Giáo trình cơ sở giải tích đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐHĐN KHOA TOÁN ——————- TS PHAN ĐỨC TUẤN Giáo trình CƠ SỞ GIẢI TÍCH ĐẠI SỐ Tháng 12 năm 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990021531621000000 MỤC LỤC Lời mở đầu Chương Phân loại toán tử tuyến tính 1.1 Một số cấu trúc đại số 1.1.1 Nhóm - Vành - Trường 1.1.2 Không gian tuyến tính 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.3 Toán tử chiếu 12 1.4 Toán tử đại số 15 1.5 Toán tử Volterra 20 1.6 Bài tập 23 Chương Tính khả nghịch toán tử 25 2.1 Toán tử khả nghịch 25 2.2 Toán tử khả nghịch phải 26 2.2.1 Định nghĩa Tính chất 26 2.2.2 Toán tử ban đầu 34 2.2.3 Công thức Taylor-Gontcharov 47 2.2.4 Các toán tử mũ, sin, cosin 50 2.2.5 Nghịch đảo phải Volterra 58 2.2.6 D-đa thức 60 2.3 Toán tử khả nghịch trái 64 2.4 Toán tử khả nghịch suy rộng 68 2.5 Bài tập 79 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch 82 3.1 Phương trình với tốn tử khả nghịch 82 3.2 Phương trình với tốn tử khả nghịch phải 83 3.3 Phương trình với tốn tử khả nghịch trái 92 3.4 Phương trình với toán tử khả nghịch suy rộng 95 3.5 Phương trình ma trận 101 3.5.1 Ma trận A vuông 101 3.5.2 Ma trận A không vuông 103 MỤC LỤC 3.6 Bài tập 104 Tài liệu tham khảo 107 Chỉ mục 108 LỜI MỞ ĐẦU Cách 220 năm, thuật ngữ “Giải tích đại số” (“Algebraic Analysis”) ban đầu Lagrange sử dụng tựa đề sách ông để kết đạt phép tính đại số đại lượng giải tích Ý tưởng Giải tích đại số xuất phát từ toán tử đạo hàm D = d/dt toán tử khả nghịch phải số không gian hàm Sự khác biệt Giải tích đại số Giải tích tốn tử Giải tích đại số khái niệm tích chập không cần thiết, không cần cấu trúc trường khơng giao hốn tốn tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu Lý thuyết toán tử khả nghịch phải hình thành phát triển từ năm 1972, nghiên cứu D Przeworska- Rolewicz, sau phát triển H Von Trotha, Z Binderman nhiều nhà toán học khác giới [8] Với đời lý thuyết này, ngơn ngữ thống mơ hình hố phương trình vi phân, tích phân, vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân, thành phương trình tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Cùng với đời lý thuyết này, toán giá trị biên, giá trị ban đầu toán giá trị biên hỗn hợp, toán nội suy nhiều nhà nghiên cứu quan tâm xem xét, nhờ lý thuyết toán tử khả nghịch phải, nhà toán học thuật toán để xây dựng nghiệm toán dạng hiển cách hữu hiệu Giáo trình giới thiệu số lớp tốn tử tuyến tính đặc biệt, bốn loại khả nghịch tốn tử phương pháp tổng qt giải phương trình tốn tử theo loại khả nghịch tương ứng Giáo trình gồm ba chương bố cụ sau: Chương 1, nhắc lại số cấu trúc đại số gồm nhóm, vành, trường khơng gian tuyến tính Trình bày khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính, tốn tử chiếu, tốn tử đại số tốn tử Volterra Chương 2, trình bày bốn loại khả nghịch toán tử gồm khả nghịch, khả nghịch phải, khả nghịch trái khả nghịch suy rộng Trong đó, khả nghịch phải quan tâm tốn tử phổ dụng tốn tử đạo hàm, đạo hàm riêng toán tử sai phân toán tử khả nghịch phải Sự liên hệ toán tử khả nghịch suy rộng lý thuyết ma trận vấn đề thú vị chương Chương 3, trình bày phương pháp tổng qt giải phương trình tốn tử theo loại khả nghịch Áp dụng phương pháp tổng quát để giải số phương MỤC LỤC trình sai phân, vi phân, đạo hàm riêng, tích phân phương trình ma trận Cuối chương tập luyện tập lựa chọn theo tiêu chí bổ sung, làm rõ kiến thức chương rèn luyện kỹ tính tốn cho bạn đọc Giáo trình viết chủ yếu phục vụ cho học viên cao học ngành Tốn Giải tích, Đại số Lý thuyết số, Phương pháp toán sơ cấp thuộc Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng quan tâm đến Giải tích đại số Tư tưởng chủ đạo suốt trình viết giáo trình cần phải trình bày rõ ràng, dễ hiểu để học viên tự nghiên cứu Bởi vậy, chứng minh chi tiết kết đưa nhiều ví dụ minh họa Tác giả mong nhận góp ý bạn đọc đồng nghiệp để giáo trình ngày hồn thiện Tác giả Chương PHÂN LOẠI TỐN TỬ TUYẾN TÍNH Chương phân loại tốn tử tuyến tính dựa vào đặc trưng đại số Theo đó, tốn tử tuyến tính phân thành bốn loại gồm: tốn tử chiếu, toán tử đại số, toán tử đại số đơn toán tử Volterra 1.1 Một số cấu trúc đại số Mục nhắc lại số cấu trúc đại số như: Nhóm - Vành - Trường Khơng gian tuyến tính 1.1.1 Nhóm - Vành - Trường Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm cặp (G, ◦), G tập hợp khơng rỗng ◦ phép tốn hai ngơi G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: i (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), với x, y, z ∈ G ii Tồn phần tử e ∈ G, cho x ◦ e = e ◦ x = x, với x ∈ G Phần tử e gọi phần tử đơn vị iii Với x ∈ G, tồn phần tử x0 ∈ G, cho x ◦ x0 = x0 ◦ x = e Phần tử x0 gọi nghịch đảo x, Định nghĩa 1.1.2 Nhóm (G, ◦) gọi nhóm giao hốn (hay nhóm Abel) x ◦ y = y ◦ x, với x, y ∈ G Định nghĩa 1.1.3 Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S ⊂ G gọi nhóm G S khép kín phép tốn G (tức x ◦ y ∈ S với x, y ∈ S) khép kín phép lấy nghịch đảo G (tức x−1 ∈ S với x ∈ S) Định nghĩa 1.1.4 Một tập hợp R 6= ∅ với hai phép tốn hai ngơi, gồm phép cộng : R×R → R, (x, y) 7→ x+y, phép nhân : R×R → R, (x, y) 7→ x·y, gọi vành phép toán thỏa mãn ba điều kiện sau: Chương Phân loại tốn tử tuyến tính i R nhóm Abel phép cộng ii Phép nhân có tính kết hợp iii Phép nhân phân phối hai phía phép cộng (x + y) · z = x · z + y · z, z · (x + y) = z · x + z · y, với x, y, z ∈ R Nếu tồn phần tử er ∈ R (tương ứng el ∈ R) thỏa mãn điều kiện x · er = x (tương ứng el · x = x) với x ∈ X phần tử gọi đơn vị phải (tương ứng đơn vị trái) Nếu đơn vị er el tồn chúng el = el · er = er Phần tử gọi đơn vị kí hiệu e Định nghĩa 1.1.5 Vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị Cho x phần tử vành R có đơn vị e Nếu tồn phần tử xr ∈ R (tương ứng xl ∈ R) thỏa mãn điều kiện x · xr = e (tương ứng xl · x = e) phần tử x gọi khả nghịch phải (tương ứng khả nghịch trái) Nếu phần tử x khả nghịch phải khả nghịch trái gọi khả nghịch Trong trường hợp ta có xl = xl · xr = xr Phần tử xr gọi nghịch đảo x kí hiệu x−1 Định nghĩa 1.1.6 Giả sử R vành Một tập S ⊂ R gọi vành R S nhóm nhóm cộng R khép kín phép nhân, tức x · y ∈ S với x, y ∈ S Khi đó, S vành với hai phép toán hạn chế hai phép toán tương ứng R lên S Nếu M, N tập vành R, ta đặt M · N = {x · y : x ∈ M, y ∈ N } Lúc này, tập M · N gọi tích đại số tập M N Để cho gọn, ta viết xM = {x} · M , M x = M {x}, M ⊂ R, x ∈ R Định nghĩa 1.1.7 Vành R gọi giao hốn phép nhân giao hốn Ví dụ 1.1.1 Tập Mn×n ma trận vng cấp n với phép cộng hai ma trận phép nhân hai ma trận vành có đơn vị, khơng giao hốn 1.1 Một số cấu trúc đại số Định nghĩa 1.1.8 Vành R 6= {0} gọi khơng có ước khơng từ điều kiện xy = ta suy x = y = Định nghĩa 1.1.9 Vành R có đơn vị mà phần tử khác khơng có nghịch đảo gọi trường Ví dụ 1.1.2 Tập số thực R tập số phức C với phép cộng, phép nhân thông thường trường Tập số nguyên Z với phép cộng, phép nhân thông thường không trường Định nghĩa 1.1.10 Trường X gọi đóng đại số đa thức bậc n với hệ số X có n nghiệm Ví dụ 1.1.3 Trường C đóng đại số; trường R khơng đóng đại số đa thức x2 + khơng có nghiệm thực 1.1.2 Khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.11 Tập X gọi không gian tuyến tính (khơng gian vectơ) trường vơ hướng F (X, +) nhóm giao hốn phép nhân phần tử X với vô hướng thỏa mãn điều kiện sau α(x + y) = αx + αy; (α + β)x = αx + βx; (αβ)x = α(βx); · x = x, với x, y ∈ X α, β ∈ F Ví dụ 1.1.4 Tập R với phép cộng, phép nhân thông thường không gian vectơ trường vô hướng R vectơ Tập Rn với phép cộng, phép nhân thông thường không gian vectơ trường vô hướng R Tập ma trận thực cỡ m × n (Mm×n ) với phép cộng hai ma trận phép nhân số thực với ma trận không gian vectơ trường vô hướng R Tập đa thực hệ số thực có bậc ≤ n (Pn [x]) với phép cộng hai đa thức phép nhân số với đa thức không gian vectơ trường vô hướng R Chương Phân loại tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.1.12 Cho X không gian tuyến tính Y ⊂ X Giả sử tổng hai phần tử Y tích phần tử Y với vô hướng lại thuộc Y Tập Y ⊂ X gọi tập tuyến tính, đa tạp tuyến tính hay khơng gian vectơ X Ví dụ 1.1.5 Tập  Y = (x, y) ∈ R2 : x − y = , không gian vectơ R2 Tập  Y = A ∈ Mn×n : A ma trận chéo , không gian vectơ Mn×n Tập Y = {p(x) ∈ Pn [x] : p(1) = 0} , không gian vectơ Pn [x] Định nghĩa 1.1.13 Cho E tập tùy ý không gian tuyến tính X trường vơ hướng F Tập tuyến tính nhỏ chứa E gọi bao tuyến tính E kí hiệu linE Ta có ( linE = x∈X:x= n X ) αj xj , αj ∈ F, xj ∈ E j=1 Định nghĩa 1.1.14 Cho X khơng gian tuyến tính trường vơ hướng F Nếu x= n X αi xi , i=1 với αi ∈ F x gọi tổ hợp tuyến tính hệ vectơ {x1 , , xn } Hay x biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {x1 , , xn } Định nghĩa 1.1.15 Hệ vectơ {x1 , , xn } gọi độc lập tuyến tính hệ thức n X αi xi = 0, i=1 xảy α1 = · · · = αn = Hệ vectơ {x1 , , xn } gọi phụ thuộc tuyến tính khơng độc lập tuyến tính 3.2 Phương trình với tốn tử khả nghịch phải 83 Ví dụ 3.1.2 Xét phương trình tích phân Z t x (t) − λ x (s)ds = y (t) , t ∈ [a, b] , (3.3) a với y ∈ C[a, b] Đặt (Rx) (t) = lại dạng Rt a x (s)ds Khi phương trình (3.3) viết (I − λR) x = y Theo Ví dụ 1.5.2 (I − λR) khả nghịch Z −1 t [(I − λR) x](t) = x(t) + eλ(t−s) x(s)ds a Theo Định lí 3.1.1 phương trình (3.3) có nghiệm xác định −1 x (t) = (I − R) y (t) Z t = y(t) + eλ(t−s) y(s)ds a Ví dụ 3.1.3 Xét phương trình Z ∞ √ f (y)eixy dy = g(x), 2π −∞ (3.4) với g ∈ L1 (R) Phương trình (3.4) viết lại dạng (F f )(x) = g(x), F tốn tử biến đổi tích phân Fourier Theo Ví dụ 1.4.3 F khả nghịch Z ∞ −1 g(x)e−ixy dx (F g)(y) = √ 2π −∞ Như vậy, phương trình (3.4) có nghiệm xác định Z ∞ g(y)e−ixy dy f (x) = √ 2π −∞ 3.2 Phương trình với toán tử khả nghịch phải Đầu tiên ta xét phương trình với tốn tử khả nghịch phải sau Dx = y, với y ∈ X, D ∈ R(X) (3.5) 84 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch Mệnh đề 3.2.1 Giả sử D ∈ R(X) dim ker D 6= Khi nghiệm phương trình (3.5) có dạng x = Ry + z, (3.6) với z ∈ ker D tùy ý R ∈ R D tùy ý Chứng minh Với D ∈ R(X), R ∈ R D , lúc phương trình (3.5) viết lại Dx = DRy ⇔ D(x − Ry) = ⇒ x − Ry = z, với (z ∈ ker D) Vậy phương trình (3.5) có nghiệm x = Ry + z, với z ∈ ker D Ví dụ 3.2.1 Xét phương trình vi phân x0 (t) = y(t), y ∈ C[a, b] (3.7) d Đặt X = C[a, b], D = Theo Ví dụ 2.2.1 D ∈ R(X) (Rx)(t) = dt Rt a x(s) ds ∈ R D , ker D = {z / z ∈ R} Khi phương trình (3.7) viết lại dạng Dx = y (3.8) Từ Mệnh đề 3.2.1 ta có nghiệm phương trình (3.8) x = Ry + z, với z ∈ ker D Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.7) Z t x(t) = y(s)ds + c, với c ∈ R a Nhận xét 3.2.1 Xét toán Cauchy (3.7)  x0 (t) = y(t) x(a) = x Ta có, tốn tử ban đầu D tương ứng với R F xác định (F x)(t) = x(a), (3.9) 3.2 Phương trình với tốn tử khả nghịch phải phương trình (3.9) viết lại dạng  Dx = y F x 85 (3.10) = x0 Theo Ví dụ 3.2.1 ta có x = Ry + z với z ∈ ker D Ta có x0 = F x = F Ry + F z = F z = z Vậy nghiệm toán Cauchy (3.9) Z t x = Ry + x0 = y(s)ds + x0 a Ví dụ 3.2.2 Xét phương trình đạo hàm riêng x0s (t, s) = y(t, s), y ∈ C[a, b] × [a, b] (3.11) ∂ Theo Ví dụ 2.2.2 D ∈ R(X), R = Đặt X = C[a, b] × [a, b], D = ∂s Rs a x(t, u) du ∈ R D , ker D = {ϕ(s)} Khi phương trình (3.11) viết lại dạng Dx = y (3.12) Từ Mệnh đề 3.2.1 ta có nghiệm phương trình (3.12) x = Ry + z, với z ∈ ker D Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.11) Z s x(t, s) = y(t, u)du + ϕ(s) a Ví dụ 3.2.3 Xét phương trình sai phân xn+1 = xn + yn (3.13) Đặt X = {x = {xn } : xn ∈ R} Dx = {xn+1 − xn } với x = {xn } ∈ X Theo Ví dụ 2.2.3 D ∈ R(X), ker D = { z = {zn } : zn = c } Khi phương trình (3.13) viết lại dạng Dx = y (3.14) 86 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch Theo Mệnh đề 3.2.1 nghiệm phương trình (3.14) x = Ry + z, z ∈ ker D, R ∈ R D Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.13)   x1 = c, n x= P  yk + c, (n > 1) xn+1 = (3.15) k=1 Xét phương trình Dn x = y, (3.16) với D ∈ R(X) y ∈ X Mệnh đề 3.2.2 Giả sử D ∈ R(X), dim ker D 6= R ∈ RD tùy ý Khi nghiệm phương trình (3.16) có dạng n x=R y+ n−1 X Rk zk , (3.17) k=0 với z0 , , zn−1 ∈ ker D tùy ý Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.1 Dn ∈ R(X) Rn ∈ RDn Khi phương trình (3.16) viết lại dạng Dn (x − Rn y) = Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 ta thu x = Rn y + z¯, với z¯ ∈ ker Dn Theo Hệ 2.2.25 ta có z¯ = n−1 X Rk zk , k=0 với z0 , , zn−1 ∈ ker D Do nghiệm phương trình (3.16) có dạng (3.17) Ví dụ 3.2.4 Xét phương trình vi phân x00 (t) = y(t), y ∈ C[a, b] (3.18) 3.2 Phương trình với tốn tử khả nghịch phải 87 d Theo Ví dụ 2.2.1 D ∈ R(X) (Rx)(t) = Đặt X = C[a, b], D = dt Rt a x(s)ds ∈ R D , ker D = {z / z ∈ R} Khi phương trình (3.18) viết lại dạng D2 x = y (3.19) Từ Mệnh đề 3.2.2, ta có nghiệm phương trình (3.19) x = R2 y + Rz1 + z0 , với z0 , z1 ∈ ker D Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.18) Z tZ s y(τ )dτ ds + c1 (t − a) + c0 , x(t) = a a với c0 , c1 ∈ R Xét phương trình (D − A)x = y, (3.20) với D ∈ R(X), A ∈ L0 (X) y ∈ (D − A)(dom D) Định nghĩa 3.2.1 Cho R ∈ RD Khi tốn tử I − RA I − AR gọi toán tử giải cho toán tử D − A i Nếu toán tử I − RA I − AR khả nghịch phương trình (3.27) gọi xác định tốt Các toán tử (I − RA)−1 , (I − AR)−1 gọi tốn tử giải thức phương trình (3.27); ii Nếu I − RA I − AR khơng khả nghịch phương trình (3.27) gọi xác định xấu Chúng ta xét Phương trình (3.27) xác định xấu trường hợp toán tử giải khả nghịch phải Định lí 3.2.3 Giả sử A ∈ L0 (X), D ∈ R(X), dim ker D 6= R ∈ R D Nếu I − RA ∈ R(X) dim ker(I − RA) 6= nghiệm phương trình (3.27) có dạng x = RA (Ry + z) + z˜, đó, z ∈ ker D, z˜ ∈ ker(I − RA) tùy ý RA ∈ RI−RA tùy ý 88 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch Chứng minh Phương trình (3.27) viết lại dạng D(I − RA)x = y Theo Mệnh đề 3.2.1 suy (I − RA)x = Ry + z, với z ∈ ker D Ta lại có I − RA khả nghịch phải nên suy x = RA (Ry + z) + z˜, với z˜ ∈ ker(I − RA) RA ∈ RI−RA Cho y = Khi nghiệm phương trình (D − A)x = 0, có dạng x = RA z + z˜ Từ RA ∈ R I−RA , ta có ker RA = {0} Do dim ker(D − A) = dim ker D + dim ker(I − RA) Hệ 3.2.4 Nếu I − RA khả nghịch nghiệm phương trình (3.27) có dạng x = (I − RA)−1 (Ry + z), với z ∈ ker D tùy ý Bổ đề 3.2.5 Giả sử giả thiết Định lí 3.2.3 thỏa mãn I −RA ∈ R(X) i ker(I − RA) ⊂ dom D; ii Với RA ∈ R I−RA , y ∈ (D − A) dom D, z ∈ ker D, ta có RA (Ry + z) ∈ dom D Chứng minh Xem [8] Nhận xét 3.2.2 Từ Bổ đề 3.2.5, ta có nghiệm phương trình (3.27) x = RA (Ry + z) + z˜ ∈ dom D, điều cho thấy điều kiện để phương trình (3.27) có nghiệm y ∈ (D − A)(dom D) 3.2 Phương trình với tốn tử khả nghịch phải 89 Hệ 3.2.6 Giả sử tất giả thiết Định lí 3.2.3 thỏa mãn I − RA ∈ R(X) Cho RA ∈ R I−RA z ∈ ker D Khi tập Z(RA ) = {x = RA (Ry + z) + z˜ : z˜ ∈ ker I − RA}, tất nghiệm phương trình (3.27) khơng phụ thuộc vào việc chọn RA Nghĩa Z(RA ) = Z(RA ) với RA 6= RA ∈ R I−RA Ví dụ 3.2.5 Cho X = (s) D{xn } = {xn+1 − xn },    y1 =0       y2 = x1 R{xn } =     n  P   y = xk  n+1 k=1 Xét A{xn } = {xn−1 }, với giả thuyết x0 = 0, ∀x ∈ X Khi ta có a Toán tử (I − RA) khả nghịch X b Phương trình (D − A)x = y, y ∈ X, có nghiệm xác định bởi: x = (I − RA)−1 (Ry + z), với z ∈ ker D Thật a Ta có    z1    RA{xn } = R{xn−1 } = {zn } = z2     zn+1 Với y = {yn } ∈ X, xét phương trình (I − RA)x = y Ta viết lại phương trình dạng =0 =0 n−1 P = xk k=1 90 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch {xn } − RA{xn } = {yn } ⇔    y1      y2        yn+1 = x1 = x2 = xn+1 − n−1 P xk k=1 Với N ∈ N ta có, hệ phương trình tuyến tính sau    x1 = y1       x2 = y2   −x1 + x3 = y3          −x − x − x − + x = yN N (3.21) Hệ (3.21) viết lại dạng ma trận B[x] = [y] Ta có det B = 6= nên hệ (3.21) có nghiệm ∀y ∈ X, N ∈ N Do vậy, toán tử (I − RA) khả nghịch b Theo Hệ 3.2.4 phương trình (D − A)x = y, có nghiệm xác định x = (I − RA)−1 (Ry + z), z ∈ ker D Nhận xét 3.2.3 Phương trình (D − A)x = y phương trình sai phân: xn+1 − xn − xn−1 = yn Định lí 3.2.7 Giả sử giả thiết Định lí 3.2.3 thỏa mãn Khi I − AR ∈ R(X) dim ker(I − AR) 6= nghiệm phương trình (3.27) có dạng x = R[RA (y + Az) + z˜] + z, z ∈ ker D, z˜ ∈ ker(I − AR) tùy ý RA ∈ RI−AR tùy ý Chứng minh Từ A, R ∈ L0 (X), ta có dom(I − AR) = X (D − A)R = I − AR X Với x ∈ dom D tồn u ∈ X z ∈ ker D cho x = Ru + z (D − A)x = (D − A)Ru + (D − A)z 3.2 Phương trình với tốn tử khả nghịch phải 91 = (I − AR)u + Az Khi đó, phương trình (3.27) viết lại dạng (I − AR)u − Az = y, (3.22) x = Ru + z, z ∈ ker D Do I − AR ∈ R(X) nên từ Định lí 3.2.3 suy phương trình (3.31) có nghiệm xác định u = RA (y + Az) + z˜, z ∈ ker D, z˜ ∈ ker(I − AR) tùy ý RA ∈ RI−AR Vậy nghiệm phương trình (3.27) có dạng x = Ru + z = R[RA (y + Az) + z˜] + z Định lí chứng minh Hệ 3.2.8 Nếu I − AR khả nghịch nghiệm phương trình (3.27) có dạng x = R(I − AR)−1 (y + Az) + z, ∀z ∈ ker D Ví dụ 3.2.6 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số x0 (t) + px(t) = y(t), t ∈ [a, b] Đặt D = (3.23) d , (Ax)(t) = −px(t) Ta biết dt Z t D ∈ R(X), R = ∈ R D , ker D = {z/ z ∈ R} a Khi phương trình (3.23) viết lại dạng (D − A)x = y (3.24) Ta có R tốn tử Volterra I − AR = I + pR nên I − AR khả nghịch Theo Hệ 3.2.8 phương trình (3.24) có nghiệm xác định bởi: x = R(I + pR)−1 (y + Az) + z, với z ∈ ker D tùy ý Ta có AR = RA nên I − AR = I − RA 92 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch thể nghiệm phương trình (3.24) viết dạng x = (I + pR)−1 (Ry + z) Từ Ví dụ 1.5.1, ta có t Z −1 e−p(t−s) x(s) ds [(I + pR) x](t) = x(t) − p a Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.23) Z s  Z t Z t −p(t−s) x(t) = y(s)ds + c − p e y(τ ) dτ + c ds a a a 3.3 Phương trình với tốn tử khả nghịch trái Cho ∆ ∈ Λ(X) L ∈ L∆ Ta xét phương trình sau ∆x = y (3.25) Nếu y ∈ ∆X phương trình (3.25) có nghiệm từ L∆ = I ta có x = L∆x = Ly, suy x = Ly nghiệm phương trình (3.25) Do ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.3.1 Giả sử ∆ ∈ Λ(X), L ∈ L∆ Nếu y ∈ ∆X phương trình (3.25) có nghiệm xác định x = Ly Nhận xét 3.3.1 Theo Tính chất 2.3.3 ker G = ∆X điều kiện để phương trình (3.25) có nghiệm Gy = G tốn tử đồng ban đầu ∆ Ta có, ∆ ∈ Λ(X) L ∈ L∆ ∆n ∈ Λ(X) Ln ∈ L∆n Nên theo Mệnh đề 3.3.1 ta có hệ sau Hệ 3.3.2 Giả sử ∆ ∈ Λ(X) L ∈ L∆ Nếu y ∈ ∆n X phương trình ∆n x = y có nghiệm xác định x = Ln y Ví dụ 3.3.1 Giải phương trình tích phân Z t x(s)ds = y(t) a (3.26) 3.3 Phương trình với tốn tử khả nghịch trái 93 Rt d R ∈ Λ(X), D ∈ LR G = I − RD = Xét X = C[a, b], đặt R = a , D = dt F Khi phương trình (3.26) viết lại dạng Rx = y Theo Mệnh đề 3.3.1 ta có, y ∈ RX phương trình (3.26) có nghiệm x = Dy = y (t) Khi thử lại, ta có Z t y (s)ds = y(t) − y(a) a Lưu ý theo Nhận xét 3.3.1 điều kiện để phương trình (3.26) có nghiệm Gy = (I − RD)y = 0, y(a) = Do y (t) nghiệm phương suy y ∈ C[a,b] trình (3.26) Xét phương trình (D − A)x = y, (3.27) với D ∈ R(X), A ∈ L0 (X) y ∈ (D − A)(dom D) Bổ đề 3.3.3 Giả sử D ∈ R(X), dim ker D 6= 0, R ∈ RD A ∈ L0 (X) Khi y ∈ (D − A)(dom D) tồn z ∈ ker D cho Ry + z ∈ (I − RA)(dom D) (3.28) Chứng minh Ta có dom D = RX ⊕ ker D Giả sử y ∈ (D − A)(dom D) = D(I − RA)(dom D) Do tồn u ∈ X z ∈ ker D cho y = D(I − RA)(Ru + z) Từ Mệnh đề 3.2.1 suy (I − RA)(Ru + z) = Ry + z1 ∈ dom D, với z1 ∈ ker D Nhưng từ F R = 0, ta có z1 = F z1 = F Ry + F z1 = F (I − RA)(Ry + z) = F (Ry + z) = F z = z, suy Ry + z ∈ (I − RA)(dom D) Ngược lại, giả sử (3.28) thỏa mãn Nghĩa với y ∈ X z ∈ ker D tồn u ∈ X z1 ∈ ker D cho Ry + z = (I − RA)(Ru + z1 ) Áp toán tử D vào hai vế ta thu y = D(I − RA)(Ru + z1 ) = (D − A)(Ry − z1 ), suy y ∈ (D − A)(dom D) 94 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch Định lí 3.3.4 Giả sử A ∈ L0 (X), D ∈ R(X), dim ker D 6= R ∈ R D Nếu I − RA ∈ Λ(X) nghiệm phương trình (3.27) có dạng x = LA (Ry + z), với LA ∈ LI−RA , z ∈ ker D tùy ý Chứng minh Ta viết phương trình (3.27) dạng D(I − RA)x = y, (3.29) Đặt u = (I − RA)x phương trình (3.29) có dạng Du = y Theo Mệnh đề 3.2.1 ta có u = (I − RA)x = Ry + z, (3.30) với z ∈ ker D Theo Bổ đề 3.3.3 điều kiện có nghiệm phương trình (3.30) thỏa mãn nên từ Mệnh đề 3.3.1 ta có x = LA u = LA (Ry + z), với LA ∈ LI−RA , z ∈ ker D Định lí 3.3.5 Giả sử giả thiết Định lí 3.3.4 thỏa mãn Khi i (D − A)(dom D) = (I − AR)X + A ker D; ii Nếu I − AR ∈ Λ(X) nghiệm phương trình (3.27) có dạng x = RLA (y + Az) + z, với LA ∈ LI−AR , z ∈ ker D tùy ý Chứng minh (i) Từ A, R ∈ L0 (X), ta có dom(I − AR) = X Ta lại có (D − A)R = I − AR X với x ∈ dom D tồn u ∈ X z ∈ ker D cho x = Ru + z nên (D − A)x = (D − A)Ru + (D − A)z = (I − AR)u − Az Do x chọn tùy ý nên (D − A)(dom D) = (I − AR)X + A ker D 3.4 Phương trình với tốn tử khả nghịch suy rộng 95 (ii) Phương trình (3.27) viết lại dạng (I − AR)u = y + Az, (3.31) với x = Ru + z, z ∈ ker D Theo (i) y + Az ∈ (I − AR)(dom D) nên điều kiện có nghiệm phương trình (3.31) thỏa mãn Do đó, từ Mệnh đề 3.3.1 suy phương trình (3.31) có nghiệm xác định u = LA (y + Az) suy x = Ru + z = RLA (y + Az) + z, với LA ∈ LI−AR , z ∈ ker D Ví dụ 3.3.2 Cho X = (s), D, R xác định Ví dụ 3.2.5 A{xn } = {xn+1 } Khi I − RA khả nghịch trái Thật vậy, ta có −D(I − RA)x = (−D + A)x = (A − D){xn } = {xn+1 } − {xn+1 − xn } = {xn } = x Mặt khác với z = {c} = 0, ta có (I − RA)(−D){c} = (I − RA){0} = {0} = z, suy (I − RA) ∈ Λ(X) LA = −D ∈ LI−RA Xét phương trình (D − A)x = y, y ∈ X (3.32) Ta dễ dàng kiểm tra (D − A)(dom D) = (D − A)X = X, suy với y ∈ X, điều kiện có nghiệm phương trình (3.32) thỏa mãn nên theo Định lí 3.3.4 phương trình (3.32) có nghiệm x = LA (Ry + z) = −D(Ry + z) = −y 3.4 Phương trình với tốn tử khả nghịch suy rộng Cho toán tử V ∈ W (X) W ∈ WV1 Ta xét phương trình : V x = y, với y ∈ X (3.33) 96 Chương Phương trình tốn tử theo tính khả nghịch Bổ đề 3.4.1 Giả sử V ∈ W (X), W ∈ WV1 F (l) = I − V W Khi đó, y ∈ Im V F (l) y = Chứng minh Nếu y ∈ Im V suy y = V x, ta có F (l) y = (I − V W )V x = V x − V W V x = V x − V x = Ngược lại, F (l) y = F (l) y = (I − V W )y = y − V W y = 0, suy y = V W y = V x, với x = W y Mệnh đề 3.4.2 Phương trình (3.33) có nghiệm F (l) y = (3.34) Nếu điều kiện (3.34) thỏa mãn nghiệm phương trình (3.33) có dạng x = W y + z, (3.35) với W ∈ W1V , z ∈ ker V tùy ý Hay x = W y + F (r) u, (3.36) với u ∈ dom V tùy ý Chứng minh Nếu F (l) y = theo Bổ đề 3.4.1, ta có y = V x1 phương trình (3.33) viết lại dạng V x = V x1 (3.37) Từ V = V W V , phương trình (3.37) tương đương với V (x − W V x1 ) = suy x = W y + z với z ∈ ker V nghiệm phương trình (3.33) Theo Định nghĩa 2.4.2 Im F (r) = ker V, dom F (r) = dom V, nên với u ∈ dom V ta có F (r) u = z ∈ ker V Do nghiệm phương trình (3.33) viết dạng x = W y + F (r) u, với u ∈ dom V tùy ý 3.4 Phương trình với toán tử khả nghịch suy rộng 97 Nhận xét 3.4.1 Cho phương trình tốn tử Ax = y, y ∈ X (3.38) i Nếu A ∈ R(X) ⊂ W (X) B ∈ RA ⊂ WA1 F (r) = I − BA = F , F (l) = I − AB = Do theo Mệnh đề 3.4.2, ta có F (l) y = 0y = 0, suy phương trình (3.38) có nghiệm xác định x = By + z, z ∈ ker A Kết phù hợp với Mệnh đề 3.2.1 ii Nếu A ∈ Λ(X) ⊂ W (X) B ∈ LA ⊂ WA1 F (r) = I − BA = 0, F (l) = I − AB = G Theo Mệnh đề 3.4.2 điều kiện để phương trình (3.38) có nghiệm F (l) y = Gy = 0, trùng với điều kiện Nhận xét 3.3.1 Khi điều kiện thỏa mãn phương trình (3.38) có nghiệm xác định x = By + z, z ∈ ker A Kết phù hợp với Mệnh đề 3.3.1 Ví dụ 3.4.1 Giải phương trình ma trận sau AX = Y, (3.39) với   −1 −3   A =  15 −10 , −2 19 −12     Y = 5 5 Theo Ví dụ 2.4.7 A ∈ W (X) H ∈ WA1  −17 −11 13   H =  −40 −25 30  −58 −37 44     