Giáo trình mở đầu về giải tích phức trong không gian banach phần 1

Ê - LÊ MẬU HẢI - PHẠM HOÀNG HIỆP MỞĐẦU VÉ GIẢI TÍCH PHÚC TRONG I NGUYÊN iỌC LIỆU £ G S TSK H NGUYẼN VĂN KHUÉ - G S T SK H LẺ MẬU HẢI P G S T S PHẠM H O À N G H IỆP MỞ ĐÀU VÈ GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH NHÀ XƯẨT BẢN ĐẠI HỌC s PHẠM Mã số: 01.01.332/1001 - ĐH 2013 Muc lục Trang Lịi nói đ ầu Đ a th ứ c chuỗi lũy th a Ánh xạ đa tuyến tính 1.2 1.3 Đa t h ứ c .: Đa thức nhiều b i ế n 14 18 1.4 Chuỗi lũy thừa 25 Á n h xạ chinh h ìn h C ác tín h ch ất b ản 2.1 Ánh xạ chỉnh h ìn h 2.2 Tích phân Riemann hàm giá trị Banach 30 30 36 2.3 Các công thức tích phân C a u c h y 37 2:4 2.5 2.6 Ánh xạ G - chỉnh hình Tính chình hình tính c - khả vi Tôpô com pact m 48 55 61 H àm đ a điều hịa Đ ịnh lí H arto g s án h xạ ch in h hình theo biến 3.1 3.2 Hàm đa điều hòa d i Chính quy hóa hàm đa điều hịa d i [33 Ánh xạ chỉnh hình theo b i ế n D ạng vi p h ân song bậc Bô đề D olbeaut đa diện da th ứ c 4.1 Dạng đa tuyến tính thay dấu 66 66 77 85 92 92 4.2 4.3 Phân hoạch đơn v ị 97 Dạng vi p h â n 100 4.4 Bổ đề P o i n c a r e 109 4.5 Dạng vi phân song b ậ c 110 4.6 d - phương trình dạng vi phân có giá bị c h ặ n 114 4.7 - phương trình đa đĩa Bổ đề D o lb e a u t 120 4.8 Tập compact lồi đa thức - Bổ đề Dolbeaut đa diện đa th ứ c 125 4.9 Xấp xỉ đa thức không gian B a n a c h .130 M ột số loại m iền tro n g k h ô n g gian B a n ach 135 5.1 Miền chình h ìn h 135 5.2 5.3 Miền lồi chỉnh h ì n h 139 Miền giả l i 143 5.4 Hàm đa điều hòa miền giả l i 148 - phương trìn h tro n g m iền giả lồi vấn dề Levi 153 6.1 6.2 Tốn tử xác định trù mật khơng gian Hilbert 153 Hàm t h 156 6.3 6.4 Phân b ố 161 â - toán tử L - dạng vi p h â n 170 6.5 L - nghiệm d - phương t r ì n h 177 6.6 c x - nghiệm ỡ - phương t r ì n h 183 6.7 Vấn đề Levi C " 185 6.8 Xấp xỉ chình hình c n .187 6.9 Vấn đề Levi không gian B a n a c h 192 Tài liệu th a m khảo 196 Lời nói đầu G iáo irình biên soạn dựa số sách chun khảo Giải tích phức hữu hạn vơ hạn chiều, "Complex Analysis on Banach spaces" J.M ujica[5] đóng vai trị cốt lõi G iáo trình có chương Hai chương đầu trình bày khái niệm bản: đa thức, chuỗi lũy thừa, ánh xạ chỉnh hình G - chinh hình Chương chủ yếu trình bày hàm da điều hịa dưới, lớp hàm quan trọng gắn liền với hàm chỉnh hình Một áp dụng Bổ đề Hartogs dãy hàm đa điều hòa đưa Đó định lí sâu sắc cùa H artogs tính hình ánh xạ chỉnh hình theo biến Đé mỏ rộng định lí tới trường hợp Banach, định lí Zorn tính chỉnh hình hàm G - chỉnh hình bị chặn địa phương điểm đề cập tới Chương trình bày loại miền quan trọng Giải tích phức Đó miền tồn tại, miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình miền giả lồi Mối liên hệ loại miền vấn đề trung tâm G iải tích phức Trường hợp C " hay tổng quát khơng gian Banach có sỏ Schauder, tương đương loại miền chứng minh dựa định lí Cartan - Thullen Trong tương đương loại miền với miền giả lồi C" chì giải sau cơng trình lớn H ơrm ander 'ỏ - phương trình 'Đây là' loại phướng trình đặc biệt Giải tích phức Việc giải phương trình ihàỹ đa diện đa thức đưa chương M ột ứng dụng lấ Định lí Oka - Weil xấp xỉ hàm chỉnh hình đa thức trình bày cuối chuơng Cuối cùng, chương nói đền giải phương trình miền giả lồi vấn đề Levi tương đương loại miền lóp khơng gian Banach có sở Schauder Giáo trình biên soạn sau nhiều năm giảng dạy môn học cho học viên Cao học chuyên ngành Tốn Giải tích khoa Toẩn - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tuy nhiên trình biên soạn việc sai sót khơng thể tránh khỏi Chúng tơi mong nhận góp ý q đọc giả C ác tác giả Chương Đa thức chuỗi lũy thừa 1.1 Ánh xạ đa tuyến tính Trong mục này, trình bày khái niệm ánh xạ đa tuyến tính số kết ban đầu Trưóc hết ta đưa số kí hiệu sau Kí hiệu K trưịng số thực R hay tníịng số phức c N, N tập số nguyên dương số nguyên không âm Các chữ E , F , dùng để chi không gian Banach Nếu E khơng gian Banach vói m > 1, khơng gian tích E m = E X E X ■■• X E khơng gian Banach với chuẩn cho S— V" — ^ m ||x || = m ax ||TjỊ|, Xj € E, < j < m 1.1.1 Đ ịnh nghĩa G iả sử E, F khơng gian Banach cịn m € N Ánh xạ A : E m -* F gọi m - tuyến tính tuyến tính theo biến Nghĩa với a — (a i, CÍ2, , am ) e E™ < j < m , ánh xạ ^ ^ ( a l ; Ị U j - 1, X j , U j + 1, ■ ■ ■1 U m ) tuyến tính Kí hiệu Ca(m E, F ) £ ( mE, F) không gian vectơ ánh xạ m - tuyến tính m - tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng Với A € Ca(m F, F ), xác định ||.4|| = sup{||v4(ari, , x m)|| : Xj e E, ||x j|| < < j < m ) gọi chuẩn (suy rộng) A Khi m = 1, ta viết £ a( ‘£;, F) = Ca{E F) £ ( 'E , F) = £ ( £ F) Khi F = K viết C„(mE, K ) = Ca(mE ) C(mE K) = C(mE) Cuối rn = 1, viết thông thường Ca(E ) = E :, C (E ) = E* ịã M ệnh đề Đối với A Ca(m E, F) điều kiện sau hì tương đương: ị a) A liên tục b) A liên tục O e E m Ị c) ||,4|| < + 00 Lựluíng minh, a) => b) hiến nhiên b) => c): Giả sử có giả thiết b) c) không xảy Vậy tồn dăy ị r \ , X*,) c E ’n sa o cho ỉ' k > l Suy max j Tk Tk * í f ' > với ki ta gặp mâu thuẫn c) =* a): Giả sử a = (« a m) e E m I = (T i, x m) e E m Chọn c > cho m ax 11a j 11 < c m ax ||x ,|| < c Khi j ì ||/l(x i, ,.T m ) - , a m)|| rn = II ^ ^ Ị ^ ( a i, 1, X j , * * * } X n ì ) Ả { ( ỉ \ , , (ỉj X , , x m ) J j| j =1 m < • •■rtm ) - { « t ,.Tm)|| >=1 < ^ ||/ ||c m - ||x j - f i j l l —> X j —> « j , < < tu 3=1 Vậy c) => a) □ 1.1.3 M ệnh đề C(m E, F ) lù không gian Banach vái chuẩn A I— > I i j Chứng minh Dễ thấy ánh xạ A I— ị ||.4(ị chuần C(mẸ F) Giả sử {A j } dãy Cauchy C('nE F) Khi đó, với Ị.ỈÍ1 x m ) € E m ta có rm) - A k(x II < ||/lj - A l l l k i H í ■■| | j m ||- (1 ) Suy dãy { j(j ! _, x m)} c F dãy Cauchy Vì F không gian Banach nêi tồn A ( x i x m) = lim t:m) ( 1.2 Dễ thấy ánh xạ A : E m —> F m - tuyến tính Ngồi { A j} dãy Cauch) C(mE , F ) nên tồn c cho 11yij 11 < c với j > Khi từ (1.2 suy ỊỊv4|| < c Cuối từ ( ) ta có ||.4j - ,4II -> j -* + 00 c 1.1.4 M ệnh đề Tồn đẳng cấu tắc khơng gian vectơ Ca(m+nE , F Ca(mE , C a(nE, F)) Đẳng cấu sinh đẳng cự giũa C (ìn+nE, F) VI C(m E , C { nE , F ) ị Chứng minh Dễ dàng kiểm tra ánh xạ Ca(m+nE , F ) A \ — > Ã e Ca(mE Ca{n E , F)) xác định Á (X Ị , ’ Vi l) A ( x ‘i , , *t’m , y ì : ■ • • , ị j n ) thỏa mãn yêu cầu đặt □ Đối với VI € N, kí hiệu S m nhóm đối xứng tất hoán vị in phần tử Nếu e s m ( - l ) kí hiệu dấu hốn vị 1.1.5 Đ ịnh nghĩa Đối với m € N, kí hiệu C3a (m E, F) không gian vectơ Ca(mE , F ) gồm ánh xạ m - tuyến tính đối xứng, nghĩa •• • ^-ơ(m)) ' *■■í ^m) với ( x i , , x m) € E m a e S m Tương tự ta kí hiệu £ “(mE F ) không gian vectơ Caựn E , F ) gồm ánh xạ m - tuyến tính thay phiên hay phản đối xứng, nghĩa với ( x i , , x m) E 'n € s m Các không gian Cs(m E , F ) Ca(mE , F) xác định tương tự Đó C3(mE , F ) = C’a (mE , F) n C{mE , F) £ a(mE , F ) = Can {mE F ) n C (mE , F) Trường hợp F = K ta viết £ ị ( m E , K ) = C ị ( m E ) £ “(mE , K ) = Ca a{mE) 1.1.6 Mệnh đề Đối với A £ C a{mE F) giả sử A s A a xúc định A (.7’ X Tn) — , - ^ ^ ơeSni l 'V : •• - ~-ị Y ] ( - r ^ ' ( Jg(l) ĩq{n,))' ơ€S„, Khi đo a Ánh xạ ,4 I— ỳĩf phép chiều từ Ca{mĩỉ F) lên C"{mF F ) với II/ls II ||.4|| xảy cho A e CaựnE, F) Ánh xạ cảm sinh phép chiếu liên tụ: từ £ ( " • £ , F) lên { m E„ F) b Ánh xạ I— » A a Ici phép chiếu từ ũ a(mE , F) lên Caa{mE, F ) vói IM "II •' I III xảy cho A € Ca('nE, F) Anh xạ nàV cảm sinh pliép chiếu liên tụ; từ £ { m É, F ) lên c a(m E F) Chứng minh mệnh đề dành cho độc giả Đ ể rõ :àng, ta đặt (đối với m = 0) £ „ ( UE , F ) = ^ ( 0£ , F ) = £ “( ° /? F ) = C (°E , F ) = CS{°E F ) = C a{°E, F) = F Đối vớ N đa chi số a = ( « 1, • • • , Qn) € Nỏ* , ta t: |a | = ô1 + ã + a , a! = ôi! ã 1.1.7 flinh ngha Gi sử A e Ca(m E F) Khi với ( x \ , x n) Ç E n vói mồ Cĩ— ( c t i , , a n) Ễ Ng với |q | = m ta xác định ■■x“ " — A{x , V S*' ■“V“ ■■ s V ^ C*1 i , x n) ru > AãỆ1 ■ Ckrt A r "1 ■■• r“ n — A m, = 1.1.8 Dinh lí Giả sử A C ị ( mE F) Khi dó X i cn Ç E ta có công tỉức Leibniz A(*x + ■■■+■r „ r = E S A r >‘ • |o | = m Do f j < Ü A n(«, 3r) ta có Ị / j W ( r + ố)'2" < fjdX< A n {«,r + jo ỗ > đủ bé Do h' compact, phủ K hữu hạn đa đĩa mệnh đề chứng minh □ Bài tậ p 3.1.1 Giả sử X Y không gian tôpô Chứne minh / : A” —> Y liên tục, ( / : > ’ —> Ị - o c , + o) nửa liên tục a o f nửa liên tục 3.1.2 Giả sử u tập mở E / g : —> [0 oc ) hai hàm cho log/ log.ry đa điều hòa Chứng minh l o g '/ + y) e Ps{U) 3.1.3 Giả sử u tập mở £ / H{U F) Chứng minh: (a) Mỗi hàm um(:r) = sup ¡I / ^ ( 1)11 liên tục trẽn k>m (b) Hàm - \ogrcf ( x ) đa điều hịa u 3.2 Chính quy hóa hàm đa điều hịa Mục dành cho việc nghiên cứu hàm đa điều hòa thuộc lớp c Ta chứng tỏ hàm đa điều hòa tập mở C n giới hạn điểm dãy giảm hàm đa điều hòa dưối lớp c°° Sự kiện thường gọi quy hóa hàm đa điều hịa 3.2.1 Bổ đề G iả sử u tập mủ trung điều kiện sau rương c Khi đối vái hàm / € G'2(ơ , R) (a) / lả điều hòa Ư (b) / ỡ 2/ OZOZ (c) Vúi a £ d 2f + ” a x ¿ a y¿ > u u tích phân 2ir M (r) = ¿ 2tt J / / ( û + rel0)d() (r > ) lủ hàm tăng r 77 Chứng minh, (a) ^ (b) Giả sử A (a, r) c Do / điều hòa 2tt / l / ( a + re 'e) - f{a)}dO > 0 Theo cồng thức Taylor Of, f ( a + re ) — f ( a ) = r c o s - ^ - ( a ) -f r s i n ớ¿^ỉ- ,( a ) ởx ởy + ? cos2ớS (Crfi) + ? sin2ỡ0 (Críí) ^ r2costìúni)Ễ k } Cre) ỏ ơCrQ r0 e [a, a 4- re**] Như Ị |cos2 ^ ị ( C ro) + s i n ^ ( C r9) + COS sin 0~Q~^r(CT8Ỹị > (3.2.1) r2 Chia hai vê cho — dùng định lí hội tụ bị chặn Lebesgue cho r —> ta có (b) => (c) Tính tốn trực tiếp ta có ƯV V y T y 2ớ r 9/ r ớớ 1ạv r ớớ Khi từ (b) suy j{&2 + lr ẳ ) f{a + rei6)de- 2tt / ỡ / (ữ+ = %(a +rei6^ = °' Do M " ( r ) + r ~ l M ' ( r ) > Như JI/,(t')J = r h í " ( r ) \ M ' ( r ) > Do r M ' ( r ) hàm tăng r Do r M ' { r ) -> r —> ta có r M r > Vậy Kl'{r) > với r > M ( r ) hàm tăng theo r (c) =s- ( q) hiển nhiên 78 '( r ) > với □ ■Jeu u tập mở E / C 2( U, R) theo định nghĩa r í D" ta thấy y D " f ( a ) dạng Hermite với a Ễ u Nói cách khác D" f ( a ) ( s , t ) c uyến tính theo s, c - phản tuyến tính theo t n "/(« )(« , í) = D 'D " f ( a ) ( t s) 'ới rt € s, t e £ Dạng Hermite D D "Ị{ ) cho đặc trưng hàm đa tiều hòa sau 1.2.2 M ệnh đề Già sử tập m E / c 2(ư R) Khi f đa điều lòa u dạng Hermite D t ì ' f ( a ) kì dương với a € Ư Ighìa D' D" f ( a ) ( t t ) > với m ọi a £ Ư I E ?lìibig minh Cho a € u v t E Xột hm u(ỗ) = (a + ỗt) m nú c xỏc nh rờn mt đĩa đủ nhỏ A (0, r ) c c Quy tắc đạo hàm cùa hàm hợp cho ta — -= = dỗdỗ D D f ( a + ỗt)(t, t) v Tiật vậy, giả sử z{c) = a 4- ự /o = /|a+C(- Khi = a + Çi u = f o z 'ừ ú ?_ = aA dỗ ia + )( m dzK = f ) + -a ệ ( „ - K O ( S Ư ) ' \ ƠÇ ) dz dỗ > (ằ + xác định ểí(ir) = < rng ( | ) , E" ĩ ễ Khi Ị f)ịd \ = 1, suppte c B(0 ố) R" Giả sử / e P s ( ), u tập mở C" Xác định ư*es)(x)= Ị f(x-y)e¡{y)d\(y)= Ị f{y)ßi{x- y)dx(y) B( ,ổ) I ịx.i) với X € s = {.r u : du{x) > (5} / * Qé sau gọi tích chập củ a / Qi (xem m ục ) 3.2.6 Đ ịnh lí Giả sử u c C " tập mỏ, liên thông / € Ps(U), f ặÉ —oo Khi (a) f * Qs c ° ° (ư s ) n P s(U ¡) vài m ọi ỗ > (h) ( / * Qs){z) giảm tới f ( z ) ỗ \ vói z e Chứng Do / Ễ L '( í/, loc) (Mệnh đề 3.1.13) tích chập Ị * Qs xác định / * eỏ_ỹ- c ° ° { 6) Đê chứng minh / * Qi P s(Ư j), lấy a ÙẶ i) € c n cho a + A6 c Ư Ị D ùng định lí Fubini ta có ( / * es){a) = Ị f { a - O e s i O d X ( Ç ) Cn - Ị ầJ Cn = Ị f ( a - ỗ + t i9b)de (/ * Q s ) { a + e i b )d O M Ỏ oAu V Ẻ 81 Vậy f * Qs Ps(Us) T iếp th eo chứng minh f * Qè hội_tụ diểm tới / ỗ \ f ( ) < c Chọn 7- > để B(n, r) c Us / < c B(a, r) Khi ( / * Qs){a) < c Cho Ị e 6{.Qd\(Ç) < c C» với < < r Mặt khác với e [0,2ir\ phép đổi biến ỡ —> ——, ?7 = (,‘e với Jacobien băng — , áp dung đinh lí Fubini ta có 2ir Z7T (f*es)(a)= Ị ' ' f ( a - Q e s { C)rfA(Ç) licil m Cho £_> Do V lân cận mở /( f t + A b) (J liên tục tồn ỗ > cho f ( a + >)+B(0, ó) c V Ịj(y) < y ( x ) + s với X € f ( a + A b ) y e B (x ỗ) Chọn rri\ > m cho ||S m(A) — f{ a + A6)|| < ỗ với Ằ Ễ A Suy g o s m(A) < g o f ( a + \b ) (3.2.4) với A € A m > Từ (3.2.3) (3.2.4) ta có 27r g ° f{n) < ~ Ị g o f(a + é eb)d9 + E D o e > tùy ý ta có (3.2.2) Vậy g o / P s(ơ ) Như g không liên tục cần chứng tỏ hình cầu ffi c V , g giói hạn giảm dãy Psc(B) Đó Định lí 5.4.4 B giả lồi Bài tập 3.2.1 Giả sử u tập mở E / C 2(U, F) Chứng minh AD' D" f ( a ) ( s , t ) = D 2f ( a ) ( s , t ) + D 2f ( a ) ( i s , i t ) + D 2f ( a ) ( s , it) - i D 2f ( u ) ( i s , t) với n e u s, ị € E 3.2.2 Giả sử E, F, G không gian Banach, u c E V c F tập mở / c \ u , F ), g e C l {V, G) với f ( ) c V Chứng minh D \ y ° f ) ( x ) = g ( f { x ) ) o f ( x ) + o " g ( f ( x ) ) o D" f ( x ) D"{g ° ĩ ) { x ) = q { Ị { x ) ) o D " f { x ) + D " g [ f ( x ) ) o D " f { x ) với m ọi X € u 3.2.3 Giả sử E, F, G không gian Banach, u c E V c F tập mở giả sử / H { ú , F ) g e C 2{V.Õ) với f ( U ) c V Chứng minh D'D "(go f)(x )(s,t) = D " g { f ( x ) ) ( f ( x ) ( s ) , f ( x ) ( t ) ) 84 với X £ í, s € ĩĩ 3.2.4 Giả sử u c E V c R tập mở giả sử / € C 2(U R ), g € C'2(V K) với f ( U) c V Chứng minh (a) D ' D " ( g o f ) ( x ) { s, t ) = g" ( f { x ) ) f{.c){s)D' f{x){t.) + g ' ( x ) ) D" f ( x ) { s , t ) với X € u s, t £ B (b) Nếu / đa điều hòa g lồi tăng (70 / đa điều hịa (c) Nếu / đa điều hòa chặt q lồi tăng thực q o / đa điều hòa chặt 3.2.5 Giả sử u tập mở liên thông C n (a) Chứng minh / € P s { U) / ^ —oc tập A = { z € u : f ( z ) = —oc} có độ đo Lebesgue (b) Chứng minh / e H{U, F ) khơng đồng khơng tập = {.’ £ [ / : f ( z ) = —oc} có độ đo Lebesgue 3.3 Ánh xạ chỉnh hình theo biến Trong mục ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình theo biến chỉnh hình Cụ thể ta chứng minh định lí H artogs sau 3.3.1 Đ ịnh lí G iả sử u tập m C ” Khi ánh xạ f : u —> F chìnlt hìnli chì Ị chỉnh hình theo biến Để chứng minh định lí ta cần m ột số bổ đề sau 3.3.2 Bổ dề Giả sử E , F G không gian Banach giả s U c E , V c F tập m giả sử f : u X V —> G liên tục theo hiến Khi đó, vói compact L c V tồ n tập m khác rỗng A c L c B c V cho f bị cliặn A X B Chứng minh Xét tập A n = { x e : \ \f (x, y)\ \ < n với y L + B f(0 , - ) } , T ì B f(0 , - ) hình cầu mở F tâm bán kính Do / liên tục theo X e u n n y V cố định, A n đóng Mặt khác, / liên tục theo y € V X e u 85 cố định, ta có u = u A n Theo định lí Baire tồn A n cho A n chứa B£ (n, ĩ ) , 71=1 Vậy 11/11 < n B f?(a r) X [L + B f(0 - ) ) □ 3.3.3 Bổ đề Giã sử II > giả sử f : A n(a, R) —> F lù ánh xạ lìùt cliỉnh hình theo z = (¿ , , zn- ) zn cố định chỉnh hình theo zn z cố định Nếu f bị chặn đa đĩa A n_1(a , r) X A(rt„, R) với < r < R rlù f chỉnh lùnli A nịa, R) Chứng minh Do / chỉnh hình theo z' zn cố định có khai triển chuỗi € A (a„, R ) ta / ( * ) = ỉ ự , z n ) = ỵ coc Xét hàm điều hòa dưối u a (zn) = -i-rlogllf^Z nill Từ (3.3.2) (3.3.3) ta có M u a{zn) < lo g (^ ) với | 2n | < R lim u a {zn) < - l o g / Ỉ với |z„| < R |or| —► oo Bổ đề Hartogs (Mệnh đề 3.1.14) chứng tỏ |u| đủ lớn ta có ua (zn) < - l o g / ? với Iz n Ị < R j Điều có nghĩa ||c-Q(^n )||/? 2Q| < với | ỉ „ | < /? |m| đủ lớn Từ suy chuỗi (3.3.1) hội tụ € A n(a R i) bồ’ đề chứng minh □ 86 C h ứ n g m in h Đ ịnh lí 3.3.1 Ta chứng minh định lí quy nạp theo n Với n = định lí hiển nhiên Giả sử n > giả sử định lí cho n — Như ta có ánh xạ / : -> F mà chỉnh hình theo z' = (¿1 _, zn cố định chỉnh hình theo zn z' cố định Giả s a € ỉ/ chọn ỉỉ > cho A"(fl, R) c t/ Do Bổ đề 3.3.2 tồn đa đĩa mở A n-1(6 ',r) c A n~l (a' R) cho / bị chặn i \ n 1(b\ r) X A (a n, R) Do Bổ đề 3.3.3 / chỉnh hình A"(ị, /?), = (b', a n) Hiển nhiên n € A n(6 /ỉ) Định lí chứng minh □ Bây ta chứng minh số kết tốt kết nêu phần 2.4 3.3.4 Đ ịn h lí Giả sử u tập m E giả sử f e 'Hg {U, F) Khi đó, với a tồn chuối lũy thừa p m.f(a)(x — tt) từ E vào F hội tụ điểm tới f ( x ) m=0 với X s a, Ua kí hiệu tập mở a - cân lớn p mf ( a ) cho công thức chứa u Cúc ổct thức (3 ) đáy, với t € E , T > chọn chu a + ợ ẽ u vói |£| < r Chímg minh Do Mệnh đề 2.4.4 cần chứng minh ánh xạ p mf ( a ) : E —►F xác định (3.3.4) thuộc V a{™E' F ) c ố định s , í Ễ E chọn r > cho a + \ s + ụ,t € u với IA| < s \/i\ < r Khi ánh xạ ip(\, ụ ) = f ( a + Xs + ụ.t) chỉnh hình tách chỉnh hình |A| < r |/í| < r Định lí 3.3.1 Như ta có khai triển chuỗi oo f { a + Xs + ịit) = ^ Cj,k\ j n k j,k=0 mà hội tụ tuyệt đối đa đĩa ỊAỊ < Q, Ị/tỊ < Q, < Q < r Cho ìI € c Chọn Ị) > cho < Q < T g \ r / \ < r Bằng cách tích phân số hạng ta nhận l cho ộ(||6 — a|| + r) < R Khi A(6 — a) + /ií € B(0, R ) vói |A| < Q |/i| < Q Hệ 2.3.9 áp dụng vào ánh xạ G - chỉnh hình cho ta 1v A ’ m!(27Tỵ)2 J |Ằ|=e,|/j|=? Am-fc+1//.t+1 Bởi Định lí 3.3.1 tồn c > cho ||/[rt + X (b — a) + fit] II < c với IAI < Q |/x| < c Suy oo m ËÊ m =0 k=0 88 / V x oo 30 ^ r ' »> ‘«‘11í Ễ Ễ - ỹ ẵ ỹ = ^ fc=0 m=ẨT ^ y Vậy ta thay đổi thứ tự tổng (3.3.6) Do oc oo k= O m = k Bởi với m ọi T] £ / \ E E T f(b+ t) = ' A mf ( a ) ( b - a r ~ kt k (3.3.7) ' c ta có Ẽ ( > - / ( ) ( - r - ^ i ms= kị : ^ - © ĩĩĩ—k ^ (™)Amf ( a ) ( b — a)m~k hội tụ điểm tới phần tử V ũ { kE, F) nên chuỗi m=k Mặt khác Định lí 3.3.4 ta có f { b + t.) = p kf{b){t)- So sánh chuỗi với k=0 chuỗi (3.3.7) ta (3.3.5) □ 3.3.7 M ện h đề Già sử / : B (a, R ) —> F /à ánh xạ G - chỉnh hình.Nếu p mf ( a ) liên tục vói m N f chỉnh hình Chứng minh Giả sử € B (a, R ) giả sử < r < R — ||6 — a|| Bởi Bổ đề 3.3.6 với A; N í € E ta có khai triển chuỗi P km ( t ) = Ễ í ™ ) A mf ( a ) ( b - a)m~kt k (3.3.8) m=k Do ánh xạ A mf ( n ) liên tục, B ổ đề 1.2.7 suy tồn tập mỏ V c E tổng riêng chuỗi (3.3.8) bị chặn Do đa thức P kỊ(b) bị chặn V liên tục Bây với m ọi t B(0, r ) ta có khai triển chuỗi /(6 + í) = f > fc/(fi)(í) (3-3.9) k=0 Lại áp dụng Bổ đề 1.2.7 ta tìm hình cầu B(c, q) c B(0,7-) tất p kf ( b ) bị chặn D o Hệ 2.3.6 đa thức p hf ( b ) bị chặn hình cầu B(0 q) Khi cơng thức Cauchy - H ’adamard suy chuỗi (3.3.9) có bán kính hội tụ > Q Mệnh đề chứng minh □ C h ứ n g m in h Đ ịnh lí 3.3.5 Chỉ cần chứng minh tập điểm u / bị chặn địa phương đóng u G iả sử a € u giới hạn dãy điểm / bị chặn địa phương Lấy r > cho B(n, 2r) c u chọn b e B (a, r ) cho / bị chặn địa phương b Điều suy p mf ( b) liên tục vói m N Do B(ò, r) c B (a, 2r) c u M ệnh đề 3.3.7 chứng tỏ / chỉnh hình B(6, r) Vì fl € B(6, r) nên / bị chặn địa phương a Định lí chứng minh □ 89 3.3.8 Đ ịnh lí (Định lí Hartogs tổng quát) Giả sử E l _, E „ , F không gian Banach u tập m ỏ E \ X • • ■ X E n Khi ánh xạ f : u —> F chỉnh hình f chỉnh hình theo biến Chứng minh Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ quy nạp cần chứng minh cho n = Giả sử / : u —> F chinh hình theo biến Có thể coi u = U\ X Ư2 , Uj mở E j vối j = 1,2 Ta chứng tỏ / G chỉnh hình Thật vậy, cho (oi, a 2) U\ X u (bl b2) E Ê | X E Khi ánh xạ (x , *2 ) '— > f ( a + A1 ö , « + A9 ) chinh hình theo biến chinh hình theo Định lí 3.3.1 Vậy ánh xạ A ^— » f ( a + Aỏi, a2 + Ab2) chinh hình / G - chỉnh hình Mặt khác / liên tục theo biến nên Bố đề 3.3.2 / bị chặn tập mở khác rỗng U\ X Ư2 - Vậy theo Định lí 3.3.5 / hình ƯI X □ Ta kết thúc mục vói đặc trưng ánh xạ chỉnh hình khơng gian Banach có sở Schauder Trước hết nhắc lại dãy (e„) E gọi sở Schauder X Ễ E viết dạng 00 X = ^ e * ( T ) e n n=l Do tính e* phiếm hàm tuyến tính E chúng độc lập tuyến tính Ngồi ngun lí ánh xạ mở Banach, chí e* liên tục với n Gọi E n không gian E sinh e i , , e„ T n : E —» Ẻ n cho bồi T n(x) = e ị ( x ) e k phép chiếu tắc (kết hợp với sở (en)) từ E lên E n fc=i Khi Tn liên tục với n nguyên lí bị chặn s u p | | r n || < 00 n Ngoài { T „ (t)} hội tụ tới X com pact ưong E 3 Đ ịn h Lí Giả sử E khơng gian Banach có sỏ Schauder (en) g iả sử u tập mở E K hi ánh xạ f : u —> F chỉnh hình chi f liên tục f\ur\E„ chinh hình với n € N Chứng minh Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ G iả sử / liên tục /|í/nK „ chỉnh hình với n € N Ta chứng minh / G - chỉnh hình / chỉnh hình liên tục G iả sử a u b € E Chọn r > cho tập compact K = a + r A6 chứa u Do T nx hội tụ tới X compact ta tìm n ữ € N cho Tn{ K ) c u với n > n Theo Hệ 2.3.2 với n > n |A| < r ta có khai triển chuỗi 00 f o T n(a + \ b) = ^ x kcnÁ k=0 90 (3.3.10) ỏ C n 'k ~ L / \r\=Or / o Tn(a + (6) K l= r với II € N Đ ể kết thúc chứng minh cần chứng tỏ với |A| < r ta có khai triển chuỗi f ( a + Xb) = J \ kck k=0 (3.3.11) * 27ú J f / ( q + CÒ) cfc+1 |< |= r với k € N0 Dựa vào (3.3.10) để chứng tỏ (3.3.11) cần chứng minh lim / o Tn {a + \b ) = f ( a + \b ) (3.3.12) Y x m Ỷ \ kcntk = Ỷ X kck ' k=0 (3.3.13) n —>OG K n —K X với |A| < r Giả sử £ > cho Do / liên tục K compact ta tìm ổ > cho K + B (0, (5) c u ||/ ( y ) - /(x -)ll < £ với X e K y € B (x , ổ) C họn riị > Uo cho ||Tnx - x || < ố với X K Khi II/ o Tn(x) - / ( x ) || < £ với X e K \ n > n Điều chứng minh (3.3.12) Ngoài Ễ | A | fc||c„lfc- c fc| | < f y e ( r ) - ‘ = 2£ k=0 k=0 với n > Tii ta có (3.3.13) Đ ịnh lí chứng minh 91