Giáo trình Hình học giải tích (Giáo trình dùng cho các trường Cao đẳng Sư phạm) Giáo trình được biên soạn nhằm mục đích hệ thống hóa và khái quát hóa các kiến thức Hình giải tích THPT và bổ sung kiến thức mới để làm cơ sở cho việc học các môn khác trong chương trình Cao đẳng Sư phạm như Giải tích, Đại số tuyến tính, Hình cao cấp, Vật lý. Giáo trình gồm có 3 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 bao gồm các kiến thức về Vectơ và tọa độ, phương trình của đường và mặt, đường thẳng và mặt phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1IIIIIII mã cịcoDuocvàÀDàorAo ƒ ÁN ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN THCS LOAN No 1718 - VIE (SF)
Pear ng -.=xineesrvetc=neee - ° A ore renee
VAN NHU CUONG (Chi bién) - HOANG TRONG THAI
HINH HOC GIAI TICH
Trang 3MUC LUC Lời nĩi đầu
CHUONG I.VÉCTƠ VÀ TOA ĐỘ ~ PHƯƠNG TRINH CUA _DUONG VA MAT
§1.Véctơ và các phép tốn véctơ
1 Khái niệm véctơ Hệ véctơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1.1 Véctơ
1.2 Phép cộng véctơ Phép nhân vếctơ với số thực
1.3 Hẹ véctơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
2 Tích vơ hướng của hai vécto
2.1 Gĩc giữa hai véctơ 2.2 Định nghĩa tích vơ hướng 2.3 Các tính chất của tích võ hướng §2 Toa d6 afin và toa độ trực chuẩn | Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng
1 Muc viéu afin trong mat phang 1.1 Định nghĩa
1.2 Toa độ của véctđ
1.3 Tọa độ của điểm
2 Déi toa dé afin
3 Tâm tỉ cự
3.1 Định nghĩa
3.2 Chia doạn thẳng theo tỉ số k
II Hệ toa độ trực chuẩn trong mặt phẳng
26
26
Trang 41 Hệ toạ độ trực chuẩn
I.1 Định nghĩa
1.2 Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng trong hệ toạ độ trực chuẩn
1.3, Đổi hệ toạ độ trực chuẩn
III Hệ toạ độ afin và hệ toạ độ trực chuẩn trong khơng gian
1 Hé toa dé afin trong khong gian
1.1, Dinh nghia
1.2 Toa d6 afin của véctơ và của điểm trong khơng gian
1.3 Đổi hệ toạ độ afin trong khơng gian 2 Hệ toa độ trực chuẩn trong khơng gian
2.1 Định nghĩa
2.2 Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng đối với hệ toa độ trực chuẩn trong khơng gian
2.3 Đổi hệ toạ độ trực chuẩn trong khơng gian
2.4 Tích cĩ hướng
2.5 Tích hỗn hợp (tích hỗn tạp) của ba véctơ
§3 Phương trình của đường và mat
1, Phương trình của đường trong mặt phẳng
1.1 Phương trình tổng quát của một đường thẳng trong mặt phẳng
1.2 Phương trình tham số của dường trong mật phẳng
1.3 Phương trình của đường trong hệ toa độ cực 2 Mặt trong khơng gian
2.1 Phương trình của mật trong khơng gian
2.2 Phuong trình tham số của một mặt trong khơng gian
2.3 Phương trình của mật trong hệ toa độ trụ 2.4 Phương trình của mật trong hệ toa độ cầu 3 Đường trong khơng gian
3.1 Phương trình tổng quát của đường trong khơng gian 3.2 Phương trình tham số của đường trong khơng gian
Trang 54 Hai bài tốn thường gặp của llình giải tích
CHUONG IL DUONG THANG VA MAT PHANG §1 Pudeng thang trong mat phang
1 Phương trình đường thẳng trong hé tog dé afin
1.1 Phương trình tham số và phương trình chính tác của đường thẳng
1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng
1.3 Vị trí tương dối của hai đường thẳng 1.4 Chùm dường thẳng
1.5 Nửa mật phẳng
2 Phương trình của đường thẳng trong hệ toa độ trực chuẩn
2.1 Véctơ pháp tuyến của dường thang
2.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 2.3 Gĩc giữa hai dường thẳng
§2 Duong thang va mat phang troug khong gian 1 Phương winh ditong thdng trong hé toa dé afin
1.1 Phương trình của dường thẳng trong khơng gian 1.2 Vị trí tương đối của hai đường thắng trong khơng gian 2 Phương trình mặt phẳng trong hệ toa độ afin
to 1 Mật phẳng trong khơng gian
t3 to Phương trình tham số của mật phẳng to Noo Phương trình tổng quát của mật phẳng
te + - Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Ww 5, Vị trí tương đối piữa dường thắng và mật phẳng tà .6 Chùm mật phẳng
7,
to Nửa khơng gian
Trang 63.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng §2 3.3 Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng 82
3.4 Gĩc giữa hai mặt phẳng 83
3.5 Gĩc giữa hai đường thẳng trong khơng gian 84
3.6 Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng trong khơng gian 84 3.7 Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau 86
3.8 Áp dụng phương pháp tọa độ để giải các bài tốn hình học 87 CHUONG II DUGNG BAC HAI - MAT BAC HAT
§1 Duong bac hai trong mat phang 91
1 Phuong trinh ctta duong bac hai trong hé toa dé afin 9]
1.1 Đường bac hai 91
1,2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai 92
1.3 Giao của đường bậc hai và đường thẳng 96
1.4 Tâm của đường bậc hai 97
1.5 Tiếp tuyến của đường bậc hai 98
1.6 Phương tiệm cận và đường tiệm cận 100 1.7 Đường kính liên hợp 100 2 Phương trình dường bậc hai trong hệ toạ độ trực chuẩn 103 2.1 Khử số hạng chữ nhật 103 2.2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai trong hệ trực chuẩn 103 3 Ba đường cơnic 106 3.1 Đường cơnic 106 3.2 Đường Elíp 107 3.3 Đường Hypebol 112 3.4 Đường Parabol 113
3.5 Phương trình của đường cơnic trong tọa độ cực 114
§2 Mặt bậc hai trong khơng gian 1U
1 Phuong trinh mat bac hai trong hé toa dé afin 117
Trang 71.2 Phương trình chính tắc của mặt bậc hai 117
1.3 Giao của mặt bậc hai và đường thẳng 122
1.4 Tam cửa mật bậc hai 124
1.5 Giao của mặt bậc hai và mật phẳng 125
1.6 Mật kính liên hợp 125
2 Phuong trình mặt bậc hai trong hệ toa độ trực chuẩn 127
2.1 Khử số hạng chữ nhật 127
2.2 Phương trình chính tắc của mật bậc hai trong hệ trực chuẩn 129
3 Mặt bậc hai khơng suy biến 134
3.1 Mật Elípxơit 134
3.2 Hypeboldit mot tang 135
3.3 Hypeboldit hai tang 137
3.4 Paraboléit cliptic 138
3.5 Parabolơit hypebolic 140
3.6 Mật nĩn 141
3.7 Mat tru 142
Bai tap chương Ï 143
Bai tap chương If 156
Trang 8LOI NOI DAU
Giáo trình này nhằm mục đích hệ thống hố và khái quát hố các kiến thức Hình giải tích ở THPT và bổ sung những kiến thức mới để làm cơ sở cho việc học các mơn khác trong Chương trình Cao dang Su pham như Giải tích, Đại số tuyến
tính, Hình cao cấp, Vật lí
Khái niệm vectơ và các phép tốn vectơ đã dược học ở phổ thơng tương đối Kĩ Ở dây sẽ nĩi thêm về hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, tâm tỉ cự và tích
hén tap cla ba vecto
Về phương pháp toa do, ở bậc phổ thơng học sinh chỉ dược biết hệ toa độ trực
chuẩn trong mặt phẳng và trong khĩng gian Trong giáo trình này sẽ trình bày thêm hệ toa độ alin một cách kĩ lưỡng và cĩ giới thiệu qua vé toa do cue, toa do tru, toa do cầu Vấn dể đổi mục tiêu alïn và mục tiêu trực chuẩn cũng dược trình bày vì nĩ dược ấp dụng để đưa phương trình đường bặc hai và mặt bậc hai về dạng chính tắc
Một trong những vấn để quan trọng và chiếm nhiều thời gian là việc nghiên cứu dường bậc hai và mật bậc hai với phương trình đạng tổng quát Một số kiến thức dược đề cập đến như: tâm, phương tiệm cận, dường tiệm cận, tiếp tuyến đường kính hoặc mật kính liên hợp với mệt phương của dường bậc hai hoặc của mật bậc hai, nhất
là vấn để phân loại afin và phân loại oclit của dường bậc hai và của mật bậc hai
Mơn Hình giải tích dược giảng dạy ở học kì đầu năm thứ nhất, trong lúc nhiều khái niệm của dại số tuyến tính chưa học nên nhiều chứng mỉnh đáng ra cĩ thể ngắn gọn hơn, nhưng lại phải trình bầy dài dịng
Tuy nội dung khá nhiều so với số tiết được phân phối trong chương trình, nhưng chúng tơi cho rằng cĩ nhiều vấn dể nêu trong giáo trình này nhằm dé sinh
viên tự nghiên cứu dưới sự hướng dan của thầy piáo
Ngồi ra, nên tổ chức Xêmina trong dĩ sinh viên cĩ thể lựa chọn các chủ dễ
thích hợp Các chủ để cĩ thể là:
~ Sưu tầm các bài tốn THÍCS, các bài tốn trong thực tế đời sống và giải bằng
Trang 9— Ung dung toa do cuc, toạ độ cẩu, toạ độ trự trong nghiên cứu các đường cong va cdc mat cong
~ Dùng các phần mềm tốn học để vẽ các đường, các mật, lập một bộ sưu tập các dường và mật trên máy ví tính
~ Sưu tầm tư liệu lịch sử phát triển của phương pháp toa dộ
TÁC GIÁ
Trang 10Chuong |
§1 VECTO VA CAC PHEP TOAN VECTƠ
1 Khai niém vecta
Hé vecta déc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
11 Vectơ
Trong mật phẳng hoặc trong khơng gian, cho hai diểm A, l3 Đoạn thẳng AB
dược sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một wec/Ø, một điểm được gọi là điểm dau
cịn điểm thứ hai dược gọi là điểm cuối,
Nếu 4A là diểm đầu, l là điểm cuối thì vectơ được ký hiệu là À3 Vectg cịn
cĩ thể kí hiệu là ä;b; ;Ä;Ý¡
Độ đài của đoạn thẳng Àl3 được gọi là độ dai hay modun của vectơ AB và ký hiệu mơdun của vecto AB |B}: Suy ra hai vecto AB và BA cĩ mơdun
bằng nhau
Hai vecto AB va CD được gọi là hai vectơ càng phương hay hai veclØ CỘNG
tuyển nếu các đường thang AB va CD song song hoặc trùng nhau,
Hai vectơ cùng phương AB và CŨ gọi là cùng hướng nếu xẩy ra một trong hai trường hợp sau dây:
1) Néu hai đường thẳng AB và CŨ song song và hai điểm B và D nam cung
phía đối với dường thẳng AC (h 1)
Trang 11
Hình 1 Hình 2
Hai vectơ cùng phương mà khơng cùng hướng thì gọt là hai vectd ngược hướng, Ví dụ hai vectơ AB và BA lì hai vecto ngược hướng
Hai vectlg ä, b dược gọi là bằng nhau nếu chúng cĩ cùng phương cùng hướng và cùng mơdun, khi đĩ ta viết ä = b
Lựa vào định nghĩa bằng nhau nĩi trên của hai vecto, ta dé dang chimg minh rằng “bằng nhau” là một quan hệ tương đương, tức là:
i/ Với mọi Vevtơ ad tacé d= a
b thì b =d,
H
tif Nếu ä
đ/ Nếu á= bvà b=c thì d =e,
Đặc biệt vectơ cĩ điểm đầu và diểm cuối trùng nhau như A,\; PP; MM: dược gọi là tectz— khơng Độ dài của vectơ~khơng cố nhiên lì bằng 0 Ta quy ước răng: vectơ-khĩng cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ Từ đĩ suy ra mọi vecto-khong déu bing shau Boi vay cide vecto-khong duoe kf higu chung 1A 0 1.20 Ubon cond vert! Phop ohan veeld với số thực
Chúng ta nhắc lại các phép tốn vectơ đã học ở bậc phổ thơng: phép cộng hai
Trang 12Phép cong vecto
Cho a, b la hai vecto bat kỳ, khi đĩ tồn tại một vectơ € gọi là tổng hai vectơ đã cho và ký hiệu là ¢ = ä+b được xác định như sau: lấy các điểm A, B, € sao cho
AC = é (h.3)
Hình 3
ID thấy rằng vectơ € khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm A Phép nhan vecto voi mot so thu
Cho mot vecto á và một số thực K bất kỳ, khi đĩ tổn tại một vectơ gọi là tích của d với số k và được ký hiệu là Ká, xác định như sau:
— Phương: Vecto ka cling phuong vii vecto a
—Iiướng: Vecto ka cling hướng với vectơ d néuk 2 0
Veclo ka ngược hướng với vectơ ä nếu k < Ơ
Trang 13b= kil (<0) Tinh 4 flinh 5
[Dưới dây, chúng ta nêu lại các tính chất dã biết của các phép tốn cộng hai Veclơ và phép nhân một vectơ với một số thực
® Đối với mọi eclơ ä, b, ¿ và với mọi số thực K, Í, m, phép tốn cộng hai veeto va
nhân một vectơ với số thực cĩ các tính chất sau:
L Phép cộng cĩ tính chất kết hợp: ä+(b + ẻ )=(d+b)+ẻ
J3 dĩ tả cĩ thể bỏ các dau ngoặc và viết là a + b + ¿ (gọi là tổng của ba
veeto, cling vay ta ed tổng của một số hữu han cde vecto) 2 Phép cộng cĩ tính chất giao hốn: i + b= b+ a Ba +0 =a,
+ Mỗi veclơ ä bất kỳ đểu cĩ một vectơ cùng phương cùng modưn nhưng
Trang 14
7 Phép nhân vectơ với số thực cĩ tính chất kết hợp dối với phép nhân số thực:
(kDa =k(la )
& la =a
Một số hệ quả đơn giản (suy từ các tính chất trên):
Os = 6 va kO= 0 Ta cing thường viết ư là 6,
(—=k)4 =-(kä) ( Ký hiệu là -kii), do đĩ (=4 ==Œ4)= -la =-a
[lidu cia vecto’ & voi vecto b được ký hiệu là ä — b Đĩ là một Vectơ ¿ sao cho b+=ủ
'Ta cũng cĩ: k(a ~ h yekid -k b
« Đạt vectơ trên mật phẳng (hoặc trong khơng gian):
Cho một vectơ i va mot diém © bất kỳ, khi dĩ rẩn rại đụ nhất một điểm M
Trang 15Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hinh binh hanh thi AB+ AD = AC
Quy tắc về hiệu: Cho hai điểm M,N thì với diém O bat kì luơn cĩ:
1/3 Hộ vectd phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
THỷ vectơ phụ thuốc tHyển tính
Định nghĩa Hệ n vectơ dj, a, ,a, được gọi là phụ thuộc tuyến tính (PTTT) nếu tìm được các số kị, K„, , k, Khơng đồng thời bằng 0 sao cho:
ki +k;ấ,+ +k,ấ, =Ư,
(Ni, + Kẩ; + Kuấ, được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ dị, dy, Dy)
Néu hé veeto a), dy, ., d„ là PFFT thì ta cịn nĩi: các vectơ By, a, dy là PFTT
Me vecty doc lap tuyển tính
Định nghĩa Hé n vecto ay, ấ;, , d„ được gọi là độc lap tuyén tink (LTT) néu
đĩ là một hệ vectơ khơng PITT, tức là Khơng tìm dược các số K¡, K„ , k, khơng
đồng thời bing 0 sao cho: kya tk, d+ tk a, =0 uta
Nĩi Khác di, hệ n vectơ dị, a›, „ đ„ là độc lập tuyến tính (ĐI⁄FT) khi và chỉ
khi: nếu kiẩ, +; + +kuấy =Ú thì ki= kị= „.=k,=0,
Chang han theo dinh nghĩa, hệ ba vecto d, b, & duoe gọi là FT nếu tìm
dược ba số thực k, 4, m khơng đồng thời bằng khơng sao cho ki + /B + mẻ = 6
Hg ba vector d, b, € là ĐI/ET Khi và chỉ khí nếu cĩ kả + ƒb +mẻ = Ư thì
xuyrak=/=m =0,
Điớn kiện de hai vecto PITT hay ĐLTT
Định lí, Hai vectơ ä, b PITT khi và khi chúng cùng phương (hay cịn nĩi là
chúng cộng tuyến)
Trang 16Thực vậy hai vecto a, b PFET khi va chỉ cĩ hai số R và ? khơng đồng thời
bằng Ơ sao cho kẩ+(b= 0, Giá sử k # 0 thì d=—TB nên hai vectd i, b
bị
cộng tuyến
Hệ quả IIệ hai veeta a, b ĐI/ƑT Khi và chỉ khi chúng khơng cơng tuyến Diéu kién dé ba yvecto PITT hay DLTT
Ba vecto trong khơng giản gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên những mật phẳng song song hoặc trừng nhau, nĩi cách Khác: nếu các dường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng, hay: nếu chúng lần lượt bảng bạ vectở nào đĩ cùng nằm trong một mặt phẳng Định lí Ba vectứ PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng Ching mink, Giá sử d, b, ¿ Tà ba vectơ PELT tức là cd ba sé k, 1, m khong đồng thời bằng Osaokd+lb +me = 0 ¬ pe te me cự , Gid stk # 0, tu cĩ d@=—-—h-— ec Neu vé cde vecto b, € nam trong mat k phảng (1) nào đĩ thì hiển nhiên vecty ä cũng nam trong mat phang (P) Vay ba veelo a, b, ¿ đồng phang Ngược lai néu ba vecto dy b, € dong nhàng tức là cĩ thể xem chúng nằm trong một mật phẳng, Khi dĩ:
+Néu a,b PPT) thi hiển nhiên a,b, ¢ cũng PƯƑT vì: Khi đĩ ta cĩ hai số k
và / khơng đồng thời bằng Ư sao cho ka +Ib=0, hay Kã +lh + 0e = 0 if
+ Nếu ¡{,b ĐIỊ/ET thì tì biết rằng vectv & c6 thé biu thi qua d va b, tee 1a
cd cae sO k, bsao cho G=ka tlb < kat+lb-c=0,
Vay a,b € PITT
Su PPTT cia bon vecty rong khong gian
Định lí lến veetơ bất Kì trong khơng giản đều PT,
Trang 17
Chứng mình
Gia sit ta cĩ bốn vecto ä, b, é, d trong khơng gian Nếu ba vect d, b, ế
PEVT thì cĩ ba số K, l; m khơng đồng thời bằng 0 sao cho ka + lbh +meé = 0 Khi
d6ka+1b +mé +0d = 0, voik, J, m khong déng thoi bing 0
Tức, bốn vectơ a,b, 6, d PITT
Bay giờ ta xét trường hop ba vecto a, b, € DLT
Ta lấy một điểm O và đật các vecto ä, b, ¿, d tại Ĩ, tức là xác dịnh các điểm A, B, C, D sao cho: OA=ä, OB=b, OC=¿, OD=d (h7)
Do cho ba vectơ ä, b, ế khác Ơ và khơng đồng phẳng, ta dựng một hình hộp cĩ dường chéo là OD, các mật bên tuong tng song song voi cde mat phang (OAB),
(OBC) va (OAC):
Theo tính chất của hình hộp ta cĩ:
OD =OD, +OD, +Ob)
Do OD, vaOA cong tuyén nén:
OD, =kOA vớikelR,
Trang 18Hình 7
Phan tich mot vecto theo hai hoae ba vectd ĐLTT
Định lí Cho hai vectơ PLT a và b Nếu ¿ là vectơ sao cho a; b ; € PTFT
thì ¿ cĩ thể viết một cách duy nhất dưới dang: ¢ =ka + Ib Chứng mình
Vì ä; bị ¿ PUFP nên cĩ ba số p, q, r khơng đồng thời bằng 0 sao cho pa t+ qb +re = Ta thay r #0, vi néur = 0 thi pa + qb= 0 trong đĩ p và q khơng đồng thời bằng 0, suy ra a và b PTTT, trái giả thiết Vì vậy, ta cĩ:
c=-Pá ror - %8 =kả + (B voi k=-2; 1=-4 r r
Néu co k’, I! khong déng thoi bang khong sao cho: ¿=kã+lL'b Khi dĩ
kế +lỗ =k+UB = (k~kĐ)á+(—1)b =0 Nhưng ä; b ĐI,TT nên k=k' và =Ï,
Như vậy cách viết ¿= ká +lb là duy nhất Khi đĩ ta nĩi rằng vectơ € được
phân tích một cách duy nhất theo hai vecto DLTY ä và b
Trang 19Định lí Nếu ha vecto a; b; € ĐT thì mọi vectơ d dều viết được một cách duy nhất dưới dạng: d=kã+Ib+ mẻ và nĩi rằng vecLơ d dược phân tích một cách
duy nhất theo ba vectơ ẩ; by,
Chứng mình tương tự như chứng mính định lí trên
2 ` Tích vơ hướng của hai vectd
2.1 Gĩc giữa hai vecta
Cho hai vectơ đ và b đều khác vectơ 0, Từ điểm O ta vẽ Ộ =đ và Ol=b (h.§) Khi đĩ gĩc AOB được gọi là gĩc hợp bởi hai vectd d và b, và kí hiệu là (ä ; b), Nếu một trong hai vectơ ä và b Tà vectơ 0 thì gĩc (á ; b) xem là bao nhiêu cũng dược, Nếu (¡ ; b) = 90” thì ta nĩi hai vectơ ä và b vuơng gĩc, và kí hiệu ä Lb THình 8
2.2 Định nghĩa tích vơ hướng
Cho hai vecto bat ky di, b Số thực fil [5] costa b) dược gỌI là tích vỏ hưởng
Đặc biệt: Tích võ hướng đa gol la Đình phương vơ hướng của veclơ a Va Ki
Trang 20Điểm kiên de hai vecto vuong goée
'Từ dịnh nghĩa tích vơ hướng ta cĩ:
Lb=0 4 i fo} costa b)) =0 Điều đĩ xẩy ra trong các trường hợp sau day:
+ [lai vecto a, b déu khéc 0 va cos(ä; b)=0, hay a L b + Vecto ä (hoặc b, hoặc cả hai) là vectơ 0 Khi đĩ ta cĩ ä 1 b Như vậy: Hai vectơ vuơng gĩc với nhau khi và chỉ khi tích vơ hướng của chúng bằng 0 2.3 — Các tính chát của tích võ hướng Ta nhac lai các tính chất đã biết của tích vơ hướng (chứng mính coi như bài tập) Với các vectơ bất kỳ ä, b, 6 và số thực A bat ky: 1 (Giao hốn): ä.b=b.ũ,
2 (Kết hợp với phép nhân vectơ với số thực): (Àä ) b = Ma b ) 3 (Phân phối với phép cong vectu): a (b +t)=a.b+4.€,
Trang 21AP DUNG Vi du 1 Chứng minh định lí Pytapo: Cho tam gidc ABC vudng tai A (h.9), ta cĩ: BC’= AB + AC NGỘ / / AM ——————-h A“ —————y Tình 9 fink 10 Thue vay, BC! =BC =(XC- AH# = AB +ACG -2AHAC
=A + AC!(do AB L AC nên ADLAC =0)
Ta cĩ điểu phải chứng minh
Vi du 2 Ching minh dinh lí: Tổng bình phương bốn cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai dường chéo
Cho hình bình hành ACBD (h.10), ta c6:
AC?+ D?= 2(A?2+ AD?),
Thật vậy, AC) +BD? =AC +BUỶ
=(Ali+AD)? +(AD~ AI)
=2 + ÀD”)=20XB? + AD2),
Ta cé điều phải chứng mình
Trang 22§2 TOADO AFIN VA TOA DO TRUC CHUAN
| Hé toa dé afin trong mat phang
{1 Muc tiéu afin trong mat phẳng
41.1 Định nghĩa
“Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ khơng cộng tuyến iva j Khi đĩ bộ ba (O; i; j 3 được gọi là một mục tiếu afin, hay con goi 1d hé toa dé afin
(h.1 1)
Cặp cĩ thứ tự hai vecto ( i; j ) goi a co sé vecto cha hệ toa độ
Ta cũng kí hiệu mục tiêu đĩ 1a Oxy, voi Ox, Oy 1a cdc duang thang di qua O và cĩ vectơ chỉ phương lẩn lượt là i va j (h.12)
Diém O goi lA gde tog đo các dường thing Ox va Oy got Ih cde trục toạ độ, OX là truc hodnh va Oy la trục tung,
/
Mink {1 Hinh 12
1.2 Toạ độ của vectd
Xét mật phẳng với mục tiêu afin (O; i; J)
Trang 23~
Khi dĩ cập số (x; y) dược gọi là toa độ của vectơ ú dối với mục tiêu đã cho và
viết: ư=(%; y) hoặc u(x; y)
Ta cĩ: Ủ(X; yệ © =(X;Y) © U=Xi+Vj,
Dé thay:
— Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi toa độ của chúng bằng nhau
= Nếu ú=(@;y), Ý=(x;y) và ke R thì ũ+V=(x+x;y+y) và
ku = (kx; ky).'
— Nếu ũ =(x; y) và Ÿ =(X'; y') là các vectơ khác 0 và cộng tuyến thì các toa
độ của chúng tỉ lệ: x: x°=y: yˆ, hay một cách tương đương
4 Y) 20,
1.3 loa đố của điểm
Trên mặt phẳng cho hé toa do afin Oxy, véi moi diém M bat ky cha mat phẳng, toa dộ cửa veclơ OM được gọi là toq độ của điển M dối với mục tiêu đã cho và viết: M = @; y) hoặc M@x; y)
Liên hệ giữa toa đọ của vectd tà toa đo của đi
Nếu M = (; y) và N =(; y2 thì MN = ON - OM = (x'= x; y’- y)
2 = Pdi toa dé afin
Cho hai hé toa d6 afin (O; £5 jf) và (O5 Ủ; J):
Giả sử điểm M cĩ toa độ (x; y) dối với mục tiêu (O; i 5 J), €6 toa dd (x5 y’) đối với mục tiêu (Q i’; j ) Hãy tìm sự lién he gidta (x; y) va (x5 y’)
Giả sử đối với mục titu (O; i; j), điểm Œ và các vectơ , J! 66 toa do:
O'= (pq = Gb) ff = (sd); nghia la: OO' spi tqj; @ sai bj: jl scitaj
Trang 24| m Theo giả thiết : OM=xityi, O'M= xứ +y'j Ta cĩ: OM=xf+yƒ | =x'{ai+bj)+y(i +dj) (ax’ + cy’) i + (bx +dy)1 Mật khác: O'M = OM - OO' =(x=p)Ï +0 -g)j, Œ) fax’tey'=x-p X=aX'+cy'+p SUY ra: | tức: bx'+dy'=y-d v=bx'+dy'+q
Các hệ số a, b, c, đ trong cơng thức (Š) dược viết thành một bảng số sau đây:
Khi đĩ Á được gọi là ma trận của phép đối mục tiêu (5) m ^ ` z tn ` a Gid tri (ad — be) due got [A dinh thức của ma trận A va ki hiệu là deLA hay b 1 aoc det = det = b od Chú ý rằng vì hai vectơ i! va jƒ khơng cộng tuyến nên ad — be #0 d Cc bod = ad — bc
Cơng thức (#) gọt là cơng thức đổi hệ toạ độ (hay cơng thức đổi mục tiêu afin)
Nếu deL\ > 0 thì hai hệ tọa độ đã cho (O; ¡; j) và CO? ƒ;¡ ƒ) dược gọi là
cùng hướng, cịn néu detA < 0, hai hệ tọa độ đĩ gọi là ngược hướng Do dé:
Tập hop các hệ tọa độ alin trong mặt phẳng được chia làm hai lớp tương dương Hai hệ tọa độ thuộc cùng lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng (suy ra chúng thuộc hai lớp khác nhau khi và chỉ khi chúng ngược hướng) Ta qui ước gọi các hệ tọa độ thuộc một lớp này là hệ toa độ thuận (hay hệ cĩ hướng thuận), cịn các hệ tọa độ thuộc lớp kia gọi là hệ toạ dộ nghịch (hay hệ cĩ hướng nghịch) Khi đĩ mật phẳng
Trang 25dược gọi là mặt phẳng định hướng Ta thường lấy lầm hệ toa độ thuận (h.13) va he toạ độ nghịch (h I4) tường ứng cùng hướng với một hệ trong hình dưới dây: Hệ toa độ thuận Hé toa dé nehich A A OQ & a 0 ———_._ > i ] Hình l3 Hình [4
Phép tỉnh tien hé toa do
Đổi hệ toa độ alin (O; i; j) thành he (0', i; J) tte i <7; j = j goi là phép tịnh tiến hệ toa độ theo veeta ¥ = OO'= (p; q) Ta cĩ: Ứ=i=(;0), ƒ= j=(0; Ð, nên biểu thức toa độ của phép tịnh tiến là: b =x'tp ® yey'tq 1 0 Ma trận của phép dổi hệ toa độ đĩ là: A = k, } 3 Tâmtỉcự 3.1 Định nghĩa
Cho hé n điểm A, , Aj A, va chon sé ky kyo ky mik, #0 +k, #0
Điểm M dược gọi là tám: tỉ cự của n diểm ;À¡ với n số tương ứng k;(= l,2, n)
HIẾU:
Sik, MA; = 6
it
Trang 26Trong trudng hop k, =k, = =k,#OUn điểm M như thế được gọi là trọng
tâm của hệ diém Aj Khi dĩ ta cĩ:
‘Trong tam của hệ hai điểm chính là trung diểm của doạn thẳng nối hai diểm
đĩ, Trọng tâm của hệ ba điểm Khơng thẳng hàng A, l3, C là trọng tam tam giác ABC,
theo nghĩa đã biết là giao điểm bạ dường trung tuyến,
Nếu cho biết toa độ các điểm 4; là (X; vị), Œ = lý 0) thì toạ độ (x; y) của tâm tỉ cự M phải thoả mãn điều kiện: k,(x,—x)+k,œ, —X)+ +k,X,—x)=0 , ky —y)+ kg, ~ y) tet KO, -y= 0 x= Ta l 4x Suy ra: với k,+K;+ +k, #0 y= kiy, thoy, tt kayo k, +k, + +k,
3.2 Chia đoạn thẳng theo tỈ số k
Dinh nghia, Cho ba diém A, B, C thang hàng, À z B., Số k được gọi là tisd don
của bộ ba điểm thắng hang co thé ty (A, B,C) neu CA=kCB (với K# D) Khí đĩ ta
cịn nĩi: điểm C chia đoạn thẳng XH theo tỉ sdk va ki higu (A, B,C) =k
Vì CÀ =kCH nên CA ~KCBH=Ư nên € là tâm tỉ cự của hai điểm A, B véi hai hệ số tương ứng là 1, —k "Vừ đĩ, nếu: ,\ = (xi; và; l= (x„ y,) thì tịa độ (X: v) của điểm C là: | xo x, —kx, IEK vớik#, l›- y,—ky, I—k
Nếu k> 01a gọi C là điểm chia ngồi của doạn thang AB theo ti sé k, con néu
Trang 27
Đặc biệt nếu M là trưng diém cha AB thi MA = -MB, tic AK = =H, ta cĩ toa
độ (X; y) của trung điểm M của đoạn thắng AB là: Xi+35 ya te 2 ,_ XITY, h 2
Ấp đụng 1 Treo ä hai đầu một thanh dồn hai vật nặng, vật ở dầu A cĩ khối lượng
gấp hai khối lượng của vật ở đầu l3 Iìm toa độ trọng tâm (Vật lí) của hệ gồm thanh đồn với các Vậi nặng đĩ, cho biết A = (Xị; y), B= (xy yy)
Gidi
Trọng tâm của thanh địn xác định theo nguyên tắc dồn bẩy, chính là tâm tỉ cự của hệ hai điểm A, H với các hệ số kị= 2 và k,=l 2x, +X, 3 _ 2x t+Y, 3 x=
Ap dung 2 Treo @ ba dinh mot tam pide ABC ba val nang, vật ở dỉnh A cĩ khối
luong 3kg, vat & dinh B khéi lượng 2kg, vật ở đỉnh C khối lượng Ikg Tìm toạ độ trọng tâm (vật lí) của hệ đĩ, cho bidet A = (Xu; Vụ 2) BE yy 2) C= (Xe V4)
Giải bài tốn này đưa về tìm tâm ti cu I(x, y, z) của hệ ba điểm A, B, C vdi cdc
Trang 28
Il Hệ lọa độ trực chuẩn trong mat phang
1 — Hệ tọa độ trực chuẩn
1.1 Định nghĩa
Té toa d6 alin (O; i ; ] } CĨ CƠ SỞ V€CLƠ ( i ` j } gồm hai vectơ đơn Vị vướng
gĩc với nhau được gọi là hệ toạ độ trực chuán
TIệ tọa độ trực chuẩn cịn gọi là hệ toa do Đểcác vuơng
li
Papelwij=0
Hlink {5
Những tính chất dúng đối với hệ tọa do atin cũng dúng đối với hệ tọa độ trực chuẩn Ngược lại hệ toa độ trực chuẩn cĩ những tính chất riêng khơng cịn đúng trong một hệ toa độ afin bất kỳ
1.2 Biểu thức tọa độ của tích vỏ hướng trong hệ toa độ trực chuẩn Cho trong hệ toa độ trực thuần Oxy, hai VeVtƠ ú = (X; y) và V =@X5 Y2)
Khi dĩ: =XỈ+yj VÀ V=x'li+V'j,
ú.Ÿ =(xi+yj)'i +w'j)
Trang 29Vii?= j7= vaio] =Onen u ¥ = xx! tyy’, Suy raz a) Nếu ú = (x;y) thi ud? =x’? +y’, b) Néu M = (x; y) và N(x? y') thì: MN =
c) Nếu ủ=(%; y) và ú'= (x1; y2 là hai vectơ khác Ø thì ge a tao boi hai vectơ đĩ được tính bởi cơng thức:
Xx'+ yy!
COS = ————————————
22 v2 0,2 Xo +y x+y
1.3 Đổi hẻ toa độ trực chuẩn
Mục tiêu trực chuẩn cũng là mục tiêu alïn, ta cĩ cơng thức đổi từ mục tiêu (O; is fj) sang mục tiêu mới (O% ; Ƒ):
X=ax'+cy'+p y=bxX+dy'+q
trong dé i’ = (a; b), j =(e;d) va OO! = (p; q)
Ở dây, các mục tiêu là trực chuẩn nên: Ï = ƒ! =lvà Ứ, j= 0, tức là:
nể 2 và 2 N đ
a +bBê= l,c +dˆ= Ï và ac + bđ =0 (*)
‘Tir dang thie a’ + bˆ = 1, ta cĩ thể tìm được gĩc œ sao cho a = cosœ, b= sinœ
Trang 30cosa sina Az=|, , sina cosa tacé det A=l x=x'cosa~y'sina+p Cơng thức đổi toa độ: , () y=x'sina +y’cosa+q 3m : ; ® NếuƠ=œ+ > + 2kz thì c = cosØ = sinơ, va d = sin8 = — cosa, do dé: cosa sina Azl ; sina@ —COSƠŒ ta cĩ det¿\=—T,
Cơng thức đổi toa do: 4 [x =x'cosa+y’sina+p ly =x’sina ty’cosatq q)
Vậy, đổi mục tiêu trực chuẩn (O; ¡;¡ j) sang mục tiêu trực chuẩn mới
Trang 31Cong thie (1) tng voi hat hé toa đĩ cũ và mới cĩ cùng hướng nhau; cịn Cơng thức (ID) ứng với hai hệ toạ độ cũ và mới ngược hướng nhau
Một số trường hợp đặc biệt:
Phep quay hé tua do quanh gov toa do (ts)
Đổi mục tiêu trực chuẩn (Ư; i 1 j } sang mue tidy true chudn mdi (O; i’ ; j ), tic OF = Ĩ gọi là phép quay hệ toa độ một gĩc @ # 0, ở đĩ:
„sua củ An ae Tỉ
Œ=gĩc(1, 1 ),0 = gĩc (Í, ƒ) với Ð=œ+ — + 2km,
Hai mục tiêu trực chuẩn cũ (; ¡; j) và mới (O'% Ú; ƒ ) là cùng hướng, cĩ
Trang 32yes Dot 3m Ta cĩ: d = (Ú, cosơ = l, sine=(,ØÐ =(¡, j)=œ+ > + 2k7; nên mục tiêu
trực chuẩn (Ư:; i; ] 3 và mục tiêu trực chuẩn mới (O1; Ú; 7) là khác hướng nhau fcosa sind | 0 Vay A=] = : sing = —cost 0 -Í x Cơng thức đối toa độ: | , aly
III Hệ tọa độ gíin và hệ tọa độ trực chuẩn
trong khơng gian
1 _ Hệ toạ độ afin trong khơng gian
1.1 Định nghĩa
Trong khơng gian cho một điểm Ơ và ba vector i, ds k khong déng phang Khi dĩ (O: ï; is k) dược gọi là một mục fiéu afin, hay mot he toa dé afin trong khong gian Ditm O goi lA gdc toa dé; Cac bd ba vecto ( is fs K) gọi là một cơ sở
vectơ của hệ toa độ Các đường thẳng Ox, Oy, Oz với các vectơ chỉ phương tương
ứng là ¡; j; K gọi là các yc tog dd Ta con Kí hiệu hệ toa độ atin d6 1a Oxyz
1.2 Tọa độ afin của veclơ và của điểm trong khơng gian
Cho trude mot hé toa dé afin (O; i; j ; K} Theo trên, với mỗi vectơ ú trong khơng gian được phân tích một cách duy nhất theo cde vecto i, j „ k, tức là cĩ bộ bà cĩ thứ tự ede sé (x, y, 7) duy nhất sao cho: =XI +Y j + 7k
Hộ bà cĩ thứ tự (x, vụ z) dược gọi là tọa độ dÍin của veclơ ú đối với hệ tọa độ
afin dã cho và í hiệu là ú = (x; vị 2) hay 0(Xị Vị 2)
Tá cĩ: Ú(X: V2) € U = xi ty] +7k
33
Trang 33Với mỗi diểm M, tọa độ của vecto OM due goi 1a toa dé afin cia diém M
déi v6i hé toa dé afin dd cho Digm M cé toa do là (x, y, 7), ta viel M = (x3 ys 2)
hay M(x; y; 7)
Ta c6 cdc tinh chat sau day trong hé toa do afin: + Néu M = (x; y;z) vaN =(x; y; z2) thì:
+Nếu ũ= (x; y; Z) và ? =(X; y2 Z2 thì:
+Ÿ =(X+X;y+Vy;⁄+⁄2; kuủ=(Œx; ky; kz), k eR
+Nếu ú =(&; y; 7) và Ý =(X; 5 7’) khde Ova cộng tuyến thì:
KỶ =,k#0
suy ra các toa độ của chúng tỉ lệ x:x'=y:y'=z:2
1.3 Đổi hệ tọa độ afin trong khơng gian
Cho hai hệ tọa độ (O; ï; j; K) và (O3 Ủ; ƒ; K”) và một điểm M bất kỳ Gọi
(X; V; Z) và (X”; y7; Z2 lần lượt là tọa độ của M dối với hai hệ tọa độ đĩ Ta hãy tìm sự
liên hệ giữa (x; W; 2) và (X V22
Giả sử đối với hệ toa độ (O; ï; j; K), các vectơ i; yk! Lin lượt cĩ toạ độ là
Trang 34OM=xi+yJ'+zEt
=x'(a, i+ bd +ok)+y(a,i+ b,j +e,k)+z(a,i + b, j+¢,k)
= (a,x’ta,y’ ta,z’)i + (b,x + by’ + bz) +E x! + gy! + eZ Dk’ @)
Mặt khác: O'M =OM—OO '= (@x~a,)ï+(y—b,)]+Œ—eg)k — @)
X=u,X +a¿y +a¿Z +
Từ (1) và (2) tà suy ra: 4y =b,x+bạy '+bjZ+bạy — (3) Z=CIX +Cạy +047’ $y
Cơng thức (3) được gọi là cơng thức đổi mục tiêu hay đổi tạo độ afin (trong
khơng gian) Các hệ số trong (3) được viết thành bảng số sau day: a a, a,
A=/b, b, b, Cy, C3 và được gọi là ma trận của phép biến đổi mục tiêu (3)
Với ma trận À, ta định nghĩa số deLA (và gọi là dinh thức của ma tran A) b, b Cạ a, a; như sau: detA =a,} ~ , +b] 7 Vee | 7 : Cy Cị 8y ay by by a a, as DetA con ki higu la: detA = |b, by bại Cy Cy Cy
Trong mơn đại số tuyến tính sẽ học, chứng minh dược rằng: lša vectơ u =(a,; a); a,),V = (); b,; bw =(c); C3 c,) PLTT Khi và chỉ Khi:
a 4y ay
b, bb) #0
cy) Cy
Trang 35
Nếu dcu\ < 0, hai hệ tọa độ đĩ gọi là ngược hướng (hay bộ bà ( i; j ; K) và bộ ba (Í; ƒ¡ K”) ngược lướng)
Đo đĩ, tập hợp các hệ tọa độ an trong Khơng gian dược chía lầm hai lớp tương đương Hai hệ tọa độ thuộc cùng lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng (suy ra chúng thuộc hai lớp Khác nhau Khi và chỉ khi chúng ngược hướng) Ta gọi các hệ tọa độ thuộc một lớp là hệ toa độ thuận (hay hệ cĩ hướng thuận), cịn các hệ tọa do thuộc lớp kia gọi là hệ toa độ nghịch (hày hệ cĩ hướng nghịch) Khi dĩ khơng gian dược gọi là khơng gian định hướng Ta thường lấy lầm hệ thuận và hệ nghịch như các hệ toa độ trong hình dưới (h.20):
Hinh 20
Ví du 1 (Tịnh tiến hệ toa độ) Đổi hệ toa đĩ alin (O; 1; js k ) sang hé toa d6 alin
Trang 36
' X=x'+ay y=y'th, „ — gt LET +ey Ví dụ 2 Đổi he toa dé afin (O; T; jf; kK) sang he toa do (O45 i; js K”) với Ơ =(0;0;0; Ứ=AXÍ; j=kj; K=AE,À#0 X0 0 'Ta cĩ: ma trận đổi toạ độ: Á = |0 2 0} 0.0 À Cơng thức của phép dồi toa độ này là: X=ÀX y=ay’ yoke! 2 Hệ toạ độ trực chuẩn trong khơng gian 24 Định nghĩa
Nếu mục tiêu alïn (O; i; i K) c6 co sé veto ( i; is k) gồm những vectơ
don vi va đơi một vuơng gĩc, tức là: ¡° = j° =k” =1 vì
thì mục tiêu đĩ được gọi là mục tiêu trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn (cịn gọi là
hệ toạ độ Đécác vuơng)
Những tính chất dúng đối với hệ tọa độ afin trong khơng gian cũng đúng đối với mọi hệ tọa độ trực chuẩn trong khơng gian Ngược lại hệ toạ độ trực chuẩn cĩ
những tính chất riêng khơng cịn đúng trong một hệ toạ độ afin bất ky
2.2 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng đối với hệ toạ độ trực chuẩn trong
khơng gian
Trang 37i= jek? sivai.j=j.k=k.i =0
Các vectơ , Ÿ cĩ các tọa độ trực chuẩn: ú =(x; V;7; V =(X; V2
Ta chitng minh được các cơng thức sau: + Tích vơ hướng: ủ.Ÿ = xx' + vy' + 77/ : 2 2) 2 ujeyxty tz + Độ đài vectơ W(x; y; 7) 1a + Gọi œ là gĩc giữa hai vectơ 0(x; y;⁄) va Vx’; yy 2) déu khdc 0 thi ta cĩ: xXx+yV+ử x+y 47? xP ty? $7” Suy ra nếu M = (x; V; Z) và N= @?; y2 Z) thì khoảng cách MN là: COsa = MN= A(x'=x)°+(y'=y) +0 Ø2
2.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong khơng gian
Cho hệ tọa dộ trực chuẩn (O; ï; j ; K), VÀ hệ tọa độ trực chuẩn (O45 1" i k') Khi d6, néu d6i với hệ (O; ï; j; K) tạ cĩ: =, bị; C¡),
J=(a,; b,;c,), Khz( bic.) thi:
al +b? +e7 sa; +b +e sadeh/ te’ =|
var aja, + bb, + ce, = ajay + byby +O,c, = aay + bb, +c, = 0
Ví dụ 3.,Đối mục tiêu trực chuẩn (O; ï; j; K) thành hệ (O%; 7; j1; K?) bằng cách
cho quay cdc true Ox va Oy quanh true Oz mot poe o (h.21)
Suy ra, dối với hệ (O; i; js K ) cĩ: Ữ =(cdwœ sing; 0), j' =(-sina; cosa; 0)’,
Trang 38Cơng thức đổi toa do: x=x'cosa~y’sina y=x’sina +y‘cosa, , “=# Hình 21 2.4 Tích cĩ hướng
Dinh nghia, Cho hai vecto bat ky a, b của khơng gian với hệ mục tiêu trực chuẩn (O; ï; j ok ) Lich cĩ hướng (hay cịn gọi là tích vect7) cla hai veeto a và b là một vectơ ú, kí hiệu là ú =[ä; b J, được xác định như sau:
—Nếu ä = 0 hoặc b= 0 thì[á; b|= 0
— Nếu ä, b khác vectơ khơng thì :
if Vecto [iy b | vudng gĩc với ä và b tức là[ä; b].á =[á; b].b=0.,
H/ — Hộ bạ (á, bh, ú) cùng hướng với hộ bạ cơ sở vectd (i, j „ K) của hệ mục tiêu trực chuẩn (O; Ï; j; kK)
a
iti/ |ljB|= bl sinca b)
Trang 39Các tính chát L tá; b] = -[b; d{ tờ - [Kã; b|= kịa; bJ với mọi k e fR J#;: b+ẽ|={8; b|+[ä; é] ta Ching minh
Hai tinh chất đầu khá hiển nhiên Sau đây ta chứng mình tính chất 3 (cịn gọi là tính chất phân phối của tích cĩ hướng đối với phép cộng vect0)
Trước hết ta nêu cách dựng vectơ {á; bị trong trường hợp đ =1 Tà lấy mật phẳng (P) vuơng gĩc với vectơ ä và gọi b' là hình chiếu vuơng gĩc của vectơ b lên mat phẳng (P) Quay vectơ bi mot gĩc 90” hoặc ~90” trên mật phẳng (P) được vectd
ú, sao cho bd ba (a, bh, d) cùng hướng với bộ ba ( i, j k ) Khi đĩ ú =[á; b] (h.22) Thật vậy, vect ú vuơng gĩc với hai vectơ d, bV và cĩ: lạ h |=lP|cos.b) = B[cos(á b)
Bây giờ ta ching minh cong thức |ä; b+¿| = [dsb] + [are] trong trường
hợp |á[= 1 Tà lấy mạt phẳng() vuơng gĩc với á và gọi b“ và ¿“ lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của b và ¿ lên mặt phẳng (Đ) Khi dĩ hiển nhiên b“+ ¿' là hình
chiếu vuơng gĩc của b + ¿ lên (P) Nếu ta quay trên (P) các veeta bY, ef va b + ế cùng một gĩc 90” hoặc 90), thì ta lần lượt dược các vectơ Ú, ti ¡ Và Ủy mà
=[äd; bỊ, ủ, =[d; c} và úy ={ä; b + é| Hiển nhiên U+u,=u, Vay:
Trang 40jas b} + fas €] =[fa] as b] + [fa] a’: €] = |a].qa’s b} 41a’: =|ä|lá: b+ cỊ =]klz: bee] =[a; b+] Vi du 4 Trong mục tiêu true chuan (0; is js K), theo các tính chất của tích cĩ hướng ta cĩ: |; ïJ=lj; j]=IK; kỊ=0, t jÌ=K,Lj;KI=IK:Ï=j:
Biểu thức toa độ của tÍCh cĩ hướng
Trong hệ toa độ trực chuẩn (O, is js K) cho các vecld UO Ys 7) +
ví; W); Z2, tức là:
u =xit+y] +k, =xi +yj +k,
Khi đĩ: [ủ; #Ị=|&Ï +yj +zKbỳ; @'Í ty) 7K
Áp dụng tính chất phân phối ta cĩ:
tú; v|=xviy ÍI+xy; jI+xL KI*wLji FIeyLii DIeyLj: KI
+#[K; i |tzy'lk; jI+#É; K |
Vì (O; ï; j ; k) là mục tiêu trực chuẩn thuận nên:
tỦ ÏI=Lj; jI=LÉ KI= 031 jI= K,1Ú; KỊ= b1; Hi: