:
Để tìm cực trị có điều kiện của hàm z = f(z,y) bị ràng buộc bởi điều kiện y(z,y) = 0, ta lập hàm bổ trợ
F(+,,À) = f(x,y) + À@(œ, 0)
trong đó À là hằng số nhân sẽ được xác định saụ Lập hệ phương trình tìm các điểm
tới hạn cua ham F(z, y, A):
Fir, y, A) = 0
Fults y, A) = 0 | (5.6)
FY = pla,y) = 0 |
Từ hệ phương trình gồm ba phương trình và ba ấn (z, , À) ta xác định được nghiệm (Co, Yo, Ao) cla hệ (5.6)
Vấn đề tồn tại hay không cực trị có điều kiện trên cơ sở xét dấu cua vi phan cấp hai
CF = F dả + 2F, EY dady + F dụ” YY
vdi diéu kién (dx, dy} # 0
a) Néu d?F(29, yo, Ao) < 0 thi ham f(z, y) dat cuc dai cd điều kién tai (29, yo)
Trang 29b) Nếu dˆF'{zo, ọ, Ào) > 0 thi ham f(z, y) đạt tiểu đại có điều kiện tại (Zo, Yo):
c) Nếu đˆF'(zo, yo, Ao) = 0 thì phải xét bằng cách khác để có kết luận
Vi du 5.37: Tim cuc tri cha ham f(z, y) = 6 — 4x — 3g với điều kiện z2 + 2 = 1
Cách l: (theo phương pháp thừa số Laprange)
Ta lap ham b6 tro F(z, y, 4) = 6 — 4r — 8y + Ăz? + ỷ — 1) Giải hệ
Fi = —-44+2Ar = 0 Fi = -3 +20 = 0 Fr=a2*+ỷ-1=0 Giai ra ta dugc A, = 5/2, 2, = 4/5, y, = 3/5: dg = —B/2, #¿ = —4/5, ta = —3/5 Tà tính FY, = 2d, FY" = 2, FY = 0, OF = 2Ădx* + dy’)
Tai (4/5, 3/5) ta c6 d?F(4/5, 3/5, 5/2) = 5(dz? + dỷ) > 0 Vay tai diém nay ham z = ƒ(z,) đạt cực tiểu có điều kiện
Xét đ2Ƒ'(~4/5, ~3/5, 5/2) = —5(dz° + dụ?) < 0 Do đó hàm z = f(z,y) dat cực
đại có điều kiện tại (—4/5, —3/5)
foo(~4/5, -3/8) = 6+ + 2= 11, ƒep(4/5,8/5) =6 TC =
Chú ý: Phương pháp thừa số Lagrange có thể áp dụng đối với các hàm nhiều biến
hon (n > 3) | | |
Chang han, tìm cực trị cla ham u = f(x,y, z) với điều kiện ¿(z, ,z) = 0 Trước
hết, ta lập hàm bổ trợ
= 1
F(z,y,2,A) = f(x,y, z) + Ag(az,y, z) Lap hé phuong trinh
PF, = f,(@,y; 2) + Ap, (2, y, 2) = 0
tụ = fy(2.y,2) + Api (ay, z) = 0
FL = fi(z,y,z) + Agi (4,ỵ2z) = OF) = v(x, y,z) = 0
Giải hệ phương trình này ta tìm được (zo, /o,zọÀo) Sau đó lặp lại khoảng cách trên
_ Ví dụ 5.38: Phân tích số dương a cho trước thành tổng của ba số dương z, y, z sao cho tích của chúng = zz đạt giá trị lớn nhất
Giải: Ta phải tìm cực đại của hàm = zz với điều kiện z+-+z = a,Ũ < z,,z < ạ
Trang 30Từ ba phương trình đầu ta suy ra: 2 = #2 = ty => 1 =U= z= 4/3, À= —4”/9 Do ý nghĩa của bài tốn, vì chỉ có điểm dừng duy nhất nên đó chính là điểm cực đại -
cần tìm z = 1 = z = a/3
3
_ a
u(Z,y, 2)\(a/3,a/30/3)= 27
5.6.8 Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm nhiều biến trong một miền
đóng:
Giống như trường hợp hàm một biến, hàm z = ƒ(z,) liên tục trong một miền
kín, giới nội sẽ đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên miền đó Ta nhận thấy nếu điểm mà tại đó hàm đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là điểm trong miền 7 thì nó phải là điểm dừng của hàm Do đó ta có cách làm như sau:
Tìm các điểm dừng của hàm z = ƒ(z, ) trong miền D, tính giá trị của z = ƒ(z, 9) tại các điểm dừng đó
Tính giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm z = ƒ(z, ) trên biên của miền Từ đó ta sẽ tìm được giá trị của hàm z = ƒ(z,) trên tồn bộ miền đóng Ï (gồm các điểm bên trong D và các điểm trên biên của miền nữa) |
Vi du 5.39: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
_ƒ(œ,U) =1? +? =zưz+ụ
trong miễn = {(z,):z <0, <0, z+> -3}
Giải: Trước hết ta đi tìm các điểm dừng
Trang 31Khảo sát hàm ƒ{z, ) trên biên của miền D |
+) Khi z =0, =3 <S <0: ƒ(z,u) = ƒ(,1) =”+u = ƒ,=2ư1=0
sp y= =1/2, ƒ(0,—1/2) = 1/4 ƒ(0,0)=0, ƒ(0,—3) =6 +) Khi=0, -3<z<0, ƒ(z,0)=z +z, fị =2r+1=0
=> r= —1/2, f(—-1/2,0) = -1/4, f(-3,0) = 6
+) Khi z+= =ä => =-z-3, ƒ(r,0) = ƒ(+,—z— 3) = 3z?+9xz+6, —3 < +<0
So sánh các giá trị thu được ta thấy giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm f(z, y) trên miền đóng D là
đaax(0, —3) — fmax(—3, 0) — 6, fimin =-l
Vi du 5.40: Tim giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm z = zự trong hình elip
2 „2 =+ <1 ae b2 Giai: Zi = Ù = 0 z=r=0
Vay điểm dừng duy nhất là O(0,0) và z(0,0) = 0 T3 „2
Xét trên đường elip = + 3 = 1, x=acost, y= bsint, <†‡<2m, z=zụ= a
Trang 32Đạt giá trị nhỏ nhất tại íị = 3/4, tạ = 71/4
Đa 2° 2
, i , 1T _ af/2 by2
Mù — (a cos 7 bsin 4 )= (Aẹ ——): :
_ ab
z(Ms) = 2(M4) = >
So sánh các giá trị của z(O) và 2(M;), i= 1,4 ta c6
aX⁄2 AC =z„.( av2 bV2\_ ab
Zmax 2 ’ a — “max ae 2 ;T sạ
¬ˆ ẽ 1111 \ 9 ? 2 ~~ Aya 9 ? 2 a 2
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
1 Tìm miền xác định-và biểu diễn hình học của các hàm số sau:
pe aỷ a)z=Inzytevi-*-¥ a 5-4) oỷ _ C2 — arccos d)z=w—+z?+Ìlnv+- ÿ° e) z= Ig(xt+y—2)+ fyt 2n— x? 5¬ vt fy vz g)z= ————————— -0<reR v42 + 12 + z2 —.r : 2 Cho ƒ(z +,# — ) = zxụ +” Tính ƒ(z, y) tk 38
Trang 334 Cho
2,2
ry
z*ỷ + (4 —y)*
Chứng minh rằng lim lim f(z, y)|= lim (lim f(x, y))= 0, nhung khong tén tại z—>0 tụ - tụ—0 `z— ƒ(z,19) =
giới hạn lim f(z, y)
730
` 1 ` ] `
? “7s |
5 Chứng minh rằng f(z,y) = (x + y)sin —sin— không tồn tại cả hai giới hạn lặp ` xr U
lim [lim ƒ(z, w)]; lim [lim ƒ(z,y)| nhưng tồn tại ý (z,) =0:
yo
— ge OE
6 Có tồn tại lim— : hay khơng 2
7 Tìm ƒ,(0,0), ƒ,(0,0) của ƒ(z,) = #w Hàm số này có khả vi tại điểm
O(0,0) không ? ,
8 Tinh céc dao ham riêng cấp một hai của các ham sau:
+ > a) z = arcsin —————~ b) u = arctg 1+9 z2 +? l—ữụ c) u = g9 d) = (“)Ÿ Ụ | đầu
10 Cho u = 2° sin 2y + 3 cosz: Tính Pu
| " ne O13 Oỷ 11 Cho Lrytz— Lyz u = aretg — —_——_ ] #Ụ — ŒZ — yz Tinh wl” ryt?
12 Đơn giản biểu thức ư/ + uy + _ néu
1, Lys, 1 = pe — gry +z)+ S1 2 + fly-2,z—2), trong đó ƒ là hàm khả vị tu 13 Ký hiệu \ Ay Ou Ou A aủ (> Z dủ
^AU = -; † 7y + Ty: (À1? = [| "Op Oy2 — Az2" ~" Oa: | + — Oy =] Oz Tim Au, Aju cha u = x3 + ỷ + 23 3xyz
Trang 3414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 .- 24 26 21 28 29 30
Tìm đ?u(z,,z) nếu u(z, , z) = ln(z**z?)
Tim d°u néu u = cos z chự
Tìm dồu nếu u = zŠ + 1Š — 3z( — 9)
Au Oru
Tim Au “ao + Bye cua u = sing chỵ
Chứng minh rằng nếu = 4/#2 +2 + z? thì đu >0
Cho z = v(x? + 2) Tìm giá trị của A = g.zz — z.z„ biết rằng là hàm khả
VỊ
yp 7 |
Câu hỏi tương tự như bài 19 với z = 3a + (zy) Tim B= 2?.z,—zỵ2z) ty’
Cho — siÀ(+? + g2) Tính đềụ
Chứng minh rằng z = ƒ(z? — y”) thoả mãn 4/”.z„ + +.z„ = #z với giả thiết
ƒ là hàm khả vị |
Cho u = e°”+, Tìm đụ
Cho u = ¿Í y)+z#()), œ, +Ú là hai hàm hai lần khả vi liên tục Tìm giá trị —_ 2/1 i 2„„”
€ = #“uxy + 220v + 1/“tyỵ
25 Cho u = v(x — at) + (œ + a#) Tìm giá trị của w/s — a”u7„ với giả thiết ¿ là hàm khả vi liên tục hai lần |
Cho F(x —y,y— 2,2 —2) =0 Tim z;, 2
Cho Ƒ{z + + z,#? + 9ˆ + z”) =0 Tìm zz Cho #{z + z, + z) = 0 Tìm Pr,
Tìm (z), ”(z) của ham 0(z) được xác định từ In Jere = arctgs Tính các dao hàm riêng cấp l, 2 của ham 2 = z(x,y) duoc xac định từ
a)z++z=€
Trang 35dx dụ _„ 31 Tìm —, — nếu dz dz L+yt+z=0 2 + ?+z?=1 dz d?z ~ 2 2) ` 2 ` 2 2 32 Tìm — neu z= 7 † 1 còn = (+) được xác định từ z?— z-+L2 = 1 dz’ dx? 33 Tìm đ?z néu F(—,—)=0 z`Z dx dụ dˆ+y d’y 3ó Tìm Ti 1: 1p: de tạt (1, —1, 2) nếu z2 rt+y=— rty+z=2
35 Giá thử z = z(z,) thoả mãn z — zz + y = 0 tai (x,y) = (3, —2) nhận gia tri
Z—=
36 Tìm cực trị không điều kiện của các hàm sau đây a)u = et (5 — 2# + 0) 50 20 b)z=#+ —+—,z>0,>0 * Ụ C€)z=z_—2Ưlnvwz?2+?+ Zarcte” + d)z=z+ + 4sinzsing e)z =6 Œ”+zw+t”)(Bạ + Ty — 25) Ðz=z“ +z0+2- 4Ìnz — 10Iny 37 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau
+ ae
4) 2= + ^ nếu z2 +? = 1 a 0b
b) z= 27 + L2xy + 2ỷ néu 4x? + ỷ = 25
€)z=z2 +2 nếu “+ =1 a 06 38 Tinh gần đúng các giá trị sau:
a) ,/(1,02)3 + (1, 97)3 b) (0, 97)1:%
(1,05)? 2 3
c) d) B = 1,002.(2, 003)?.(3, 004)
ÿ0,98 (1, 05)?
Trang 3639 Giả thử z, có giá trị tuyệt đối khá bé, hãy tìm công thức gần đúng của - +1 1+ xy b) 8=(1+z)*(1+)#,œ>0, 8>0 a) A = arctg
40 Tính giá trị lớn nhất, bé nhất của z = sin + sin ¿/šin(9+: + 1) với: Ô < x,y < 7
41 Tim wi, wu, nếu u = Ỷ 1 yo 2 trong đó z = z(z, ) được xác định từ phương trình 2€” = #€” + ye"
42 Bằng cách đưa vào biến mới hãy biến đổi phương trình sau
!, Xí x — ye ở n— ep „
b) Z; = z„ nếu Ê = # + 7= # —
Oz.2 ,UZ,2, be pew
—)°+(—)° bang cách đổi biến mới + = u, y =
43 Biến đổi biểu thức 4 = (=—) +Í= Or’ Oy’
1 ` - ⁄
2 2 ~(ủ — v*)
(ả — v2)
44 Hãy biến đổi phương trình sau đây nếu đưa vào các biến mới #.z, + ÿ.z„ = 2
x Ụ
nếu É = #, 7= — x
x hood hog
45 Tìm u,, uy, U„, Uy nếu
vase" +usinu Ụ = GŨ — UCOsU 46 Tìm z¿, z„ tại (ụ) = (1, 1) nếu
+ = tu ©Ìnu Ụ =0 - Ìuu == Diu + ov e) = z(r,) được xác định từ phương trình tà 47 Giả sử x = r(U,z) U = 0(z,z), F{z,,z) = 0 Chứng minh rằng z¿.z,„./; = —]
48 Biến đổi biếu thitc sau vé toa dO cuc 7, y bang cach dat.r = rcosỵ y = rsing
On Oy
Trang 37ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 5
4 Dễ dàng thấy him f(z, y) = lim f(x,y) =0 Vậy
lim [lim f(x, y)|= lim [lim f(z, y)|=0
>0 *z—0 #—0 'u—0'
2,2
nhưng không tồn tại lim f(z, y) vinéu cho x = — 0 thì him 210) 1 con reỷ + 70 z=u—0 nếu lấy = ‹Ÿ⁄z ——> 0 thì z—0 ; +2 „2/3 ¡ 2 2/3 Em „8/3 ọ im 0142 2 2.27 + (4 — Jz Bf): = lim Tao +8/3 + 2 — Đ„4/ +2 / 31 „2/3 = z-0 7 / — =(, „2/3
Vay 140 =A lim f(z,y) 5 Chang han ta chttng minh rang khong tén tai z—
>0
eau]
f(x,y) = (e +y)sin = sin #,U) = (z + 9)sSin —.Sin— vn 4 = xsin—.sin— + 4 in —.sin Ê + ysin *.sin ^ —.8In —,
r y + y a y +
1 1
ta thay limy Sin — sin — = 0 vì >0 y +
1 «|< [yl sin —.sin —|< |y| \" y xã , Cịn khơng tồn tại
1 1 1
limz sin — sin ~ =.rsin —.lim sin —
y—0 Tr ụ #' >0 y
¬ 1 1
Vậy không tồn tại hin f(x, y) Điều đó khơng thể xét tiếp linn [x Sin — him sin —| u—Ö + 0 LIÊN được nữạ Còn | 1 Ij, ưa + )sm —.sin —Ì< ‡# + y| —— 0 Ll UỊ 70 y—0 Vay lim f(z, y) =0 y 30
6 Chứng minh giống bài 4
s4 % 3 : ¬
7 f,(0,0) = lim 7 = 00, f*(0,0) = lim * >0 4 ° U—>
= oọ Ham f(x,y) = 3/ry không khả vi tại O(0,0) vi cdc dao ham riéng fi, fi không lién tuc tai O(0, 0)
Trang 3815 ô8(sin + chu) Ôz*ÔŠ~k + 24 u = @(z) + z./(0) với u = y Sau đó áp dụng công thức " ur = @ (0).0„ + (0) + z.0/(0)-0, ¬.¬ U40) +: y0) So “yl 1 1] I Ute = P'S + Uo + /(0) + ng" Ụ YY y ty if 4 , | + L if 4 / ' l # : df
Usy =P | mma > Ym ma (eu) - aw cy ( yp ỷ ỷ cự? u3
y — 2 Lỷ
2 8 2
i: it + / # “ 2z /
Uy =P ztaw+av + yy 4 gì ụ4 yp
x3 o„2 „3 = „ Dp?
ru 1 za + 25 Uy Fy, = Sy" 4+ yy + Ay" 0g 20 a Spey tụ “⁄ ey U2 2Z pry @ — —ự — ——1 " 2x ! “+ y
2z? 2ã) „z2 2z + 2
—ÿ _ ul" 4 —— mo Al + sử + + — x) _ = 0
Ụ Ụ Ụ Ụ Ụ
25 tu — 2u = Ö
26 F(x —y,y— 2,2 x)= 0, G(z,y,z) = F(u, v,t) = 0 với
Uu=r-y v=y-2
t=z-—-xz
dz dl:
Trang 39Từ đây phải coi = (2z) 34 Làm giống bai 31
42 2, = 4%, + Zn-j„ = Zt 22.21, 2 = Zeb, + HT, = 2U-Zn, U-Z„ — 2.Zy = 0
U-(2¿ + 24.2) — #.2Ụ2„ = Ũ, z = 0 => z= 0
45 :
x — e”
= sinvu
cu y => (x —e*)* +(e" — y)? =v?
= cosu }
tụ
F(zœ,u,u) = (œ — e*)? + (e*— u)2— u2 =0 Từ đó
Fe 2(e" — z).(—1)
ve " — 2(e"— ø).e* + 2(e" — ).e" — 2u
Vì z(2,1) = ẻ + 2sin1, (2,1) = e2 — 2cos 1
2(ẻ —
ul,(2,1) = _ 2@?7(ẻ — ẻ~— 2sin — 1) + 2e2(e2 — e2 + 2cos 1) — 4
— ẻ _ ft +
— 9e2(cosl — sin 1) — 2’
: \
u„(2, 1) tính tương tự Cịn tính 0; (2,1), (2, 1) ta làm như sau:
Từ z = e” + usin, coi w = u(z,), 0 = 0(œ,) đạo hàm hai vế theo x,y ta c6 L = €”.u„ + u„ SỈn0 + tụ COS 0.0,
— øU si! — qự! „ ; /
l=e ‘Uy ‘Uy COSU + USINV.U,
Tur day tinh duge v’, vị
46 z, = 2u; + ư, Từ / 4 — x z=ưlno l=u,+— => uh
U=0— Ìnu Ú— =U, / —— x
+
{ate +e, (11) =1 tần 1) = 1/2 —wˆ(1,1) + (1,1) =0 ul.(1, 1) = 1/2
3
=> z,(1,1) =2.2+ = = + Tương tự, ta tính được z,(1, 1) bof re 2 1 2