Giáo trình mở đầu về giải tích phức trong không gian banach phần 2

Chương V V Dạng vi phân song bậc Bô đê Dolbeaut đa diện đa thức Chương dành cho việc trình bày dạng vi phân, đặc biệt dạng vi phân song bậc Bổ đề Dolbeaut đa diện đa thức Trước hết ta cần số kiến thức chuẩn bị thêm ánh xạ đa tuyến tính thay dấu tồn G'°° - phân hoạch đơn vị 4.1 Dạng đa tuyến tính thay dấu Để nghiên cứu dạng vi phân dạng vi phân song bậc phần ta đưa khái niệm tính chất tích ngồi dạng đa tuyến tính 4.1.1 Đ ịnh nghĩa Cho A e Ca(m E ) B € Ca(nE) Tích ngồi A A B Ca{m+nE ) xác định € m!n! Một cách cụ thể theo M ệnh đề 1.1.6 A A R(xu = ■ j [ , £’m+n) ^ ^ ( ) ^ ( * ^ ( l) : ì *E > * E (m + n ))- Ơ^Sm+n Tích ngồi A B đồng thòi xác định A hay B nhận giá trị không gian Banach Hiển nhiên (A , B ) I— » A A B song tuyến tính liên tục 92 4.1.2 M ệnh đề Nếu A e Ca{m E ) R € £ “(” /?) r/;i fí f\ A — { ~ \ ) mnA A ß C n g minh N ếu a k í hiệu phép hốn v ị ( 771,1, _n) ( —1)“ = ( —1) IU + II ) thành (n + 1, , 71 + Suy 777, Ị77 Ị / \ A ) { x u , x m+n) = £ (-1 y B ( x a{lì, , XaM) A( xai n + l ) i ’ • • ‘f'ơ(n+m)) Sm + n ( 1) ^ ^ ( l) ^ ( ^ ữ ( l ) j • • • r ‘^ o ( m ) ) ^ ( ^ a ( m + l ) j • • • » ^ ù ( m + n ) ) ơeSm + n □ 4.1.3 Mệnh đề Nếu A e C°(mE) D e Ca{nE) vù c € Ca(pE) ( , A ß ) A C = A ( ß A C ) = (m + ,n,+, p)!(,4 ® B C Ỵ m'.n'.pl Mệnh đề suy trực tiếp từ bổ đề sau 4.1.4 Bổ đề Giả sử A Ca(mE), D Ca(nE) v C £ a{pE) Khi (a) ( A R ) a = A a = B a — (b) (A a ® B ) a = (A ® B aY = { A ® B ) a (c) ({A ® B ) a ® C ) a = ( A ® { B ® C ) a)a = ( A ® B ® C ) a CIn'fíig minh Ta chứng minh khẳng định (a) Các khẳng định (b) (c) chứng minh tương tự G iả sử T kí hiệu nhóm tất T € S m+n mà cố định m + , m + 71 Rõ ràng T đẳng cấu với s m ^ v, ( -0 , x T(m))ß (a :T(m+1) , , :cT(m+n)) r€ T ^ ' ( ) - 1% T ( m ) ) ■J *^m + n ) reT T ĩ ĩ l Á ( x j } • • • 1%m ) , , £ m +n) — Cho « € -S’m+n Xi , , x m+n e E Đặt Ịjj = ,TQ(j) với j = , m + n Khi a r (l)v -• »'^ar(m ))^(^ar(m +l)^ »•^orr(m+n)) r€T = ( - i r X ^ - i r ^ y n n yr{m))B(ym+u, , y m+n) = t€T 93 Bởi nhóm S m+n hợp tập a T mà chúng rời trùng nên ta có (m + iì)\{A Ế5 R ) a( x , -Xm+n) ( 1) Xơ(m))Z?(.Tơ(m+i), , •ĩ’ơ(m+n)) (b) Bởi (y4° — y4)° = 0, (a) suy |^(/la — 4) ® /?| = Vậy (.4“ ® /?)n = (.A ® B ) a Đẳng thức (.4 ® B a)“ = (>4 ® ß ) ° chứng minh tương tự (c) Suy từ (b) □ Nếu A € Ca(m ỉĩ) R e Ca(n E) tích tensor A ® R thay dấu theo m biến đầu thay dấu theo n biến sau Kí hiệu c amn(m+nE F ) không gian vectơ A £ C(m+nE, F) thay dấu theo ¿ , x m Xm+ , , x m+n Giả sử s m¡n kí hiệu tập € S m+n cho ( l ) < • • • < ( m ) (m + 1) < • ■• < (m + n) Lưu ý S m n có phần tử ta có mệnh đề sau 4.1.5 M ệnh đề Với A € C(m+nE , F), giả sử A amn € C( m+nE F) cho bôi A amn( x l , , Tm+n) = •■•.**(».+»>)• Khi A amn = A a với A € £arrmựn+n fr y Ị)ặ c ịjịệi ¿ n ij Xỵ Ạ ! - Ị, 4 p + tương tự ta có đẳng thức (ii) Chia s ^ n thành hai tập s T sau s ơ(j) < p ơ(i + 1) > p + ■94 a eT o ơ{i + 1) < p ơ(i) > p+ Giả sử T chuyển vị i i + Khi € s ƠT T Suy V^m.n '4 (.Ti, , x m+n) • • ■1 a(tn +n) ) ơeSuT = ^ ^ Ị-f^(-'^g(l)' • • • ' ^ơ(m+n)) — ^ ( 'r ơT(l)' ■• • v^ơr(m +n)) ơ€S = { \ ) , , ( r n + ft) khác t { \ ) , r ( m + n ) vị trí i i + hai vị trí X i = x i + \ □ Á p dụ ng m ệnh đề với Til = ta c ó I -4a ln ( x i, , X i + n ) = — n+1 ^ ( - l ) M ( X j , X , Ĩ J x n + i) 7=1 X j có nghĩa khơng có X j Như hệ trực tiếp ta nhận công thức khác xác định tích ngồi 4.1.6 M ện h đề Nếu A e C{mE ) B / = X < Khi g( x) = / Ị^(x - a)(b - o)j lóp c °° R, dương ngặt a < X < đồng khơng / 9(t)dt ngồi khoảng mỏ Khi hàm Ip( x) = ^ -là đồng với X < a f g(t)dt a đồng với X > b Do F bao đóng tập { x € A' : f ( x ) í 0} Giá / kí hiệu supp/ (b) Họ ( /,) ánh xạ từ X vào F gọi hữu hạn địa pliương điểm X có lân cận giao chí với số hữu hạn tập supp/i (c) M ột phân hoạch đơn vị X họ hữu hạn địa phương (■/>,) hàm liên tục từ X vào [0,1] cho ~Pi{x) = với X e X i (d) Một phân hoạch đơn vị (-Pi) X gọi phù họp với phủ m õ (t/j)ig / X suppy?i c Ưị với i € I Nếu X tập mở không gian Banach ta nói c ° ° - phân hoạch đơn VỊ, nghĩa ip i Ớ°° - h àm X Ta có định lí sau 4.2.4 Đ ịnh lí Giả sử tập m không gian H ilbert khả li E Khi phủ m (ơ ,),g / u có m ột c ° ° - phân hoạch đơn vị (ipi)i€i phù hợp với Chứng minh Vì u khơng gian Lindelưf tồn dãy hình cầu mở B (un, r n) cho u = Ị J B ( a n , r„) B (a n,2 r n) bao hàm Ui n Chọn hàm T : N —> I cho B (an, 2r n) c t/r (n) với n € N Do Bổ đề 4.2.2 tồn dãy ( /„ ) c C 00( £ ’) cho fn{x) = \\x - a„|| < r„ f n{x) = ||x - a „ || > r n < f n(x) < r n < ||.T - a n || < r„ Xác định dãy (ffn) c C °°{E ) sau (Ji = / i 5n = (1 - / l ) • • • (1 - / n - l ) / n , n > Khi < gn < E suppạn Ngoài quy nạp có th ể thấy c s u p p /n c B (an, 2r„) c UT(n) với n (4.2.1) (4.2.2) (4.2.3) Như (4.2.3) cho ta dãy (gn) hữu hạn địa phương Còn (4.2.2) cho ta X) n ( x ) = với X u Cuối ta xác định ự>i{x) = Á X) với r(n)=< i € / X € u , ự>i{r) = với i € / \ r(N ) X e u Do ( g n ) hữu hạn địa phương nên ipi e C X (U) Ngoài tập u suppr/,, đóng r(n)=i 98 suppyjj c u suPPí/n c Ui Bởi Ỵ2 ựl,{x) = r(n )= i X u, i€ / r(a) Y , |6fcị2 j,k d Ịị với Ü e u b c n Nếu X e c°°(R, K) hàm lồi tăng ta có k với a € u b € c n Như chì cần tìm hàm X c x (ư, R ) cho (6.5.9) (6.5.10) 182 Đ ể tìm hàm xét hàm V,u : K —> R cho N 2(]5tA|'- + u(t) = S upơ U)(t) = sup — - hi Kị T với t > in f u vịt.) = tứịt) = với t < inf IL ũ ủ Do hàm tì UI tăng với t > inf u, Bổ dề 6.5.6 cho ta hàm lồi tăng X C,3C(R R) cho x (t) > v(t) x'{t) > u ( t) với t c K Khi đó, với z e U ta có x ( u ( z )) > v(u(z)) > (z) x'(u ( z ) ) > U(u(z)) > 2(\dih(z)\2 + e ^ ) - t { z ) Như \ Ihỏa mãn (6.5.9) (6.5.10) ự) = \ o Ị/ thỏa mãn (6.5.7) (6.5.8) Nếu đặt , = +P - 4> = ỊJ0 e Lfl!(U 0) (6.5.6) suy từ Mệnh đề 6.5.1 Vậy tồn /o € L2(ơ, rt) c v ĩ { loc) cho Do Vì j ^ỉ với j — , n tồn hàm yj e L2(C ” ) cho ( - y - * Qs) hội tụ tới (Jj ƠZj ịỳ Ị L2(C n) Từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz suy ( - Ị - * Qi) hội tụ tới iy, tíZj V ' ( C n) Măt khác, Mênh đề 6.3.16, ( — ■* Qi) hôi tu tới — T>'{c n) Do Ở Zj dZj e L2(C n) với j = 77, bổ đề chứng minh □ Chứng minh Mệnh đ ề 6.6.2 Giả sử (J = Y^O jdzj € W qX{U,I oc) với d ọ = j giả sử / € L 2(ư, loe) = W °(U loe) nghiệm tùy ý d f = g Đ ể chứng minh / e W k+ì(U, loe) ta chứng minh / € W T{U loe) với < r < k / W r+1{U, l oc) G iả sử 77 V { U ) Khi d , ,, dĩ] , df dn , p - W ) = %=-f + n-ifT = jj= -f + cho s u p | / | < c [ \ f \ d \ với f € 7-l{V) K J V Cliứng minh, (a) G iả sử Í / J ậ tập mớ c giả sữ Dị D2 tập mở com pact tương đối cho D \ c £>2 c D c u Ta chi c > cho sup l/l < c / \ f \ d \ với / e WJJ) d[ / Ỏ2 Thật vậy, chọn \p € ĩ> (/^2) cho ụ> = lân cận D ị Khi áp dụng Bổ đề 4.6.3 tích (pf ta nhận /(„)= * 2nỉ J z — a d z d2 với / e H { ) a e Di Do ^ = lân cận Dị tồn s > dz cho Iz — a\ > ố với a e Dị € s u p p ^ p Đặt = (27rổ)_1 sup |^ p | Khi |/( tt) | < c f \f\d X với / e H {U ) a e Di (b) G iả sử \ ằ tập mởtrong C n giả sử Di D -2 hai đa đĩa compact tương đối cho D ị c Ỡ c D c u Khi áp dụng (a) nhiều lần ta tìm c > cho ^ SUP Ỉ / I < Dl 190 / If \ d x với / 'H iư ) J Dl (c) Cuối tập compact c n phủ số hữu hạn đa đĩa, bổ đề suy từ (b) □ Định lí sau suy rộng Định lí Oka - Weil 4.8.12 6.8.3 Đ ịnh lí Giả sử u tập mở giả lồi C" Giả sử K tập compact u cho h'ps(U) = f\ Khi đó, với f € 'Hí /\’ ) tồn dãy ( f j ) H { ) hội tụ tới f lân cận K Clnbìg minli Chọn tập mở V cho K c V c u / Ễ H { V ) Do Định lí 5.4.5 tồn hàm đa diều hòa chặt u e C,D0([/) cho (a) Tập K c = {z € u : u(z) < c} com pact với c € R (b) ĩi(z) < với € K (c) u (z) > với z e u \ v Do u(z) < với z € K tồn c < cho u(z) < c với ỉ K Như K c I m K c c Kc c Int/^o c Kv c u Do Bổ đề 6.8.1 tồn dãy (/j) c H( U) cho f If j — / | 2(ÍA —¥ Nhưng dó Bổ đề 6.8.2 ta có su p \fj — / I —» Ka A '( | Định lí chứng minh □ 6.8.4 Hệ qu ả Giả sử u lả tập m ỏ giá lồi C" Giả sử V làtập m ỏ u cho Kps(U) c V vói tập compact K c V' Khi H { ) trù m ật (W(V),Tc) 6.8.5 Đ ịnh lí Giả sử u tập m ỏ lồi chỉnh hình C" Khi đó, vái tập mở V c khẳng định sau tương đương (a) K Hịự) n V compact V với compact K c V (b) Ku(U) c V vói tập compact K C V ịc) V lù lồi chình hình v a H ( U ) trù m ật ịw ( V ), TCỴ Chứng minh, (a) => (6) G iả sử K tập compact V giả sử K H(V) j (b) Bổ đề 6.9.3 (b) □ 6.9.5 Bổ đề Giả sử E khơng gian Banacli có sở Schauder đơn điệu (en) giả sử tập mở giả lồi E Khi đó, vái fn e 7Ỉ( Ư n E n ) E > tồn / € 7Í{Ư) cho I / — / „ o T n I < s C n Chứng minh Do Tn( A n) c u ta có /„ o T n € H ( A n) Đặc biệt f n o Tn e K ( A n n E n+Ĩ) Theo Bổ đề 6.9.3 H i u n En+i) trù mật ( k {A„ n E n+1), Tc'j ta tìm / n+1 n { n E n+l) cho | / n+i - / „ o T n \ < ị l/n +1 ° Tn+1 - R n n E n+l E o Tn| < ^ c n Bằng quy nạp ta tìm dãy ( /j) với f j € 'HỰJ n Ej) cho |/j+ i ° Tj+ - f j o Tj\ < £2~j+n~ C j với j > n Suy I/* o 71 - f j o Tj\ < e - r+n- ' = e - J+n Cj với k > j > n r= j Như dãy ( /j o Tj) hội tụ Cj tới hàm / e H {U ) Hơn | / - / j ° } | < £ - j +n Cị với j > n Bổ đề đuợc chứng minh □ 6.9.6 Bổ đề Giả sử E khơng gian Banach có sở Schauder J ' - lệu (en) giả sử u tập m ỏ giả lồi trung E Khi {C j)Hịưj c ( Bj)psiị u ) đặc biệt du{ (C j)m u )) > - với j e N Chứng minh Giả sử X (C j)W{t/) Chọn k > j cho X e c k Ta chứng tỏ TnT ( ß j n Kn)-ịịự!r\En) rnọi 77 > k (6.9.1) Thật vậy, cho n > k giả sử / n € K { U n E n) Cho ĩ > Bdi Bổ đề 6.9.5 tồn / € n ( ) cho I/ - /„ o TnI < £ Cn Do Cj u {.r} c c \ c c n ta có \fn ° Tn{ x )I < |/ ( x ) | 4- £ < sup l/l + £ < su p |/„ o Tn\ + £ < sup |/ „ | + 2e Oj Cj BjDEn 194 Vì £ > tùy ý ta có \fn o T n(.í')| < sup |/„ | ta có (6.9.1) Như theo Định Bj nE„ lí 6.8.6 ta có 7„.i' ( Bj n ^ n ) ỵ ự : n E„) = ^ ^"W líV ,/■■:„) ( ^j ) Psc(C) với ỈỊ > fei Cho n —ị oc ta X ( ßj ) ps ((/) Bõ đề chứng minh □ Định lí sau cho lời giải vấn đề Levi trường hợp không gian Banach có sỏ Schauder 6.9.7 Đ in h lí Giả sử E lù không gian Banach với s ề Schauder Khi miền già lồi E miền tồn Chứng minh Vì khơng gian Banach có sở Schauder đẳng cấu với khơng gian Banach có sở Schauder đơn điệu, ta giả sử E có sớ Schauder đơn điệu (e„) Do Bổ đề 6.9.6 tồn dãy tăng tập ITIỞ (Cj) cho u = y Cj J = (/(• > với j Theo Định lí 5.2.2 u miền tồn □ Cuối ta có định lí sau 6.9.8 Đ ịnh lí Giả s E khơng gian Banaclì có sở Schauder Khi đối vơi tập mờ u E pliát biểu sau tương đương (a) u miền tồn (b) Ư miền chỉnh hìnli (c) u miền lỏi chình hình, ị d x ự ^ g i ả ỈỔL Bài tập 6.9.1 G iả sử E khơng gian Banach có sở Schauder đơn điệu u tập mở giả lồi E Bằng cách lặp lại chứng minh Bổ đề 6.7.2 6.9.5 chứng tỏ ánh xạ hạn chế 'H.(U) -* H {U n E n) toàn ánh với II e N 6.9.2 Giả sử E không gian Banach có sở Schauder đơn điệu, u tập mở giả lồi E, A/ không gian hữu hạn chiều E (a) Chứng minh ánh xạ hạn chế H{ U) —» H ị u n M) toàn ánh (b) Chứng minh Ku(Ụ) — K h ( P n Ẵ-ỉ) với tập compact A ' c L ' n M 195 Tàỉ liệu tham khảo S.Dineen, Complex Analysis in Locally Convex Spaces North - Hollan Mathematics Studies, vol.57 North - Holland, A msterdam, 1981 A Hirschowitz, Sur le non-prolungement des varietés analytiques be nachiques réelles C.R.Acad Sci Paris, 269(1969), 844 - 846 L Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Var ables, second edition North-H olland M athem atical Library, vol 7, Nortl Holland, Amsterdam, 1973 B Josefson, A counterexample in the Levi problem, Proceeding on I n f mil Dimentional Holomorphy, 168 - 177, Lecture Notes in M athemtics, vol 36“ Springer, Berlin, 1974 J Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, second edition North - Ho land Mathematical Library, vol 120, N orth-Holland, Amsterdam, 1986 Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Phép tính vi pliân - Dạng vi phân tron không gian Banach, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2010 Nguyễn Văn Khuê - Lê M ậu Hải, Giải tích tốn học, Tập / - //, Nhà xui Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2010 T.Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cam bridge Universit Press, 1995 196