Giáo trình Nhập môn giải tích lồi ứng dụng

LÊ DŨNG MƯU NGUYỄN VĂN HIỀN NHẬP MÔN GIẢI TÍCH LỒI ỨNG DỤNG Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ Hà Nội 2009 Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Các khái niệm 11 1.1 Tổ hợp lồi 11 1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện 14 1.3 Nón lồi 19 1.4 Bài tập 22 Chương Điểm tương đối phiếm hàm Minkowski 25 2.1 Điểm tương đối 26 2.2 Phiếm hàm Minkowski 30 2.3 Bài tập 32 Chương Bao lồi định lý Carathéodory 35 3.1 Bao lồi, bao a-phin, bao nón lồi 35 3.2 Định lý Carathéodory 38 3.3 Một ứng dụng quy hoạch toán học 44 3.4 Bài tập 47 Mục lục Chương Cấu trúc biên biểu diễn tập lồi 49 4.1 Diện, điểm hướng cực biên, siêu phẳng tựa 49 4.2 Trường hợp tập lồi đa diện 53 4.3 Định lý biểu diễn 61 4.4 Bài tập 63 Chương Phép chiếu vng góc xấp xỉ tuyến tính tập lồi 67 5.1 Toán tử chiếu bất đẳng thức biến phân 68 5.2 Xấp xỉ tập lồi 76 5.3 Bài tập 78 Chương Định lý tách tập lồi 81 6.1 Các định lý tách bổ đề Farkas 82 6.2 Mở rộng ứng dụng 88 6.3 Bài tập 91 Chương Đối cực tập lồi 95 7.1 Định nghĩa tính chất 96 7.2 Trường hợp tập lồi đa diện 99 7.3 Bài tập 101 Chương Định nghĩa tính chất hàm lồi 103 8.1 Định nghĩa ví dụ 103 8.2 Tính liên tục 109 8.3 Các phép tốn bảo tồn tính lồi 116 8.4 Bài tập 124 Mục lục Chương Tính chất cực trị, bất đẳng thức lồi Định lý Helley 127 9.1 Cực đại cực tiểu hàm lồi 128 9.2 Hạng hàm lồi 135 9.3 Bất đẳng thức lồi 139 9.4 Định lý Helley 143 9.5 Bài tập 148 Chương 10 Hàm liên hợp xấp xỉ tuyến tính 153 10.1 Định nghĩa minh hoạ hàm liên hợp 154 10.2 Các tính chất phép tính 156 10.3 Xấp xỉ tuyến tính hàm lồi 159 10.4 Bài tập 163 Chương 11 Đạo hàm theo hướng vi phân 167 11.1 Đạo hàm theo hướng 168 11.2 Dưới vi phân 173 11.3 Tính khả vi hàm lồi 180 11.4 Tính đơn điệu liên tục vi phân 184 11.5 Phép tính với đạo hàm 190 11.6 Dưới vi phân xấp xỉ 198 11.7 Bài tập 202 Chương 12 Minimax cân 205 12.1 Hàm yên ngựa 206 12.2 Định lý minimax 210 12.3 Bài tập 225 Mục lục Tài liệu tham khảo 227 Danh mục từ khóa 229 Mở đầu Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi với vấn đề liên quan Bộ mơn có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, toán cân v.v Có thể nói, giải tích lồi mơn quan trọng làm sở tốn học tối ưu hoá số lĩnh vực khác Do phạm vi ứng dụng rộng rãi giải tích lồi, nên nhu cầu học tập, giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng môn ngày nhiều Việt Nam Hiện có số sách giải tích lồi tiếng nước ngồi, "Giải tích lồi" (Convex Analysis) R T Rockafellar sách chuyên khảo tiếng Anh hoàn chỉnh giải tích lồi khơng gian hữu hạn chiều Tuy nhiên sách viết từ năm 1970 tài liệu khó đọc người bắt đầu làm quen lĩnh vực Về sách tiếng Việt, có giải tích lồi viết khơng gian vơ hạn chiều khơng sâu vào đặc tính riêng, khía cạnh mặt tính tốn ứng dụng vốn phong phú tập lồi hàm lồi không gian hữu hạn chiều Cuốn sách "Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng" giới thiệu vấn đề nhất, đầy đủ tập lồi hàm Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng lồi khơng gian hữu hạn chiều Trong sách, kết giải tích lồi trình bày theo quan điểm nhấn mạnh vào khía cạnh tính tốn ứng dụng tập lồi hàm lồi tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân toán cân Đối tượng sách sinh viên năm cuối, học viên cao học, nghiên cứu sinh ngành tốn ứng dụng Sách làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giáo giảng dạy mơn giải tích lồi Những người làm lĩnh vực khác kinh tế, tài chính, quản lý kỹ sư ngành khoa học kỹ thuật muốn tìm hiểu giải tích lồi để áp dụng vào ngành chun mơn dùng sách tài liệu tham khảo Cuốn sách biên soạn dựa theo giảng tác giả cho sinh viên năm cuối bậc đại học, học viên cao học, nghiên cứu sinh Viện Toán học Hà Nội, trường đại học Hà Nội, Huế, Quy Nhơn, thành phố Hồ Chí Minh đại học CHLB Đức, Cộng hoà Pháp, Vương quốc Bỉ, Canada, v.v Chúng xin chân thành cảm ơn Viện Toán học Hà Nội Đại học Namur, FUNDP, Vương Quốc Bỉ tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành sách Lời cảm ơn xin gửi đến Giáo sư Jean-Jacques Strodiot có ý kiến quý báu cho nội dung bố cục sách Xin cám ơn TS Vũ Văn Đạt anh Trần Văn Thành giúp đỡ nhiều trình soạn thảo sách Chúng mong nhận chân thành cảm ơn góp ý độc giả Namur, Vương Quốc Bỉ, tháng 8-2008 Các tác giả Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền Bảng ký hiệu Rn IRn+ IR IR IN xi xT x, y = x T y = xy := ∑nj=1 x j y j || x || = n ∑ j =1 x j || x ||1 max{| x j | | j 1, , n} x≥y [ x, y] ( x, y) A coA coneA: aff(A) khơng gian Euclide n-chiều trường số thực; góc không âm IIRn (tập véctơ không âm); trục số thực (IR = IR1 ); trục số thực mở rộng (IR = IR ∪ {−∞, +∞}); tập hợp số nguyên dương; toạ độ thứ i x; véc-tơ hàng (chuyển vị x) tích vơ hướng hai véc-tơ x y; chuẩn Euclide x; = chuẩn max x = có nghĩa x j ≥ y j với j; đoạn thẳng đóng nối x y; đoạn thẳng mở nối x y; bao đóng A; bao lồi A; bao nón lồi A; bao afine tập A; 10 ri( A) V(A) coA: coneA: reA: intA: riA: A∗ : dimA: linealityA: linA: f: L ( f ): lin f : rank f : dom f : dim f : f ∗: epi f : ∂ f ( x ): ∂ ǫ f ( x ): ▽ f (x) ′ f (x) : f ′ ( x, d): KKT: KT: QHTT: QHTP: Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng tập điểm tương đối tập A; tập điểm cực biên (đỉnh) A; bao lồi đóng A; bao nón lồi đóng A; nón lùi xa (nón hướng vô hạn) A; tập hợp điểm A; tập hợp điểm tương đối A; đối cực A; thứ nguyên (số chiều) tập A; độ phẳng tập A; không gian thẳng A; hàm bao đóng f ; khơng gian thẳng f ; thứ nguyên L( f ); hạng f ; tập hữu dụng f ; thứ nguyên dom f ; hàm liên hợp f ; đồ thị f ; vi phân f x; ǫ-dưới vi phân f x; đạo hàm f x; đạo hàm theo hướng d f x; Karush-Kuhn-Tucker; Kuhn-Tucker; quy hoach tuyến tính; quy hoach tồn phương 217 12.2 Định lý minimax Mệnh đề 12.2 Giả sử X lồi, đóng, khác rỗng, f , g j (j = 1, , m) lồi, nửa liên tục X điều kiện Slater thoả mãn Khi x ∗ nghiệm tối ưu (OP) tồn y∗ cho ( x ∗ , y∗ ) điểm yên ngựa hàm Lagrange L X × IRm + Trong trường hợp ∗ này, y nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (OD) thoả mãn điều kiện độ lệch bù y∗j g j ( x ∗ ) = với j Chứng minh Giả sử x ∗ nghiệm tối ưu (OP) Theo mệnh đề trên, hai toán (OP) (OQ) cặp đối ngẫu xác Khi đó, tồn y∗ ≥ cho f ( x ∗ ) = d(y∗ ) = inf L( x, y∗ ) x∈X Từ có f ( x ∗ ) ≤ L( x, y∗ ) ∀ x ∈ X Nói riêng, x = x ∗ ta ∗ m ∗ f ( x ) ≤ f ( x ) + ∑ y∗j g j ( x ∗ ) j =1 Từ y∗j ≥ g j ( x ∗ ) ≤ với j, nên y∗j g j ( x ∗ ) = ∀ j f ( x ∗ ) = L( x ∗ , y∗ ) ≤ L( x, y∗ ) ∀ x ∈ X Chứng tỏ x ∗ điểm cực tiểu L(., y∗ ) X có Ngồi ra, lại từ y∗j g j ( x ∗ ) = ∀ j định nghĩa L( x ∗ , y∗ ), ta m L( x ∗ , y∗ ) = f ( x ∗ ) ≥ f ( x ∗ ) + ∑ y j g j ( x ∗ ) = L( x ∗ , y) ∀y ≥ j =1 Vậy y∗ điểm cực đại hàm L( x ∗ , ) IRm + Kết hợp lại, ta ∗ ∗ thấy ( x , y ) điểm yên ngựa L X × IRm + 218 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Bây giả sử ( x ∗ , y∗ ) điểm yên ngựa L X × IRm + ∗ Trước hết ta có g j ( x ) ≤ với j Thật vậy, tồn i cho gi ( x ∗ ) > 0, lấy y = ξei , ξ ≥ ei véc-tơ đơn vị thứ i cho ξ → +∞, L( x ∗ , ξei ) → +∞ ξ → +∞ Điều mâu thuẫn với L( x ∗ , y) ≤ L( x ∗ , y∗ ) Từ ta có ∗ ∗ m ∗ L( x , 0) = f ( x ) ≥ f ( x ) + ∑ y∗j g j ( x ∗ ) = L( x ∗ , y∗ ) j =1 Thế ( x ∗ , y∗ ) điểm yên ngựa, nên L( x ∗ , y∗ ) ≥ L( x ∗ , y) với y ≥ 0, nên từ bất đẳng thức trên, ta suy y∗j g j ( x ∗ ) = với j Khi đó, x ∗ điểm cực tiểu hàm L(., y∗ ) X, nên ∗ ∗ m ∗ f ( x ) = L( x , y ) ≤ f ( x ) + ∑ y j g j (x∗ ) ∀ x ∈ X j =1 Vậy f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ X, g j ( x ) ≤ j = 1, , m Chứng tỏ x ∗ nghiệm tối ưu (OP) Để chứng tỏ y∗ nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (OD) ta ý m f (x) + ∑ y j g j (x) d(y) = inf x∈X j =1 m ≤ f ( x ∗ ) + ∑ y j g j ( x ∗ ) ≤ f ( x ∗ ) ∀y ≥ j =1 Thế d(y∗ ) = L( x, y∗ ) x∈X m = f ( x ∗ ) + ∑ y∗j g j ( x ∗ ) = f ( x ∗ ) j =1 219 12.2 Định lý minimax Vậy d(y∗ ) ≥ d(y) ∀y ≥ Chứng tỏ y∗ nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (OD) Bài toán cân Phần ta có dịp xét mơ hình cân cho trị chơi khơng hợp tác hai đối thủ Bây ta xét mơ hình có nhiều đối tác (đối thủ) tham gia, đối tác có hàm lợi ích riêng Giả sử định đối tác lại phụ thuộc vào chiến lược đối tác khác Thông thường lợi ích đối tác hay mâu thuẫn, chí đối kháng Trong trường hợp phương án tối ưu cho tất đối tác thường khơng tồn Khi người ta nghĩ đến phương án mang tính cân để "thu hút’" đối tác, theo nghĩa đối tác khỏi điểm cân bằng, đối tác lại chọn phương án cân bằng, đối tác bị thua thiệt Ta hiểu rõ thêm khái niệm cân xét tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác, trình bày Một cách hình thức, ta mơ tả tốn cân sau: Cho C tập lồi đóng IRn φ : C × C → IR Xét toán sau, thường gọi toán cân bất đẳng thức Ky Fan: Tìm x ∈ C cho φ( x, y) ≥ ∀y ∈ C (EP) Về mặt hình thức, tốn đơn giản, nhiên bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực Dưới số ví dụ điển hình Bài tốn tối ưu Xét toán min{ ϕ( x )| x ∈ C} 220 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Đặt φ( x, y) := ϕ(y) − ϕ( x ) Hiển nhiên ϕ( x ) ≤ ϕ(y) ∀y ∈ C ⇔ φ( x, y) ≥ ∀y ∈ C Vậy toán tối ưu trường hợp riêng toán (EP) Bất đẳng thức biến phân Trong Chương ta xét đến toán bất đẳng thức biến phân đơn trị ứng dụng phép chiếu vng góc cho tốn Dưới đây, ta xét toán bất đẳng thức biến phân đa trị sau: n Cho C tập lồi đóng khác rỗng IRn F : C → IR ánh xạ đa trị (tức với x ∈ C, giá trị F( x ) tập khác rỗng IRn ) Xét tốn: Tìm x ∈ C, v ∈ F( x ) cho v, y − x ≥ ∀y ∈ C (V I ) Giả sử với x ∈ C, tập F( x ) lồi, compact khác rỗng Với x, y ∈ C, đặt φ( x, y) := max v, y − x v∈ F ( x ) Từ suy rằng, φ( x, y) ≥ với y ∈ C, x nghiệm (VI) Một trường hợp riêng quan trọng toán (VI) C = F đơn trị Khi tốn (VI) tương đương với toán sau, gọi tốn bù: IRn+ Tìm x ≥ 0, cho F( x ) ≥ 0, x T F( x ) = (CP) 221 12.2 Định lý minimax Ta toán (CP) tương đương với bất đẳng thức biến phân Tìm x ≥ 0, cho F( x ), y − x ≥ ∀y ≥ theo nghĩa tập nghiệm hai toán trùng Thật vậy, x nghiệm bất đẳng thức biến phân F( x ), y − x ≥ ∀y ≥ Lần lượt chọn y = x + ei (véc tơ đơn vị thứ i) ta có Fi ( x ) = F( x ), x + ei − x = F( x ), ei ) ≥ Vậy Fi ( x ) ≥ với i Ngoài chọn y = ta có ≤ − F( x ), x ≤ Suy x T F( x ) = Điều ngược lại nghiệm toán bù nghiệm bất đẳng thức biến phân hiển nhiên Bài toán điểm bất động Kakutani Cho F : C → 2C Điểm x gọi điểm bất động F x ∈ F( x ) Giả sử với x ∈ C, F( x ) lồi, compact, khác rỗng Khi tốn tìm điểm bất động F tương đương với toán cân (EP) Thật vậy, với x, y ∈ C, đặt φ( x, y) := max x − v, y − x v∈ F ( x ) Thật vậy, hiển nhiên x ∈ F( x ), theo định nghĩa φ( x, y) ta có φ( x, y) ≥ ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x nghiệm toán (EP), tức x ∈ C φ( x, y) ≥ với y ∈ C Khi lấy y ∈ F( x ) cho x − y, y − x = max x − v, v − x v∈ F ( x ) Do F( x ) = ∅, compact, nên y tồn Khi x nghiệm (EP), nên ≤ φ( x, y) = x − y, y − x = −|| x − y||2 222 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Suy x = y ∈ F( x ) Do x điểm bất động F Cân Nash trị chơi khơng hợp tác Xét trị chơi có p người chơi (đấu thủ) Gỉa sử Cj ⊂ IRPj tập phương án mà đấu thủ thứ j lựa chọn (gọi tập chiến lược) Đặt C := C1 × C2 × × C p gọi ϕ j : C → IR hàm lợi ích đấu thủ j Gỉa sử ϕ j ( x1 , x j , , x p ) lợi ích đấu thủ j đấu thủ chọn phương án chơi x j ∈ Cj , đấu thủ k khác chọn phương án chơi xk ∈ Ck với k = j Định nghĩa 12.1 (điểm cân Nash)Ta gọi x ∗ = ( x1∗ , , x ∗p ) điểm cân ϕ = ( ϕ1 , ϕ p ) C = C1 × C2 × × C p với j y j ∈ Cj , ta có ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, x ∗p ) ≤ ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, x ∗j , x ∗j+1, x ∗p ) Định nghĩa cho thấy đối thủ j rời khỏi phương án cân bằng, đối thủ khác giữ phương án cân bằng, đối thủ j bị thua thiệt Đây lý mà khái niệm cân chấp nhận thực tế Điểm cân gọi cân Nash khái niệm nhà kinh tế học F Nash đưa Dưới toán cân Nash hiểu tốn tìm điểm cân (Nash) ϕ C Ta ký hiệu toán N(ϕ, C) Bài toán cân Nash mơ tả dạng tốn cân (EP) Thật vậy, xây dựng hàm φ : C × C → IR, cách đặt p φ( x, y) := ∑ ϕ j ( x ) − ϕ j ( x1 , , x j−1, y j , x j+1, , x p ) j =1 Hiển nhiên x ∗ điểm cân Nash, φ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x ∗ ∈ C nghiệm toán (EP), tức φ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ta chứng tỏ x ∗ = ( x1∗ , , x ∗p ) với x ∗j ∈ Cj 223 12.2 Định lý minimax điểm cân Nash Thật vậy, trái lại, tồn j y j ∈ Cj cho ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, x ∗j , x ∗j+1, , x ∗p ) < ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, , x ∗p ) Khi với phương án y = ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, x ∗p ), theo định nghĩa hàm φ, ta có φ( x ∗ , y) = ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, , x ∗p ) − ϕ j ( x ∗ ) < Mâu thuẫn với việc x ∗ nghiệm (EP) Nhận xét Trong toán vừa kể trên, hàm cân φ có tính chất φ(y, y) = với y ∈ C Dưới ta chứng minh kết tồn nghiệm toán cân (EP) dựa Định lý Minimax 12.1 Mệnh đề 12.3 Cho C tập lồi đóng khác rỗng hàm φ có tính chất: φ( x, ) hàm tựa lồi, nửa liên tục C, φ(., y) hàm tựa lõm, nửa liên tục trên C Ngoài φ(y, y) = với y ∈ C Giả sử (A1) Có tập hữu hạn N∗ ⊂ C cho tập C( N∗ ) := { x ∈ C | φ( x, y) ≥ 0} y∈ N∗ compact, (B1) Có tập hữu hạn M∗ ⊂ C cho tập D ( M∗ ) := {y ∈ C | max φ( x, y) ≤ 0} x ∈ M∗ compact Khi tốn (EP) có nghiệm Chứng minh Đặt f ( x, y) := −φ( x, y) D ≡ C Khi hàm f thoả mãn điều kiện Định lý 12.1 Theo Định lý Minimax 12.1, ta có sup inf f ( x, y) = inf sup f ( x, y) (12.5) y∈ C x ∈ C x ∈ C y∈ C 224 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Ta chứng tỏ inf sup f ( x, y) = x ∈ C y∈ C (12.6) Thật vậy, ta có inf sup f ( x, y) ≥ inf f ( x, x ) = 0; x ∈ C y∈ C x∈C đẳng thức cuối f ( x, x ) = Mặt khác sup inf f ( x, y) ≤ sup f (y, y) = y∈ C x ∈ C (12.7) y∈ C Từ (12.5), (12.6) (12.7) suy sup inf f ( x, y) = inf sup f ( x, y) = y∈ C x ∈ C x ∈ C y∈ C Giả sử điều kiện (A1) thoả mãn, theo Định lý 12.1 tồn x ∈ C( N∗ ) ⊂ C cho sup f ( x, y) = x ∈C ( N∗ ) y∈C Đặt s( x ) := supy∈C f ( x, y) Do f (., y) nửa liên tục C, nên s nửa liên tục C Do C( N∗ ) tập compact, nên tồn x ∗ ∈ C( N∗ ), cho s( x ∗ ) = minx∈C ( N∗ ) s( x ) = Hay s( x ∗ ) = supy∈C f ( x ∗ , y) = Suy f ( x ∗ , y) ≤ với y ∈ C Vậy φ( x ∗ , y) = − f ( x ∗ , y) ≥ với y ∈ C Chứng tỏ x ∗ nghiệm toán cân (EP) Nhận xét Cũng tương tự định lý 2.1 điều kiện (A1) thoả mãn có điều kiện sau: Tồn tập hữu hạn N∗ ⊂ C cho miny∈ N∗ φ( x, y) → −∞ x ∈ C, || x || → +∞ 225 12.3 Bài tập Tương tự (B1) thoả mãn Tồn tập hữu hạn M∗ ⊂ C cho maxx∈ M∗ φ( x, y) → +∞ y ∈ C, ||y|| → +∞ 12.3 Bài tập ◮ 12.1 Cho f hàm lồi, đóng thường IRn Chứng minh rằng: ( x + ∂ f )−1 hàm đơn trị xác định khắp nơi ◮ 12.2 Tìm ví dụ chứng tỏ tốn cân tìm x ∗ ∈ C cho φ( x ∗ , x ) ≥ ∀ x ∈ C khơng có nghiệm cho dù C tập lồi compact khác rỗng hàm φ liên tục C × C ◮ 12.3 Giả sử φ( x, x ) = với x ∈ C Chứng tỏ x ∗ nghiệm tốn cân Tìm x ∗ ∈ C cho φ( x ∗ , x ) ≥ 0∀ x ∈ C x ∗ ∈ S( x ∗ ), S( x ) tập hợp điểm cực tiểu hàm φ( x, ) C ◮ 12.4 Giả sử φ( x, x ) = với x ∈ C Đặt g( x ) := sup{−φ( x, y)} y∈ C Chứng tỏ g( x ) ≥ 0, x ∈ C g( x ) = 0, x ∈ C φ( x, y) ≥ với y ∈ C 226 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng ◮ 12.5 Cho T : C → IRn thoả mãn điều kiện Lipschitz || T ( x ) − T (y)|| ≤ L|| x − y|| ∀ x, y ∈ C Chứng tỏ tồn số c > 0, d > cho với x, y, z ∈ C, ta có T (y) − T ( x ), z − y ≥ −c||y − x ||2 − d||z − y||2 Tài liệu tham khảo [1] Aubin J.P and Ekeland I (1984)Applied Nonlinear Analysis, John Willey and Sons [2] Blum E and Oettli W (1994) From optimization and variational inequality to equilibrium problems, Math Student 63, 127 - 149 [3] Facchinei F Pang J.S (2003) Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementary Problems, Springer-Verlag, NewYork [4] Konnov I V (2000) Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer-Verlag, Berlin [5] Lê Dũng Mưu (1998) Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất KHKT [6] Đỗ Văn Lưu and Phan Huy Khải (2000) Giải tích lồi, Nhà xuất KHKT [7] Nguyen V H (2002) Lecture Notes on Equilibrium Problems CIUF-CUD Summer School on Optimization and Applied Mathematics, Nha Trang [8] Rockafellar R T (1970) Convex Analysis, Princeton University Press 228 TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] Tuy H (2003) Convex Analysis and Global Optimization Kluwer Academic Publishers Danh mục từ khóa D A a-phin 12 đạo hàm theo hướng 168 điểm biên 41 điểm cực biên 42, 50 B bất đẳng thức biến phân 73 điểm cực tiểu toàn cục 44 bao đóng 110 điểm 41 bao a-phin 12, 36 điểm tương đối 26 Bao lồi 36 điểm yên ngựa 207 Bao lồi đóng 43 đỉnh 18 bao lồi cận 119 đỉnh không suy biến 58 bao nón lồi 36 Đoạn thẳng 12 biên tương đối 26 độ thẳng 53 độc lập a-phin 17 đóng 106, 187 C cực đại địa phương 128 đơn điệu 74 cực đại toàn cục 128 đơn điệu cực đại 186 cực đại tuyệt đối 128 đơn điệu mạnh 74 cực tiểu địa phương 128 đơn điệu tuần hoàn 185 cực tiểu địa phương 44 đơn điệu tuần hoàn cực đại 186 cực tiểu tuyệt đối 128 đơn hình 18 cạnh 50 đơn hình chuẩn tắc 18 Carathéodory 39 đường thẳng 11 tắc 59 diện 50 thường 106 đạo hàm 173 chiều 36 tuyến tính 109 230 DANH MỤC TỪ KHÓA E L ǫ−cực tiểu 201 lồi chặt 104 ǫ-dưới đạo hàm 199 lồi mạnh 104 Lipschitz địa phương 114 H hình chiếu 68 M hàm mặt cầu 107 mặt 60 hàm a-phin 107 mở tương đối 26 hàm cận 119 miền chấp nhận 44 hàm cận 118 miền hữu dụng 103 hàm 107 miền ràng buộc 44 hàm chuẩn 107 N hàm khoảng cách 107 hàm lồi 104 nón 19 hàm lõm 105 nón đối cực 21 hàm Lagrange 130 nón chấp nhận 22 hàm liên hợp 154 nón lồi 19, 20 hàm mục tiêu 44 nón lồi đóng 21 hàm tựa 98, 107 nón lồi đa diện 19 hàm tổng chập 108 nón lùi xa 20, 136 hàm yên ngựa 207 nón nhọn 19 hệ bất đẳng thức lồi 140 nón pháp tuyến 21 hệ số lồi 106 nón tiếp xúc 22 hướng chấp nhận 21 nửa không gian 15 hướng cực biên 50 nửa khơng gian đóng 15 hướng lùi xa 20 nửa không gian mở 15 hướng vô hạn 20 nửa không gian tựa 50 nửa liên tục 110 K nửa liên tục 110, 187 không gian 15, 16 P không gian song song 16 không gian 136 phép biến đổi Legendrekhông gian thẳng 53, 137 Fenchel 154 khả vi phân 173 phương án chấp nhận 44 DANH MỤC TỪ KHÓA phiếm hàm cỡ 30 phiếm hàm Minkowski 30 S siêu phẳng 14, 15 siêu phẳng tựa 50 T tách 82 tách 85 tách chặt 82 tập đối cực 96 tập đóng 41 tập a-phin 14, 15 tập com-pắc 41 tập lồi 12 tập lồi đa diện 18 tập mức 136 tập mức 136 tọa độ trọng tâm 42 tổ hợp a-phin 12 tổ hợp lồi 12 thứ nguyên 36 thứ nguyên 16 dương 109 tia cực biên 50 đồ thị 104 V véc-tơ pháp tuyến 15 231 ... Bài tập ✷ Bao lồi có nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt tối ưu hóa tốn học tính tốn nói chung Dưới ta xét vài ứng dụng bao lồi 44 Nhập môn giải tích lồi ứng dụng 3.3 Một ứng dụng quy hoạch... "Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng" giới thiệu vấn đề nhất, đầy đủ tập lồi hàm Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng lồi không gian hữu hạn chiều Trong sách, kết giải tích lồi trình bày theo quan điểm... Bao lồi, bao a-phin, bao nón lồi Khái niệm bao lồi, bao a-phin bao nón lồi tập có vai trị quan trọng việc xấp xỉ tập không lồi tập lồi, tập a-phin nón lồi 36 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng